沪科版7年级数学上册高清教材_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

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新时代数学编写组　编著
上海科学技术出版社
主　
　编　吴之季　苏　淳
副主编　杜先能　徐子华
本册主编　胡　涛
策划编辑　苏德敏
责任编辑　王韩欢　李　刚
美术编辑　陈　蕾
义务教育教科书
数　学
七年级　上册
新时代数学编写组　编著
上海世纪出版（集团）有限公司
上海科学技术出版社
　出版
（上海市钦州南路７１号　邮政编码２００２３５）
新华书店发行
合肥义兴印务有限责任公司印刷
开本７８７× １０９２　１／１６　印张１３　字数２１８０００
２０１２年６月第１版　２０２１年６月第１５次印刷
ＩＳＢＮ９７８
７
５４７８
１２７３
０／Ｇ·２３８
定价：１３．０３元
如发现印装质量问题或对内容有意见建议，请与本社联系
电话：０２１
６４８４８０２５，邮箱：ｊｃ＠ｓｓｔｐ．ｃｎ
审批编号：皖费核（２０２１年秋季）第０１０３号　举报电话：１２３１５
１
　
　目　录
目　录
致同学
第
章　有理数
１
…………………………
１１　正数和负数
２
……………………………………
１２　数轴、相反数和绝对值
７
…………………………
１３　有理数的大小
１４
…………………………………
１４　有理数的加减
１７
…………………………………
１５　有理数的乘除
２８
…………………………………
阅读与思考　翻币问题
３８
………………………
１６　有理数的乘方
３９
…………………………………
１７　近似数
４５
…………………………………………
数学史话　负数
４８
………………………………
小结·评价
５０
……………………………………………
复习题
５２
…………………………………………
第
章　整式加减
５５
………………………
２１　代数式
５６
…………………………………………
数学活动　探索数的规律
６８
……………………
２２　整式加减
６９
………………………………………
阅读与思考　归纳推理
７７
………………………
数学史话　数学符号
７８
…………………………
小结·评价
７９
……………………………………………
２
　目　录　
复习题
８０
…………………………………………
第
章　一次方程与方程组
８４
……………
３１　一元一次方程及其解法
８５
………………………
３２　一元一次方程的应用
９３
…………………………
３３　二元一次方程组及其解法
９８
……………………
３４　二元一次方程组的应用
１０７
……………………
３５　
三元一次方程组及其解法
１１４
…………………
数学活动　联产品的成本计算
１１９
……………
３６　综合与实践　一次方程组与ＣＴ技术
１２１
……
数学史话　“方程”的由来
１２４
…………………
小结·评价
１２５
…………………………………………
复习题
１２６
………………………………………
第
章　直线与角
１３０
………………………
４１　几何图形
１３１
……………………………………
数学活动　制作正多面体
１３４
…………………
４２　线段、射线、直线
１３５
……………………………
４３　线段的长短比较
１３９
……………………………
４４　角
１４３
……………………………………………
４５　角的比较与补（余）角
１４７
………………………
阅读与欣赏　生物中的最佳角
１５１
……………
３
　
　目　录
４６　用尺规作线段与角
１５３
…………………………
数学活动　画图
１５５
……………………………
数学史话　“几何”的由来
１５６
…………………
小结·评价
１５７
…………………………………………
复习题
１５８
………………………………………
第
章　数据的收集与整理
１６１
……………
５．１　数据的收集
１６２
…………………………………
阅读与欣赏　水库相关数据收集的重要性
１６４
………………………………
５．２　数据的整理
１６７
…………………………………
数学活动　英文字母统计
１７０
…………………
５．３　用统计图描述数据
１７３
…………………………
５．４　从图表中的数据获取信息
１７７
……………………
信息技术应用　用Ｅｘｃｅｌ软件绘制统计图
１８４
……………………………
５．５　综合与实践　水资源浪费现象的调查
１８６
………
小结·评价
１８７
…………………………………………
复习题
１８８
………………………………………
　
附录１　常用的单位及其符号
１９４
……………………
附录２　部分中英文词汇索引
１９５
……………………
后记
２０１
…………………………………………………
亲爱的同学：
数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每
一个公民应该具备的基本素养．在新的学习阶段，数学将继续
陪伴你发展、成长．
本套教科书是根据《义务教育数学课程标准（２０１１年
版）》编写的．教科书共分六册，七年级至九年级每学期一册．全
书把“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”三部分内容，按
知识内在联系整合呈现．“综合与实践”部分是以问题为载体、
以学生自主参与为主的学习活动，每学期至少安排一次，使之
与前三部分内容密切配合，以利于同学综合运用已学的知识与
方法解决问题．通过学习，你将能获得适应社会生活和进一步
发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活
动经验．
