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2018 年广西贵港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分）每小题四个选项中只有一
项是正确的.
1．（3.00 分）﹣8 的倒数是（ ）
A．8B．﹣8 C．
D．
2．（3.00 分）一条数学信息在一周内被转发了2180000 次，将数据2180000 用科
学记数法表示为（ ）
A．2.18×106B．2.18×105C．21.8×106D．21.8×105
3．（3.00 分）下列运算正确的是（ ）
A．2a
a=1
﹣
B．2a+b=2abC．（a4）3=a7 D．（﹣a）2•（﹣a）3=
a
﹣
5
4．（3.00 分）笔筒中有10 支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1
10
﹣
的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3 的倍数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3.00 分）若点A（1+m，1
n
﹣）与点B（﹣3，2）关于y 轴对称，则m+n 的值是（
）
A．﹣5 B．﹣3 C．3D．1
6．
（3.00 分）已知α，β 是一元二次方程x2+x
2=0
﹣
的两个实数根，则α+β
αβ
﹣
的值
是（ ）
A．3B．1C．﹣1 D．﹣3
7．（3.00 分）若关于x 的不等式组
无解，则a 的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
8．（3.00 分）下列命题中真命题是（ ）
A．
=（
）2一定成立
B．位似图形不可能全等
C．正多边形都是轴对称图形
D．圆锥的主视图一定是等边三角形
9．（3.00 分）如图，点A，B，C 均在⊙O 上，若∠A=66°，则∠OCB 的度数是（ ）
A．24° B．28° C．33° D．48°
10．（3.00 分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，AB=3AE，若S 四边形BCFE=16，则S△ABC=
（ ）
A．16
B．18
C．20
D．24
11．（3.00 分）如图，在菱形ABCD 中，AC=6
，BD=6，E 是BC 边的中点，P，M 分别
是AC，AB 上的动点，连接PE，PM，则PE+PM 的最小值是（ ）
A．6B．3
C．2
D．4.5
12．（3.00 分）如图，抛物线y= （x+2）（x
8
﹣）与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点
C，顶点为M，以AB 为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；
②⊙D 的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED 为平行四边形；④直
线CM 与⊙D 相切．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分
13．（3.00 分）若分式
的值不存在，则x 的值为 ．
14．（3.00 分）因式分解：ax2
a=
﹣
．
15．
（3.00 分）已知一组数据4，x，5，y，7，9 的平均数为6，众数为5，则这组数据的
中位数是 ．
16．（3.00 分）如图，将矩形ABCD 折叠，折痕为EF，BC 的对应边B'C′与CD 交于点
M，若∠B′MD=50°，则∠BEF 的度数为 ．
17．（3.00 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC 绕点B 顺时
针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB 的延长线上，则图中阴影部分
的面积为 （结果保留π）．
18．（3.00 分）如图，直线l 为y=
x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x 轴，与直线l 交于点
B1，以原点O 为圆心，OB1长为半径画圆弧交x 轴于点A2；再作A2B2⊥x 轴，交直线
l 于点B2，以原点O 为圆心，OB2长为半径画圆弧交x 轴于点A3；……，按此作法进
行下去，则点An的坐标为（ ）．[来源:学科网ZXXK]
三、解答题（本大题共8 小题，满分66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
19．（10.00 分）（1）计算：|3
5
﹣|﹣（π﹣3.14）0+（﹣2）﹣1+sin30°；
（2）解分式方程：
+1=
．
20．（5.00 分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α 和线
段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．
21．（6.00 分）如图，已知反比例函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=﹣
x+4 的
图象交于A 和B（6，n）两点．
（1）求k 和n 的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y= （x＞0）的图象上，求当2≤x≤6 时，函数值
y 的取值范围．
22．（8.00 分）为了增强学生的环保意识，某校组织了一次全校2000 名学生都参
加的“环保知识”考试，考题共10 题．考试结束后，学校团委随机抽查部分考生
的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6
