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概率的进一步认识--知识讲解
【学习目标】
1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；
2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；
3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；
4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、用树状图或表格求概率
1.树状图
当一次试验要涉及3 个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称
树形图、树图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的
次数和方式，并求出概率的方法.
要点诠释：
(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
2.列表法
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通
常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数
和方式，并求出概率的方法.
要点诠释：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
3.用列举法求概率的一般步骤
（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；
（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n 和其中出现所求事件A 的结果个数m；
（3）用公式计算所求事件A 的概率.即P（A）= n
m
.
要点二、用频率估计概率
1.频率与概率的定义
频率：在相同条件下重复n 次试验，事件A 发生的次数m 与试验总次数n 的比值.
概率：事件A 的频率n
m
接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P（A）.
2.频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次
数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复
试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估
计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
3.利用频率估计概率
当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概
率.
要点诠释：
用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
【典型例题】
类型一、用树状图或表格求概率
1.同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（ ）
A．1
3
B．1
4
C．1
2
D．3
4
【答案】B.
【解析】可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4 种，正面都同时向上的占1 种，所以概率为
1
4 .
【总结升华】利用树状图法列出所有的可能，看符合题意的占多少.
举一反三：
【变式1】袋中装有一个红球和一个黄球，它们除了颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色放回
袋中，充分摇匀后，再随机从中摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ）
A．1
3
B．1
2
C．1
4
D．3
4
【答案】C.
【变式2】随机地掷两次骰子，两次掷得的点数相同的概率是（ ）.
A．
1
3
B．
1
4
C．
1
12
D．
1
6
【答案】D.
2.一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5 个红球和3 个黄球，从中随机摸出一个，则摸到黄
球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C.
【解析】从袋中随机摸出一个球的所有可能情况有8 种，每种情况可能性相同，其中是黄球的情况有3 种，故
摸到黄球的概率是
.
【总结升华】每个球被摸到的可能性相同很关键.
举一反三：
【变式1】从分别标有1 到9 数字的9 张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3 的倍数的概率为（ ）
A．1
9 B．1
8 C．2
9 D．1
3
【答案】D.
【变式2】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停
留在阴影部分的概率是_____.
【答案】P（停在阴影部分）=
2
3 .
类型二、频率与概率
3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）
A. 频率等于概率
B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D. 试验得到的频率与概率不可能相等
【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而变化
的.
【答案】B.
【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试
验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
类型三、利用频率估计概率
4. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10 元以上能获得一次转动转盘的
机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格：
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
68
111
136
345
546
701
落在“铅笔”的频率
(2)请估计，当
很大时，频率将会接近多少？
(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)
【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；
(2) 0.69；
(3) 由（1）的频率值可以得出P（获得铅笔）=0.69；
(4) 0.69×360°≈248°.
【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方
图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．
5. 一个密封不透明的盒子里有若干个白球, 在不允许将球倒出来的情况下, 为估计白球的个数, 小
刚向其中放入8 个黑球, 摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回盒中, 不断重复, 共摸球400
次, 其中88 次摸到黑球. 估计盒中大约有白球( ).
A.28 个 B.30 个 C.36 个 D.42 个
【思路点拨】由“共摸球400 次, 其中88 次摸到黑球”可以估计摸到黑球的概率约为
88
400 ，再由一共放
入8 个黑球，可以估计白球的数量.
【答案】A.
【解析】先求出盒子里所有的球数为
,
再求盒子里的白球数为36-8=28 个.故选A .
【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”.
举一反三：
【变式1】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000 条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时
间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200 条，若其中有标记的鱼有10 条，则估计池塘里有鱼
______________条．
【答案】
条 .
【变式2】一只箱子里原有3 个球，其中2 个白球，1 个红球，它们除颜色外均相同．
（1）从箱子中任意摸出两个球，用树状图或列表法列举出所有可能并求两次摸出球的都是白球的概率．
（2）若从箱子中任意摸出一个球是红球的概率为
5
3 ，则需要再加入几个红球？
【答案】
类型四、概率的简单应用
6. 把一副扑克牌中的3 张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是
的概率是多少？
（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝
下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当
张牌面数字相同时，小王胜；当
张牌面数字不相同时，
小李胜．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.
【思路点拨】（1）问属于古典概型；
（2）问可以采用列表法或树状图法列出所有的可能，计算小王和小李各自
取胜的概率，再去做判断.
【答案与解析】
（1）P（抽到牌面数字４）=
；
（2）游戏规则对双方不公平，理由如下：
3
4
5
3
（3，3）
（3，4）
（3，5）
4
（4，3）
（4，4）
（4，5）
5
（5，3）
（5，4）
（5，5）
一共有9 种可能的结果，每种结果发生的可能性相等，∴P（牌面数字相同）=
；P（牌面数字不相同）=
2
3 ，∴小李胜的概率要大，游戏不公平.
【总结升华】列表法可以不重不漏地列出所有可能的结果.
举一反三：
【变式】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2 个，黄球有1
个，现从中任意摸出一个是白球的概率为1
2 .
（1）试求袋中蓝球的个数.
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图法，求两次摸到的都是白球的概
率.
【答案】（1）1 个；
（2）P（两次摸到白球）=
1
6 .
