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《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）知识讲解
【学习目标】
1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些
知识进行有关的证明和计算.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质：（1）对边平行且相等；
（2）对角相等；邻角互补；
（3）对角线互相平分；
（4）中心对称图形.
3．面积：
高
底
平行四边形
S
4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释：平行线的性质：
（1）平行线间的距离都相等；
（2）等底等高的平行四边形面积相等.
要点二、菱形
1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；
（2）四条边相等；
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（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
2
对角线
对角线
高＝
＝底
菱形
S
4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四边相等的四边形是菱形.
要点三、矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相平分且相等；
（4）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
宽
＝长
矩形
S
４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）对角线相等的平行四边形是矩形.
（3）有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：
（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半．
要点四、正方形
1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2．性质：（1）对边平行；
（2）四个角都是直角；
（3）四条边都相等；
（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（6）中心对称图形，轴对称图形.
3．面积：
边长×边长＝
×对角线×对角线
4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）对角线相等的菱形是正方形；
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、平行四边形
1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D 为边AB 的中点，DE∥BC 交AC
于点E，CF∥AB 交DE 的延长线于点F．
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（1）求证：DE=EF；
（2）连结CD，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．
【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF 为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=
BC，进
而得到EF=CB，即可证出DE=EF；
（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，
∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1 可得∠A+∠G=∠B．
【答案与解析】
证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形DBCF 为平行四边形，
∴DF=BC，
∵D 为边AB 的中点，DE∥BC，
∴DE=
BC，∴EF=DF-DE=BC-
CB=
CB，
∴DE=EF；
（2）∵DB∥CF，
∴∠ADG=∠G，
∵∠ACB=90°，D 为边AB 的中点，
∴CD=DB=AD，
∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，
∵DG⊥DC，
∴∠DCA+∠1=90°，
∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠1=∠DCB=∠B，
∵∠A+∠ADG=∠1，
∴∠A+∠G=∠B．
【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出
∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
类型二、菱形
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2、如图,在菱形ABCD 中，∠BAD＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F，E 为垂足，
连结DF，则∠CDF 等于( ).
A.80° B.70° C.65° D.60°
【答案】D；
【解析】
解：连结BF，由FE 是AB 的中垂线，知FB＝FA，
于是∠FBA＝∠FAB＝
＝40°.
∴∠CFB＝40°＋40°＝80°,
由菱形ABCD 知，DC＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF，
于是△DCF≌△BCF，
因此∠CFD＝∠CFB＝80°,
在△CDF 中, ∠CDF＝180°－40°－80°＝60°.
【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是
要记住它们的判定和性质.
举一反三：
【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD 是菱形吗？如果是菱形
请给出证明，如果不是菱形请说明理由．
【答案】四边形ABCD 是菱形；
证明：由AD∥BC，AB∥CD 得四边形ABCD 是平行四边形,
过A，C 两点分别作AE⊥BC 于E，CF⊥AB 于F．
∴∠CFB＝∠AEB＝90°．
∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴AB＝BC,
∴四边形ABCD 是菱形.
类型三、矩形
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3、已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CN∥AB，DN 交AC 于点M，MA＝MC．①求证：CD
＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN 是矩形．
【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明
△AMD 和△CMN 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN 是平行
四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根
据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．
【答案与解析】
证明：①∵CN∥AB，
∴∠DAC＝∠NCA，
在△AMD 和△CMN 中，
∵
，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD＝CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN 是平行四边形，
∴CD＝AN；
②∵∠AMD＝2∠MCD ，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC，
由①知四边形ADCN 是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN，
∴四边形ADCN 是矩形．
【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成
矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．
4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在
对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.
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【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt△AEF 中，由折叠可知CD＝CF，DE＝EF，
易得AC＝10，所以AF＝4，AE＝8-EF，然后在Rt△AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．
【答案与解析】
解：设EF＝
，
由折叠可得：DE＝EF＝
，CF＝CD＝6，
又∵ 在Rt△ADC 中，
2
2
6
8
10
AC
．
∴ AF＝AC－CF＝4，AE＝AD－DE＝8－
．
在Rt△AEF 中，
，
即
2
2
2
(8
)
4
x
x
，
解得：
＝3 ∴ EF＝3
【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角
三角形中，再利用勾股定理进行求解．
举一反三：
【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF．若AB
＝ 3
，BC ＝ 5
，则重叠部分△DEF 的面积是__________
．
【答案】5.1.
提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5 －
，在Rt△DFC 中，
2
2
2
DC
FC
DF
，解得
＝
8
5 ，BF＝DE＝3.4，则
DEF
1
=
DE
AB
2
S
△
＝
1
2
×3.4×3＝5.1.
类型四、正方形
5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E
点作EF⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理
由.
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【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出
∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝
CE，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案．
【答案与解析】
探究：AE＝EF
证明：∵△BHE 为等腰直角三角形,
∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.
又∵CF 平分∠DCE，四边形ABCD 为正方形，
∴∠FCE＝
∠DCE＝45°，
∴∠H＝∠FCE.
由正方形ABCD 知∠B＝90°，∠HAE＝90°＋∠DAE＝90°＋∠AEB,
而AE⊥EF，∴∠FEC＝90°＋∠AEB，
∴∠HAE＝∠FEC.
由正方形ABCD 知AB＝BC，∴BH－AB＝BE－BC，
∴HA＝CE,
∴△AHE≌△ECF （ASA）,
∴AE＝EF.
【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段
相等.
举一反三：
【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到点E，使AE=AC，则∠BCE 的度数是
.
【答案】22.5°
类型五、综合应用
6、如图所示，E、F、G、H 分别是四边形ABCD 各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形
EFGH 为________形．
(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH 是菱形．
(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH 是矩形．
(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH 是正方形．
在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．
【答案】四边形EFGH 为平行四边形；
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解：(1)AC＝BD，
理由：如图①，四边形ABCD 的对角线AC＝BD，
此时四边形EFGH 为平行四边形，且EH＝
BD，HG＝
AC，得EH＝GH，
故四边形EFGH 为菱形．
(2)AC⊥BD，
理由：如图②，四边形ABCD 的对角线互相垂直，
此时四边形EFGH 为平行四边形．
易得GH⊥BD，即GH⊥EH，故四边形EFGH 为矩形．
(3)AC＝BD 且AC⊥BD，
理由：如图③，四边形ABCD 的对角线相等且互相垂直，
综合(1)(2)可得四边形EFGH 为正方形．
本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻
边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．
【总结升华】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的
性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键．
举一反三：
【变式】已知，在四边形ABCD 中，
90
A
B
C
，若添加一个条件即可判定该四边
形是正方形，那么这个条件可以是____________.
【答案】AB=BC 或 BC=CD 或 CD=DA 或DA=AB（答案不唯一）
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