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湖北省襄阳市宜城市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分.）
1．（3 分）已知关于x 的方程x2+3x+a=0 有一个根为﹣2，则a 的值为（ ）
A．5 B．2 C．﹣2
D．﹣5
2．（3 分）已知关于x 的一元二次方程x2+2x﹣（m
2
﹣）=0 有实数根，则m 的取值范围是
（ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
3．（3 分）二次函数y=x2
2x
﹣
+4 化为y=a（x
h
﹣）2+k 的形式，下列正确的是（ ）
A．y=（x
1
﹣）2+2 B．y=（x
2
﹣）2+4 C．y=（x
2
﹣）2+2 D．y=（x
1
﹣）2+3
4．（3 分）有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45 场，每两队之间都比赛两场，则下列方程中
符合题意的是（ ）
A．x（x
1
﹣）=45 B． x（x+1）=45 C． x（x
1
﹣）=45D．x（x+1）=45
5．（3 分）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3 分）抛物线y=x2+2x+3 的对称轴是（ ）
A．直线x=1 B．直线x=
1
﹣
C．直线x=
2
﹣
D．直线x=2
7．（3 分）如图，在⊙O 中，
=
，∠AOB=44°，则∠ADC 的度数是（ ）
A．44°
B．34°
C．22°
D．12°
8．（3 分）如图，在正方形ABCD 中，△ABE 经旋转，可与△CBF 重合，AE 的延长线交FC 于
点M，以下结论正确的是（ ）
A．AM⊥FC B．BF⊥CF
C．BE=CE
D．FM=MC
9．（3 分）如图，⊙O 的半径为2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC 与
∠BOC 互补，则弦BC 的长为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．
10．（3 分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有5 个小题，每小题3 分，共15 分.）
11．（3 分）一元二次方程x2+3x
4=0
﹣
的两根分别为 ．
12．
（3 分）已知x1，x2是关于x 的方程x2+ax
2b=0
﹣
的两实数根，且x1+x2=
2
﹣，x1•x2=1，则a+b
的值是 ．
13．（3 分）已知二次函数y= （x
1
﹣）2+4，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是 ．
14．（3 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠DAB=120°，连接OC，点P 是半径OC 上任意
一点，连接DP，BP，则∠BPD 可能为 度（写出一个即可）．
15．（3 分）如图，Rt△OAB 的顶点A（﹣4，8）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB 绕点O 顺时针
旋转90°，得到△OCD，边CD 与该抛物线交于点P，则点P 的坐标为 ．
16．（3 分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E、F 分别是AB、BC 边上的点，且
∠EDF=45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=2，则FM 的长为 ．
三、解答题（本大题共9 个小题，计69 分.）
17．（6 分）先化简，再求值：（1﹣
）÷
﹣
，其中x2+x
2=0
﹣
．
18．（6 分）已知关于x 的一元二次方程x2
6x
﹣
+（2m+1）=0 有实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m 的取值范围．
19．（6 分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1 个单位长度，△ABC 的三个顶
点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC 向上平移1 个单位长度，再向右平移5 个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x 轴上存在一点P，满足点P 到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P 点的坐标．
20．（6 分）某地2014 年为做好“精准扶贫”，投入资金1280 万元用于异地安置，并规划投入
资金逐年增加．2016 年在2014 年的基础上增加投入资金1600 万元，从2014 年到2016 年，该
地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
21．（7 分）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由
长为30 米的篱笆围成．已知墙长为18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x
米．
（1）若苗圃园的面积为72 平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求
出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
22．（8 分）正方形ABCD 内接于⊙O，如图所示，在劣弧
上取一点E，连接DE、BE，过点D
作DF∥BE 交⊙O 于点F，连接BF、AF，且AF 与DE 相交于点G，求证：
（1）四边形EBFD 是矩形；
（2）DG=BE．
23．（10 分）某片果园有果树80 棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那
么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产
果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
24．
（10 分）如图，已知△ABC 是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D 是BC 边上的一点，
连接AD，线段AD 绕点A 顺时针旋转α 到AE，过点E 作BC 的平行线，交AB 于点F，连接
DE，BE，DF．
（1）求证：BE=CD；
（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE 的形状，并给出证明．
25．（13 分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两
坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax
2
﹣经过点B．
（1）求点B 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三
角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
湖北省襄阳市宜城市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分.）
1．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）已知关于x 的方程x2+3x+a=0 有一个根为﹣2，则a 的值为（
）
A．5 B．2 C．﹣2
