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让更多的孩子得到更好的教育
《相似》全章复习与巩固--巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．如图所示，给出下列条件：
①
； ②
；③
； ④
.
其中单独能够判定
的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．
（2015•酒泉）如图，D、E 分别是△ABC 的边AB、BC 上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，则S△DOE：S△AOC的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，E 在AD 上，且CE 平分∠BCD，BE`平分∠ABC，则下列关系式中
成立的有( )
①
； ②
； ③
；④CE2=CD×BC； ⑤BE2=AE×BC.
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
4.如图，四边形ABCD 的对角线AC、BD 相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若
OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ( )
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
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5．如图，在正方形网格上有6 个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，`⑤△FGH，⑥△EFK，
其中②～⑥中与三角形①相似的是( )
A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥
6. （2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A，B，C 分别在l1，l2，l3上，
∠ACB=90°，AC 交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 如图，路灯距地面8 米，身高1.6 米的小明从距离灯的底部(点O)20 米的点A 处，沿OA 所在的直线行
走14 米到点B 时，人影的长度( )
A.增大1.5 米 B.减小1.5 米 C.增大3.5 米 D.减小3.5 米
8. 已知矩形ABCD 中，AB=1，在BC 上取一点E，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，
若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）
A.
5
1
2
B.
5
1
2
C. 3 D. 2
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二、填空题
9. 如图，Rt△ABC 中，AC⊥BC，CD⊥AB 于D，AC=8，BC=6，则AD=_________.
10. 如图，M 是
ABCD 的边AB 的中点，CM 交BD 于E，则图中阴影部分的面积与
ABCD 的面积之比为
___ __.
11. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为
20cm，则它的宽约为_______________.
12.（2014•青海）如图，为了测量一水塔的高度，小强用2 米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的
顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 米，与水塔相距32 米，则水塔的高度为
米．
13.正方形ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是BC、CD 上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_______cm 时，
四边形ABCN 的面积最大，最大面积为__________.cm2．
14.如图，O 为矩形ABCD 的中心，M 为BC 边上一点，N 为DC 边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，
ON=y，则y 与x 的函数关系式为__________________．
15. 如图，ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F，CD=2DE.若△DEF 的面积为a，则
ABCD 中的面积为 .(用a 的代数式表示)
第15 题
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16. （2012•岳阳）如图，△ABC 中，AB=AC，D 是AB 上的一点，且AD= 2
3 AB，DF∥BC，E 为BD 的中点．若
EF⊥AC，BC=6，则四边形DBCF 的面积为_______________.
三、解答题
17. 如图，梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB=2CD，E、F 分别是AB、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M.
(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB=9，求BM.
18.在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC 或BC
相交于E．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM＝EN，
（注解
=
EP
EM ）．
（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；
（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A、C 重合，设AP＝x，BN＝y，求y 关于x 的函数关系式，
并写出函数的自变量取值范围；
（3）若△AME∽△ENB（△AME 的顶点A、M、E 分别与△ENB 的顶点E、N、B 对应），求AP 的长．
图1 图2 备用图
19.（2015•杭州）如图，在△ABC 中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D 在AB 边上，DE⊥AC 于点E．
（1）若
= ，AE=2，求EC 的长；
（2）设点F 在线段EC 上，点G 在射线CB 上，以F，C，G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG 交CD
于点P．问：线段CP 可能是△CFG 的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．
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20. （2016•怀化）如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFGH 的一边FG 在BC 上，顶
点E、H 分别在AB、AC 上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】C.
【解析】①②④正确，考点：三角形相似的判定.
2．【答案】D.
【解析】∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴BE：EC=1：3；
∴BE：BC=1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴
= ，
∴S△DOE：S△AOC=
=
，故选D．
3．【答案】B.
【解析】提示：②③④成立.
4．【答案】B
5．【答案】B
6.【答案】A．
【解析】如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB=90°，
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∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CFB=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE 和△CBF 中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7
∴AB=
=5
，
∵l2∥l3，
∴
=
∴DG=
CE=
，
∴BD=BG
DG=7
﹣
﹣
=
，
∴
=
．
7.【答案】D；
【解析】由题意，
，
由相似，
，
同理，
.
