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二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
第1 课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质 [见A 本P18]
1．在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是( C )
A．y＝－x＋3 B．y＝
C．y＝2x D．y＝－2x2＋x－7
2．抛物线y＝x2－6x＋5 的顶点坐标为( A )
A．(3，－4) B．(3，4)
C．(－3，－4) D．(－3，4)
【解析】 ∵y＝x2－6x＋5＝x2－6x＋9－9＋5＝(x－3)2－4，∴抛物线y＝x2－6x＋5 的顶点坐标
是(3，－4)．故选A.
3．在二次函数y＝－x2＋2x＋1 的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是( A )
A．x<1 B．x>1
C．x<－1 D．x>－1
【解析】 ∵a＝－1＜0，
∴二次函数图象开口向下，
又对称轴是x＝1，
∴当x＜1 时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大．
故选A.
4．关于y＝－x2＋3x－的图象，下列说法不正确的是( B )
A．开口向下
B．对称轴是x＝－3
C．顶点坐标是(3，2)
D．顶点是抛物线的最高点
【解析】 a＝－＜0，开口向下，故A 正确；对称轴为x＝－＝－＝3，故B 不正确；当x＝3 时，y
最大值＝－×32＋3×3－＝2，故顶点坐标为(3，2)，C 正确；D 正确．
5．下列关于二次函数的说法错误的是( B )
A．抛物线y＝－2x2＋3x＋1 的对称轴是x＝
B．点A(3，0)不在抛物线y＝x2－2x－3 的图象上
C．二次函数y＝(x＋2)2－2 的顶点坐标是(－2，－2)
D．二次函数y＝2x2＋4x－3 的图象的最低点是(－1，－5)
6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y＝2x2－4x＋3 先向右平移3 个单位长度，再向上平移2
个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是( D )
A．(－2，3) B．(－1，4)
C．(1，4) D．(4，3)
7．抛物线y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移2 个单位再向下平移3 个单位，所得图象的解析式为
y＝x2－2x－3，则b，c 的值为( B )
A．b＝2，c＝2
B．b＝2，c＝0
C．b＝－2，c＝－1
D．b＝－3，c＝2
【解析】 把抛物线y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4 向左平移2 个单位再向上平移3 个单位得到y＝
x2＋bx＋c，所以y＝(x－1)2－4 变为y＝(x－1＋2)2－4＋3，即y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，所以b＝
2，c＝0，选B.
8．[2013·襄阳]二次函数的图形如图22－1－25 所示：若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，
且x1<x2<1，则y1与y2的大小关系是( B )
图22－1－25
A．y1≤y2 B．y1<y2
C．y1≥y2 D．y1>y2
【解析】 ∵a＜0，x1＜x2＜1，
∴y 随x 的增大而增大
∴y1＜y2.
故选B.
9．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中，图象通过平移可以得到函数y
＝x2＋2x－3 的图象的有__①③__(填写所有正确选项的序号)．
【解析】 原式可化为y＝(x＋1)2－4，由函数图象平移的法则可知，将函数y＝x2的图象先向左
平移1 个单位，再向下平移4 个单位即可得到函数y＝(x＋1)2－4，的图象，故①正确；函数y
＝(x＋1)2－4 的图象开口向上，函数y＝－x2的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错
误；将y＝(x－1)2＋2 的图象向左平移2 个单位，再向下平移6 个单位即可得到函数y＝(x＋
1)2－4 的图象，故③正确．
10．用配方法将二次函数y＝－x2－x＋化成y＝a(x－h)2＋k 的形式为__y ＝－
( x ＋
1)
2 ＋
2 __；它
的开口向__下__，对称轴是__x ＝－
1 __，顶点坐标是__( －
1 ，
2 ) __．
【解析】 y＝－x2－x＋＝－(x2＋2x－3)＝－[(x＋1)2－4]＝－(x＋1)2＋2.a＝－＜0，它的图象开
口向下，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1，2)．
11．y＝2x2－bx＋3 的对称轴是x＝1，则b 的值为__4__．
【解析】 由对称轴公式得－ ＝1，解得b＝4.
12．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及当x 为何值时，y 值最大(小)．
(1)y＝－2x2－8x＋8;
(2)y＝5x2＋6x＋7；
(3)y＝3x2－4x;
(4)y＝－2x2＋5.
解：(1)y＝－2(x2＋4x－4)
＝－2(x2＋4x＋4－8)
＝－2(x＋2)2＋16.
a＝－2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x＝－2，顶点坐标为(－2，16)．当x＝－2 时，y 有最大
值．
(2)∵a＝5，b＝6，c＝7，
∴－＝－＝－0.6，
＝＝＝＝5.2.
抛物线开口向上，对称轴为x＝－0.6，顶点坐标为(－0.6，5.2)．当x＝－0.6 时，y 有最小值．
(3)y＝3＝3
＝3－.