D．﹣5
【分析】将x=
2
﹣代入方程x2+3x+a=0，得4
6
﹣+a=0，解之可得a 的值．
【解答】解：根据题意，将x=
2
﹣代入方程x2+3x+a=0，得：4
6
﹣+a=0，
解得：a=2，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解是解题的关键．
2．（3 分）（2016•自贡）已知关于x 的一元二次方程x2+2x﹣（m
2
﹣）=0 有实数根，则m 的取值
范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜1 C．m≥1 D．m≤1
【分析】根据关于x 的一元二次方程x2+2x﹣（m
2
﹣）=0 有实数根，可知△≥0，从而可以求得
m 的取值范围．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2+2x﹣（m
2
﹣）=0 有实数根，
∴△=b2
4ac=2
﹣
2
4
﹣×1×[﹣（m
2
﹣）]≥0，
解得m≥1，
故选C．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△≥0．
3．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）二次函数y=x2
2x
﹣
+4 化为y=a（x
h
﹣）2+k 的形式，下列正确
的是（ ）
A．y=（x
1
﹣）2+2 B．y=（x
2
﹣）2+4 C．y=（x
2
﹣）2+2 D．y=（x
1
﹣）2+3
【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：y=x2
2x
﹣
+4=（x2
2x
﹣
+1）+3，
=（x
1
﹣）2+3，
所以，y=（x
1
﹣）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．
4．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了45 场，每两队之间都比
赛两场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．x（x
1
﹣）=45 B． x（x+1）=45 C． x（x
1
﹣）=45D．x（x+1）=45
【分析】根据题意，可以明确列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
x（x
1
﹣）=45，
故选A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，本题是一道典型的双循环问题，解题的关
键是明确题意，列出相应的方程．
5．（3 分）（2013•黑龙江）下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称
图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是
要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
6．（3 分）（2016•南充）抛物线y=x2+2x+3 的对称轴是（ ）
A．直线x=1 B．直线x=
1
﹣
C．直线x=
2
﹣
D．直线x=2
【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．
【解答】解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=
1
﹣．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它的顶点坐标是（﹣
，
），对称轴为直线x=﹣
．
7．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）如图，在⊙O 中，
=
，∠AOB=44°，则∠ADC 的度数是（
）
A．44°
B．34°
C．22°
D．12°
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的
一半可得∠ADC=
∠AOB，进而可得答案．
【解答】解：∵在⊙O 中，
=
，∠AOB=44°，
∴∠ADC=22°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）如图，在正方形ABCD 中，△ABE 经旋转，可与△CBF 重合，
AE 的延长线交FC 于点M，以下结论正确的是（ ）
A．AM⊥FC B．BF⊥CF
C．BE=CE
D．FM=MC
【分析】依据旋转的性质可知∠BAE=∠BCF，然后可证明∠BFC+∠BAE=90°，从而可得到问
题的答案．
【解答】解：∵△ABE 经旋转，可与△CBF 重合，
∴∠BAE=∠BCF，∠ABE=∠CBF．
∴∠BCF+∠BFC=90°．
∴∠BFC+∠BAE=90°．
∴∠FMA=90°．
∴AM⊥FC．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质，证得∠BFC+∠BAE=90°是解题的关键．
9．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）如图，⊙O 的半径为2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接
OB、OC．若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．
【分析】作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：
∠DOC=
∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD 的长，根据勾股定
理得DC 的长，最后利用垂径定理得出结论．
【解答】解∵∠BAC 与∠BOC 互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC=
∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O 作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OB 平分∠BOC，
∴∠DOC=
∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°
60°=30°
﹣
，
在Rt△DOC 中，OC=2，
∴OD=1，
∴DC=
，
∴BC=2DC=2
，
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理及等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握垂径定理
是关键，本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的度数，从而得到△ODC 是
30°的直角三角形，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得到OD 的长，从而得出弦BC 的
长．
10．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在
同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b 的正负情况，从而
可以解答本题．
【解答】解：在A 中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项
A 错误；
在B 中，由一次函数图象可知a＞0，b＞0，二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项B 错误；
