文档文本内容
1
二次函数
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1、能理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如火热根
据实际问题确定自变量的取值范围；
2、通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力；
3、通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，
增强学好数学的愿望与信心．
1．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
其中x、y 是变量，a、b、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
y═ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为_____，若是整式且仍能化简的要先将
其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0 这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是__________，对实际问
题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
2．二次函数的性质
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是______________，对称轴直线____________，二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0 时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣
时，y 随x 的增大而减小；x＞﹣
时，y 随x 的增大而增大；x=﹣
时，y 取得最小值
，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0 时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣
时，y 随x 的增大而增大；x＞﹣
时，y 随x 的增大而减小；x=﹣
时，y 取得最大值
，即顶点是抛物线的最高点．
2
③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移|
|个单位，再向上或
向下平移|
|个单位得到的．
3．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需
要注意的是实例中的函数图象要根据_______的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其
他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的
转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立
量与量的等式．
参考答案：
1.（1）整式；（2）全体实数
2. （﹣
，
）x=﹣
①上；②下
3.自变量
1. 二次函数的定义．
【例1】（2014•山东沂水县中学期末）函数y=3x2+x
4
﹣是（ ）
A．一次函数
B．二次函数
C．正比例函数
D．反比例函数
【解析】判断一个函数是二次函数需要注意三点：
（1）整理后，函数表达式是整式；
（2）自变量的最高次数为2；
（3）二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意已知条件中给出字母系数是否
是常数．
解：因为二次项的系数是3≠0
所以是二次函数．故选B．
练1.二次函数y=x2+2x
7
﹣的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ）
A．3
B．5
C．﹣3 和5
D．3 和﹣5
【解析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可．
解：根据题意，得
x2+2x
7=8
﹣
，
即x2+2x
15=0
﹣
，
解得x=3 或﹣5，
故选D．
练2.下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x
1
﹣）（x+2） B．y= （x+1）2 C．y=2（x+3）2
2x
﹣
2 D．y=1﹣
x2
【解析】把函数整理成一般形式，根据定义，即可判定．
解：把每一个函数式整理为一般形式，
A、y=（x
1
﹣）（x+2）=x2+x
2
﹣，是二次函数，故A 不符合题意；
3
B、y= （x+1）2= x2+x+ ，是二次函数，故B 不符合题意；
C、y=2（x+3）2
2x
﹣
2=12x+18，是一次函数，故C 符合题意；
D、y=1﹣
x2=﹣
x2+1，是二次函数，故D 不符合题意．
故选：C．
2. 二次函数求值．
【例2】（2015•辽宁抚顺二中月考）若函数y=4x2+1 的函数值为5，则自变量x 的值应为（ ）
A．1
B．﹣1
C．±1 D．
【解析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解方程即可．
解：根据题意，得4x2+1=5，x2=1，
解得x=
1
﹣或1．
故选C．
练3. 若函数y=（m2+m）
是二次函数，则m= ．
【解析】根据二次函数的定义，要求自变量的指数等于2，系数不为0．
解：∵函数y=（m2+m）
是二次函数，
m
∴
2
1=2
﹣
，
解得m=±
；
且m2+m≠0，
即m≠0 或m≠
1
﹣．
m=±
∴
．
3．根据实际问题列二次函数关系式．
【例3】（2015•吉林四平中学月考）如图，一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪
器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下表．那么s 与t 之间的函数关系
式是s= ．
时间t/s
1
23 4 …