题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问
题：
（1）本次抽查的样本容量是 ；在扇形统计图中，m= ，n=
，“答对8 题”所对应扇形的圆心角为 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对不少于8 题的学生人数．
23．（8.00 分）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45 座客车若
干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60 座客车，则多出一辆车，且其余
客车恰好坐满．已知45 座客车租金为每辆220 元，60 座客车租金为每辆300 元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45 座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
24．
（8.00 分）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若AB=10，cos∠BAC=
，求BD 的长及⊙O 的半径．
25．（11.00 分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴相交于A（﹣1，0），B
（3，0）两点，与y 轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x 轴于点H，与BC
交于点M，连接PC．
①求线段PM 的最大值；
②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．
26．（10.00 分）已知：A、B 两点在直线l 的同一侧，线段AO，BM 均是直线l 的垂线
段，且BM 在AO 的右边，AO=2BM，将BM 沿直线l 向右平移，在平移过程中，始终
保持∠ABP=90°不变，BP 边与直线l 相交于点P．
（1）当P 与O 重合时（如图2 所示），设点C 是AO 的中点，连接BC．求证：四边形
OCBM 是正方形；
（2）请利用如图1 所示的情形，求证：
=
；
（3）若AO=2
，且当MO=2PO 时，请直接写出AB 和PB 的长．
2018 年广西贵港市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分）每小题四个选项中只有一
项是正确的.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
1．（3.00 分）﹣8 的倒数是（ ）
A．8B．﹣8 C．
D．
【分析】根据倒数的定义作答．
【解答】解：﹣8 的倒数是﹣
．
故选：D．
2．（3.00 分）一条数学信息在一周内被转发了2180000 次，将数据2180000 用科
学记数法表示为（ ）
A．2.18×106B．2.18×105C．21.8×106D．21.8×105
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10
n
﹣，其中1≤|a|＜10，n
为整数，n 的值取决于原数变成a 时，小数点移动的位数，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值大于1 时，n 是正数；当原数的绝对值小于1 时，n
是负数．
【解答】解：将数据2180000 用科学记数法表示为2.18×106．
故选：A．
3．（3.00 分）下列运算正确的是（ ）
A．2a
a=1
﹣
B．2a+b=2abC．（a4）3=a7 D．（﹣a）2•（﹣a）3=
a
﹣
5
【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法的计算法则解答．
【解答】解：A、2a
a=a
﹣
，故本选项错误；
B、2a 与b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、（a4）3=a12，故本选项错误；
D、（﹣a）2•（﹣a）3=
a
﹣
5，故本选项正确．
故选：D．
4．（3.00 分）笔筒中有10 支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1
10
﹣
的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3 的倍数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由标有1
10
﹣
的号码的10 支铅笔中，标号为3 的倍数的有3、6、9 这3 种
情况，利用概率公式计算可得．
【解答】解：∵在标有1
10
﹣
的号码的10 支铅笔中，标号为3 的倍数的有3、6、9
这3 种情况，
∴抽到编号是3 的倍数的概率是
，
故选：C．
5．（3.00 分）若点A（1+m，1
n
﹣）与点B（﹣3，2）关于y 轴对称，则m+n 的值是（
）
A．﹣5 B．﹣3 C．3D．1
【分析】根据关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据
此求出m、n 的值，代入计算可得．
【解答】解：∵点A（1+m，1
n
﹣）与点B（﹣3，2）关于y 轴对称，
∴1+m=3、1
n=2
﹣
，
解得：m=2、n=
1
﹣，
所以m+n=2
1=1
﹣
，
故选：D．
6．
（3.00 分）已知α，β 是一元二次方程x2+x
2=0
﹣
的两个实数根，则α+β
αβ
﹣
的值
是（ ）
A．3B．1C．﹣1 D．﹣3
【分析】据根与系数的关系α+β=
1
﹣，αβ=
2