教科书在陈述整体内容时，设置了“观察”“操作”“思考”
“交流”与“探究”等栏目，为你主动参与学习活动提供条件，在
老师的组织、引导与帮助下，在“做数学”中学习数学、理解数
学、应用数学．
教科书重视在保证基本要求的前提下，体现一定的弹性．
书中“阅读与思考”“阅读与欣赏”“数学史话”“信息技术应用”
“数学活动”，每章复习题中的Ｂ组、Ｃ组习题，以及少数标有
“”的内容，是提供给你根据需要和条件选学的，这将有利于
不同的同学在数学上得到不同的发展．
“聪明在于学习，天才在于积累”．努力吧，亲爱的同学！
有理数
１．１　正数和负数
１．２　数轴、相反数和
绝对值
１．３　有理数的大小
１．４　有理数的加减
１．５　有理数的乘除
１．６　有理数的乘方
１．７　近似数
队　名
进　球
失　球
净胜球
意大利
４０
１５
　２５
中国
５０
２１
　２９
古巴
１９
４０
－２１
南非
１６
４９
－３３
　　!"#$%&'()*+,*'-./01？23
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EF(GH.IJK4LMH.IJKNOPQ？
　
　
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２
　第１章　有理数　
１．１正数和负数
１天气预报图（图１
１）．
２地形局部图（图１
２）．
图　１
１
　　
图　１
２
　　　　　　
３．在２０１１年上海国际泳联世界锦标赛上，中
国女子水球队取得历史最好成绩，获得银牌，下表为
中国队所在小组的小组赛净胜球统计表．
队　名
进　球
失　球
净胜球
意大利
４０
１５
　２５
中国
５０
２１
　２９
古巴
１９
４０
－２１
南非
１６
４９
－３３
　　４某镇办４家企业今年第一季度的产值与去
年同期相比的增长情况表．
３
　
　１．１　正数和负数
企业名称
面粉厂
砖瓦厂
油厂
针织厂
增长率（％）
９．２
７．３
－１．５
－２．８
上述观察中涉及的图、表中出现了具有相反意义的量，
如天气预报中的温度有零上和零下的，地形图中的海拔高度有
高于海平面和低于海平面的等等．这些问题，在小学就曾遇到
过．为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中
一种意义的量，如零上温度、高于海平面高度等规定为正的，
用原来熟悉的数如１，６，７，９，８８４８．８６来表示它们，这样的数
叫做正数（ｐｏｓｉｔｉｖｅｎｕｍｂｅｒ）；而把与它相反意义的量，如零
下温度、低于海平面高度等规定为负的，用在正数前面添上
负号“－”的数，如－３，－１４，－１５４．３１来表示它们，这样的
数叫做负数（ｎｅｇａｔｉｖｅｎｕｍｂｅｒ）．正数的前面也可添上正号
“＋”，如＋１，＋６，＋７，通常情况下，正数前的正号可省略不写．
数０既不是正数，也不是负数．
日常生活中，还有许多具有相反意义的量．如水库的水
位有上升与下降，企业财务状况有盈利与亏损，计算足球赛
净胜球数时，有进球数多于与少于失球数两种情况等等，也
常要用正、负数来表示．
　　上述观察中第３、第４题表中的数，各表示什么
意思？
例１　（１）与去年相比，某乡今年的水稻种植面积扩大
了１０ｈｍ２（公顷），小麦的种植面积减少了５ｈｍ２，油菜的种
植面积不变，写出这三种农作物今年种植面积的增加量；
　　在计数时，数
０可以表示没有，
如０个．
０还常用来表
示某种量的基准，
例如０℃不能理解
成没有温度，它是
实际温度为冰点
时的计量结果，用
来作为计量温度
的基准．
０比任何正数
小，比任何负数
大，它是正数与负
数的分界．
４
　第１章　有理数　
（２）某市“１２３１５”中心２０１１年国庆期间受理消费申诉件
数：日用百货类比上年同期增长了１０％，家用电子电器类比上
年下降了２０％．写出这两类消费商品申诉件数的增长率．
解　（１）与去年相比，该乡今年的水稻种植面积增加了
１０ｈｍ２，小麦种植面积增加了－５ｈｍ２，油菜的种植面积增加
了０ｈｍ２．
（２）与上年同期相比，消费商品申诉件数：日用百货类
增长了１０％，家用电子电器类增长了－２０％．
　　你能再举出一些用正负数表示数量的实例吗？
　　
［第１（２）题］
１填空：
（１）如果向东走３ｋｍ，记作＋３ｋｍ，那么向西走２ｋｍ，记作
　
　
　；
（２）如图是温度计的一部分，其中温度计甲的示数为　　摄
氏度，记作　
　
℃；温度计乙的示数为　　摄氏度，记作
　
　
℃；
（３）如果将盈利１万元，记作＋１万元，那么－２万元就表示
　
　
　２万元．
２指出下列问题中的“基准”，再用正、负数表示问题中的量：
（１）某一天正午前２ｈ与正午后３ｈ；
（２）某水文站测得的水位每天下降２ｃｍ，一天前、一天后的水位分别该如何表示？
　
　引入负数后，数的范围扩大了，整数包括正整数、０和负
整数，分数包括正分数和负分数．
　　　　　　
　
　使用负数
后，在表示具有相
反意义的两个词
语之中，只用一个
词语就可以把事
情说清．如减少
５ｈｍ２就可说成增
加－５ｈｍ２．
５
　
　１．１　正数和负数
整数（ｉｎｔｅｇｅｒ）和分数（ｆｒａｃｔｉｏｎ）统称有理数（ｒａｔｉｏｎａｌ
ｎｕｍｂｅｒ），即
有理数
整数
正整数
０{负整数
分数正分数
{
{
负分数
例２　把下列各数分别填入相应的框里：
－１６，０．０４，１
２，－２
３，＋３２，０，－３．６，－４．５，＋０．９．
解　
　　
０．０４，１
２，＋３２，
＋０．９．
正数
　
　
－１６，－２
３，－３．６，
－４．５．
负数
　　例２中，数０能放入正数框或负数框里吗？
你认为有理数还可以怎样分类？
习题１．１
１填空：
（１）粮库中把运进大米３０ｔ记作＋３０ｔ，那么运出大米４０ｔ可表示为　
　
ｔ；
