22.1.4 二次函数
的图象和性质
知识点：1、二次函数
的对称轴为 ，顶点坐标为 ，它的最
高（低）点在 点，当
时，它有最大（小）值，值为 。
2、在抛物线
中，为抛物线与 交点的纵坐标。
当
时，图象开口 ，有最 点，且 时，
随的增大而增大，
时，
随的增大而减小；
当
时，图象开口 ，有最 点，且 时，
随的增大而增大，
时，
随的增大而减小；
3、抛物线
可由抛物线
进行左（右）、上（下）平移得到。
一、选择题：
1、抛物线
的顶点坐标为（ ）
A、（-2,3） B、（2,11） C、（-2,7） D、（2，-3）
2、若抛物线
与
轴交于点（0，-3），则下列说法不正确的是（ ）
A、抛物线开口方向向上 B、抛物线的对称轴是直线
C、当
时，
的最大值为-4 D、抛物线与轴的交点为（-1,0），（3,0）
3、要得到二次函数
的图象，需将
的图象（ ）
A、向左平移2 个单位，再向下平移2 个单位 B、向右平移2 个单位，再向上平移2 个单位
C、向左平移1 个单位，再向上平移1 个单位 D、向右平移1 个单位，再向下平移1 个单位
4、在平面直角坐标系中，若将抛物线
先向右平移3 个单位长度，再向上平移
2 个单位长度，则经过这两次平移后，所得到的抛物线的顶点坐标为（ ）
A、（-2,3） B、（-1,4） C、（1,4） D、（4,3）
5、抛物线
的图象向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位，所得图象的解析式
为
，则、的值为（ ）
A、
B、
C、
D、
6、二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设
t=a+b+1，则t 值的变化范围是（ ）
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜1
7、已知二次函数
的图象如图所示对称轴为x=
1
2
．下列
结论中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8、二次函数
的图像如图所示，反比列函数
与正比列函数
在同一
坐标系内的大致图像是（ ）
二、填空题：
1、抛物线
的开口方向向 ，对称轴是 ，最高点的坐标是
，函数值得最大值是 。
2、抛物线
变为
的形式，则
= 。
3、抛物线
的最高点为（-1，-3），则
。
4、若二次函数
的图象经过点（-1,0），（1，-2），当
随的增大而增大时，的取
值范围是 。
5、把抛物线
先向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位，所得抛物线解析式
为
，则
= 。
6、在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3 先向右平移3 个单位长度，再向上平移2 个
单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 。
7、抛物线
（
）的对称轴为直线
,且经过点（—1，
），（2，
）
则试比较
与
的大小：
（填“>”“<”或“=”）。
8、已知二次函数y=
1
2
x2-7x+15
2
，若自变量x 分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的
函数值y1，y2，y3的大小关系是 （用“<”连接）。
9 、二次函数
的图象关于原点O （0, 0 ）对称的图象的解析式是
_________________。
10、已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别
为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；
④8a+c＞0．其中正确的有 。
三、解答题：
O
x
y
O
y
x
A
O
y
x
B
O
y
x
D
O
y
x
C
1、已知抛物线
的对称轴为
，且经过点（1,4）和（5,0），试求该抛物线的表
达式。
2、如图，抛物线
与轴交于点A、B，与
轴交于点C，点O 为坐标原点，点D
为抛物线顶点，点E 在抛物线上，点F 在轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF=2，EF=3
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）求
的面积。
3、如图所示，二次函数y=-x2+2x+m 的图象与x 轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且
与y 轴交于点C．
（1）求m 的值；
（2）求点B 的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD=S△ABC，求点D 的坐标．
4、如图，抛物线
c
bx
x
y
2
与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的
周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
5、如图，已知二次函数
的图象的顶点为
．二次函数
的图象与
轴交于原点