﹣，求出α+β 和αβ 的值，再把要求的式
子进行整理，即可得出答案．
【解答】解：∵α，β 是方程x2+x
2=0
﹣
的两个实数根，
∴α+β=
1
﹣，αβ=
2
﹣，
∴α+β
αβ=
1
2=
3
﹣
﹣﹣
﹣，
故选：D．
7．（3.00 分）若关于x 的不等式组
无解，则a 的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
【分析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a 的范围即可．
【解答】解：∵不等式组
无解，
∴a
4
﹣≥3a+2，
解得：a≤﹣3，
故选：A．
8．（3.00 分）下列命题中真命题是（ ）
A．
=（
）2一定成立
B．位似图形不可能全等
C．正多边形都是轴对称图形
D．圆锥的主视图一定是等边三角形
【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念
逐一判断即可得．
【解答】解：A、
=（
）2当a＜0 不成立，假命题；
B、位似图形在位似比为1 时全等，假命题；
C、正多边形都是轴对称图形，真命题；
D、圆锥的主视图一定是等腰三角形，假命题；
故选：C．
9．（3.00 分）如图，点A，B，C 均在⊙O 上，若∠A=66°，则∠OCB 的度数是（ ）
A．24° B．28° C．33° D．48°
【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB 的度数，再根据等边对等角可得
∠OCB=∠OBC，进而可得答案．
【解答】解：∵∠A=66°，
∴∠COB=132°，
∵CO=BO，
∴∠OCB=∠OBC=
（180°
132°
﹣
）=24°，
故选：A．
10．（3.00 分）如图，在△ABC 中，EF∥BC，AB=3AE，若S 四边形BCFE=16，则S△ABC=
（ ）
A．16
B．18
C．20
D．24
【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则
S△ABC的值．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AB=3AE，
∴AE：AB=1：3，
∴S△AEF：S△ABC=1：9，
设S△AEF=x，
∵S 四边形BCFE=16，
∴
=
，
解得：x=2，
∴S△ABC=18，
故选：B．
11．（3.00 分）如图，在菱形ABCD 中，AC=6
，BD=6，E 是BC 边的中点，P，M 分别
是AC，AB 上的动点，连接PE，PM，则PE+PM 的最小值是（ ）
A．6B．3
C．2
D．4.5
【分析】作点E 关于AC 的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB 于点M，交AC 于点P，由
PE+PM=PE′+PM=E′M 知点P、M 即为使PE+PM 取得最小值的点，利用S 菱形ABCD=
AC•BD=AB•E′M 求二级可得答案．
【解答】解：如图，作点E 关于AC 的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB 于点M，交AC 于
点P，
则点P、M 即为使PE+PM 取得最小值，
其PE+PM=PE′+PM=E′M，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴点E′在CD 上，
∵AC=6
，BD=6，
∴AB=
=3
，
由S 菱形ABCD=
AC•BD=AB•E′M 得
×6
×6=3
•E′M，
解得：E′M=2
，
即PE+PM 的最小值是2
，
故选：C．
12．（3.00 分）如图，抛物线y= （x+2）（x
8
﹣）与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点
C，顶点为M，以AB 为直径作⊙D．下列结论：①抛物线的对称轴是直线x=3；
②⊙D 的面积为16π；③抛物线上存在点E，使四边形ACED 为平行四边形；④直
线CM 与⊙D 相切．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①根据抛物线的解析式得出抛物线与x 轴的交点A、B 坐标，由抛物线的
对称性即可判定；
②求得⊙D 的直径AB 的长，得出其半径，由圆的面积公式即可判定，
③过点C 作CE∥AB，交抛物线于E，如果CE=AD，则根据一组等边平行且相等的
四边形是平行四边形即可判定；
④求得直线CM、直线CD 的解析式通过它们的斜率进行判定．
【解答】解：∵在y=
（x+2）（x
8
﹣）中，当y=0 时，x=
2
﹣或x=8，
∴点A（﹣2，0）、B（8，0），
∴抛物线的对称轴为x=
=3，故①正确；
∵⊙D 的直径为8﹣（﹣2）=10，即半径为5，
∴⊙D 的面积为25π，故②错误；
在y=
（x+2）（x
8
﹣）=
x2﹣
x
4
﹣中，当x=0 时y=
4
﹣，
∴点C（0，﹣4），
当y=
4
﹣时，
x2﹣
x
4=
4
﹣
﹣，
解得：x1=0、x2=6，
所以点E（6，﹣4），
则CE=6，
∵AD=3﹣（﹣2）=5，
∴AD≠CE，
∴四边形ACED 不是平行四边形，故③错误；
∵y=
x2﹣
x
4=
﹣
（x
3
﹣）2﹣
，
∴点M（3，﹣
），
设直线CM 解析式为y=kx+b，
将点C（0，﹣4）、M（3，﹣
）代入，得：
，
解得：
，
所以直线CM 解析式为y=﹣
x
4
﹣；
设直线CD 解析式为y=mx+n，
将点C（0，﹣4）、D（3，0）代入，得：
，
解得：
，
所以直线CD 解析式为y=
x
4
﹣，
由﹣
×
=
1
﹣知CM⊥CD 于点C，
∴直线CM 与⊙D 相切，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分