（２）把保险锁按逆时针方向转１圈记作＋１圈，那么－２圈表示按　
　
　转
　
　
　圈；
（３）质量检测中，把一只乒乓球超出标准质量０．０１ｇ记作＋０．０１ｇ，那么－０．０２ｇ
表示乒乓球的质量　
　
　
　标准质量　
　
ｇ．
６
　第１章　有理数　
２下表是某日公布的部分债券行情表，试说明各债券当天的涨跌情况．
名　称
０８国债０１
０８国债０２
０８国债０３
０９安徽债０１
０９上海债０１
上涨／元
０．００
－０．０５
－１．２４
０．１５
－２．０１
３光盘的质量标准中规定：厚度为（１．２± ０．１）ｍｍ的光盘是合格品．说说１．２ｍｍ和
±０．１ｍｍ所表示的意思．
（第３题）
　　　　　
（第４题）
４湖边一段堤岸高出湖面４ｍ，附近有一建筑物，其顶端高出湖面２０ｍ，湖底有一沉船
在湖面下８ｍ处．现以湖边堤岸为“基准”，那么建筑物顶端的高度及沉船的深度各
应如何表示？
５．全国２００７年、２００８年两年废水及废水中化学需氧量（ＣＯＤ）排放量统计如下表，以
２００７年作为基准，请填出２００８年相对２００７年的增加量．
项目
年度
废水排放量／亿吨
ＣＯＤ排放量／万吨
合　计
工　业
生　活
合　计
工　业
生　活
２００７
５５６．８
２４６．６
３１０．２
１３８１．９
５１１．１
８７０．８
２００８
５７１．７
２４１．７
３３０．０
１３２０．７
４５７．６
８６３．１
增加量
６下列各数中，哪些是正整数、负整数、正分数、负分数？其中是否存在这样的数，它既
不是正数，也不是负数？
８，－８．３４，－４
５，３０２，－２０７，１
３２，４２．５，１３
２５，－６．５，０，２８，－７９．
７把下列各数分别填入相应的括号内：
－０．１，１
２，－９，２，＋１，－５
２，－２，３．５．
整数：｛　
　
　
　
　
　｝　
　
　
　
　
　
　
　分数：｛　
　
　
　
　
　｝
正数：｛　
　
　
　
　
　｝　
负数：｛　
　
　
　
　
　｝
７
　
　１．２　数轴、相反数和绝对值
１．２数轴、相反数和绝对值
　　让机器人在一条东西向的直路上做走步取物试验．根据
指令：它由点Ｏ处出发，向西走３ｍ到达点Ａ处，拿取物品，
然后，返回点Ｏ处将物品放入篮中，再向东走２ｍ到达点Ｂ
处取物．
１在如图１
３所示的直线上画出点Ａ，Ｂ两处的
位置．
图　１
３
２把向东走记作“＋”，向西走记作“－”，在上面的直
线上标出与点Ａ，Ｂ相对应的数．
下面，我们用直线上的点来表示数．
画一条直线，在这条直线上任取一点作为原点（ｏｒｉｇｉｎ），
用这点表示数０；规定这条直线的一个方向为正方向
（ｐｏｓｉｔｉｖｅｄｉｒｅｃｔｉｏｎ，当直线水平放置时，一般取从左到右的方
向为正方向，并用箭头表示），相反的方向就是负方向；适当
地选取某一长度作为单位长度（ｕｎｉｔｌｅｎｇｔｈ）．这种规定了原
点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（ｎｕｍｂｅｒａｘｉｓ），如图
８
　第１章　有理数　
１
４．
图　１
４
例１　说出图１
５所示的数轴上Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ各点表示
的数．
图　１
５
解　点Ｃ在原点表示０，点Ａ在原点左边与原点距离２
个单位长度，故表示－２．同理，点Ｂ表示－３．５．点Ｄ在原点
右边与原点距离２个单位长度，故表示２．
例２　在数轴上，画出表示下列各数的点：
＋４，－１
２，１
２，－１．２５，－４．
解　
＋４用数轴上位于原点右边与原点距离４个单位
长度的点表示，－４用数轴上位于原点左边与原点距离４个
单位长度的点表示．同理，可画出表示１
２，－１
２，－１．２５的
点，如图１
６．
图　１
６
一般地，任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来
表示
９
　
　１．２　数轴、相反数和绝对值
（第１题）
（第２题）
１点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在数轴上的位置如图：
点Ａ表示　
　，点Ｂ表示　
　，点Ｃ表示　　，点Ｄ表示　　．
２在数轴上画出表示－３，＋２，－１．５，－６．５的点．
２与－２，４与－４，１
２与－１
２各有什么相同点和
不同点？它们在数轴上的位置有什么关系？
由上可知，２与－２，４与－４，１
２与－１
２都只有符号不同．
我们称只有符号不同的两个数互为相反数（ｏｐｐｏｓｉｔｅ
ｎｕｍｂｅｒ），这就是说，其中一个数是另一个数的相反数，如２
与－２互为相反数，即２的相反数是－２，－２的相反数是２．
特别规定：０的相反数是０．
数ａ的相反数是－ａ．这里ａ表示任意一个数，它可以是
正数、负数或者０．
两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两
旁，与原点的距离相等．
１０
　第１章　有理数　
例３　写出下列各数的相反数：
３，－７，－２．１，２
３，－５
１１，０，２０．
解　３的相反数是－３，－７的相反数是７，－２．１的相反
数是２．１，２
３的相反数是－２
３，－５
１１的相反数是５
１１，０
的相反数是０，２０的相反数是－２０．
容易看出，在任意一个数前面添上“－”号，所得的数就
是原数的相反数，如－（＋３）＝－３，－（－３）＝３，－０＝０．
１分别写出下列各数的相反数：
－５，１，－３，－２．６，１．２，－０．９，１
２．
２填空：
（１）－２．８是　
　的相反数，　
　的相反数是３．２；
（２）－（＋４）是　
　的相反数，－（－７）是　　的相反数；
（３）－（＋８）＝　
　，－（－９）＝　
　
．
３下列叙述中不正确的是（　
　）．
