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【巩固练习】
一、选择题
1. 在△ABC 和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB= A1B1，AC= A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：B1C1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中真命题的个数为（ ）
A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个
2．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3、4、5 的三角形按图1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角
形与原三角形相似．
乙：将邻边为3 和5 的矩形按图2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形
与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）
3．）如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P 所在的格点为（ ）
A．P1
B．P2
C．P3
D．P4
4．如图，在△ABC 中，如果DE 与BC 不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ABC 的是（ ）
A．
∠ADE=∠C
B．∠AED=∠B C.
D.
5．已知线段AB=10cm，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC＞BC），则AC 的长为（ ）.
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A.
B.
C.
D.
6.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618 时，越给人一种美感．如图，某女士身高
165cm，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（
）.
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
二、填空题
7．如图，在
ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD 相交于点P，请
从图中找出一组相似的三角形： ．
8．如图，已知四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠DEC，且点E 为AB 边中点，则图中有 对相似三角形．
9．如图，在边长为1 的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是
．
10．在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，当AC=3，AB=5，DE=10，EF=8 时，Rt△ABC 和Rt△DEF 是
的．（填“相似”或者“不相似”）
11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割．已知AB=10cm，则AC 的长约为__________cm
（结果精确到0.1cm）.
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12.如图，△ABC 顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为
的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、
△DEC 都是黄金三角形，已知AB=4，则DE=__________．
三、解答题
13. 如图，已知在△ABC 与△DEF 中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．
14．如图，△ABC 中，∠ABC=60°，AD，CE 分别为BC，AB 上的高，F 为AC 的中点，试判断△DEF 的形状，并证明你
的结论．
15.图1 是一张宽与长之比为
：1 的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2
所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF 和一个矩形EFDC，那么EFDC 这个矩形
还是黄金矩形吗？若是，请根据图2 证明你的结论；若不是，请说明理由．
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【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B；
【解析】解：（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，能用SAS 定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，不能用ASS 判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定
△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．
正确的个数有3 个；
故选：B．
2.【答案】A;
【解析】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法正确；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴
，
，
∴
，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法正确．
故选：A．
3.【答案】C；
【解析】解：∵∠BAC=∠PED，而
= ，
∴
= 时，△ABC∽△EPD，
∵DE=4，
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∴EP=6，
∴点P 落在P3处．
故选：C．
4.【答案】C；
【解析】解：A、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；
B、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误；
C、
=
，此时不等确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故本选项正确；
D、
=
，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故本选项错误．
故选C．
5．【答案】C.
【解析】∵点C 是线段AB 的黄金分割点（AC＞BC），
∴AC=
，
而AB=10cm，∴AC=
×10=（5
-5）cm．故选C．
6．【答案】C.
【解析】根据已知条件得下半身长是165×0.60=99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：
=0.618，
解得：y≈8cm．故选C．
二、填空题
7．【答案】 △ABP∽△AED（答案不唯一） ；
【解析】解：∵BP∥DF，
∴△ABP∽△AED．
故答案为：△ABP∽△AED（答案不唯一）．
8．【答案】；
【解析】解：∵∠A=∠B=∠DEC，
∴∠1+∠2=∠2+∠4，
∴∠1=∠4，
又∵∠A=∠B，
∴△AED∽△BCE，
∴
=
，
∵点E 为AB 边中点，
∴
=
，
∵∠A=∠DEC，
∴△AED∽△EDC，
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∴△AED∽△BCE∽△EDC，
故图中有 3 对相似三角形．
故答案为：3．
9．【答案】△APB∽△CPA；
【解析】解：△APB∽△CPA，
理由如下：
由题意可知：AP=
=
，PB=1，PC=5，
∴
，
，
∵∠APB=∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA．
10．【答案】相似;
【解析】解：如图所示：∵AC=3，AB=5，DE=10，EF=8，
∴BC=
=4，DF=
=6，
∴
=
= ，
∵∠C=∠F=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF．
故答案为：相似．
11.【答案】6.2 或3.8．
【解析】由题意知AC：AB=BC：AC，
∴AC：AB≈0.618，
∴AC=0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）或AC=10-6.2=3.8．
故答案为：6.2 或3.8．
12.【答案】6-2
．
【解析】根据题意可知，BC=
AB，
∵△ABC 顶角是36°的等腰三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠C=72°，
又∵△BDC 也是黄金三角形，
∴∠CBD=36°，BC=BD，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°=∠A，
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∴BD=AD，同理可证DE=DC，
∴DE=DC=AC-AD=AB-BC=AB-
AB=6-2
．
故答案为：6-2
．
三、解答题
13.【解析】
解：在△ABC 中，∠B=180°﹣∠A﹣∠C=79°，
在△ABC 和△DEF 中，
，
∴△ABC∽△DEF．
14.【解析】
解：连接EF，△DEF 为等边三角形，由∠ABC=60°，
易得：
．
∴△BDE∽△BAC，
∴
，
∴DE= AC．
又∵F 为中点，
∴在Rt△ADC 中，DF= AC，在Rt△ACE 中，EF= AC．
所以DE=DF=EF．
即：△DEF 为等边三角形．
15.【解析】矩形EFDC 是黄金矩形，
证明：∵四边形ABEF 是正方形，
∴AB=DC=AF，
又∵
=
，
∴
=
，
即点F 是线段AD 的黄金分割点．
∴
=
，
∴
=
，
∴矩形CDFE 是黄金矩形．
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