13．（3.00 分）若分式
的值不存在，则x 的值为 ﹣
1
．
【分析】直接利用分是有意义的条件得出x 的值，进而得出答案．
【解答】解：若分式
的值不存在，
则x+1=0，
解得：x=
1
﹣，
故答案为：﹣1．
14．（3.00 分）因式分解：ax2
a=
﹣
a （
x + 1 ）（
x
1
﹣
）
．
【分析】首先提公因式a，再利用平方差进行二次分解即可．
【解答】解：原式=a（x2
1
﹣）=a（x+1）（x
1
﹣）．
故答案为：a（x+1）（x
1
﹣）．
15．
（3.00 分）已知一组数据4，x，5，y，7，9 的平均数为6，众数为5，则这组数据的
中位数是
5.5
．
【分析】先判断出x，y 中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论．
【解答】解：∵一组数据4，x，5，y，7，9 的众数为5，
∴x，y 中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9 的平均数为6，
∴
（4+x+5+y+7+9）=6，
∴x+y=11，
∴x，y 中一个是5，另一个是6，
∴这组数为4，5，5，6，7，9，
∴这组数据的中位数是
（5+6）=5.5，
故答案为：5.5．
16．（3.00 分）如图，将矩形ABCD 折叠，折痕为EF，BC 的对应边B'C′与CD 交于点
M，若∠B′MD=50°，则∠BEF 的度数为
70°
．
【分析】设∠BEF=α，则∠EFC=180°
α
﹣，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，依据
∠EFC=∠EFC'，即可得到180°
α=40°
﹣
+α，进而得出∠BEF 的度数．
【解答】解：∵∠C'=∠C=90°，∠DMB'=∠C'MF=50°，
∴∠C'FM=40°，
设∠BEF=α，则∠EFC=180°
α
﹣，∠DFE=∠BEF=α，∠C'FE=40°+α，
由折叠可得，∠EFC=∠EFC'，
∴180°
α=40°
﹣
+α，
∴α=70°，
∴∠BEF=70°，
故答案为：70°．
17．（3.00 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，将△ABC 绕点B 顺时
针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB 的延长线上，则图中阴影部分
的面积为
4π
（结果保留π）．
【分析】由将△ABC 绕点B 顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB
的延长线上，可得△ABC≌△A′BC′，由题给图可知：S 阴影=S 扇形ABA′+S△A′BC
S
﹣
扇形CBC′﹣
S△A′BC′可得出阴影部分面积．
【解答】解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，AB=4，BC=2，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，AC=2
．
∵将△ABC 绕点B 顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB 的延长
线上，
∴△ABC≌△A′BC′，
∴∠ABA′=120°=∠CBC′，
∴S 阴影=S 扇形ABA′+S△A′BC
S
﹣
扇形CBC′
S
﹣△A′BC′
=S 扇形ABA′
S
﹣
扇形CBC′
=
﹣
=
﹣
=4π．
故答案为4π．
18．（3.00 分）如图，直线l 为y=
x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x 轴，与直线l 交于点
B1，以原点O 为圆心，OB1长为半径画圆弧交x 轴于点A2；再作A2B2⊥x 轴，交直线
l 于点B2，以原点O 为圆心，OB2长为半径画圆弧交x 轴于点A3；……，按此作法进
行下去，则点An的坐标为（
2 n
1
﹣
，
0
）．
【分析】依据直线l 为y=
x，点A1（1，0），A1B1⊥x 轴，可得A2（2，0），同理可得，A3
（4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n
1
﹣，0）．
【解答】解：∵直线l 为y=
x，点A1（1，0），A1B1⊥x 轴，
∴当x=1 时，y=
，
即B1（1，
），
∴tan∠A1OB1=
，
∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°，
∴OB1=2OA1=2，
∵以原点O 为圆心，OB1长为半径画圆弧交x 轴于点A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴点An的坐标为（2n
1
﹣，0），
故答案为：2n
1
﹣，0．
三、解答题（本大题共8 小题，满分66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
19．（10.00 分）（1）计算：|3
5
﹣|﹣（π
3.14
﹣
）0+（﹣2）﹣1+sin30°；
（2）解分式方程：
+1=
．
【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算加
减可得；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即
可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式=5
3
1
﹣﹣﹣
+
=1；
（2）方程两边都乘以（x+2）（x
2
﹣），得：4+（x+2）（x
2
﹣）=x+2，
整理，得：x2
x
2=0
﹣﹣
，
