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《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．
A．2 B．
C．
D．1
2．如图所示，△ABC 中，AC＝5，
，
，则△ABC 的面积是( )
A．
B．12 C．14 D．21
3．如图所示，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△
，
则tan
的值为( )
A．
B．
C．
D．
第2 题图 第3 题图 第4 题图
4．如图所示，小明要测量河内小岛B 到河边公路的距离，在A 点测得∠BAD＝30°，在C 点测
得∠BCD＝60°，又测得AC＝50 米，那么小岛B 到公路的距离为( )．
A．25 米 B．
米 C．
米 D．
米
5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的
夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )．
A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm
6．如图所示，已知坡面的坡度
，则坡角
为( )．
A．15° B．20° C．30° D．45°
第5 题图 第6 题图 第7 题图
7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．
A．4 m B．6 m C．
m D．
8．（2016•绵阳）如图，△ABC 中AB=AC=4，∠C=72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE⊥AB，则cosA 的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．如图，若AC、BD 的延长线交于点E，
，则
= ；
= ．
10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD 的长为 ；CD 的长为 .
A
B
C
D
E
O
第9 题图 第10 题图 第11 题图
11．如图所示，已知直线
∥
∥
∥
，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点
分别在四条直线上，则
________．
12．如果方程
的两个根分别是Rt△ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A，那么tanA 的值
为__ ______．
13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100
米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为
米（结果保留整数，测角仪忽略不计，
≈1.414，
，1.732）
14. 在△ABC 中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝____ ____．
15. 如图，直径为10 的⊙A 经过点C(0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值
为 .
第15 题图
16. （2016•临沂）一般地，当α、β 为任意角时，sin（α+β）与sin（α
β
﹣）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）
=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α
β
﹣）=sinα•cosβ
cosα•sinβ
﹣
．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°
+cos60°•sin30°=
×
+
×
=1．类似地，可以求得sin15°的值是
．
三、解答题
17．如图所示，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E，点M 是
的中点，OM 交AC 于点D，
∠BOE＝60°，cos C＝
，BC＝
．
(1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求MD 的长度．
18. （2015•湖州模拟）如图，坡面CD 的坡比为
，坡顶的平地BC 上有一棵小树AB，当太阳光线与水平
线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3 米，斜坡上的树影CD=
米，则小树AB 的高是多少
米？
19．如图所示，圆O 的直径为5，在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P 在半
圆弧AB 上运动(不与A、B 重合)，过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．
(1)求证：AC·CD＝PC·BC；
(2)当点P 运动到AB 弧中点时，求CD 的长；
(3)当点P 运动到什么位置时，△PCD 的面积最大？并求这个最大面积S．
20. 如图所示，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E 分别是边AB，AC 的中点，点P 从点D 出发沿DE
方向运动，过点P 作PQ⊥BC 于Q，过点Q 作QR∥BA 交AC 于R，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设
BQ＝x，QR＝y．
(1)求点D 到BC 的距离DH 的长；
(2)求y 关于x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)是否存在点P，使△PQR 为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理
由．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C；
【解析】tan 60°+2sin 45°－2cos 30°＝
．
2.【答案】A；
【解析】过A 作AD⊥BC 于D，因为
，所以∠B＝45°，所以AD＝BD，因为
，
所以
，∴ BD＝AD＝3，所以
，所以BC＝BD+DC＝7，
.
3.【答案】B；
【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B′＝∠B，然后将∠B 放在以BC 为斜边，直角边在网格线
上的直角三角形中，∠B 的对边为1，邻边为3，tan B′＝tanB＝
．
4.【答案】B；
【解析】依题意知BC＝AC＝50 米，小岛B 到公路的距离，就是过B 作的垂线，即是BE 的长，
在Rt△BCE 中，
，BE＝BC·sin 60°＝50×
(米)，因此选B．
5.【答案】D；
【解析】如图，△ABD 是等腰直角三角形，过A 点作AC⊥BD 于C，则∠ABC＝45°，AC＝BC＝
，则
所求深度为55－20＝35(cm)．
6.【答案】C；
【解析】
，∴
．
7．【答案】D；
【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m，宽为
(m)，
则地毯的总长至少为
m．
8.【答案】C．
【解析】∵△ABC 中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D 是AB 中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，
∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC．
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4
x
﹣．
在△BCE 与△ABC 中，
，
∴△BCE∽△ABC，
∴
=
，即
=
，
解得x=
2
﹣±2
（负值舍去），
∴AE=
2
﹣+2
．
在△ADE 中，∵∠ADE=90°，
∴cosA=
=
=
．
故选C．
二、填空题
9．【答案】cos∠CEB=
；tan∠CEB=
【解析】如图，连结BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA，∴
，
cos∠CEB=
tan∠CEB=
第9 题答案图 第10 题答案图
10．【答案】5
+10；10
+5.
