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【巩固练习】
一.选择题
1．（2016·攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）.
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 对角线互相平分的四边形是矩形
D. 矩形的对角线互相垂直且平分
2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6
，则对角线的长为( )．
A. 3.6
B. 7.2
C. 1.8
D. 14.4
3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10
，则周长为( )．
A.14
B.28
C.20
D.22
4．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1 与∠2 一定不相等的是( )
A.
B.
C.
D.
5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小
组的4 位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角
6. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC、AB 于点D、F，BE⊥DF 交DF 的延长线于点E，
已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE 的面积是（ ）
A.
B.
C.4
D.
二.填空题
7．矩形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10
，则AB＝______
，BC＝
______
．
8．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB 边上的中线CD＝______．
9. 如图,矩形纸片ABCD 中，AD＝4
，AB＝10
，按如图方式折叠，使点B 与点D 重合，折
痕为EF，则DE＝__________
.
10.（2016·湖北校级自主招生）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M 为斜边AB 上
一动点，过M 作MD⊥AC，过M 作ME⊥CB 于点E，则线段DE 的最小值为________.
11.（2015•重庆模拟）如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，且∠AED=90°，AD=10，则AB 的长
为
．
12. 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E 是斜边AB 上任意一点，作EF⊥AC 于F，
EG⊥BC 于G，则矩形CFEG 的周长是______.
三.解答题
13.如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE＝1∶3，OF＝4，
求∠ADB 的度数和BD 的长.
14.（2015 秋•抚州校级期中）在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE⊥AB 于点E，点F 在边CD 上，
DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE 是矩形；
（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF 平分∠DAB．
15.如图所示，已知AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.
求证：四边形BCED 是矩形．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】B；
【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A 不正确；
∵矩形的对角线相等且互相平分∴B 正确；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴C 不正确；
∵矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直∴D 不正确；
2.【答案】B；
【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.
3.【答案】B；
【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6
和8
，则周长为28
.
4.【答案】D；
【解析】∠2＞∠1.
5.【答案】D；
6.【答案】A；
【解析】先证△ADF≌△BEF，则DF 为△ABC 中位线，再证明四边形BCDE 是矩形，BE＝
，
可求面积.
二.填空题
7．【答案】5，5
；
【解析】可证△AOB 为等边三角形，AB＝AO＝CO＝BO.
8．【答案】
；
【解析】由勾股定理算得斜边AB＝
，CD＝
AB＝
.
9.【答案】5.8；
【解析】设DE＝
，则AE＝AB－BE＝AB－DE＝10－
.在Rt△ADE 中，由勾股定理可得AD2＋
AE2＝DE2，即
，解得
＝5.8.
10.【答案】
；
【解析】如图，连接CM，
∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME 是矩形，
∴DE=CM，由勾股定理求得AB=5，
当CM⊥AB 时，CM 最短，此时△ABC 的面积=
AB·CM=
BC·AC，
∴CM 最小值=
，∴线段DE 的最小值为
.
11.【答案】5；
【解析】∵矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，
∴AB=CD，BE=CE，∠B=∠C=90°，
可证得△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，
∵∠AED=90°，∴∠DAE=45°，
∴∠BAE=90°﹣∠DAE=45°，
∴∠BEA=∠BAE=45°，
∴AB=BE= AD= ×10=5．
12.【答案】12；
【解析】推出四边形FCGE 是矩形，得出FC＝EG，FE＝CG，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG＝
∠B，推出EG＝BG，同理AF＝EF，求出矩形CFEG 的周长是CF＋EF＋EG＋CG＝AC
＋BC，代入求出即可．
三.解答题
13.【解析】
解：由矩形的性质可知OD＝OC.
又由OE∶BE＝1∶3 可知E 是OD 的中点.
又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC＝CD，即OC＝CD＝OD，
即△OCD 是等边三角形，故∠CDB＝60°.
所以∠ADB＝30°.
又因为CD＝2OF＝8，
即BD＝2OD＝2CD＝16.
14.【解析】
证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四边形DEBF 为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF 为矩形；
（2）∵四边形DEBF 为矩形，
∴∠BFC=90°，
∵CF=9，BF=12，
∴BC=
=15，
∴AD=BC=15，
∴AD=DF=15，
∴∠DAF=∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠DFA，
∴AF 平分∠DAB．
15.【解析】
证明：在△ADB 和△AEC 中，
∵ AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AC．
∴ △ADB≌△AEC，∴ BD＝CE．
又∵ DE＝BC，∴ 四边形BCED 是平行四边形．
∵ ∠BAD＝∠CAE，
∴ ∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC
即∠DAC＝∠BAE．
在△DAC 和△EAB 中，
∵ DA＝EA，∠DAC＝∠EAB，AC＝AB．
∴ △DAC≌△EAB，∴ DC＝EB．
∴ 四边形BCED 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