（Ａ）一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数
（Ｂ）在数轴上与原点距离相等但不重合的两个点，所表示的数一定互为相反数
（Ｃ）符号不同的两个数互为相反数
（Ｄ）两个数互为相反数，这两个数有可能相等
在数轴上，表示４与－４的点到原点的距离各
１１
　
　１．２　数轴、相反数和绝对值
是多少？表示－１
２与１
２的点到原点的距离各是
多少？
在数轴上，表示数ａ的点到原点的距离，叫做数
ａ的绝对值（ａｂｓｏｌｕｔｅｖａｌｕｅ），记作｜ａ｜．例如＋４和
－４它们位于原点两侧，但到原点距离都等于４，即
它们的绝对值都是４，记作｜＋４｜＝４，｜－４｜＝４，如
图１
７．
图　１
７
表示数０的点即原点，故｜０｜＝０．
由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它
本身；一个负数的绝对值是它的相反数；０的绝对值
是０
例４　求下列各数的绝对值：
－２
３，＋１，－０．１，４．５．
解　
－２
３
＝２
３，｜＋１｜
＝１，｜－０．１｜
＝０．１，
｜４．５｜＝４．５．
１在数轴上表示出下列各点，并分别指出它们的绝对值：
－４，＋３
２，－２，０，３．２，－０．５，７．
　　　　
　
　
　绝对值相
等、符号相反的
两个数互为相
反数．
１２
　第１章　有理数　
２填空：
｜－３｜＝　
　，｜１．５｜＝　
　，｜０｜＝　　，｜－５｜＝　　，
｜－０．０２｜＝　
　，＋３
４
＝　
　，－１
６
＝　　，
｜－１００｜＝　
　
．
３计算：
（１）｜－８｜＋｜９｜；　
　
　
　
　
　
　
　
　　　（２）｜－１２｜÷ ｜１２｜；
（３）｜０．６｜－
－３
５；
（４）｜－３｜× ｜－２｜．
４下列等式中不成立的是（　
　）．
（Ａ）｜－５｜＝５
（Ｂ）－｜５｜＝－｜－５｜
（Ｃ）｜－５｜＝｜５｜
（Ｄ）－｜－５｜＝５
５求８，－８，１
４，－１
４的绝对值．
习题１．２
１求下列各数的相反数：
－１
２，－０．６１，１６，｜－８｜，２．５．
２写出一个正数、两个负数，指出它们的相反数，并把它们在数轴上表示出来．
３．在数轴上分别表示出绝对值是３，１．５，０的数．
４在数轴上点Ａ表示的数是－３，与点Ａ距离２个单位长度的点表示的数是什么？
５下列每题的各对数中，哪些是相等的，哪些互为相反数？
（１）＋（－４）与－（＋４）；
（２）－（－４）与－４；
（３）＋（＋４）与－（－４）；
（４）－（＋４）与－（－４）．
６求下列各数的绝对值：
－２５，０．０８，－７，１．５，０，－９
１１．
１３
　
　１．２　数轴、相反数和绝对值
７（１）绝对值是５的数有几个，各是多少？
（２）绝对值是０的数有几个？
（３）是否存在绝对值是－４的数，为什么？
８一座桥梁的设计长度为８１０ｍ，建成后，测量了５次，测得的数据是（单位：ｍ）：
８１４，８１２，８０９，８０７，８０８．
如果以设计长度为基准，试用正负数表示各次测得的数值与设计长度的差（填
表）．哪次测得的结果最接近设计长度？你说的最接近是根据什么说的？
测量序号
第１次
第２次
第３次
第４次
第５次
差
９填空：
（１）当ａ是正数时，｜ａ｜＝　
　；
（２）当ａ是负数时，｜ａ｜＝　
　；
（３）当ａ是０时，｜ａ｜＝　
　
．
１４
　第１章　有理数　
１．３有理数的大小
　　下表是５个旅游区某天的天气预报：
把表示这一天各旅游区最低温度的数在图１
８所示的
数轴上表示出来：
图　１
８
把这几个旅游区的最低温度由低到高进行排列：
　
　　．
这些数的大小顺序与数轴上表示它们的点的位置有什
么关系？
数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左
边点表示的数大
于是：正数大于０，０大于负数，正数大于负数
　　１在数轴上分别表示出下列各对数，并比较它
们的大小：
１５
　
　１．３　有理数的大小
　　（１）－１与－１．５；　　　（２）－１
２与－１
４；
（３）－２与－２．５；
（４）－５与－０．５．
２求出上题中各对数的绝对值，并比较它们的
大小．
３从上面的思考中，你发现了什么规律？
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
例　比较下列每组数的大小：
（１）－２与－３；　　　　　　（２）－３
５与－０．８．
解　（１）因为　
｜－２｜＝２，｜－３｜＝３，２＜３，
所以　
－２＞－３．
（２）因为　
－３
５
＝３
５
＝０．６，｜－０．８｜＝０．８，
０．６＜０．８，即　３
５
＜０．８，
所以　
－３
５
＞－０．８．
１填空（填“＞”或“＜”）：
（１）２　
　１２；　
　（２）２　
　
－３；　
　（３）０　　０．２５；　　（４）－１５　　０．
２把下列各数表示在数轴上，并用“＞”把它们连接起来：
－８，３，－１０，－４，２，１２．
３比较下列各组数的大小：
（１）－０．２与－０．２５；　
　
　
　
　
　
　
　（２）－０．１与－０．０１；
（３）－９与－９．１；
（４）－３
８与－５
８；
（５）－３
４与－４
５；
（６）－５
６与－６
７．
１６
　第１章　有理数　
习题１．３
１把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接起来：
－３，１
３，－１，５，－２１
２，０，２，＋７．
２下面是某年一月份我国几个城市的平均气温：
北京－４．５℃，上海３．２℃，广州１５℃，
长春－１８℃，合肥２．８℃，昆明１２℃．
把它们按从低到高的次序排列，并指出这年一月份哪个城市的平均气温最高，哪
个城市的平均气温最低．
３结合数轴，回答下列问题：
（１）有没有最大的正整数？有没有最小的正整数？如果有，是什么？