距离s/m
2
8 18 32…
【解析】通过观察发现：距离都为偶数，应都与2 有关，所以表中数据的规律可以确定为t 秒时，
距离为2×t2．
解：∵1 秒时，距离为2；
2 秒时，距离为2×4=2×22；
3 秒时，距离为2×9=2×32；
4 秒时，距离为2×16=2×42；
4
t
∴秒时，距离为2×t2s=2t2．
练4. 在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm（x＜6）的小正方形，剩下的四方框形的
面积为y，y 与x 之间的函数关系是 ．
【解析】根据题意知道剩下面积=边长为6 cm 的正方形面积﹣边长为x cm 的小正方形的面积，由
此即可得到函数关系式．
解：依题意得
剩下的四方框形的面积=边长为6cm 的正方形面积﹣边长为xcm 的小正方形的面积，
y=
x
∴
﹣2+36．
故填空答案：y=
x
﹣2+36
4．二次函数的顶点、对称轴．
【例4】（2015•天津南开中学月考）抛物线y=（x
1
﹣）2+2 的顶点坐标是 ．
【解析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
解：因为y=（x
1
﹣）2+2 是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）．
练5. 抛物线y=x2
2x+3
﹣
的顶点坐标是 ．
【解析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写
出顶点坐标．
解：∵y=x2
2x+3=x
﹣
2
2x+1
1+3=
﹣
﹣
（x
1
﹣）2+2，
∴抛物线y=x2
2x+3
﹣
的顶点坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
练6.抛物线y=（x
1
﹣）2+3 的对称轴是直线 ．
【解析】此题直接利用抛物线顶点式的特殊形式即可求得对称轴
解：∵y=（x
1
﹣）2+3
∴其对称轴为x=1
故填空答案：x=1．
5．二次函数的变化趋势；
【例5】（2014•陕西安康黄冈中学期末）函数y= （x
1
﹣）2+3，当x 时，函数值y 随x 的增大
而增大．
【解析】先求对称轴，再利用函数值在对称轴左右的增减性可得x 的范围．
解：可直接得到对称轴是x=1，
a=
∵
＞0，
∴函数图象开口向上，
∴当x＞1 时，函数值y 随x 的增大而增大．
练7．已知抛物线y=
2
﹣（x+1）2
3
﹣，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 ．
【解析】根据二次函数的图象开口方向及对称轴求解．
解：因为a=
2
﹣＜0，抛物线开口向下，
又对称轴为直线x=
1
﹣，
所以当y 随x 的增大而减小时，x＞﹣1．
1．下列函数不属于二次函数的是（ ）
A．y=（x
1
﹣）（x+2）
B．y= （x+1）2
C．y=2（x+3）2
2x
﹣
2
D．y=1﹣
x2
5
2．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
3．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y=8x2+1
B．y=8x+1 C．
D．
4．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=1﹣
x2 B．y=2（x
1
﹣）2+4
C．y= （x
1
﹣）（x+4）
D．y=（x
2
﹣）2
x
﹣2
5．在半径为4cm 的圆中，挖去一个半径为xcm 的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x 的
函数关系式为（ ）
A．y=πx2
4
﹣
B．y=π（2
x
﹣）2
C．y=﹣（x2+4） D．y=
πx
﹣
2+16π
6．某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长的百分数都
是x，那么y 与x 的函数关系是（ ）
A．y=x2+a
B．y=a（x
1
﹣）2
C．y=a（1
x
﹣）2
D．y=a（1+x）2
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
1．当m= 时，函数y=（m
1
﹣）
是关于x 的二次函数．
2．在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm（x＜6）的小正方形，剩下的四方框形的面积
为y，y 与x 之间的函数关系是 ．
3．如图，在△ABC 中，AB=AC，点D 在BC 上，DE AC
∥
，交AB 与点E，点F 在AC 上，
DC=DF，若BC=3，EB=4，CD=x，CF=y，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
4．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（﹣1，0）和（0，﹣1），顶点在第
四象限，若n=a+b+c，则n 的取值范围是 ．
5．抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：
x
…
3
﹣
2
﹣
1
﹣
0
1
…
y
…
6
﹣
0
4
6
6
…
容易看出，（﹣2，0）是它与x 轴的一个交点，则它与x 轴的另一个交点的坐标为 ．
6．开口向下的抛物线y=（m2
2
﹣）x2+2mx+1 的对称轴经过点（﹣1，3），则m= ．
7．已知，二次函数的表达式为y=4x2+8x．写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与x
轴的交点的坐标．
8．求二次函数y=x2
2x
1
﹣
﹣的顶点坐标及它与x 轴的交点坐标．
6
9．已知抛物线y= x2+x﹣．
（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；
（2）若抛物线与x 轴的两个交点为A、B，求线段AB 的长．
10．已知抛物线y=4x2
11x
3
﹣
﹣．
（Ⅰ）求它的对称轴；
（Ⅱ）求它与x 轴、y 轴的交点坐标．
参考答案：
当堂检测
1.
