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河南省三门峡市义马市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3 分，共24 分）
1．（3 分）关于x 的一元二次方程kx2+2x
1=0
﹣
有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（
）
A．k＞﹣1
B．k＞﹣1 且k≠0 C．k≠0 D．k≥﹣1
2．（3 分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2
7x
﹣
+10=0 的两根，则该等腰三角形的周
长是（ ）
A．12
B．9 C．13
D．12 或9
3．（3 分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．角
B．等边三角形
C．平行四边形
D．圆
4．（3 分）对于二次函数y=
x
﹣2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣
x1
2+2x1，y2=
x
﹣2
2+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和
（2，0）；④当0＜x＜2 时，y＞0．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3 分）如图，把ABC 经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC 上点P 的坐标为（x，y），
那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（ ）
A．（﹣x，y
2
﹣）B．
（﹣x，y+2）C．（﹣x+2，﹣y）D．（﹣x+2，y+2）
6．（3 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小
为（ ）
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
7．（3 分）如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上（不与A、C 重合），点D 在AC 的延长
线上，连接BD 交⊙O 于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A．DE=EB
B．
DE=EBC．
DE=DO
D．DE=OB
8．（3 分）若抛物线y=（x
m
﹣）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（ ）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1
D．﹣1＜m＜0
二、填空题（每小题3 分，共21 分）
9．（3 分）二次函数y=x2+4x+3 的图象的对称轴为 ．
10．（3 分）一元二次方程x2+4x
3=0
﹣
的两根为x1，x2，则x1•x2的值是 ．
11．（3 分）如图，在⊙O 中，弦AB=6，圆心O 到AB 的距离OC=2，则⊙O 的半径长为 ．
12．（3 分）如图，在△ABC 中，∠BAC=35°，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转50°，得到
△AB′C′，则∠B′AC 的度数是 ．
13．（3 分）如图，半径为5 的⊙A 中，弦BC、ED 所对的圆心角分别是∠BAC、∠EAD，已知
DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则圆心A 到弦BC 的距离等于 ．
14．（3 分）抛物线y=x2
2x
﹣
+3 向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度后，得到的
抛物线的解析式为 ．
15．（3 分）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC 与BD 互相平
分，则点D 关于坐标原点的对称点的坐标为 ．
三、解答题（8 个大题，共75 分）
16．（8 分）用适当的方法解下列方程
（1）x2+10x+16=0
（2）3x（x
1
﹣）=2（x
1
﹣）
17．（8 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1 个单位长度，Rt△ABC 的三个顶点A
（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C 的图形．
（2）平移△ABC，使点A 的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图
形．
（3）若将△A1B1C 绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
18．（9 分）如图，在直角△ABC 中，∠ABC=90°，点M 是AC 的中点，以AB 为直径作⊙O 分
别交AC，BM 于点D，E．
（1）求证：MD=ME；
（2）填空：连接OE，OD，当∠A 的度数为 时，四边形ODME 是菱形．
19．（10 分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2
2
﹣|x|的图象和性质进行了探究，探究过程
如下，请补充完整．
（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表：
x
…
﹣
3
﹣
2
﹣
1
0
1
2
3
…
y
…
3
m
﹣
1
0
﹣
1
0
3
…
其中m= ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画
出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象，写出2 条函数的性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x 轴有 个交点，所对应的方程x2
2
﹣|x|=0 有 个实数根；
②方程x2
2
﹣|x|=2 有 个实数根．
20．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，BD，CD 分别是过⊙O 上点B，C 的切线，且
∠BDC=120°，连接AC．
（1）求∠A 的度数；
（2）若点D 到BC 的距离为2，那么⊙O 的半径是多少？
21．（10 分）某地区2013 年投入教育经费2500 万元，2015 年投入教育经费3025 万元．
（1）求2013 年至2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016 年该地区将投入教育经费多少万元．
22．（10 分）问题与探索
问题情境：课堂上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图（1），将
一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△ACD．
操作发现：