（２）有没有最小的负整数？有没有最大的负整数？如果有，是什么？
４（１）在数轴上表示：０，－１．４，－３，３
４；
（２）将（１）中各数用“＞”连接起来；
（３）将（１）中各数的相反数用“＜”连接起来；
（４）将（１）中各数的绝对值用“＜”连接起来．
５比较下列各组数的大小：
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
（１）－７
９与－９
１０；
（２）－１
１００与－０．０１２；
（３）－２与－７
８；
（４）－５
４与－３
２；
（５）－０．０１与－１００；
（６）－４．３与－５；
（７）－３
１１与－
－５
２２；
（８）－２１
３与－１３
６．
６用“＞”或“＜”填空：
（１）｜＋５｜　
　｜－６｜；　
（２）｜－１００｜　
　
－（－１０１）；
（３）｜－０．１｜　
　｜－０．０１｜；
（４）－３
４
　
　
－
－２
(
)
３；
（５）－１
８
　
　
１
７；
（６）３的相反数　
　５的相反数；
（７）－２的相反数　
　
－４的相反数；
（８）－３的相反数　
　５的相反数．
７观察数轴，写出绝对值小于５的所有整数．
１７
　
　１．４　有理数的加减
１．４有理数的加减
　　１有理数的加法
我们已经学过，两个加数都是正数，或一个加数是正数
而另一个加数是０的加法．如
（＋５）＋（＋３）＝８，　　
①
５＋０＝５．　　
②
当两个加数中有负数时，加法应如何进行呢？
一间０℃冷藏室连续两次改变温度：
（１）第一次上升５℃，接着再上升３℃；
（２）第一次下降５℃，接着再下降３℃；
（３）第一次下降５℃，接着再上升３℃；
（４）第一次下降３℃，接着再上升５℃．
问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度？
把温度上升记作正，温度下降记作负，在数轴上表
示连续两次温度的变化结果，写出算式，完成下表：
次序
变化
结果
两次变化在数轴上的表示
算　式
（１）上升了
８℃
（＋５）＋（＋３）＝＋８
③
　　　　
　
　
　用箭头在
数轴上表示两
个数相加时，要
将第二个箭头
的起始端紧挨
着第一个箭头
的终端．
１８
　第１章　有理数　
（续表）
次序
变化
结果
两次变化在数轴上的表示
算　式
（２）上升了
－８℃
（－５）＋（－３）＝－８
④
（３）
⑤
（４）
⑥
　　类比上述问题，计算：
（－５）＋（＋５）＝　　　　　　．
⑦
（－５）＋０＝　　　　　　．
⑧
观察①～⑧式，说说两个有理数相加，和的符
号、和的绝对值怎样确定．
有理数有如下的加法法则（ｌａｗｏｆａｄｄｉｔｉｏｎ）：
１同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值
相加
２异号两数相加，绝对值相等时和为０；绝对值不相等
时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较
小的绝对值
３一个数与０相加，仍得这个数
例１　计算：
（１）（＋７）＋（＋６）；
（２）（－５）＋（－９）；
（３）－
(
)
１
２
＋１
３；
（４）（－１０５）＋（＋２１５）．
解　（１）（＋７）＋（＋６）＝＋（７＋６）＝１３．
　　　　　　
　
　异号两数相
加，一要确定和的
符号，二要确定绝
对值的差．
１９
　
　１．４　有理数的加减
（２）（－５）＋（－９）＝－（５＋９）＝－１４．
（３）－
(
)
１
２
＋１
３
＝－
１
２－
(
)
１
３
＝－１
６．
（４）（－１０５）＋（＋２１５）＝＋（２１５－１０５）＝１１．
例２　计算：
（１）（－７５）＋（＋７５）；
（２）（－３５）＋０．
解　（１）（－７５）＋（＋７５）＝０．
（２）（－３５）＋０＝－３５．
１填表（想法则、写结果）：
加　数
加　数
和的符号
和的绝对值
和
６
９
－６
－９
－６
９
６
－９
２计算（仿照例１表示出应用法则的过程）：
（１）（＋３５）＋（＋４５）；　
　
　
　
　
　
　　（２）－(
)
７
５
＋－(
)
３
５；
（３）－１７
(
)
１６＋＋(
)
５
４；　
（４）＋２３
(
)
８
＋－１３
(
)
４

３计算：
（１）１００＋（－１００）；
（２）（－９５）＋０；
（３）（－３５）＋３５；
（４）－(
)
１
３
＋－(
)
１
６；
（５）（－８）＋（－７）；
（６）（－１３）＋２４；
（７）－(
)
１
２
＋－(
)
１
３；
（８）－０５＋１
２
　　　　
　
　
　互为相反
数的两数和总
是０．
２０
　第１章　有理数　
４某潜水员在水中作业时，先潜入水下１１２ｍ，然后又上升了８５ｍ，这时潜水员处在什
么位置？
５水星是最接近太阳的行星，据最新数据可知，它的表面温度最低为－８６℃，表面温度
最高比最低高出７２０．５℃，那么水星表面温度最高是多少摄氏度？
　　２有理数的减法
下表记录了某地某年２月１日至２月１０日
每天气温情况：
月／日
２／１
２／２
２／３
２／４
２／５
２／６
２／７
２／８
２／９２／１０
最高温度／℃
１２
１０
５
５
３
５
６
６
８
９
最低温度／℃
３
２
－４
－５
－４
－３
－３
－１
０
－２
　　怎样求出该地２月３日最高温度与最低温
度的差呢？
这里的问题，就是做减法：
５－（－４）＝？
由于加减法互为逆运算，上式可变为
？＋（－４）＝５．
因为９＋（－４）＝５，所以上式中的？＝９，即
５－（－４）＝９．
又
５＋４＝９．
可见
５－（－４）＝５＋（＋４）．
比较上式两边：
图　１
９
　　　　　　
　
　观察图１
９，
５℃比０℃高５℃，
０℃比－４℃高４℃，
因此５℃比－４℃
高９℃．
２１
　
　１．４　有理数的加减
５



↑

－
有何变化


↑

？
（－４）＝５＋（



