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不等式及其性质（基础）知识讲解
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.
2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”
表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪
个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等
于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等
于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5 中，x 表
示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号
所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或
)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或
)．
要点诠释：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条
性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2 和性质3 的区别，在乘(或除
以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．用不等式表示：
(1)x 与-3 的和是负数；
(2)x 与5 的和的28％不大于-6;
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(3)m 除以4 的商加上3 至多为5．
【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等
表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．
【答案与解析】
解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)
≤5．
【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这
些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x≥0；若x 是非正数，则x≤0；若x 大于y，则有x-y
＞0；若x 小于y，则有x-y＜0 等．
举一反三：
【变式】
的值一定是（ ）．
A.大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零
【答案】D.
2.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a2 减去10 不大于2”可表示为a2-10＜
2； ③“x 的倒数超过10”可表示为
＞10；④“a，b 两数的平方和为正数”可表
示为a2+b2＞0．其中正确的个数是（ ）.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个
【答案与解析】
①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确；
②“a2 减去10 不大于2”可表示为a2-10≤2；故②错误；
③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为
＞10．故③正确；
④“a，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a，b 两数的平方和大于零”，可表示为
a2+b2＞0．故④正确．
综上所述，正确的说法有3 个．故选C．
【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等
式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠．
类型二、不等式的基本性质
3.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b-3a＜0，则b＜3a；
（2）如果-5x＞20，那么x＞-4；
（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；
（4）若ac2＞bc2，则a＞b；
（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．
（6）若a＞b＞0，则
<
．
【答案与解析】
（1）若由b-3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；
（2）如果-5x＞20，两边同除以-5 不等号方向改变，故错误；
（3）若a＞b，当c=0 时则 ac2＞bc2 错误，故错误；
（4）由ac2＞bc2 得c2＞0，故正确；
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（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．
（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则
<
．正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【总结升华】考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个负数,不等号方向改变.
4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( ).
A．a+c＞b+c B．c-a＞c-b C．ac＞bc D．
【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．
【答案】A.
【解析】
A、在不等式的两边同时加上c 不等号方向不变，故本选项正确；
B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c 后不等号方向改变，故本选项错误；
C、两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；
D、两边同时除以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；
【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1 和性
质2 类似于等式的性质但性质3 中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向
要改变．
举一反三：
【变式】三角形中任意两边之差与第三边有怎样的关系？
【答案】
解：如图，设
为任意一个三角形的三条边，则：
两边同时减b，c，a，急可得：
，
∴三角形两边的差小于第三边．
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