抛物线开口向上，对称轴为x＝，顶点坐标为.当x＝时，y 有最小值．
(4)抛物线开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，5)，当x＝0 时，y 有最大值．
13．已知二次函数y＝－x2－7x＋，若自变量x 分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函
数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( A )
A．y1＞y2＞y3
B．y1＜y2＜y3
C．y2＞y3＞y1
D．y2＜y3＜y1
【解析】 ∵二次函数y＝－x2－7x＋的对称轴为x＝－＝－＝－7.
∵0＜x1＜x2＜x3，
∴三点都在对称轴右侧，又∵a＜0，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，
∴y1＞y2＞y3.
14．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx 的对
称轴为( C )
A．直线x＝1 B．直线x＝－2
C．直线x＝－1 D．直线x＝－4
【解析】 ∵一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，
∴－2a＋b＝0，即b＝2a，
∴抛物线y＝ax2＋bx 的对称轴为直线x＝－＝－1.故选C.
15．已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.
(1)该抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________；
(2)选取适当的数据填入下表，并在图22－1－26 的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x
……
y
……
(3)若该抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．
图22－1－26
解：(1)x＝1，(1，3)；
(2)填表如下：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
－1
2
3
2
－1
…
抛物线的图象如图所示．
(3)因为在对称轴x＝1 的右侧，y 随x 的增大而减小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2.
图22－1－27
16．如图22－1－27，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2 的正方形OABC 的顶点A，C 分别
在x 轴，y 轴的正半轴上，二次函数y＝－x2＋bx＋c 的图象经过B，C 两点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：当y＞0 时x 的取值范围．
解：(1)由题意，得C(0，2)，B(2，2)，
∴∴
∴该二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋2.
(2)令－x2＋x＋2＝0，得x1＝－1，x2＝3，
∴当y＞0 时，－1<x<3.
图22－1－28
17．如图22－1－28，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c 经过A(－2，－4)，O(0，0)，
B(2，0)三点．
(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c 的解析式；
(2)若点M 是抛物线对称轴上一点，求AM＋OM 的最小值．
解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点代入y＝ax2＋bx＋c 中，得
解这个方程组，得a＝－，b＝1，c＝0，
所以抛物线解析式为y＝－x2＋x.
(2)如图，由y＝－x2＋x＝－(x－1)2＋，可得抛物线的对称轴为x＝1，并且对称垂直平分线段
OB，
所以OM＝BM，OM＋AM＝BM＋AM.
连接AB 交直线x＝1 于M，则此时OM＋AM 最小．
过A 点作AN⊥x 轴于点N，
在Rt△ABN 中，AB＝＝＝4，因此AM＋OM 的最小值为4.
18．在平面直角坐标系中，如图(1)，将n 个边长为1 的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边
OA 和OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上，设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过矩形顶点B，C.
(1)当n＝1 时，如果a＝－1，试求b 的值；
(2)当n＝2 时，如图(2)，在矩形OABC 上方作一边长为1 的正方形EFMN，使EF 在线段CB
上，如果M，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式．
(1) (2)
图22－1－29
解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝，∴－＝，解得b＝1；(2)因为抛物线过C(0，
1)，所以c＝1，故可设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋1，
由对称性可知抛物线经过点B(2，1)和点M，
∴解得
∴所求抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋1.
第2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式
[见B 本P18]
1．过(－1，0)，(3，0)，(1，2)三点的抛物线的顶点坐标为( A )
A．(1，2) B.
C．(－1，5) D.
【解析】 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，则
解得
∴y＝－x2＋x＋＝－(x2－2x－3)
＝－[(x2－2x＋1)－4]＝－[(x－1)2－4]
＝－(x－1)2＋2，顶点为(1，2)．故选A.
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c 图象上部分点的坐标满足下表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…
则该函数图象的顶点坐标为( B )
A．(－3，－3) B．(－2，－2)
C．(－1，－3) D．(0，－6)
【解析】 ∵x＝－3 和－1 时的函数值都是－3 相等，
∴二次函数的对称轴为直线x＝－2，
∴顶点坐标为(－2，－2)．
故选B.
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则
抛物线的解析式为( D )
A．y＝－2x2－x＋3
B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8
D．y＝－2x2＋4x＋6
【解析】 依题意，得
解得a＝－2，b＝4，c＝6，
∴y＝－2x2＋4x＋6，故选D.
4．抛物线的形状、开口方向与y＝x2－4x＋3 相同，顶点为(－2，1)，则该抛物线的解析式为(
C )
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x－2)2－1
C．y＝(x＋2)2＋1 D．y＝(x＋2)2－1
【解析】 依题意得a＝，可得该抛物线的解析式为y＝(x＋2)2＋1，故选C.
5．抛物线y＝2x2＋bx＋c 的顶点坐标是(1，－2)，则b＝__－
4 __，c＝__0__．
【解析】 依题意得y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x，所以b＝－4，c＝0.