解得：x1=
1
﹣，x2=2，
检验：当x=
1
﹣时，（x+2）（x
2
﹣）=
3
﹣≠0，
当x=2 时，（x+2）（x
2
﹣）=0，
所以分式方程的解为x=
1
﹣．
20．（5.00 分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α 和线
段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．
【分析】根据作一个角等于已知角，线段截取以及垂线的尺规作法即可求出答案．
【解答】解：如图所示，
△ABC 为所求作
21．（6.00 分）如图，已知反比例函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=﹣
x+4 的
图象交于A 和B（6，n）两点．
（1）求k 和n 的值；
（2）若点C（x，y）也在反比例函数y= （x＞0）的图象上，求当2≤x≤6 时，函数值
y 的取值范围．
【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n 值，进而可得出点B 的
坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值；
（2）由k=6＞0 结合反比例函数的性质，即可求出：当2≤x≤6 时，1≤y≤3．
【解答】解：（1）当x=6 时，n=﹣
×6+4=1，
∴点B 的坐标为（6，1）．
∵反比例函数y=
过点B（6，1），
∴k=6×1=6．
（2）∵k=6＞0，
∴当x＞0 时，y 随x 值增大而减小，
∴当2≤x≤6 时，1≤y≤3．
22．（8.00 分）为了增强学生的环保意识，某校组织了一次全校2000 名学生都参
加的“环保知识”考试，考题共10 题．考试结束后，学校团委随机抽查部分考生
的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6
题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问
题：
（1）本次抽查的样本容量是
50
；在扇形统计图中，m=
16
，n=
30
，“答
对8 题”所对应扇形的圆心角为
86.4
度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对不少于8 题的学生人数．
【分析】（1）先读图，根据图形中的信息逐个求出即可；
（2）求出人数，再画出即可；
（3）根据题意列出算式，再求出即可．
【解答】解：（1）5÷10%=50（人），
本次抽查的样本容量是50，
=0.16=16%，1
10%
16%
24%
20%=30%
﹣
﹣
﹣
﹣
，
即m=16，n=30，
360°×
=86.4°，
故答案为：50，16，30，86.4；
（2）
；
（3）2000×（24%+20%+30%）=1480（人），
答：该校答对不少于8 题的学生人数是1480 人．
23．（8.00 分）某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45 座客车若
干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60 座客车，则多出一辆车，且其余
客车恰好坐满．已知45 座客车租金为每辆220 元，60 座客车租金为每辆300 元．
（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45 座客车多少辆？
（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？
【分析】（1）设这批学生有x 人，原计划租用45 座客车y 辆，根据“原计划租用
45 座客车若干辆，但有15 人没有座位；若租用同样数量的60 座客车，则多出一
辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y 的二元一次方程组，解之即可
得出结论；
（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少量，由总租金=每辆车的租
金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设这批学生有x 人，原计划租用45 座客车y 辆，
根据题意得：
，
解得：
．
答：这批学生有240 人，原计划租用45 座客车5 辆．
（2）∵要使每位学生都有座位，
∴租45 座客车需要5+1=6 辆，租60 座客车需要5
1=4
﹣
辆．
220×6=1320（元），300×4=1200（元），
∵1320＞1200，
∴若租用同一种客车，租4 辆60 座客车划算．
24．
（8.00 分）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且AB=BC=CD，AB∥CD，连接BD．
（1）求证：BD 是⊙O 的切线；
（2）若AB=10，cos∠BAC=
，求BD 的长及⊙O 的半径．
【分析】（1）如图1，作直径BE，半径OC，证明四边形ABDC 是平行四边形，得
∠A=∠D，由等腰三角形的性质得：∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，可得∠EBD=90°，所以
BD 是⊙O 的切线；
（2）如图2，根据三角函数设EC=3x，EB=5x，则BC=4x 根据AB=BC=10=4x，得x 的值，
求得⊙O 的半径为
，作高线CG，根据等腰三角形三线合一得BG=DG，根据三角
函数可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，作直径BE，交⊙O 于E，连接EC、OC，
则∠BCE=90°，