在C 中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项C 错误；
在D 中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0，二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项D 正确；
故选D．
【点评】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函
数的性质．
二、填空题（本大题有5 个小题，每小题3 分，共15 分.）
11．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）一元二次方程x2+3x
4=0
﹣
的两根分别为
1 和﹣
4
．
【分析】首先把方程左边分解因式，进而可得两个一元一次方程x+4=0 或x
1=0
﹣
，再解即可．
【解答】解：x2+3x
4=0
﹣
，
（x+4）（x
1
﹣）=0，
x+4=0 或x
1=0
﹣
，
解得：x1=
4
﹣，x2=1，
故答案为：1 和﹣4．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为
0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能
为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程
转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
12．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）已知x1，x2是关于x 的方程x2+ax
2b=0
﹣
的两实数根，且
x1+x2=
2
﹣，x1•x2=1，则a+b 的值是
．
【分析】由根与系数的关系结合x1+x2=
2
﹣、x1•x2=1，即可得出关于a、b 的一元一次方程，解方
程即可得出a、b 的值，将其代入a+b 即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是关于x 的方程x2+ax
2b=0
﹣
的两实数根，
∴x1+x2=
a=
2
﹣
﹣，x1•x2=
2b=1
﹣
，
∴a=2，b=﹣
，
∴a+b=2﹣
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系分别找出关于a、b 的一元一次方
程是解题的关键．
13．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）已知二次函数y= （x
1
﹣）2+4，若y 随x 的增大而增大，则
x 的取值范围是
x ＞
1
．
【分析】由解析式可求得抛物线的对称轴，再利用增减性可求得答案．
【解答】解：
∵y=
（x
1
﹣）2+4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，
∴当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，
故答案为：x＞1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣
h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
14．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠DAB=120°，连接OC，
点P 是半径OC 上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD 可能为
80
度（写出一个即可）．
【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB 的度数，根据圆周角定理求出
∠DOB 的度数，得到∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，进而可得答案．
【解答】解：连接OB、OD，
∵四边形ABCD 内接于⊙O，∠DAB=120°，
∴∠DCB=180°
120°=60°
﹣
，
由圆周角定理得，∠DOB=2∠DCB=120°，
∴∠DCB＜∠BPD＜∠DOB，即60°＜∠BPD＜120°，
∴∠BPD 可能为80°，
故答案为：80．
【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是
解题的关键．
15．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）如图，Rt△OAB 的顶点A（﹣4，8）在抛物线y=ax2上，将
Rt△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD 与该抛物线交于点P，则点P 的坐标为
（
2
，
4 ）
．
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，4），且DC∥x 轴，
从而求得P 的纵坐标为4，代入求得的解析式即可求得P 的坐标．
【解答】解：∵Rt△OAB 的顶点A（﹣4，8）在抛物线y=ax2上，
∴8=16a，解得a=
，
∴抛物线为y=
x2，
∵点A（﹣4，8），
∴B（﹣4，0），
∴OB=4，
∵将Rt△OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴D 点在y 轴上，且OD=OB=4，
∴D（0，4），
∵DC⊥OD，
∴DC∥x 轴，
∴P 点的纵坐标为4，
代入y=
x2，得4=
x2，
解得x=±2
，
∴P（2
，4）．
故答案为（2
，4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题
意求得P 的纵坐标是解题的关键．
16．（3 分）（2016 秋•宜城市期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E、F 分别是AB、BC
边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=2，则FM 的
长为
5
．
【分析】由旋转可得DE=DM，∠EDM 为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得
到∠MDF 为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS 可得出三角形DEF 与三角
形MDF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；则可得到AE=CM=2，正方形的边
长为6，用AB
AE
﹣
求出EB 的长，再由BC+CM 求出BM 的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM
FM=BM
EF=8
x
﹣
﹣
﹣，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的
解得到x 的值，即为FM 的长．
【解答】解：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M 三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF 和△DMF 中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=2，且BC=6，
∴BM=BC+CM=8，
∴BF=BM
MF=BM
EF=8
x
﹣
﹣
﹣，
∵EB=AB
AE=4
﹣
，
