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八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共6 题，每题3 分，满分18 分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相
应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]
1．如果最简二次根式
与
是同类二次根式，那么x 的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．下列代数式中，
+1 的一个有理化因式是（ ）
A．
B．
C．
+1
D．
﹣1
3．如果关于x 的方程ax2
3x
﹣
+2=0 是一元二次方程，那么a 取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a≥0 C．a=1
D．a≠0
4．下面说法正确的是（ ）
A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系
B．正方形的面积和它的边长成正比例关系
C．车辆所行驶的路程S 一定时，车轮的半径r 和车轮旋转的周数m 成反比例关系
D．水管每分钟流出的水量Q 一定时，流出的总水量y 和放水的时间x 成反比例关系
5．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
6．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CH、CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论正
确的是（ ）
A．CM=BC
B．CB=
AB C．∠ACM=30°
D．CH•AB=AC•BC
二、填空题（本题共12 小题，每小题2 分，满分24 分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填
写答案]
7．计算：
= ．
8．计算：
= ．
9．如果关于x 的一元二次方程x2+4x
m=0
﹣
没有实数根，那么m 的取值范围是 ．
10．在实数范围内分解因式x2
4x
1=
﹣
﹣
．
11．函数
的定义域是 ．
12．如果正比例函数y=（k
3
﹣）x 的图象经过第一、三象限，那么k 的取值范围是 ．
13．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是 ．
14．经过已知点A 和点B 的圆的圆心的轨迹是 ．
15．已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2），那么A、B 两点间的距离等于 ．
16．如果在四边形ABCD 中，∠B=60°，AB=BC=13，AD=12，DC=5，那么∠ADC= ．
17．边长为5 的等边三角形的面积是 ．
18．已知在△AOB 中，∠B=90°，AB=OB，点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（0，4），点B
在第一象限内，将这个三角形绕原点O 逆时针旋转75°后，那么旋转后点B 的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8 题，满分58 分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．计算：
．
20．解方程：（x﹣
）2+4
x=0．
21．已知关于x 的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m
2
﹣）2=0 有一个根为0，求这个方程根的判
别式的值．
22．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，点D 在边AC 上，且点D 到边AB 和
边BC 的距离相等．
（1）作图：在AC 上求作点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求CD 的长．
23．如图，在直角坐标系xOy 中，反比例函数图象与直线y=
x 相交于横坐标为2 的点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点B 在直线y=
x 上，点C 在反比例函数图象上，BC∥x 轴，BC=3，且BC 在点A 上
方，求点B 的坐标．
24．如图，已知在△ABC 中，∠ABC=90°，点E 是AC 的中点，联结BE，过点C 作CD∥BE，且
∠ADC=90°，在DC 取点F，使DF=BE，分别联结BD、EF．
（1）求证：DE=BE；
（2）求证：EF 垂直平分BD．
25．为改善奉贤交通状况，使奉贤区融入上海1 小时交通圈内，上海轨交5 号线南延伸工程于
2014 年启动，并将于2017 年年底通车．
（1）某施工队负责地铁沿线的修路工程，原计划每周修2000 米，但由于设备故障第一周少修
了20%，从第二周起工程队增加了工人和设备，加快了速度，第三周修了2704 米，求该工程
队第二周、第三周平均每周的增长率．
（2）轨交五号线从西渡站到南桥新城站，行驶过程中的路程y（千米）与时间x（分钟）之间的
函数图象如图所示．请根据图象解决下列问题：