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【分析】根据二次函数的定义判定即可．
【解答】解：A、y= x2，是二次函数，正确；
B、y=
，被开方数含自变量，不是二次函数，错误；
C、y=
，分母中含自变量，不是二次函数，错误；
D、a=0 时，a2=0，不是二次函数，错误．
故选A．
2．
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【分析】根据实际问题中的数量关系及二次函数的模型，逐一判断．
【解答】解：A、距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反
比例关系；
B、设原来的人口是a，x 年后的人口数是y，则y=a（1+1%）x，不是二次函数关系；
C、竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计
空气阻力）是二次函数．
D、设半径是r，则周长c=2πr，是一次函数关系．
故选：C．
3．
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【分析】利用二次函数定义就可以解答
7
【解答】解：A、符合二次函数的一般形式，是二次函数，正确；
B、是一次函数，错误；
C、是反比例函数，错误；
D、自变量x 在分母中，不是二次函数，错误．
4．
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【分析】利用二次函数的定义，整理成一般形式就可以解答．
【解答】解：A、y=1﹣
x2=﹣
x2+1，是二次函数，正确；
B、y=2（x
1
﹣）2+4=2x2
4x+6
﹣
，是二次函数，正确；
C、y= （x
1
﹣）（x+4）= x2+ x
2
﹣，是二次函数，正确；
D、y=（x
2
﹣）2
x
﹣2=
4x+4
﹣
，是一次函数，错误．
故选D．
5．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．菁优网版权所有
【分析】剩下面积=半径为4 的圆的面积﹣半径为x 的圆的面积=16π
πx
﹣
2=
πx
﹣
2+16π
【解答】解：半径为4 的圆的面积16π，
半径为x 的圆的面积πx2．
因而函数解析式是：y=
πx
﹣
2+16π．
故选D．
6．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．菁优网版权所有
【分析】本题是增长率的问题，基数是a 元，增长次数2 次，结果为y，根据增长率的公式表示函
数关系式．
【解答】解：依题意，
得y=a（1+x）2．
故选D．
家庭作业
1．
【考点】二次函数的定义．菁优网版权所有
【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可．
【解答】解：依题意可知m2+1=2
得m=1 或m=
1
﹣
又因为m
1≠0
﹣
m≠1
∴
∴当m=
1
﹣时，这个函数是二次函数．
2．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．菁优网版权所有
【分析】根据题意知道剩下面积=边长为6 cm 的正方形面积﹣边长为x cm 的小正方形的面积，由
此即可得到函数关系式．
【解答】解：依题意得
剩下的四方框形的面积=边长为6cm 的正方形面积﹣边长为xcm 的小正方形的面积，
y=
x
∴
﹣2+36．
故填空答案：y=
x
﹣2+36
8
3．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．菁优网版权所有
【分析】CD 和CF 在△CDF 中，EB 在△BDE 中，可判断应证明△BDE
FCD
△
∽
，根据题中所给条
件利用等边对等角，以及平行线的性质也能证得△BDE
FCD
∽△
．然后得到相应各边的比
例关系即可．x 在BC 上，应大于0，小于BC 长．
【解答】解：∵AB=AC，DC=DF
B= C= DFC
∴∠
∠
∠
又∵DE AC
∥
BDE= C
∴∠
∠
BDE
FCD
∴△
△
∽
∴
∴
∴
自变量x 的取值范围0＜x＜3．
4．
【分析】先根据二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（﹣1，0）和（0，﹣