6．已知点A(1，2)，B(－2，5)，试写出一个二次函数，使它的图象经过A，B 两点，则此二次函数
可为__y ＝
x 2 ＋
1(
答案不唯一
) __．
【解析】 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则∴
解得∴y＝ax2＋(a－1)x＋3－2a.
取a≠0 的数即可，如当a＝1 时，y＝x2＋1.
7．如图22－1－30，已知二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象经过点A(－1，0)，B(1，－2)，该图象与
x 轴的另一个交点为C，则AC 长为__3__．
【解析】 依题意得解得所以y＝x2－x－2，令x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，所以AC 长为
3.
图22－1－30
图22－1－31
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图22－1－31 所示．
(1)这个二次函数的解析式是__y ＝
x 2 －
2 x __；
(2)当x＝__3 或－
1 __时，y＝3.
【解析】 (1)由抛物线过点(0，0)，(1，－1)，(2，0)，
则解得a＝1，b＝－2，c＝0，∴y＝x2－2x.
(2)当x2－2x＝3 时，解得x1＝3，x2＝－1，
所以当x＝3 或－1 时，y＝3.
9．抛物线y＝ax2＋bx＋c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中正确的是__①③④__．(填写序号)
①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；
②函数y＝ax2＋bx＋c 的最大值为6；
③抛物线的对称轴是x＝；
④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．
【解析】 从表中取出三个点代入y＝ax2＋bx＋c，求出函数解析式，进行判断．
10．已知抛物线的顶点为(1，－1)，且过点(2，1)，求这个函数的解析式．
解：设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－1，
把点(2，1)代入解析式得：a－1＝1，
解得a＝2，
∴这个函数的解析式为y＝2(x－1)2－1.
11．根据下列条件，求二次函数的解析式：
(1)图象的顶点为(2，3)，且过点(3，1)；
(2)图象经过点(1，－2)，(0，－1)，(－2，－11)．
解：(1)设函数的解析式是y＝a(x－2)2＋3，代入点(3，1)得：a＝－2，
则函数的解析式是：y＝－2(x－2)2＋3；
(2)设函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c.根据题意得：
解得
则函数的解析式是：y＝－2x2＋x－1.
12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c 的对称轴为x＝2，且经过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线对应
的解析式及顶点坐标．
解：根据题意，得：
解得
∴此抛物线对应的解析式y＝－x2＋2x＋，
即y＝－(x－2)2＋，∴顶点坐标为.
13．当k 分别取－1，1，2 时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k 都有最大值吗？请写出你的判断，
并说明理由；若有，请求出最大值．
解：∵当k＝1 时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k 没有最大值；
当k≠1 时，当函数图象开口向下时函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k 有最大值，∴k－1＜0，解得k
＜1，
∴当k＝－1 时函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k 有最大值，此时函数解析式为y＝－2x2－4x＋6＝
－2(x＋1)2＋8，且最大值为8.
图22－1－32
14．如图22－1－32，二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象交x 轴于A(－1，0)，B(2，0)两点，交y 轴
于点C(0，－2)，过点A，C 画直线．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P 在x 轴正半轴上，且PA＝PC，求OP 的长．
解：(1)设该二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，
将x＝0，y＝－2 代入，得－2＝a(0＋1)(0－2)，
解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－2)，
即y＝x2－x－2.
(2)设OP＝x，则PC＝PA＝x＋1，
在Rt△POC 中，由勾股定理，得x2＋22＝(x＋1)2，
解得x＝，即OP＝.
图22－1－33
15．如图22－1－33，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x 轴交于A，B 两点，且A 点坐标为(－
3，0)，经过B 点的直线交抛物线于点D(－2，－3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线BD 的解析式．
解：(1)将A(－3，0)，D(－2，－3)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得
解得
∴y＝x2＋2x－3.
(2)由x2＋2x－3＝0，得 x1＝－3，x2＝1，
∴B 的坐标是(1，0)．
设直线BD 的解析式为y＝kx＋b，则
解得
∴直线BD 的解析式为y＝x－1.
图22－1－34
16．如图22－1－34，已知二次函数y＝x2＋bx＋c 过点A(1，0)，C(0，－3)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．
解：(1)∵二次函数y＝x2＋bx＋c 过点A(1，0)，c(0，－3)，
∴
解得
∴二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3；
(2)∵当y＝0 时，x2＋2x－3＝0，
解得：x1＝－3，x2＝1；
∴A(1，0)，B(－3，0)，
∴AB＝4，
设P(m，n)，
∵△ABP 的面积为10，
∴AB·|n|＝10，
解得：n＝±5，
当n＝5 时，m2＋2m－3＝5，
解得：m＝－4 或2，
∴点P 坐标为(－4，5)或(2，5)；
当n＝－5 时，m2＋2m－3＝－5，
方程无解，
故点P 坐标为(－4，5)或(2，5)．