①求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；
②轨交五号线从西渡站到南桥新城站沿途经过奉浦站，如果它从西渡站到奉浦站的路程是4
千米，那么轨交五号
线从西渡站到奉浦站需要多少时间？
26．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P 是边AB 上的一个动点，以点
P 为圆心，PB 的长为半径画弧，交射线BC 于点D，射线PD 交射线AC 于点E．
（1）当点D 与点C 重合时，求PB 的长；
（2）当点E 在AC 的延长线上时，设PB=x，CE=y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△PAD 是直角三角形时，求PB 的长．
八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6 题，每题3 分，满分18 分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相
应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]
1．如果最简二次根式
与
是同类二次根式，那么x 的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】同类二次根式．
【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．
【解答】解：由最简二次根式
与
是同类二次根式，
得x+2=3x，
解得x=1．
故选：C．
2．下列代数式中，
+1 的一个有理化因式是（ ）
A．
B．
C．
+1
D．
﹣1
【考点】分母有理化．
【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不
含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
【解答】解：∵由平方差公式，（
）（
）=x
1
﹣，
∴
的有理化因式是
，
故选D．
3．如果关于x 的方程ax2
3x
﹣
+2=0 是一元二次方程，那么a 取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a≥0 C．a=1
D．a≠0
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
【解答】解：依题意得：a≠0．
故选：D．
4．下面说法正确的是（ ）
A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系
B．正方形的面积和它的边长成正比例关系
C．车辆所行驶的路程S 一定时，车轮的半径r 和车轮旋转的周数m 成反比例关系
D．水管每分钟流出的水量Q 一定时，流出的总水量y 和放水的时间x 成反比例关系
【考点】反比例函数的定义；正比例函数的定义．
【分析】分别利用反比例函数、正比例函数以及二次函数关系分别分析得出答案．
【解答】解：A、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误；
B、正方形的面积和它的边长是二次函数关系，故此选项错误；
C、车辆所行驶的路程S 一定时，车轮的半径r 和车轮旋转的周数m 成反比例关系，正确；
D、水管每分钟流出的水量Q 一定时，流出的总水量y 和放水的时间x 成正比例关系，故此选
项错误；
故选：C．
5．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
【考点】直角三角形全等的判定．
【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用边角边或HL 判定两三角形全等，不符合题意；
D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．
故选：A．
6．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CH、CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论正
确的是（ ）
A．CM=BC
B．CB=
AB C．∠ACM=30°
D．CH•AB=AC•BC
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】由△ABC 中，∠ACB=90°，利用勾股定理即可求得AB2=AC2+BC2；由△ABC 中，
∠ACB=90°，CH 是高，易证得△ACH∽△CHB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得
CH2=AH•HB；由△ABC 中，∠ACB=90°，CM 是斜边AB 上中线，根据直角三角形斜边的中
线等于斜边的一半，即可得CM=
AB．
【解答】解：△ABC 中，∠ACB=90°，CM 分别是斜边AB 上的中线，可得：CM=AM=MB，但不
能得出CM=BC，故A 错误；
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得CM=
AB，但不能得出CB=
AB，故
B 错误；
△ABC 中，∠ACB=90°，CH、CM 分别是斜边AB 上的高和中线，无法得出∠ACM=30°，故C
错误；