在Rt△EBF 中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即42+（8
x
﹣）2=x2，
解得：x=5，
∴FM=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的
综合应用．解题的关键是掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想
的应用．
三、解答题（本大题共9 个小题，计69 分.）
17．（6 分）（2016 秋•宜城市期中）先化简，再求值：（1﹣
）÷
﹣
，其中x2+x
2=0
﹣
．
【分析】先化简分式可得原式=
，再解方程可得x1=1，x2=
2
﹣（不合题意，舍去），代入
计算即可．
【解答】解：原式=
•
﹣
=
﹣
=
，
解方程x2+x
2=0
﹣
，得x1=1，x2=
2
﹣（不合题意，舍去），
∴原式=
=
．
【点评】本题主要考查分式的化简求值及解方程的能力，熟练掌握分式的运算顺序和法则及
解方程的方法是解题的关键．
18．（6 分）（2016•南充）已知关于x 的一元二次方程x2
6x
﹣
+（2m+1）=0 有实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m 的取值范围．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2
4
﹣（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20 得到2
（2m+1）+ 6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m 的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣6）2
4
﹣（2m+1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，
而2x1x2+x1+x2≥20，
所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，
而m≤4，
所以m 的范围为3≤m≤4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
x1+x2=﹣
，x1x2=
．也考查了根与系数的关系．
19．（6 分）（2016•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1 个单位长度，
△ABC 的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）画出将△ABC 向上平移1 个单位长度，再向右平移5 个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在x 轴上存在一点P，满足点P 到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P 点的坐标．
【分析】（1）分别将点A、B、C 向上平移1 个单位，再向右平移5 个单位，然后顺次连接；
（2）根据网格结构找出点A、B、C 以点O 为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次
连接即可；
（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x 轴的对称点A3，再连接A2A3与x 轴的交点
即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；
（2）如图所示，△A2B2O 为所求做的三角形；
（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4），
∴A2A3所在直线的解析式为：y=
5x
﹣
+16，
令y=0，则x=
，
∴P 点的坐标（
，0）．
【点评】本题考查了利用旋转和平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是
解题的关键．
20．（6 分）（2016 秋•宜城市期中）某地2014 年为做好“精准扶贫”，投入资金1280 万元用
于异地安置，并规划投入资金逐年增加．2016 年在2014 年的基础上增加投入资金1600 万元，
从2014 年到2016 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
【分析】设年平均增长率为x，根据：2014 年投入资金给×（1+增长率）2=2016 年投入资金，列
出方程组求解可得．
【解答】解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：1280（1+x）2=1280+1600，
解得：x=0.5 或x=
2.5
﹣
（舍），
答：从2014 年到2016 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程是解
题的关键．
21．（7 分）（2016 秋•宜城市期中）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中
一边靠墙，另外三边由长为30 米的篱笆围成．已知墙长为18 米（如图所示），设这个苗圃园
垂直于墙的一边长为x 米．
（1）若苗圃园的面积为72 平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求
出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据题意得方程求解即可；
（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数解析式y=x（30
2x
﹣
）=
2x
﹣
2+30x，根据二次
函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）根据题意得：（30
2x
﹣
）x=72，
解得：x=3 或x=12，
∵30
2x
﹣
≤18，
∴x≥6，
∴x=12；
（2）设苗圃园的面积为y，
∴y=x（30
2x
﹣
）=
2x
﹣
2+30x=
2
﹣（x﹣
）2+
，
∵a=
2
﹣＜0，
∴苗圃园的面积y 有最大值，
∴当x=
时，即平行于墙的一边长15＞8 米，y 最大=112.5 平方米；
∵6≤x≤11，
∴当x=11 时，y 最小=88 平方米．
【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的实际应用问题．解题的关键
是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
22．（8 分）（2016•潍坊）正方形ABCD 内接于⊙O，如图所示，在劣弧
上取一点E，连接
DE、BE，过点D 作DF∥BE 交⊙O 于点F，连接BF、AF，且AF 与DE 相交于点G，求证：
（1）四边形EBFD 是矩形；
（2）DG=BE．
【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出
∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；
（2）直接利用正方形的性质
的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD 内接于⊙O，
∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，
又∵DF∥BE，
∴∠EDF+∠BED=180°，
∴∠EDF=90°，
∴四边形EBFD 是矩形；
（2））∵正方形ABCD 内接于⊙O，
∴
的度数是90°，
∴∠AFD=45°，
又∵∠GDF=90°，
∴∠DGF=∠DFG=45°，
∴DG=DF，