↓

＋
有何关系

↓

？
４）．
说说你对有理数减法法则的猜想．
有理数有如下的减法法则（ｌａｗｏｆｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ）：
减去一个数，等于加上这个数的相反数
请你算出上表中２月４日至２月１０日每天最高温度与
最低温度的差．
例３　计算：
　　
　　　　　　　　
（１）（－１６）－（－９）；（２）２－７；
（３）０－（－２５）；
（４）（－２８）－（＋１７）．
解　（１）（－１６）－（－９）＝（－１６）＋（＋９）＝－７．
（２）２－７＝２＋（－７）＝－５．
（３）０－（－２５）＝０＋（＋２５）＝２５．
（４）（－２８）－（＋１７）＝（－２８）＋（－１７）＝－４５．
例４　某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得２０
分，答错一题扣１０分．问答对一题与答错一题得分相差多少分？
解　
２０－（－１０）＝２０＋１０＝３０（分），
即答对一题与答错一题相差３０分．
１填空：
（１）（－８）－（－１４）＝（－８）＋（　
　）＝（　　）；
（２）（－７）－（＋６）＝（－７）＋（　
　）＝（　　）
２２
　第１章　有理数　
２计算（写出运用法则的计算过程）：
（１）（－１９）－（－７）；　
　
　
　
　
　
　
　　（２）４－６；
（３）（－２５）－（＋２５）；
（４）０－（－５）
３计算：
（１）１２－１７；
（２）（－１０）－４；
（３）３２－（－１８）；
（４）０－１２；
（５）（－３２）－（－１８）；
（６）９－（＋１１）；
（７）－(
)
２
５
－－(
)
３
５；
（８）（－１）－＋(
)
３
２；
（９）－(
)
１
３
－－(
)
１
３；
（１０）３
５－＋(
)
２
５
．
４巴黎、东京与北京的时差如下表（“＋”号表示同一时刻比北京时间早的时数）：
城　市
巴　黎
东　京
与北京的时差
－７
＋１
（１）求巴黎与东京的时差；
（２）巴黎时间８牶００时，东京时间是多少？
　　３加、减混合运算
问题　某地冬天某日的气温变化情况如下：早晨
６牶００的气温为－２℃，到中午１２牶００上升了８℃，到１４牶００又
上升了５℃，且为当天的最高气温，到１８牶００降低了７℃，到
２３牶００又降低了４℃．问２３牶００的气温是多少？
用正、负数表示气温的上升与下降，那么问题就转化
为求：
（－２）＋（＋８）＋（＋５）＋（－７）＋（－４）．
①
在小学学习时，我们知道加法有两条运算律，即
加法交换律（ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅｌａｗｏｆａｄｄｉｔｉｏｎ）：
ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ．
２３
　
　１．４　有理数的加减
加法结合律（ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅｌａｗｏｆａｄｄｉｔｉｏｎ）：
（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）．
引入负数后，这两条运算律也同样适用，即这里的ａ，ｂ，
ｃ可以表示任何有理数．
在计算两个以上有理数的加法运算时，可以自左向右依
次计算，也可根据加法运算律简化运算．
现在来解上面的问题：
　（－２）＋（＋８）＋（＋５）＋（－７）＋（－４）
＝（－２）＋（－７）＋（－４）＋（＋８）＋（＋５）
（加法交换律）
＝［（－２）＋（－７）＋（－４）］＋［（＋８）＋（＋５）］
（加法结合律）
＝－１３＋１３
＝０．
即该地当天２３牶００的气温是０℃．
①式中仅含有加法运算，通常可省去加号及各个括
号，写成
－２＋８＋５－７－４．
②
这个式子可读作“负２、正８、正５、负７、负４的和”或者读作
“负２加８加５减７减４”．
用计算器计算②式的过程如下：
按键顺序
显　示
２＋／－
　
＋
８
＋
５
＋
７＋／－
　
＋
４＋／－
　
＝
０
例５如图１
１１，一批大米，标准质量为每袋２５ｋｇ．
质检部门抽取１０袋样品进行检测，把超过标准质量的千克数
用正数表示，不足的用负数表示，结果如下表：
袋　号
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
与标准
质量的
差／ｋｇ
＋１
－０．５
－１．５
＋０．７５
－０．２５
＋１．５
－１
＋０．５
０
＋０．５
图　１
１０
　
　计算器的品
种很多，它们的计
算程序和方法不
尽相同，使用前要
注意看清各自的
说明书．本教科书
只选择其中一种
加以介绍（图
１
１０），供参考，
以后不再作这样
的说明．
２４
　第１章　有理数　
　　这１０袋大米总计质量是多少千克？
图　１
１１
解　１＋（－０５）＋（－１５）＋０７５＋（－０２５）＋１５
＋（－１）＋０５＋０＋０５
＝［１＋（－１）］＋［（－０５）＋０５］＋［（－１５）＋１５］
　
＋［０７５＋（－０２５）］＋０５＝１（ｋｇ）．
２５× １０＋１＝２５１（ｋｇ）．
答：这１０袋大米的总计质量是２５１ｋｇ．
例６　计算：
（１）（＋７）－（＋８）＋（－３）－（－６）＋２；
（２）３
４＋－
(
)
１
６
－１
３－－
(
)
１
８
．
解　（１）（＋７）－（＋８）＋（－３）－（－６）＋２
＝（＋７）＋（－８）＋（－３）＋（＋６）＋２　（减法法则）
＝（７＋６＋２）＋（－８－３）　（加法交换律、结合律）
＝１５－１１
＝４．
（２）３
４＋－
(
)
１
６
－１
３－－
(
)
１
８
＝３
４＋－
(
)
１
６
＋－
(
)
１
３
＋＋
(
)
１
８
　（减法法则）
＝
３
４＋
(
)
