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《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（基础）
【学习目标】
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、
45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；
2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的
度数；
3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两
个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；
4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，
体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定：
(1)sinA=
，这个比叫做∠A 的正弦.
(2)cosA=
，这个比叫做∠A 的余弦.
(3)tanA=
，这个比叫做∠A 的正切.
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大
小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)sinA、cosA、tanA 是一个整体符号，即表示∠A 三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，
但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写
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成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
(3)sin2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
(4)三角函数有时还可以表示成
等.
2.锐角三角函数的定义
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.
要点诠释：
1. 函数值的取值范围
对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA、
tanA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA、cosA、tanA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围
是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
2．锐角三角函数之间的关系：
余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，
那么：sinA=cosB； cosA=sinB；
同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=
3.30°、45°、60°角的三角函数值
∠A
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是
几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
要点二、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
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边边关系：勾股定理，即
；
边角关系：锐角三角函数，即
要点诠释：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因
此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
要点三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量
关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，
建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见应用问题
(1)坡度：
； 坡角:
.
(2)方位角：
(3)仰角与俯角：
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要点诠释：
1．解直角三角形的常见类型及解法
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由
求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由
求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系
转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问
题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
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用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角
形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.
如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
【典型例题】
类型一、锐角三角函数
1．(1)如图所示，P 是角α 的边上一点，且点P 的坐标为(-3，4)，则sinα＝( )．
A．
B．
C．
D．2
例1（1）图 例1（2）图
(2)在正方形网格中，∠AOB 如图所示放置，则cos∠AOB 的值为( )．
A.
B.
C.
D.2
【答案】(1)C； (2)A；
【解析】
(1)由图象知OA＝3，PA＝4，在Rt△PAO 中
．
∴
．所以选C．
(2)由格点三角形知如图中存在一个格点三有形Rt△OCD，且OC＝1，CD＝2，则OD
．
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因此
．所以选A．
【点评】两小题都没有出现现成的直角三角形．∠O 分别置于直角坐标系和正方形网格之中，通过观察图形，
构造含∠O 的直角三角形．
举一反三：
【变式】已知，如图，D 是
中BC 边的中点，
，
，求
．
A
B
C
D
【答案】
过D 作DE∥AB 交AC 于E，则∠ADE=∠BAD=90°，
由
，得
设AD=2k,AB =3k,
∵D 是
中BC 边的中点，∴DE =
在Rt△ADE 中，
类型二、 特殊角三角函数值的计算
2．先化简，再求代数式
的值，其中
．
【答案与解析】
原式
．
而
．
∴ 原式＝
．
【点评】 先进行分式化简，再由
得x 的值，最后代值求出结果．
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举一反三：
【变式】计算：tan230°＋cos230°－sin245°tan45°
【答案】原式=
=
=
类型三、 解直角三角形
3．如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，
，则下列结论正确的个（
）．
①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝
cm．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C；
【解析】由菱形的周长为20 cm 知菱形边长是5 cm．
在Rt△ADE 中，∵ AD＝5 cm，sin A＝
，∴ DE＝AD·sinA＝
(cm)．
∴
(cm)．
∴ BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)．
菱形的面积为AB·DE＝5×3＝15(cm2)．
在Rt△DEB 中，
(cm)．
综上所述①②③正确．故选C．
【点评】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用.
类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合
4．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D，E 是⊙O 上一点，
且∠AED＝45°．
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(1)试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由．
(2)若⊙O 的半径为3 cm，，AE＝5 cm．求∠ADE 的正弦值．
【思路点拨】
(1)连接OD，可证OD⊥CD，所以CD 与⊙O 相切；
(2)连接BE，则∠ADE＝∠ABE，所以sin∠ADE＝sin∠ABE＝
．
【答案与解析】
(1)CD 与⊙O 相切．
理由：如图所示，连接OD，
则∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°．
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB∥DC，
∴ ∠CDO＝∠AOD＝90°，
∴ OD⊥CD，∴CD 与⊙O 相切．
(2)如图所示，连接BE，则∠ADE＝∠ABE．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6(cm)．
在Rt△ABE 中，
．
∴sin∠ADE＝sin∠ABE
．
【点评】证明某直线是圆的切线，一般要连接过切点的半径，然后证明该半径与已知直线垂直．第(2)题通过
作辅助线BE，将问题巧妙转化为Rt△ABE 的边角关系．在圆的有关证明中若有直径，一般要利用
“直径所对的圆周角等于90°”这一性质构造直角三角形．
举一反三：
【变式】如图，C、D 是半圆O 上两点，
，求
和
．
A
B
C
D
E
O
【答案】如图，连结BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA，
∴
，cos∠CEB=
tan∠CEB=
类型五、三角函数与实际问题
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5．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80 海里的A 处，它沿正
南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的
距离(结果保留根号)．
【思路点拨】
由题意知△ABP 中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然
作PC⊥AB 交AB 于C．
【答案与解析】
过点P 作PC⊥AB 垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，
在Rt△APC 中，cos
PC
APC
PA
．
∴PC＝PA·cos∠APC＝40 3 ，
在Rt△PCB 中，cos
PC
BPC
PB
，
∴
40 3
40 6
cos
cos45
PC
PB
BPC
°
∴当轮船位于灯塔P 南偏东45°方向时，轮船与灯塔P 的距离是40 6 海里．
【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过75°(或105°)角的顶点向对边作垂线
是解决问题的关键．
6．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图所示是一辆自行车的实物图，车架档AC
与CD 的长分别为45cm，60cm，且它们相互垂直，座杆CE 的长为20cm，点A、C、E 在同一条直线上，且∠CAB＝
75°，如图所示．
(1)求车架档AD 的长；
(2)求车座点E 到车架档AB 的距离．
(结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.959，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321)
【思路点拨】
过E 作EF⊥AB 于F，在Rt△AEF 中，AE＝AC+CE＝65，∠CAB＝75°，利用sin 75
EF
AE
°
，
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可求EF．
【答案与解析】
(1)在Rt△ACD 中，
2
2
45
60
75
AD
∴车架档AD 的长为75cm．
(2)过点E 作EF⊥AB 于F，∴sin∠EAF＝EF
AE ，
∴ EF＝AE·sin∠EAF＝(45+20)·sin75°≈63cm，
∴ 车座点E 到车档架AB 的距离是63cm．
【点评】考查解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义.
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