又∵在矩形EBFD 中，BE=DF，
∴BE=DG．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及圆周角定理和矩形的判定等知识，正确应用正方
形的性质是解题关键．
23．（10 分）（2016•丹东）某片果园有果树80 棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如
果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果
园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
【分析】（1）函数的表达式为y=kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．
（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x 的值．
（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．
【解答】解：（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），
得
，
解得
，
∴该函数的表达式为y=
0.5x
﹣
+80，
（2）根据题意，得，
（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，
解得，x1=10，x2=70
∵投入成本最低．
∴x2=70 不满足题意，舍去．
∴增种果树10 棵时，果园可以收获果实6750 千克．
（3）根据题意，得
w=（﹣0.5x+80）（80+x）
=
0.5 x
﹣
2+40 x+6400
=
0.5
﹣
（x
40
﹣
）2+7200
∵a=
0.5
﹣
＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值
∴当x=40 时，w 最大值为7200 千克．
∴当增种果树40 棵时果园的最大产量是7200 千克．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟
练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
24．（10 分）（2014•莱芜）如图，已知△ABC 是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），D 是BC
边上的一点，连接AD，线段AD 绕点A 顺时针旋转α 到AE，过点E 作BC 的平行线，交AB
于点F，连接DE，BE，DF．
（1）求证：BE=CD；
（2）若AD⊥BC，试判断四边形BDFE 的形状，并给出证明．
【分析】（1）根据旋转可得∠BAE=∠CAD，从而SAS 证明△ACD≌△ABE，得出答案
BE=CD；
（2）由AD⊥BC，SAS 可得△ACD≌△ABE≌△ABD，得出BE=BD=CD，∠EBF=∠DBF，再
由EF∥BC，∠DBF=∠EFB，从而得出∠EBF=∠EFB，则EB=EF，证明得出四边形BDFE 为
菱形．
【解答】证明：（1）∵△ABC 是等腰三角形，顶角∠BAC=α（α＜60°），线段AD 绕点A 顺时针
旋转α 到AE，
∴AB=AC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ACD 和△ABE 中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴BE=CD；
（2）∵AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∴∠BAE=∠BAD，
在△ABD 和△ABE 中，
，
∴△ABD≌△ABE（SAS），
∴∠EBF=∠DBF，
∵EF∥BC，
∴∠DBF=∠EFB，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF，
∴BD=BE=EF=FD，
∴四边形BDFE 为菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及菱形的判定、旋转的性质．
25．
（13 分）
（2009•崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，
斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax
2
﹣经过点B．
（1）求点B 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三
角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意，过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B 到x、y
轴的距离，即B 的坐标；
（2）根据抛物线过B 点的坐标，可得a 的值，进而可得其解析式；
（3）首先假设存在，分A、C 是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．
【解答】解：（1）过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，（1 分）
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，（2 分）
∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3 分）
∴点B 的坐标为（﹣3，1）；（4 分）
（2）抛物线y=ax2+ax
2
﹣经过点B（﹣3，1），
则得到1=9a
3a
2
﹣
﹣，（5 分）
解得a=
，
所以抛物线的解析式为y=
x2+
x
2
﹣；（7 分）
（3）假设存在点P，使得△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C 为直角顶点；
则延长BC 至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8 分）
过点P1作P1M⊥x 轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，
∴△MP1C≌△DBC．（10 分）
∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11 分）
②若以点A 为直角顶点；
则过点A 作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12 分）
过点P2作P2N⊥y 轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13 分）
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14 分）
③以A 为直角顶点的等腰Rt△ACP 的顶点P 有两种情况．即过点A 作直线L⊥AC，在直线
L 上截取AP=AC 时，点P 可能在y 轴右侧，即现在解答情况②的点P2；
点P 也可能在y 轴左侧，即还有第③种情况的点P3．因此，然后过P3作P3G⊥y 轴于G，同理：
△AGP3≌△CAO，
∴GP3=OA=2，AG=OC=1，
∴P3为（﹣2，3）；
经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=
x2+
x
2
﹣上，点P3（﹣2，3）不在抛物线
上．（16 分）
【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力，综合性
强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