（1）将图（1）中的△ACD 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如
图（2）所示的△AC′D，分别延长BC 和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是 ．
（2）创新小组将图（1）中的△ACD 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使
α=2∠BAC，得到如图（3）所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，
请证明这个结论．
23．（10 分）如图，抛物线y=ax2+bx
5
﹣（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x 轴的负半轴交于点B，
与y 轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连接AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD 的面积．
河南省三门峡市义马市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3 分，共24 分）
1．（3 分）（2016•吴中区一模）关于x 的一元二次方程kx2+2x
1=0
﹣
有两个不相等的实数根，
则k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1
B．k＞﹣1 且k≠0 C．k≠0 D．k≥﹣1
【分析】由方程kx2+2x
1=0
﹣
有两个不相等的实数根可得知b2
4ac
﹣
＞0，结合二次项系数不为
0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：由已知得：
，
解得：k＞﹣1 且k≠0．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是：结合二次项系数非
0 与根的判别式＞0 得出关于k 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题
型题目时，由根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
2．（3 分）（2015•广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2
7x
﹣
+10=0 的两根，则该等
腰三角形的周长是（ ）
A．12
B．9 C．13
D．12 或9
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】解：x2
7x
﹣
+10=0，
（x
2
﹣）（x
5
﹣）=0，
x
2=0
﹣
，x
5=0
﹣
，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，
关键是求出三角形的三边长．
3．（3 分）（2016•黄石模拟）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．角
B．等边三角形
C．平行四边形
D．圆
【分析】根据轴对称及中心对称的定义，结合选项所给图形的特点即可作出判断．
【解答】解：A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形不轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、圆既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．
4．（3 分）（2015•梅州）对于二次函数y=
x
﹣2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线
x=1；②设y1=
x
﹣1
2+2x1，y2=
x
﹣2
2+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x 轴的两个交
点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2 时，y＞0．其中正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x 轴交点坐标，进而结合二次函数性
质得出答案．
【解答】解：y=
x
﹣2+2x=﹣（x
1
﹣）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，正确；
②∵直线x=1 两旁部分增减性不一样，∴设y1=
x
﹣1
2+2x1，y2=
x
﹣2
2+2x2，则当x2＞x1时，有y2
＞y1或y2＜y1，错误；
③当y=0，则x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，
故它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），正确；
④∵a=
1
﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
∵它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），
∴当0＜x＜2 时，y＞0，正确．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和
其交点坐标是解题关键．
5．（3 分）（2014•牡丹江）如图，把ABC 经过一定的变换得到△A′B′C′，如果△ABC 上点P 的
坐标为（x，y），那么这个点在△A′B′C′中的对应点P′的坐标为（ ）
A．（﹣x，y
2
﹣）B．
（﹣x，y+2）C．（﹣x+2，﹣y）D．（﹣x+2，y+2）
【分析】先观察△ABC 和△A′B′C′得到把△ABC 向上平移2 个单位，再关于y 轴对称可得到
△A′B′C′，然后把点P（x，y）向上平移2 个单位，再关于y 轴对称得到点的坐标为（﹣x，y+2），
即为P′点的坐标．
【解答】解：∵把△ABC 向上平移2 个单位，再关于y 轴对称可得到△A′B′C′，
∴点P（x，y）的对应点P′的坐标为（﹣x，y+2）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的
特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
6．（3 分）（2016•兰州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若四边形ABCO 是平行四边形，则
∠ADC 的大小为（ ）
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
【分析】设∠ADC 的度数=α，∠ABC 的度数=β，由题意可得
，求出β 即可解
决问题．
【解答】解：设∠ADC 的度数=α，∠ABC 的度数=β；
∵四边形ABCO 是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC=
β，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴
，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C．
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
7．（3 分）（2016•杭州）如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上（不与A、C 重合），点D
在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E，若∠AOB=3∠ADB，则（ ）
A．DE=EB
B．
DE=EBC．
DE=DO
D．DE=OB
【分析】连接EO，只要证明∠D=∠EOD 即可解决问题．
【解答】解：连接EO．
∵OB=OE，
∴∠B=∠OEB，
∵∠OEB=∠D+∠DOE，∠AOB=3∠D，
∴∠B+∠D=3∠D，
∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D，
∴∠DOE=∠D，
∴ED=EO=OB，
故选D．
【点评】本题考查圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅助线，利用
等腰三角形的判定方法解决问题，属于中考常考题型．
8．（3 分）（2015•益阳）若抛物线y=（x
m
﹣）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m 的取值范围为（
）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1
D．﹣1＜m＜0
【分析】利用y=ax2+bx+c 的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点
的横坐标和纵坐标都大于0 列出不等式组．
【解答】解：由y=（x
m
﹣）2+（m+1）=x2
2mx
﹣
+（m2+m+1），
根据题意，
，
解不等式（1），得m＞0，
解不等式（2），得m＞﹣1；
所以不等式组的解集为m＞0．
故选B．
【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难
度较大．
二、填空题（每小题3 分，共21 分）
9．（3 分）（2016 秋•义马市期中）二次函数y=x2+4x+3 的图象的对称轴为
x=
2
﹣
．
【分析】把二次函数化成顶点式 即可求得答案．
【解答】解：∵二次函数y=x2+4x+3，
∴y=（x+2）2
1
﹣，
∴二次函数y=x2+4x+3 的图象的对称轴为：x=
2
﹣，
故答案为：x=
2
﹣．
【点评】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式y=a（x
h
﹣）2+k，顶点坐标为（h，k），对
称轴为直线x=h．
10．（3 分）（2016 秋•义马市期中）一元二次方程x2+4x
3=0
﹣
的两根为x1，x2，则x1•x2的值是
﹣
3
．
【分析】根据根与系数的关系即可得出x1•x2=
3
﹣，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x
3=0
﹣
的两根为x1，x2，
∴x1•x2=
3
﹣．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之积为
是解题的关键．
11．（3 分）（2016•长沙）如图，在⊙O 中，弦AB=6，圆心O 到AB 的距离OC=2，则⊙O 的半径
长为
．
【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA 即可．
【解答】解：∵弦AB=6，圆心O 到AB 的距离OC 为2，
∴AC=BC=3，∠ACO=90°，
由勾股定理得：OA=
=
=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解此题的关键是求出AC 和OA 的长，题目
比较好，难度适中．
12．（3 分）（2016 秋•义马市期中）如图，在△ABC 中，∠BAC=35°，将△ABC 绕点A 顺时针
方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC 的度数是
15°
．
【分析】先根据旋转的性质，求得∠BAB'的度数，再根据∠BAC=35°，求得∠B′AC 的度数即
可．
【解答】解：∵将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转50°得到△AB′C′，
∴∠BAB'=50°，
又∵∠BAC=35°，
∴∠B′AC=50°
35°=15°
﹣
．
故答案为：15°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋
转角．
13．（3 分）（2016 秋•义马市期中）如图，半径为5 的⊙A 中，弦BC、ED 所对的圆心角分别是
∠BAC、∠EAD，已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则圆心A 到弦BC 的距离等于
3
．
【分析】作AH⊥BC 于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，
然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理
得CH=BH，易得AH 为△CBF 的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=
BF=3．
【解答】解：作AH⊥BC 于H，作直径CF，连结BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴
=
，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
∵CA=AF，
∴AH 为△CBF 的中位线，
∴AH=
BF=3．
∴点A 到弦BC 的距离为：3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．
14．（3 分）（2016•高新区一模）抛物线y=x2
2x
﹣
+3 向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个
单位长度后，得到的抛物线的解析式为
y=x
2
8x
﹣
+ 20
．
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛
物线的解析式．
【解答】解：y=x2
2x
﹣
+3=（x
1
﹣）2+2，其顶点坐标为（1，2）．
向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度后的顶点坐标为（4，4），得到的抛物线的
解析式是y=（x
4
﹣）2+4=x2
8x
﹣
+20，
故答案为：y=x2
8x
﹣
+20．
【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加
下减．
15．（3 分）（2016•杭州）在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（0，1），C（3，1），若线段AC
与BD 互相平分，则点D 关于坐标原点的对称点的坐标为 （﹣