8. 【答案】B.
【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，
∴EF
AD
FD
AB
,
1
1
1
x
x
，
解得x1=1
5
2
，x2=1
5
2
（负值舍去），
经检验x1=1
5
2
是原方程的解．故选B．
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二．填空题
9．【答案】6.4.
【解析】提示：在Rt△ABC 中，
，
由
.
10．【答案】
.
【解析】
，
，
(三角形等高，面积比等于底边比)
，
阴影部分的面积与
ABCD 的面积之比为1：3.
11．【答案】12.36cm.
12．【答案】10.
13.【答案】
1 5
2 8
，
.
【解析】设BM=xcm，则MC=（1-x）cm，当AM⊥MN 时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求
CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN 的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
14．【答案】
2
3
y
x
.
【解析】求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解．
15.【答案】12a.
【解析】根据四边形ABCD 是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三
角形的性质分别得出△CEB、△ABF 的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF 的面积为8a 即可.
16.【答案】15.
三.综合题
17．【解析】(1)证明：∵E 是AB 的中点，
∴AB=2EB，∵AB=2CD，∴CD=EB.
又AB∥CD，`∴四边形CBED 是平行四边形.∴CB∥DE，
∴
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∴△EDM∽△FBM.
(2)解：∵△EDM∽△FBM，∴
.
∵F 是BC 的中点，
∴DE=2BF.∴DM=2BM.∴BM=
DB=3.
18．【解析】(1) 由AE=40，BC=30，AB=50，∴CP=24，又sin∠EMP=
，∴CM=26。
(2) 在Rt△AEP 与Rt△ABC 中，∵∠EAP=∠BAC，∴Rt△AEP∽Rt△ABC，
∴
，即
，∴ EP=
x，
又sin∠EMP=
，∴tan∠EMP=
=
，∴
=
，∴ MP=
x=PN，
y=BN=AB-AP-PN=50-x-
x=50-
x (0<x<32).
(3) ① 当E 在线段AC 上时，由(2)知，
，即
，∴EM=
x=EN，
又AM=AP-MP=x-
x=
x，
由题设△AME∽△ENB，∴
，∴
=
，解得x=22=AP.
② 当E 在线段BC 上时，由题设△AME∽△ENB，∴ ∠AEM=∠EBN。
由外角定理，∠AEC=∠EAB+∠EBN=∠EAB+∠AEM=∠EMP，
∴ Rt△ACE∽Rt△EPM，∴
，即
，∴CE=
…①.
设AP=z，∴PB=50-z，
由Rt△BEP∽Rt△BAC，∴
，即
=
，∴BE=
(50-z)，
∴CE=BC-BE=30-
(50-z)…②.
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由①，②，解
=30-
(50-z)，得z=42=AP.
19.【解析】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴
，
∵
，AE=2，
∴EC=6；
（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP 是△CFG 的FG 边上的中线．
证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，
又∵∠CFG=∠ECD，
∴∠CGF=∠PCG，
∴CP=PG，
∵∠CFG=∠ECD，
∴CP=FP，
∴PF=PG=CP，
∴线段CP 是△CFG 的FG 边上的中线；
②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP 为△CFG 的FG 边上的高线．
证明：∵DE⊥AC，
∴∠EDC+∠ECD=90°，
∵∠CFG=∠EDC，
∴∠CFG+∠ECD=90°，
∴∠CPF=90°，
∴线段CP 为△CFG 的FG 边上的高线．
③如图3，当CD 为∠ACB 的平分线时，CP 既是△CFG 的FG 边上的高线又是中线．
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20.【解析】
（1）证明：∵四边形EFGH 是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：如图设AD 与EH 交于点M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM 是矩形，
∴EF=DM，设正方形EFGH 的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
∴x=
，
∴正方形EFGH 的边长为
cm，面积为
cm2．
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