及另一点
，它的顶点
在函数
的图象的对称轴上．
A
B
C
（1）求点
与点
的坐标；
（2）当四边形
为菱形时，求函数
的关系式．
22.1.4 二次函数
)
0
(
)
(
2
a
k
h
x
a
y
的图像和性质
一、理解新知
1、直线x=h （h，k） 2、相同 不同 向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位；
向右平移h 个单位，再向下平移|k|个单位；向左平移|h|个单位，再向上平移k 个单位；
向左平移|h|个单位，再向下平移|k|个单位。
3、上 减 增 低；下 增 减 高
二、知识巩固练习：
（一）选择：
1、B 2、C 3、B 4、D 5、C 6、C 7、C 8、C
（二）填空：
1、直线x=-3 （-3，-1） <-3 >-3 大 -1
2、>0 <0 3、> 4、
2
x
5、18
6、右 3 上 1 7、
2
)
2
(
2
x
y
8、
1
)1
(
2
2
x
y
1
)1
(
2
2
x
y
9、
3
1
3 -2 10、①
（三）解答：
5
)1
(
4
3
4
3
2
5
)1
1(
2
1
5
)1
(
5
1
1
2
2
2
x
y
a
a
x
a
y
）
，
图象过点（
又
设二次函数的解析式为
）
，
（
二次函数的图象顶点为
、解：
3
)
2
(
2
2
1
3
)
2
1(
1
1
3
)
2
(
3
2
2
2
2
2
x
y
a
a
x
a
y
y
x
）
，
抛物线过点（
又
设抛物线解析式为
取得最大值
时函数
、解：
4
9
4
3
4
9
4
3
0
3
4
9
,
:
)
0
,3
(
Q
4
9
0
P
1
PQ
0
1
0
3
Q
4
9
0
P
0
1
0
3
1
,3
0
3
1
4
3
0
4
9
3
4
3
0
3
3
1
)
2
(
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
0
2
1
2
min
x
y
b
k
b
k
b
b
x
k
y
l
x
x
x
x
y
y
x
y
x
y
x
PQ
解得
则
设
），
，
（
若
可分两种情况：
），所以直线
，
）或（
，
（
），
，
（
则
）
，
）或（
，
轴得交点为（
即与
解得
）
（
得
令
得
）令
（
时，
有最小值，当
对称轴为直线
）抛物线的开口向上，
、解：（
4
9
4
9
4
9
4
3
PQ
4
9
4
9
4
9
4
9
0
4
9
,
:
0
1
Q
4
9
0
P
2
2
2
2
2
2
2
2
0
x
y
x
y
x
y
b
k
b
k
b
b
x
k
y
lPQ
或
的解析式为
综上所述，直线
解得
则
设
）
，
（
），
，
（
若
顶点为原点
个单位即可实现抛物线
个单位，再向上平移
向左平移
）将抛物线
（
的增大而增大
随
时，
的增大而减小，当
随
时，
当
开口向上
抛物线对称轴为直线
解得
）
，
（
二次函数图象过点
又
设二次函数的解析式为
）
，
（
二次函数的图象顶点为
）
、解：（
4
1
4
)1
(
3
3
1
1
3
,1
)
2
(
)
4
1
(
1
0
4
)1
3
(
0
3
B
4
)1
(
4
1
A
1
4
2
2
2
2
x
y
x
y
x
x
y
x
x
x
y
a
a
x
a
y
）
，
）或（
，
，坐标为（
存在合适的点
，解得
则
的图象上
在
点
又
即
同底，且
与
解得
得
令
）
，
（
的顶点为
抛物线解析式为
）
、解：（
5
2
5
4
P
2
,4
5
4
)1
(
,5
4
4
)1
(
P
5
5
4
4
5
4
5
S
4
5
S
)
2
(
)
0,3
(
),
0,1
(
1
,3
0
4
)1
(
0
4
)1
(
4
1
M
)
(
1
5
2
1
2
2
MAB
PAB
2
1
2
2
2
x
x
x
y
y
x
y
y
y
y
MAB
PAB
B
A
x
x
x
y
x
y
k
m
x
y
P
P
P
M
P
22.1.4 二次函数
)
0
(
2
a
c
bx
ax
y
的图象和性质
一、理解新知
1、直线
a
b
x
2
（
a
b
ac
a
b
4
4
2
2
，
） 顶
a
b
2
a
b
ac
4
4
2
2、y 轴
向上 低
a
b
2
a
b
2
；向下 高
a
b
2
a
b
2
二、知识巩固练习：
（一）选择：
1、B 2、C 3、D 4、D 5、B 6、B 7、D 8、B
（二）填空：
1、下 x=1 （1，1） 1 2、-90
3、-6 4、
2
1
x
5、1
6、（4，3） 7、> 8、
1
2
3
y
y
y
9、
3
2
2
x
x
y
10、④
（三）解答：
2
5
2
2
1
2
5
2
2
1
0
5
25
4
2
2
1
2
x
x
y
c
b
a
c
b
a
c
b
a
a
b
则抛物线的解析式为
解得
、解：由已知得
8
2
4
4
S
0
3
B
0
1
A
3
,1
0
3
2
0
4
1
D
4
3
2
1
1
D
)
2
(
3
2
3
2
3
1
2
1
),
3,0
(
)
3,2
(
1
2
ABD
2
1
2
2
）
，
（
）
，
（
即
解得
得
令
）
，
（
即
抛物线的顶点为点
则抛物线的解析式为
解得
则
线
则抛物线的对称轴为直
、
）由已知得
、解：（
x