１
８
＋－１
６－
(
)
１
３
　（加法交换律、结合律）
＝７
８－１
２
＝３
８．
２５
　
　１．４　有理数的加减
从例５、例６解的过程可以看出，灵活运用运算律能使
计算简便．
１填空：
（１）（＋１４）－（－１２）－（＋２５）＝（　　）＋（　　）＋（　　）；
（２）（－２０）－（＋５）＋（－３）＝（　
　）＋（　　）＋（　　）．
２计算：
（１）（＋１５）＋（－３０）－（－１４）；
（２）－４０－２８－（－１９）＋（－２４）；
（３）－２
３＋－(
)
１
６
－－(
)
１
４
－１
２；
（４）－７２－０９－５６＋８７；
（５）－１＋２－３－４＋５；
（６）－３－４＋１９－１１．
３某同学将零花钱存起来，存折中原有８０元，第一次取出２０元，第二次又取出３０元，第
三次存入１００元，第四次取出２０元，这时存折上的余额（不计利息）是多少元？
４某中学女子篮球队员的平均身高是１７５ｃｍ．
（１）下表给出了该队１０名队员的身高情况．试完成下表（超过平均身高的高度用正
数表示，不足的用负数表示）：
队员号
４
５
６
７
８
９
１０
１１
１２
１３
队员身
高／ｃｍ
１７２
１７７
１７３
１７４
与平均
身高的
差／ｃｍ
－３
＋５
＋１
０
＋４
－１
－５
（２）谁最高？谁最矮？
（３）最高的队员比最矮的队员高多少？
２６
　第１章　有理数　
习题１．４
１计算：
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
（１）（－１７）＋（＋６）；
（２）（＋２３）＋（－１８）；
（３）（－１２）＋（－４）；
（４）（＋４）＋（＋８）；
（５）（－０９）＋（－２１）；
（６）（－２０）＋０；
（７）－２
(
)
３
＋＋２
(
)
３；
（８）２
５＋－１
(
)
３

２计算：
（１）（－８）－（＋３）；
（２）（－３）－（－５）；
（３）３－（－８）；
（４）３－（＋５）；
（５）０－１８；
（６）（－１５）－１５；
（７）＋３３
(
)
４
－－２３
(
)
４；
（８）（－３６）－（－２４）；
（９）４０－４１；
（１０）（－２２）－（－２２）
３计算：
（１）５＋（－６）＋３＋８＋（－４）＋（－７）；
（２）（－４１）＋（＋３０）＋（＋４１）＋（－３０）；
（３）（－０８）＋１２＋（－０７）＋（－２１）＋０８＋３５；
（４）－７
２＋８
３－１６
９＋３
２；
（５）－８＋１２－１６－２３；
（６）－１
４＋５
６＋２
３－１
２
４分别计算下列每题中的两个算式，比较结果，有什么体会？
（１）（１－２）＋（３－４）－（－５＋６），１－２＋３－４＋５－６；
（２）－（８－１２）＋（－１６＋２０），－８＋１２－１６＋２０；
（３）３
４－
５
２－２
(
)
３
＋－５
３＋３
(
)
２，３
４－５
２＋２
３－５
３＋３
２
５求下列各式中的ｘ：
（１）ｘ－５＝－１２；　
　
　
　
　
　
　
（２）６＋ｘ＝４
２７
　
　１．４　有理数的加减
６下面说法是否正确？如果不正确，请举例说明．
（１）两个数的和一定比两个数中任何一个都大；
（２）两个数的差一定比两个数中任何一个都小；
（３）两个数的和是正数，这两个数一定是正数；
（４）两个数的差是正数，被减数一定大于减数．
７写出一个符合下列条件的算式：
（１）两个数的和大于这两个数的差；
（２）两个数的和小于这两个数的差；
（３）两个数的和等于这两个数的差．
８如果｜ａ｜＝８，｜ｂ｜＝５，且ａ＋ｂ＞０，求ａ－ｂ的值．
９一天上午，一辆警车从Ｍ车站出发在一条笔直的公路上来回巡逻，行驶的路程情
况如下（向Ｍ车站右侧方向行驶为正，单位：ｋｍ）：
－７，＋４，＋８，－３，＋１０，－３，－６，－１２，＋９，－３．
（１）这辆警车在完成上述来回巡逻后在Ｍ车站的哪一侧，距Ｍ车站多少千米？
（２）如果这辆警车每行驶１００ｋｍ的耗油量为１１Ｌ，这天上午共消耗汽油多少升？
１０请完成下表：
已　知
计　算
比较大小
ａ
ｂ
ａ－ｂ
ａ－ｂ与０
ａ与ｂ
　５
　３
５－３＝２
５－３＞０
５＞３
－２
－４
　２
－３
　３
　３
　２
　４
－３
－１
－５
　２
　　从上面的表中，观察两个数的大小与它们差的符号之间有何联系，你发现了
什么规律？
２８
　第１章　有理数　
１．５有理数的乘除
　　１有理数的乘法
我们已经学过两个正有理数相乘，以及一个正有理数与
０相乘．如（＋２）×（＋３）＝６，　（＋２）× ０＝０．
如果两个有理数相乘，其中有负数时，应该怎么办呢？
问题?　在实验室中，用冷却的方法可将某种生物标本
的温度稳定地下降，每１ｍｉｎ下降２℃．假设现在生物标本的
温度是０℃，问３ｍｉｎ后它的温度是多少？
如果把温度下降记作“－”，那么，由示意图１
１２可得，
３ｍｉｎ后生物标本的温度是－６℃．
用算式表示，有
（－２）× ３＝（－２）＋（－２）＋（－２）＝－６．
类似地，
　（－２）× ２＝（－２）＋（－２）＝－４．
　（－２）× １＝　　　　．
　（－２）× ０＝　　　　．
　　根据上面的计算，你对一个负数乘一个正数有
什么发现？一个负数乘０呢？
图　１１２
　　　　　　
　
　如用分配律
展开［（－２）＋
２］× ３＝０或
［（－２）＋２］×
２＝０的左边，你
有什么发现？
２９
　
　１．５　有理数的乘除
一般地，异号两数相乘（正数乘负数或负数乘正数），只
要把它们的绝对值相乘，符号取“－”．负数与０相乘得０．
下面通过问题２讨论两个负数相乘的情况．
问题?　在问题１的情况下，问１ｍｉｎ前、２ｍｉｎ前该种
生物标本的温度各是多少？
这里，以“现在”为基准，把以后时间记作“＋”，以前时
间记作“－”，那么１ｍｉｎ前记作－１，观察示意图１
１３可
得，１ｍｉｎ前生物标本的温度是２℃，用算式表示，有
（－２）×（－１）＝２．