1），可以求出a、b、c 之间的等量关系，再根据顶点在第四象限，可以求出a 与b 的关系．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与坐标轴分别交于点（﹣1，0）和（0，﹣1）
a
b+c=0
∴﹣
，c=
1
﹣，
即b=a
1
﹣，
∵顶点在第四象限，
∴﹣
＞0，
＜0，
又∵a＞0，
b
∴＜0
b=a
1
∴
﹣＜0 即a＜1，
b2
4ac=
﹣
（a+c）2
4ac=
﹣
（a
c
﹣）2＞0
a
b+c=0
∵﹣
，
a+b+c=2b
∴
＜0，
a+b+c=2b=2a
2
∴
﹣，
0
∵＜a＜1，
a+b+c=2b=2a
2
∴
﹣＞﹣2，
2
∴﹣＜a+b+c＜0．
2
∴﹣＜n＜0
5．
【分析】根据（0，6）、（1，6）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c 经过（0，6）、（1，6）两点，
∴对称轴x=
= ；
点（﹣2，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它与x 轴的另一个交点的坐标为（3，0）．
9
6．
【分析】主要利用抛物线的性质．
【解答】解：由于抛物线y=（m2
2
﹣）x2+2mx+1 的对称轴经过点（﹣1，3），
∴对称轴为直线x=
1
﹣，x=
=
1
﹣，
解得m1=
1
﹣，m2=2．
由于抛物线的开口向下，所以当m=2 时，m2
2=2
﹣
＞0，不合题意，应舍去，
m=
1
∴
﹣．
7．
【考点】二次函数的性质；抛物线与x 轴的交点．菁优网版权所有
【分析】解决本题的关键是搞清a、b、c 的值，记住二次函数对称轴及顶点坐标公式，图象与x 轴
的交点的横坐标为此函数值为0 时的一元二次方程的解．
【解答】解：在y=4x2+8x 中，
a=4
∵
，b=8，c=0，
∴
，
∴这个函数图象的对称轴是：直线x=
1
﹣，顶点坐标是：（﹣1，﹣4），
当y=0，则4x2+8x=0，
解得x1=0，x2=
2
﹣，
∴函数图象与x 轴的交点的坐标为（0，0），（﹣2，0）．
8．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】本题已知二次函数的一般式，求顶点，可以通过配方法把解析式写成顶点式，求它与x 轴
的交点坐标，可以设y=0，求方程x2
2x
1=0
﹣
﹣
的解．
【解答】解：∵y=x2
2x
1
﹣
﹣
=x2
2x+1
2
﹣
﹣
=（x
1
﹣）2
2
﹣
∴二次函数的顶点坐标是（1，﹣2）
设y=0，则x2
2x
1=0
﹣
﹣
∴（x
1
﹣）2
2=0
﹣
（x
1
﹣）2=2，x
1=±
﹣
x
∴1=1+
，x2=1﹣
．
二次函数与x 轴的交点坐标为（1+
，0）（1﹣
，0）．
9．
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）此题首先要将函数右边的式子化为完全平方式，才能知道顶点坐标和对称轴；
（2）令y=0，求得抛物线在x 轴上的交点坐标，那么长度就很快就能求出．
【解答】解：（1）∵y= x2+x﹣= （x+1）2
3
﹣，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
10
对称轴是直线x=
1
﹣；
（2）当y=0 时，x2+x﹣=0，
解得：x1=
1+
﹣
，x2=
1
﹣﹣
，
AB=|x1
x
﹣2|=
．
10．
【考点】二次函数的性质．
【分析】由于y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（
，
），对称轴是x=
；代入即可求得
对称轴；当x=0 时，即可求得与y 轴的交点坐标；当y=0 时，即可求得与x 轴的交点坐标．
【解答】解：（I）由已知，a=4，b=
11
﹣
，
得
，
∴该抛物线的对称轴是x=
；
（II）令y=0，得4x2
11x
3=0
﹣
﹣
，
解得x1=3，x2=﹣，
∴该抛物线与x 轴的交点坐标为（3，0），（﹣，0），
令x=0，得y=
3
﹣，
∴该抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣3）．
课程顾问签字： 教学主管签字：