x
x
x
y
y
x
x
x
y
c
b
c
b
x
C
E
D
D
）
，
（
即
解得
即
得
由
得
由
）
，
（
即
得
令
解得
得
令
时，
当
解得
上
）在抛物线
，
（
点
）
、解：（
3
2
D
2
,0
3
3
2
3
0
3
|
|
S
S
3
0
C
,3
,0
)
3
(
)
0,1
(
1
,3
,0
3
2
0
3
2
3
)
2
(
3
0
6
9
2
0
3
A
1
3
2
1
2
ABC
ABD
2
1
2
2
2
x
x
x
x
y
y
y
y
y
x
B
x
x
x
x
y
x
x
y
m
m
m
m
x
x
y
C
）
，
（
得
令
对称轴为
解得
则
设
）
，
（
即
得
代入
令
与对称轴的交点
为
点
最小
最小，则
最小，则使
若使
的长度固定
而
又
关于对称轴对称
、
点
）
，
（
），
，
（
轴交于点
与
抛物线
、解：
2
1
Q
2
1
1
3
3
1
3
0
3
:
3
0
C
3
3
2
0
BC
Q
QC
QB
QC
QA
C
AC
AC
QC
QA
C
QB
QA
B
A
)
2
(
3
2
)
3
)(
1
(
0
3
B
0
1
A
)1(
4
1
1
1
1
1
1
1
2
QAC
QAC
2
2
y
x
x
x
y
b
k
b
b
k
b
x
k
y
l
y
x
x
y
x
x
x
x
x
y
x
c
bx
x
y
BC
x
x
y
b
a
b
a
a
b
a
a
a
b
x
a
b
a
b
x
x
x
y
bx
ax
y
y
x
x
x
y
C
B
4
2
4
2
2
2
2
1
B
AOBC
2
0
2
C
2
2
2
,1
2
,1
1
2
B
2
1
A
2
1
1
2
A
1
5
2
2
2
A
A
2
解得
则
）
，
（
点
角线互相垂直平分可知
为菱形时，由菱形的对
）当四边形
（
）
，
（
即
则
的对称轴上
在抛物线
的顶点
抛物线
）
，
（
即
，
的顶点
为抛物线
点
）
、解：（
22.1.4 二次函数
)
0
(
2
a
c
bx
ax
y
的图象和性质
一、理解新知
1、直线
a
b
x
2
（
a
b
ac
a
b
4
4
2
2
，
） 顶
a
b
2
a
b
ac
4
4
2
2、y 轴
向上 低
a
b
2
a
b
2
；向下 高
a
b
2
a
b
2
二、知识巩固练习：
（一）选择：
1、B 2、C 3、D 4、D 5、B 6、B 7、D 8、B
（二）填空：
1、下 x=1 （1，1） 1 2、-90
3、-6 4、
2
1
x
5、1
6、（4，3） 7、> 8、
1
2
3
y
y
y
9、
3
2
2
x
x
y
10、④
（三）解答：
2
5
2
2
1
2
5
2
2
1
0
5
25
4
2
2
1
2
x
x
y
c
b
a
c
b
a
c
b
a
a
b
则抛物线的解析式为
解得
、解：由已知得
8
2
4
4
S
0
3
B
0
1
A
3
,1
0
3
2
0
4
1
D
4
3
2
1
1
D
)
2
(
3
2
3
2
3
1
2
1
),
3,0
(
)
3,2
(
1
2
ABD
2
1
2
2
）
，
（
）
，
（
即
解得
得
令
）
，
（
即
抛物线的顶点为点
则抛物线的解析式为
解得
则
线
则抛物线的对称轴为直
、
）由已知得
、解：（
x
x
x
x
y
y
x
x
x
y
c
b
c
b
x
C
E
D
D
）
，
（
即
解得
即
得
由
得
由
）
，
（
即
得
令
解得
得
令
时，
当
解得
上
）在抛物线
，
（
点
）
、解：（
3
2
D
2
,0
3
3
2
3
0
3
|
|
S
S
3
0
C
,3
,0
)
3
(
)
0,1
(
1
,3
,0
3
2
0
3
2
3
)
2
(
3
0
6
9
2
0
3
A
1
3
2
1
2
ABC
ABD
2
1
2
2
2
x
x
x
x
y
y
y
y
y
x
B
x
x
x
x
y
x
x
y
m
m
m
m
x
x
y
C
）
，
（
得
令
对称轴为
解得
则
设
）
，
（
即
得
代入
令
与对称轴的交点
为
点
最小
最小，则
最小，则使
若使
的长度固定
而
又
关于对称轴对称
、
点
）
，
（
），
，
（
轴交于点
与
抛物线
、解：
2
1
Q
2
1
1
3
3
1
3
0
3
:
3
0
C
3
3
2
0
BC
Q
QC
QB
QC
QA
C
AC
AC
QC
QA
C
QB
QA
B
A
)
2
(
3
2
)
3
)(
1
(
0
3
B
0
1
A
)1(
4
1
1
1
1
1
1
1
2
QAC
QAC
2
2
y
x
x
x
y
b
k
b
b
k
b
x
k
y
l
y
x
x
y
x
x
x
x
x
y
x
c
bx
x
y
BC
x
x
y
b
a
b
a
a
b
a
a
a
b
x
a
b
a
b
x
x
x
y
bx
ax
y
y
x
x
x
y
C
B
4
2
4
2
2
2
2
1
B
AOBC
2
0
2
C
2
2
2
,1
2
,1
1
2
B
2
1
A
2
1
1
2
A
1
5
2
2
2
A
A
2
解得
则
）
，
（
点
角线互相垂直平分可知
为菱形时，由菱形的对
）当四边形
（
）
，
（
即
则
的对称轴上
在抛物线
的顶点
抛物线
）
，
（
即
，
的顶点
为抛物线
点
）
、解：（