∴∠OCE+∠OCB=90°，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABDC 是平行四边形，
∴∠A=∠D，
∵OE=OC，
∴∠E=∠OCE，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠D，
∵∠A=∠E，
∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠CBD=90°，
即∠EBD=90°，
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）如图2，∵cos∠BAC=cos∠E=
，
设EC=3x，EB=5x，则BC=4x，
∵AB=BC=10=4x，
x=
，
∴EB=5x=
，
∴⊙O 的半径为
，
过C 作CG⊥BD 于G，
∵BC=CD=10，
∴BG=DG，
Rt△CGD 中，cos∠D=cos∠BAC=
，
∴
，
∴DG=6，
∴BD=12．
25．（11.00 分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴相交于A（﹣1，0），B
（3，0）两点，与y 轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x 轴于点H，与BC
交于点M，连接PC．
①求线段PM 的最大值；
②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可
得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）将A，B，C 代入函数解析式，得
，
解得
，
这个二次函数的表达式y=x2
2x
3
﹣
﹣；
（2）设BC 的解析是为y=kx+b，
将B，C 的坐标代入函数解析式，得
，
解得
，
BC 的解析是为y=x
3
﹣，
设M（n，n
3
﹣），P（n，n2
2n
3
﹣
﹣），
PM=（n
3
﹣）﹣（n2
2n
3
﹣
﹣）=
n
﹣
2+3n=﹣（n﹣
）2+
，
当n=
时，PM 最大=
；
②当PM=PC 时，（﹣n2+3n）2=n2+（n2
2n
3
﹣
﹣+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=﹣
（不符合题意，舍），n3=
，
n2
2n
3=2
2
﹣
﹣
﹣
3=
2
﹣
﹣
1
﹣，
P（
，﹣2
1
﹣）．
当PM=MC 时，（﹣n2+3n）2=n2+（n
3
﹣+3）2，
解得n1=0（不符合题意，舍），n2=
7
﹣（不符合题意，舍），n3=1，
n2
2n
3=1
2
3=
4
﹣
﹣
﹣﹣
﹣，
P（1，﹣4）；
综上所述：P（1，﹣4）或（
，﹣2
1
﹣）．
26．（10.00 分）已知：A、B 两点在直线l 的同一侧，线段AO，BM 均是直线l 的垂线
段，且BM 在AO 的右边，AO=2BM，将BM 沿直线l 向右平移，在平移过程中，始终
保持∠ABP=90°不变，BP 边与直线l 相交于点P．
（1）当P 与O 重合时（如图2 所示），设点C 是AO 的中点，连接BC．求证：四边形
OCBM 是正方形；
（2）请利用如图1 所示的情形，求证：
=
；
（3）若AO=2
，且当MO=2PO 时，请直接写出AB 和PB 的长．
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
【分析】（1）先证明四边形OCBM 是平行四边形，由于∠BMO=90°，所以▱OCBM
是矩形，最后直角三角形斜边上的中线的性质即可证明四边形OCBM 是正方形；
（2）连接AP、OB，由于∠ABP=∠AOP=90°，所以A、B、O、P 四点共圆，从而利用圆
周角定理可证明∠APB=∠OBM，所以△APB∽△OBM，利用相似三角形的性质即
可求出答案．
（3）由于点P 的位置不确定，故需要分情况进行讨论，共两种情况，第一种情况是
点P 在O 的左侧时，第二种情况是点P 在O 的右侧时，然后利用四点共圆、相似
三角形的判定与性质，勾股定理即可求出答案．
【解答】解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO
∴BM=CO，
∵AO∥BM，
∴四边形OCBM 是平行四边形，
∵∠BMO=90°，
∴▱OCBM 是矩形，
∵∠ABP=90°，C 是AO 的中点，
∴OC=BC，
∴矩形OCBM 是正方形．
（2）连接AP、OB，
∵∠ABP=∠AOP=90°，
∴A、B、O、P 四点共圆，
由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB=∠OBM，
∴∠APB=∠OBM，
∴△APB∽△OBM，
∴
（3）当点P 在O 的左侧时，如图所示，
过点B 作BD⊥AO 于点D，
易证△PEO∽△BED，
∴
易证：四边形DBMO 是矩形，
∴BD=MO，OD=BM
∴MO=2PO=BD，[来源:学*科*网]
∴
，
∵AO=2BM=2
，
∴BM=
，
∴OE=
，DE=
，[来源:学&科&网Z&X&X&K]
易证△ADB∽△ABE，
∴AB2=AD•AE，
∵AD=DO=DM=
，
∴AE=AD+DE=
∴AB=
，
由勾股定理可知：BE=
，
易证：△PEO∽△PBM，
∴
=
，
∴PB=
当点P 在O 的右侧时，如图所示，
过点B 作BD⊥OA 于点D，
∵MO=2PO，
∴点P 是OM 的中点，
设PM=x，BD=2x，
∵∠AOM=∠ABP=90°，
∴A、O、P、B 四点共圆，
∴四边形AOPB 是圆内接四边形，
∴∠BPM=∠A，
∴△ABD∽△PBM，
∴
，
又易证四边形ODBM 是矩形，AO=2BM，
∴AD=BM=
，
∴
=
，
解得：x=
，
∴BD=2x=2
由勾股定理可知：AB=3
，BM=3