5 ，﹣
3 ）
．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出D 点坐标，进而利用关于原点对称点的性质得出答
案．
【解答】解：如图所示：∵A（2，3），B（0，1），C（3，1），线段AC 与BD 互相平分，
∴D 点坐标为：（5，3），
∴点D 关于坐标原点的对称点的坐标为：（﹣5，﹣3）．
故答案为：（﹣5，﹣3）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及关于原点对称点的性质，正确得出D 点坐标
是解题关键．
三、解答题（8 个大题，共75 分）
16．（8 分）（2016 秋•义马市期中）用适当的方法解下列方程
（1）x2+10x+16=0
（2）3x（x
1
﹣）=2（x
1
﹣）
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先移项得到3x（x
1
﹣）﹣2（x
1
﹣）=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x+2）（x+8）=0，
x+2=0 或x+8=0，
所以x1=
2
﹣，x2=
8
﹣；
（2）3x（x
1
﹣）﹣2（x
1
﹣）=0，
（x
1
﹣））（3x
2
﹣）=0，
3x
2=0
﹣
或x
1=0
﹣
，
所以x1=
，x2=1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通
过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得
到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元
一次方程的问题了（数学转化思想）．
17．（8 分）（2014•黑龙江）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1 个单位长度，Rt△ABC
的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C 的图形．
（2）平移△ABC，使点A 的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2的图
形．
（3）若将△A1B1C 绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）利用平移规律得出对应点位置，进而得出答案；
（3）利用旋转图形的性质，连接对应点，即可得出旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C 即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及图形的平移等知识，根据题意得出对应点坐标是解
题关键．
18．（9 分）（2016 秋•义马市期中）如图，在直角△ABC 中，∠ABC=90°，点M 是AC 的中点，
以AB 为直径作⊙O 分别交AC，BM 于点D，E．
（1）求证：MD=ME；
（2）填空：连接OE，OD，当∠A 的度数为
60°
时，四边形ODME 是菱形．
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线性质得MA=MB，则∠A=∠MBA，再利用圆内接
四边形的性质证明∠MDE=∠MED，于是得到MD=ME；
（2）先证明△OAD 和△OBE 为等边三角形，再证明四边形DOEM 为平行四边形，然后加上
OD=OE 可判断四边形ODME 是菱形．
【解答】解：（1）在Rt△ABC 中，点M 是AC 的中点，
∴MA=MB，
∴∠A=∠MBA；
∵四边形ABED 是圆内接四边形，
∴∠ADE+∠ABE=180°，
而∠ADE+∠MDE=180°，
∴∠MDE=∠MBA；
同理可得∠MED=∠A，
∴∠MDE=∠MED，
∴MD=ME；
（2）当∠A=60°时，
则∠ABM=60°，
∴△OAD 和△OBE 为等边三角形，
∴∠BOE=60°，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AC，
同理可得OD∥BM，
∴四边形DOEM 为平行四边形，
而OD=OE，
∴四边形ODME 是菱形．
故答案为60°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦
是直径．也考查了菱形的判定．
19．（10 分）（2016 秋•义马市期中）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2
2
﹣|x|的图象和性质
进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表：
x
…
﹣
3
﹣
2
﹣
1
0
1
2
3
…
y
…
3
m
﹣
1
0
﹣
1
0
3
…
其中m=
0
．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画
出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象，写出2 条函数的性质；
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x 轴有
3
个交点，所对应的方程x2
2
﹣|x|=0 有
3
个实数根；
②方程x2
2
﹣|x|=2 有
2
个实数根．
【分析】（1）将x=
2
﹣代入函数解析式中求出y 值，即可得出结论；
（2）根据表格数据，描点补充完图形；
（3）根据函数图象，寻找出对称轴以及函数的单调区间，此题得解；
（4）①观察函数图象，根据函数图象与x 轴有3 个交点，即可得出结论；②画出直线y=2，观
察图形，可得出函数y=x2
2
﹣|x|的图象与y=2 只有2 个交点，此题得解．
【解答】解：（1）当x=
2
﹣时，y=（﹣2）2
2
﹣×|
2
﹣|=0，
∴m=0，
故答案为：0．
（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图1 所示．
（3）观察函数图象，可得出：①函数图象关于y 轴对称，②当x＞1 时，y 随x 的增大而增大．
（4）①观察函数图象可知：当x=
2
﹣、0、2 时，y=0，
∴该函数图象与x 轴有3 个交点，
即对应的方程x2
2
﹣|x|=0 有3 个实数根．
故答案为：3；3．
②在图中作直线y=2，如图2 所示．
观察函数图象可知：函数y=x2
2
﹣|x|的图象与y=2 只有2 个交点．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形
结合解决问题是解题的关键．
20．（10 分）（2016 秋•义马市期中）如图，AB 是⊙O 的直径，BD，CD 分别是过⊙O 上点B，C
的切线，且∠BDC=120°，连接AC．
（1）求∠A 的度数；
（2）若点D 到BC 的距离为2，那么⊙O 的半径是多少？
【分析】（1）首先连接OC，由BD，CD 分别是过⊙O 上点B，C 的切线，可求得∠BOC 的度数，
然后由圆周角定理，求得答案；
（2）首先求得∠DCB 与∠DBC 的度数，然后过点D 作DE⊥BC，垂足为E，则DE=2，即可求