【解析】过B 点分别作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F，则得BF=ED，BE=DF.
∵在Rt△AEB 中，∠A=30°，AB=10，
∴AE=AB·cos30°=10×
=5
，
BE=AB·sin30°=10×
=5.
又∵在Rt△BFC 中，∠C=30°，BC=20，
∴BF=
BC=
×20=10，
CF=BC·cos30°=20×
=10
.
∴AD=AE+ED=5
+10，
CD=CF+FD=10
+5.
11．【答案】
；
【解析】设AB 边与直线
的交点为E，∵
∥
∥
∥
，且相邻两条平行直线间的距离都是1，
则E 为AB 的中点，在Rt△AED 中，∠ADE＝α，AD＝2AE．设AE＝k，则AD＝2k，
．
∴
．
12．【答案】
或
；
【解析】由
得x1＝1，x2＝3．①当1，3 为直角边时，则tan A＝
；
②当3 为斜边时，则另一直角边为
．∴
．
13．【答案】137 ；
【解析】如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m，
设AD=xm，
在Rt△ACD 中，∵tan∠ACD=
，
∴CD=AD=x，
∴BD=BC+CD=x+100，
在Rt△ABD 中，∵tan∠ABD=
，
∴x=
（x+100），
∴x=50（
+1）≈137，
即山高AD 为137 米．
14．【答案】
或
；
【解析】因△ABC 的形状不是唯一的，当△ABC 是锐角三角形时，如图所示，作AH⊥BC 于H，
在Rt△ABH 中．AH＝AB·sin∠ABC＝8×sin30°＝4，BH＝
，
在Rt△AHC 中，HC＝
．∴ BC＝
．
当△ABC 是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC＝
．
15．【答案】
3
2 ；
【解析】连接CA 并延长到圆上一点D，
∵CD 为直径，∴∠COD=∠yOx=90°，
∵直径为10 的⊙A 经过点C（0，5）和点O（0，0），
∴CD=10，CO=5，
∴DO=
，
∵∠B=∠CDO，
∴∠OBC 的余弦值为∠CDO 的余弦值，
∴cos∠OBC=cos∠CDO=
．
16.【答案】
．
【解析】sin15°=sin（60°
45°
﹣
）=sin60°•cos45°
cos60°•sin45°=
﹣
•
﹣
•
=
．
故答案为
．
三、解答题
17.【答案与解析】
(1)∵∠BOE＝60°，∴∠A＝
∠BOE＝30°．
(2)在△ABC 中，∵cos C＝
，∴∠C＝60°，
又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，∴ BC 是⊙O 的切线．
(3)∵点M 是
的中点，∴OM⊥AE，在Rt△ABC 中，
∵BC＝
，∴AB＝BC tan 60°＝
，∴OA＝
，
∴OD＝
OA＝
，∴MD＝
．
18． 【解析】
解：由已知得Rt△AFD，Rt△CED，如图，且得：∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE，
在Rt△CED 中，设CE=x，由坡面CD 的坡比为
，得：
DE=
x，则根据勾股定理得：
x2+
=
，
得x=
，（﹣
不合题意舍去），
所以，CE=
米，则，ED= 米，
那么，FD=FE+ED=BC+ED=3+ = 米，
在Rt△AFD 中，由三角函数得：
=tan∠ADF，
∴AF=FD•tan60°= ×
=
米，
∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE=
﹣
=4
米，
答：小树AB 的高是4
米．
19.【答案与解析】
(1)∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°．
又∵ PC⊥CD，∴ ∠PCD＝90°．
而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC．∴
．
∴AC·CD＝PC·BC．
(2)当点P 运动到AB 弧中点时，过点B 作BE⊥PC 于点E．
∵P 是
中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝
．
又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝
．
∴
．
从而PC＝PE+EC＝
．由(1)得CD＝
．
(3)当点P 在
上运动时，
．
由(1)可知，CD＝
．
∴
．故PC 最大时，
取得最大值；
而PC 为直径时最大，∴
的最大；
∴
的最大值
．
20.【答案与解析】
(1)∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10．
∵点D 为AB 中点，∴BD＝
AB＝3．∵∠DHB＝∠A＝90°，∠B＝∠B．
∴△BHD∽△BAC，∴
，∴
．
(2)∵QR∥AB，∴△RQC∽△ABC，
∴
，∴
，
即y 关于x 的函数关系式为：
．
(3)存在，分三种情况：
①当PQ＝PR 时，过点P 作PM⊥QR 于M，如图所示，则QM＝RM．
∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C．
∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
．
②当PQ＝RQ 时，如图28—46 所示，则有
，∴x＝6．
③当PR＝QR 时，则R 为PQ 中垂线上的点，如图所示．
于是点R 为EC 的中点，∴
．
∵
，∴
，∴
．
综上所述，当x 为
或6 或
时，△PQR 为等腰三角形．