由△ABC 中，∠ACB=90°，利用勾股定理即可求得AB2=AC2+BC2；由△ABC 中，
∠ACB=90°，CH 是高，易证得△ACH∽△CHB，根据相似三角形的对应边成比例得出
CH•AB=AC•BC，故D 正确；
故选D
二、填空题（本题共12 小题，每小题2 分，满分24 分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填
写答案]
7．计算：
=
2
．
【考点】算术平方根．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即
=|a|．
【解答】解：
=
=2
．
故答案为2
．
8．计算：
=
2a
．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先化简二次根式，再作加法计算．
【解答】解：原式=a+a=2a，故答案为：2a．
9．如果关于x 的一元二次方程x2+4x
m=0
﹣
没有实数根，那么m 的取值范围是
m ＜
﹣
4
．
【考点】根的判别式．
【分析】根据关于x 的一元二次方程x2+4x
m=0
﹣
没有实数根，得出△=16
4
﹣（﹣m）＜0，从而
求出m 的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x
m=0
﹣
没有实数根，
∴△=16
4
﹣（﹣m）＜0，
∴m＜﹣4，
故答案为m＜﹣4．
10．在实数范围内分解因式x2
4x
1=
﹣
﹣
（
x
2
﹣
+
）（
x
2
﹣﹣
） ．
【考点】实数范围内分解因式．
【分析】根据完全平方公式配方，然后再把5 写成（
）2利用平方差公式继续分解因式．
【解答】解：原式=x2
4x
﹣
+4
5
﹣
=（x
2
﹣）2
5
﹣
=（x
2
﹣+
）（x
2
﹣﹣
）．
故答案为：（x
2
﹣+
）（x
2
﹣﹣
）．
11．函数
的定义域是
x ＞
﹣
2
．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，求解即可．
【解答】解：由题意得：
＞0，
即：x+2＞0，
解得：x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
12．如果正比例函数y=（k
3
﹣）x 的图象经过第一、三象限，那么k 的取值范围是
k ＞
3
．
【考点】正比例函数的性质．
【分析】根据正比例函数y=（k
3
﹣）x 的图象经过第一、三象限得出k 的取值范围即可．
【解答】解：因为正比例函数y=（k
3
﹣）x 的图象经过第一、三象限，
所以k
3
﹣＞0，
解得：k＞3，
故答案为：k＞3．
13．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是 周长相等的三角形是全等三角形 ．
【考点】命题与定理．
【分析】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形，
故答案为：周长相等的三角形是全等三角形、
14．经过已知点A 和点B 的圆的圆心的轨迹是 线段
AB
的垂直平分线
．
【考点】轨迹．
【分析】要求作经过已知点A 和点B 的圆的圆心，则圆心应满足到点A 和点B 的距离相等，
从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．
【解答】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A 和点B 的距离相等，即经过已知点A
和点B 的圆的圆心的轨迹是线段AB 的垂直平分线．
故答案为线段AB 的垂直平分线．
15．已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2），那么A、B 两点间的距离等于
．
【考点】两点间的距离公式．
【分析】根据两点间的距离公式，可以得到问题的答案．
【解答】解：∵直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2），
∴A、B 两点间的距离为：
=
．
故答案为
．
16．如果在四边形ABCD 中，∠B=60°，AB=BC=13，AD=12，DC=5，那么∠ADC=
90°
．
【考点】勾股定理的逆定理；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据等边三角形的判定得出△ABC 是等边三角形，求出AC=13，根据勾股定理的逆
定理推出即可．
【解答】解：连接AC，
∵∠B=60°，AB=BC=13，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC=13，
∵AD=12，CD=5，
∴AD2+CD2=AC2，
∴∠AC=90°，
故答案为：90°．
17．边长为5 的等边三角形的面积是
．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可以求得高线AD 的长度，根据三角形的面积公式
即可得出结果．
【解答】解：如图所示：作AD⊥BC 于D，
∵△ABC 是等边三角形，
∴D 为BC 的中点，BD=DC=
，
在Rt△ABD 中，AB=5，BD=
，
∴AD=
=
=
，
∴等边△ABC 的面积=
BC•AD=
×5×
=
．
故答案为：
．