得BE 的长，继而求得BC 的长，然后由（1）可知△OBC 为等边三角形，即可求得答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵BD，CD 分别是过⊙O 上点B，C 的切线，
∴OC⊥CD，OB⊥BD，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∵∠BDC=120°，
∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=60°，
∴∠A=
∠BOC=30°；
（2）∵BD，CD 分别是过⊙O 上点B，C 的切线，
∴DC=DB，
∴∠DCB=∠DBC=
（180°
120°
﹣
）=30°，
过点D 作DE⊥BC，垂足为E，则DE=2，
∵∠DBC=30°，
∴BD=2DE=4，
在直角△DEB 中，
，
∴BC=2BE=
，
由（1）可知△OBC 为等边三角形，
∴OB=BC=
，
∴⊙O 的半径是
．
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及勾股定理等知识．注意准确作出辅助线是解
此题的关键．
21．（10 分）（2015•广州）某地区2013 年投入教育经费2500 万元，2015 年投入教育经费3025
万元．
（1）求2013 年至2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016 年该地区将投入教育经费多少万元．
【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014 年要投入教育经费是2500
（1+x）万元，在2014 年的基础上再增长x，就是2015 年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用（1）中求得的增长率来求2016 年该地区将投入教育经费．
【解答】解：设增长率为x，根据题意2014 年为2500（1+x）万元，2015 年为2500（1+x）2万元．
则2500（1+x）2=3025，
解得x=0.1=10%，或x=
2.1
﹣
（不合题意舍去）．
答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．
（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．
故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016 年该地区将投入教育经费3327.5 万元．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增
长后的量．
22．（10 分）（2016 秋•义马市期中）问题与探索
问题情境：课堂上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图（1），将
一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△ACD．
操作发现：
（1）将图（1）中的△ACD 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如
图（2）所示的△AC′D，分别延长BC 和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是 菱形 ．
（2）创新小组将图（1）中的△ACD 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使
α=2∠BAC，得到如图（3）所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，
请证明这个结论．
【分析】（1）结论：菱形．首先证明四边形ACEC′是平行四边形，再由AC=AC′即可证明结论．
（2）如图3 中，过点A 作AE⊥C′C 于点E，首先证明DC′∥CB，DC′=BC，推出四边形BCC′D
是平行四边形，再证明∠BCC′=900即可．
【解答】解：（1）结论：菱形．
理由：如图2 中，
由题意∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=∠CAC′=∠AC′D
∴AC′∥EC，
∵∠CAC′=∠AC′D，
∴AC∥EC′，
∴四边形ACEC′是平行四边形，
∵AC=AC′，
∴四边形ACEC′是菱形．
（2）如图3 中，过点A 作AE⊥C′C 于点E，
由旋转的性质，得AC′=AC，
∴∠CAE=∠C′AE=
α=∠ABC，∠AEC=90°，
∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC
∴∠CAE=∠BCA，
∴AE∥BC．
同理，AE∥DC′，
∴BC∥DC′，
又∵BC=DC′，
∴四边形BCC′D 是平行四边形，
又∵AE∥BC，∠AEC=90°，
∴∠BCC′=1800
90
﹣
0=900
∴四边形BCC′D 是矩形．
【点评】本题考查四边形综合题．矩形的判定和性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定
和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（10 分）（2016 秋•义马市期中）如图，抛物线y=ax2+bx
5
﹣（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x
轴的负半轴交于点B，与y 轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）连接AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD 的面积．
【分析】（1）由二次函数图象上点的作伴特征可求出点C 的坐标，结合OC=5OB 即可得出点
B 的坐标，根据点A、B 的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出点D 的坐标，连接AC，将四边形ABCD
分成两个三角形，再根据三角形的面积求出△ACB 和△ACD 的面积，将其相加即可得出结
论．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx
5
﹣（a≠0）与y 轴交于点C，
∴点C 的坐标为（0，﹣5），
∴OC=5，
∵OC=5OB，
∴OB=1．
又∵点B 在x 轴的负半轴上，
∴点B 的坐标为（﹣1，0）．
将A（4，﹣5），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx
5
﹣中，
得：
，解得：
，
∴这条抛物线的解析式是y=x2
4x
5
﹣
﹣．
（2）∵y=x2
4x
5=
﹣
﹣
（x
2
﹣）2
9
﹣，
∴顶点D 的坐标为（2，﹣9），
连接AC，如图所示．
∵A（4，﹣5），C（0，﹣5），
∴AC∥x 轴，
∴
，
，
∴四边形ABCD 的面积=10+8=18．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及三角形的面积，
根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
