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不等式及其性质（提高）知识讲解
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.
2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
知识点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”
表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪
个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等
于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等
于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5 中，x 表
示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号
所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
知识点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或
)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或
)．
要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条
性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2 和性质3 的区别，在乘(或除
以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．(台湾)有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5 克、小砝码皆为1 克，
且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是( ).
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【思路点拨】根据图示可知1 个糖果的质量＞5 克，3 个糖果的质量＜16 克，依此求出1 个糖
果的质量取值范围，再在4 个选项中找出情形正确的．
【答案】D.
【解析】
解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5 克，由图(2)知：3 个糖果的重量小于16 克，即每一
个糖果的重量小于
克．故A 选项错；两个糖果的重量小于
克故B 选项错；三个
糖果的重量大于15 克小于16 克故C 选项错，四个糖果的重量小于
克故D
选项对．
【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合
思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式．
举一反三：
【变式】（2013•绵阳）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平
秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）.
A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■
【答案】C.
类型二、不等式的基本性质
2.下面四个命题：（1）
,则
；（2）
，则
；（3）若
，
则
；（4）若
，则
.其中正确的个数是（ ）.
A. 1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个
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【答案】B.
【解析】(1)由
得
，因为
>0,所以
，正确；
（2）因为
，当
时，
，所以错误；
（3）因为
，当
时，
没有意义，而当
时，
，所以错误；
（4）因为
，所以
，
，正确.
【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质
与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑
这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数.
3. 设a＞0＞b＞c，且a+b+c=-1，若M＝
，N＝
，P＝
，
试比较M、N、P 的大小．
【答案与解析】∵a+b+c=-1，
∴b+c=-1-a，
∴M=
=−1−
，
同理可得N=−1−
，P=−1−
；
又∵a＞0＞b＞c，
∴
＞0＞
＞
，
∴−1−
＜−1＜−1−
＜−1−
即M＜P＜N．
【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P 的等价变形，利用了整体思想
消元，转化为a、b、c 的大小关系．
4. (湖北黄冈)若关于x、y 的二元一次方程组
的解满足x+y＜2，则a 的
取值范围是________．
【思路点拨】观察方程组不难发现只要把两个方程相加即能求出x+y 的值．因为x+y＜2，故可
以构建关于a 的不等式．然后利用不等式的性质就能求出a 的取值范围．
【答案】a＜4
【解析】
解：将两方程相加得：4x+4y＝4+a．
将方程的两边同除以4 得
．
依题意：
．
将不等式的两边同乘以4 得4+a＜8．
将不等式的两边同时减去4 得a＜4．
故a 的取值范围是a＜4．
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【总结升华】解关于x 的一元一次不等式，就是要将不等式逐步化为x＞a 或x＜a 的形式，化
简的依据是不等式的性质．
举一反三：
【变式1】关于x 的不等式ax＞b 的解集是
，那么a 的取值范围是( ).
A．a≤0 B．a＜0 C．a≥0 D．a＞0
【答案】B.
提示：解不等式ax＞b 时，两边同时除以a，不等号的方向改变了，根据不等式的性质3，可
知除以的是一个负数，即a＜0．故应选B．
【变式2】a、b 是有理数，下列各式中成立的是( )．
A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞b
C．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b
【答案】D.
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