18．已知在△AOB 中，∠B=90°，AB=OB，点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（0，4），点B
在第一象限内，将这个三角形绕原点O 逆时针旋转75°后，那么旋转后点B 的坐标为 （
，
） ．
【考点】坐标与图形变化-旋转；解直角三角形．
【分析】易得△AOB 的等腰直角三角形，那么OB 的长为2
，绕原点O 逆时针旋转75°后，
那么点B 与y 轴正半轴组成30°的角，利用相应的三角函数可求得旋转后点B 的坐标．
【解答】解：∵∠B=90°，AB=OB，点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（0，4），
∴OA=4．
∴OB=2
，
∵将这个三角形绕原点O 逆时针旋转75°，
∴点B 与y 轴正半轴组成30°的角，
点B 的横坐标为﹣
，纵坐标为
．
∴旋转后点B 的坐标为（
，
）．
三、解答题（本大题共8 题，满分58 分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]
19．计算：
．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】根据二次根式的加减法，即可解答．
【解答】解：由题意，得 m＞0
原式=
=
20．解方程：（x﹣
）2+4
x=0．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】利用完全平方公式把原方程变形，根据二次根式的加减法法则整理，解方程即可．
【解答】解：
，
，
，
，
所以原方程的解是：
．
21．已知关于x 的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m
2
﹣）2=0 有一个根为0，求这个方程根的判
别式的值．
【考点】整式的加减—化简求值．
【分析】首先根据x 的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m
2
﹣）2=0 有一个根为0，可得（m
2
﹣）
2=0，据此求出m 的值是多少；然后根据△=b2
4ac
﹣
，求出这个方程根的判别式的值是多少即
可．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m
2
﹣）2=0 有一个根为0，
∴（m
2
﹣）2=0，
解得m=2，
∴原方程是x2+5x=0，
∴△=b2
4ac
﹣
=52
4
﹣×1×0
=25
∴这个方程根的判别式的值是25．
22．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，点D 在边AC 上，且点D 到边AB 和
边BC 的距离相等．
（1）作图：在AC 上求作点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求CD 的长．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【分析】（1）直接利用角平分线的做法得出符合题意的图形；
（2）直接利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质得出BC=BE，进而得出DC 的长．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）过点D 作DE⊥AB，垂足为点E，
∵点D 到边AB 和边BC 的距离相等，
∴BD 平分∠ABC．（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
在Rt△CBD 和Rt△EBD 中，
∴Rt△CBD≌Rt△EBD（HL），
∴BC=BE．
∵在△ABC 中，∠C=90°，
∴AB2=BC2+AC2．（勾股定理）
∵AC=6cm，AB=10cm，
∴BC=8cm．
∴AE=10
8=2cm
﹣
．
设DC=DE=x，
∵AC=6cm，
∴AD=6
x
﹣．
∵在△ADE 中，∠AED=90°，
∴AD2=AE2+DE2．（勾股定理）
∴（6
x
﹣）2=22+x2．
解得：
．
即CD 的长是
．
23．如图，在直角坐标系xOy 中，反比例函数图象与直线y=
x 相交于横坐标为2 的点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点B 在直线y=
x 上，点C 在反比例函数图象上，BC∥x 轴，BC=3，且BC 在点A 上
方，求点B 的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把x=2 代入y=
x 得出点A 坐标，从而求得反比例函数的解析式；
（2）设点C（
，m），根据BC∥x 轴，得点B（2m，m），再由BC=3，列出方程求得m，检验得出
答案．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=
（k≠0），
∵横坐标为2 的点A 在直线y=
x 上，∴点A 的坐标为（2，1），
∴1=
，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为
；
（2）设点C（
，m），则点B（2m，m），
∴BC=2m﹣
=3，
∴2m2
3m
2=0
﹣
﹣
，
∴m1=2，m2=﹣
，
m1=2，m2=﹣
都是方程的解，但m=﹣
不符合题意，
∴点B 的坐标为（4，2）．
