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矩形（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 理解矩形的概念.
2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.
【要点梳理】
【高清课堂 特殊的平行四边形（矩形） 知识要点】
要点一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一
个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.
要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可
将矩形分成完全全等的两部分.
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴
的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的
性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，
矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定
平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角
三角形，对一般三角形不可使用.
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形
两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角
边等于斜边的一半.
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形的性质
1、
（2015•云南）如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，M，N 分别是AB，CD 的中点，P 是AD 上
的点，且∠PNB=3∠CBN．
（1）求证：∠PNM=2∠CBN；
（2）求线段AP 的长．
【思路点拨】（1）由MN∥BC，易得∠CBN=∠MNB，由已知∠PNB=3∠CBN，根据角的和差不难得
出结论；
（2）连接AN，根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，由（1）知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN，由
AD∥MN，可知∠PAN=∠ANM，所以∠PAN=∠PNA，根据等角对等边得到AP=PN，再用勾股定理列
方程求出AP．
【答案与解析】
解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，M，N 分别是AB，CD 的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN=∠MNB，
∵∠PNB=3∠CBN，
∴∠PNM=2∠CBN；
（2）连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN=∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN=∠ANM，
由（1）知∠PNM=2∠CBN，
∴∠PAN=∠PNA，
∴AP=PN，
∵AB=CD=4，M，N 分别为AB，CD 的中点，
∴DN=2，
设AP=x，则PD=6﹣x，
在Rt△PDN 中
PD2+DN2=PN2，
∴（6﹣x）2+22=x2，
解得：x=
所以AP=
．
【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用，难度不大，根据角的
倍差关系得到∠PAN=∠PNA，发现AP=PN 是解决问题的关键．
举一反三：
【高清课堂 特殊的平行四边形（矩形） 例7】
【变式】如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P 为AB 边上任一点，过P 分别作
PE⊥AC 于E，PF⊥BC 于F，则线段EF 的最小值是
_________
．
【答案】
；
提示：因为ECFP 为矩形，所以有EF＝PC.PC 最小时是直角三角形斜边上的高.
类型二、矩形的判定
2、已知：平行四边形ABCD 中，E、F 分别是AB、CD 的中点，连接AF、CE.
（1）求证：△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论.
【答案与解析】
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.
∵E、F 分别是AB、CD 的中点，
∴BE＝1
2 AB，DF＝1
2 CD.
∴BE＝DF.
∴△BEC≌△DFA.
（2）四边形AECF 是矩形.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
∵E、F 分别是AB、CD 的中点，
∴BE＝1
2 AB，DF＝1
2 CD.
∴AE∥CF 且AE＝CF.
∴四边形AECF 是平行四边形.
∵CA＝CB，E 是AB 的中点，
∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.
∴四边形AECF 是矩形.
【总结升华】要证明△BEC 和△DFA 全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF 是矩形，
先证明四边形AECF 是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.
举一反三：
【变式】（2016·黄冈二模）在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E、F 分别在AD 及其延长线上，
CE∥BF，连接BE、CF.
（1）求证：△BDF≌△CDE；
（2）若DE=
BC，试判断四边形BFCE 是怎样的四边形，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵CE∥BF
∴∠CED=∠BFD，
∵D 是BC 边的中点
∴BD=DC．
∴在△BDF 与△CDE 中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）；
（2）四边形BFCE 为矩形．
证明：∵△BDF≌△CDE，
∴DE=DF，
又∵BD=DC，
∴四边形BFCE 是平行四边形，
∵BD=DC，DE=
BC,
∴BD=DC=ED，
∴∠BEC=90°，
∴平行四边形BFCE 为矩形．
3、如图所示，ABCD 四个内角的角平分线分别交于点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH 是矩形．
【思路点拨】AE、BE 分别为∠BAD、∠ABC 的角平分线，由于在ABCD 中，∠BAD+∠ABC＝
180°，易得∠BAE+∠ABE＝90°，不难得到∠HEF＝90°，同理可得∠H＝∠F＝90°．
【答案与解析】
证明：在ABCD 中，AD∥BC，
∴ ∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵ AE、BE 分别平分∠BAD、∠ABC，
∴ ∠BAE＋∠ABE＝1
2 ∠BAD＋1
2 ∠ABC＝90°．
∴ ∠HEF＝∠AEB＝90°．
同理：∠H＝∠F＝90°．
∴ 四边形EFGH 是矩形．
【总结升华】 (1)利用角平分线、垂线得到90°的角，选择“有三个直角的四边形是矩形”来
判定．(2)本题没有涉及对角线，所以不会选择利用对角线来判定矩形．
类型三、直角三角形斜边上的中线的性质
4、如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，点E 为AC 的中点，连
接DE，则△CDE 的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
【答案】C；
【解析】
解：∵AB＝AC，AD 平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝1
2 BC＝4，
∵点E 为AC 的中点，
∴DE＝CE＝1
2 AC＝5，
∴△CDE 的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14．
【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线
合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图所示，已知平行四边形ABCD，AC、BD 相交于点O，P 是平行四边形ABCD 外一点，且
∠APC＝∠BPD＝90°．求证：平行四边形ABCD 是矩形．
【答案】
解：连接OP．
∵ 四边形ABCD 是平行四边形．
∴ AO＝CO，BO＝DO，
∵ ∠APC＝∠BPD＝90°，
∴ OP＝1
2 AC，OP＝1
2 BD，
∴ AC＝BD．
∴ 四边形ABCD 是矩形．