24．如图，已知在△ABC 中，∠ABC=90°，点E 是AC 的中点，联结BE，过点C 作CD∥BE，且
∠ADC=90°，在DC 取点F，使DF=BE，分别联结BD、EF．
（1）求证：DE=BE；
（2）求证：EF 垂直平分BD．
【考点】直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质求出BE=DE，根据等腰三角形性质求出即
可；
（2）证出DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，证出∠BEF=∠DEF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E 是AC 的中点，
∴
，
．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴BE=DE．
（2）证明：∵CD∥BE，
∴∠BEF=∠DFE．
∵DF=BE，BE=DE，
∴DE=DF．
∴∠DEF=∠DFE．
∴∠BEF=∠DEF．
∴EF 垂直平分BD．（等腰三角形三线合一）
25．为改善奉贤交通状况，使奉贤区融入上海1 小时交通圈内，上海轨交5 号线南延伸工程于
2014 年启动，并将于2017 年年底通车．
（1）某施工队负责地铁沿线的修路工程，原计划每周修2000 米，但由于设备故障第一周少修
了20%，从第二周起工程队增加了工人和设备，加快了速度，第三周修了2704 米，求该工程
队第二周、第三周平均每周的增长率．
（2）轨交五号线从西渡站到南桥新城站，行驶过程中的路程y（千米）与时间x（分钟）之间的
函数图象如图所示．请根据图象解决下列问题：
①求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；
②轨交五号线从西渡站到南桥新城站沿途经过奉浦站，如果它从西渡站到奉浦站的路程是4
千米，那么轨交五号
线从西渡站到奉浦站需要多少时间？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【分析】（1）首先表示出第一周修的长度，进而利用结合求第二周、第三周平均每周的增长率，
得出等式求出答案；
（2）①直接利用待定系数法求出函数解析式，再利用图形得出x 的取值范围；
②当y=4 代入函数解析式进而求出答案．
【解答】解：（1）设该工程队第二周、第三周平均每周的增长率为x，
由题意，得 2000（1
20%
﹣
）（1+x）2=2704．
整理，得 （1+x）2=1.69．
解得 x1=0.3，x2=
2.3
﹣
．（不合题意，舍去）
答：该工程队第二周、第三周平均每周的增长率是30%．
（2）①由题意可知y 关于x 的函数关系式是y=kx（k≠0），
由图象经过点（10，12）得：12=10k，
解得：k=
．
∴y 关于x 的函数关系是：y=
x（0≤x≤10）；
②由题意可知y=4，
∴
，
解得：x=
，
答：五号线从西渡站到奉浦站需要
分钟．
26．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P 是边AB 上的一个动点，以点
P 为圆心，PB 的长为半径画弧，交射线BC 于点D，射线PD 交射线AC 于点E．
（1）当点D 与点C 重合时，求PB 的长；
（2）当点E 在AC 的延长线上时，设PB=x，CE=y，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△PAD 是直角三角形时，求PB 的长．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AC=
AB，根据等腰三角形的性质得到
∠PCB=∠B=30°，根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）由等腰三角形的性质得到∠PDB=∠B=30°，求得AE=AP，即可得到结论；
（3）①如图2，当点E 在AC 的延长线上时，求得∠PDA=90°，根据直角三角形的性质得到
PD=
AP，解方程得到x=
；②如图3，当点E 在AC 边上时，根据直角三角形的性质得到
AP=
PD．解方程得到x=
．
【解答】解：（1）如图1，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AC=
AB，
∵AC=2，
∴AB=4，
∵以点P 为圆心，PB 的长为半径画弧，交射线BC 于点D，点D 与点C 重合，
∴PD=PB，
∴∠PCB=∠B=30°，
∴∠APC=∠ACD=60°，
∴AP=AC=2，
∴BP=2；
（2）∵PD=PB，∠ABC=30°，
∴∠PDB=∠B=30°，
∴∠APE=60°，∠CDE=30°，
∵∠ACD=90°，
∴∠AEP=60°，
∴AE=AP，
∵PB=x，CE=y，
∴2+y=4
x
﹣，y=2
x
﹣．（0＜x＜2）；
（3）①如图2，当点E 在AC 的延长线上时，连接AD，
∵△PAD 是直角三角形，∠APD=60°，∠PAD＜60°，
∴∠PDA=90°，
∴∠PAD=30°．
∴PD=
AP，
即x=
（4
x
﹣），
∴x=
；
②如图3，当点E 在AC 边上时，连接AD
∵△PAD 是直角三角形，∠APD=60°，∠ADP＜60°，
∴∠PAD=90°，
∴∠PDA=30°．
∴AP=
PD．即4
x=
﹣
x，
∴x=
．
综上所述：当PB 的长是
或
时，△PAD 是直角三角形．
2016 年11 月25 日