２ｍｉｎ前（记作－２）生物标本的温度是１ｍｉｎ前温度的
２倍，可以写成
（－２）×（－２）＝４．
类似地，
（－２）×（－３）＝　　　　．
　　根据上面的计算，你对两个负数相乘有什么
发现？
一般地，两个负数相乘，只要把它们的绝对值相乘，符号
取“＋”．
总结起来，我们可以得到下面的有理数乘法法则（ｌａｗ
ｏｆｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ）：
１两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
２任何数与０相乘仍得０
图　１
１３
　　　　
　
　　如用分配律
展开［（－２）＋
２］× （－３）＝０
或［（－２）＋２］×
（－２）＝０的左
边，你有什么发
现？
３０
　第１章　有理数　
　　　　　　　　　　　　
例１　计算：
（１）（－５）×（－６）；
（２）－
(
)
３
２
× １
６；
（３）－
(
)
３
５
× －
(
)
５
３；
（４）８×（－１２５）．
解　（１）（－５）×（－６）＝＋（５× ６）＝３０．
（２）－
(
)
３
２
× １
６
＝－
３
２×
(
)
１
６
＝－１
４．
（３）－
(
)
３
５
× －
(
)
５
３
＝＋
３
５×
(
)
５
３
＝１．
（４）８×（－１２５）＝－（８× １２５）＝－１０．
再用计算器计算，如（１），（３）题：
按键顺序
显　示
５＋／－
　
×
６＋／－
　
＝
３０
３
ａｂ／ｃ
５＋／－
　
×
５
ａｂ／ｃ
３＋／－
　
＝
１
　　与小学所学的一样，如果两个有理数的乘积为１，我们
称这两个有理数互为倒数（ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ）．
如－５
３是－３
５的倒数，－３
５是－５
３的倒数，也就是说，
－３
５与－５
３互为倒数．
３１
　
　１．５　有理数的乘除
１填表（想法则、写结果）：
因　数
因　数
积的符号
积的绝对值
积
＋８
－６
－１０
＋８
－９
－４
２０
８
２计算：
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　　
（１）（－４６）×（＋３）；
（２）３
４× －(
)
８
９；
（３）－(
)
２
５
× －(
)
３
４；　
　
　
　
（４）－(
)
２
３
× －(
)
３
２；
（５）（＋８５）×（－２）；　
　
　
　
（６）－(
)
５
８
×（－１２）；
（７）（－３８）× ０；
（８）１００×（－００１）
３回答：
（１）一个数与＋１相乘，得什么数？
（２）一个数与－１相乘，得什么数？
　　问题?　　计算：
（１）（－４）× ５×（－０２５）＝　　　　；
（２）－３
(
)
８
×（－１６）×（＋０５）×（－４）＝　　　　；
（３）（＋２）×（－８５）×（－１００）×０×（＋９０）＝　　　　．
多个有理数相乘，有一个因数为０时，积是多少？因数
都不为０时，积的符号怎样确定？
几个数相乘，有一个因数为０，积为０
几个不为０的数相乘，积的符号由负因数的个数决定
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积
为正．
３２
　第１章　有理数　
１（口答）确定下列积的符号：
（１）（－５）×４×（－１）×３；　　　　　　（２）（－４）×６×（－７）×（－３）；
（３）（－１）×（－１）×（－１）；　
（４）（－２）×（－２）×（－２）×（－２）
２计算：
（１）（－７）×（－９）×（－８）；　
（２）（－８４６）× ２５×（－４）
３计算：
（１）－８×（＋１２）×（－７）× １３；　
（２）（－１００）× ７２×（－５０）× ０×（－２）
　　２有理数的除法
两个有理数相除，如何进行？
对于有理数，除法也是乘法的逆运算．根据这个关系请
计算（填空）：
乘　法
除　法
（＋２）×（＋３）＝＋６
（＋６）÷（＋２）＝　
　
　
　
　
（＋６）÷（＋３）＝　
　
　
　
　
（－２）×（－３）＝＋６
（＋６）÷（－２）＝　
　
　
　
　
（＋６）÷（－３）＝　
　
　
　
　
（－２）×（＋３）＝－６
（－６）÷（－２）＝　
　
　
　
　
（－６）÷（＋３）＝　
　
　
　
　
　　通过上面计算，你能体会到有理数除法应如何计算吗？
有理数的除法法则（ｌａｗｏｆｄｉｖｉｓｉｏｎ）：
１两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
另外，０÷（＋５）＝　　　，０÷（－５）＝　　　
２０除以一个不为０的数仍得００不能做除数
３３
　
　１．５　有理数的乘除
填表（想法则、写结果）：
被除数
除　数
商的符号
商的绝对值
商
－２７
＋９
＋７５
＋２５
＋１０
－１０
－７
２
－７
４
　　（１）小学里做分数运算时，怎样将除法转化为
乘法？
（２）有理数的除法也可以转化为乘法吗？
把你的看法与同学交流．
　　和小学里做运算一样，有理数除法也可转化为乘法：
除以一个不为０的数，等于乘以这个数的倒数
例２　计算：
（１）（－８）÷ －
(
)
２
３；　　　　（２）－３０
(
)
７
÷ １０．
解　（１）（－８）÷ －
(
)
２
３
＝（－８）× －
(
)
３
２
＝１２．
（２）－３０
(
)
７
÷ １０＝－３０
(
)
７
× １
１０＝－３
７．
３４
　第１章　有理数　
１写出下列各数的倒数：
－２
３，０２５，－６，１，－１．
２判断正误：
（１）０没有倒数．
（　　）
（２）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．
（　　）
３计算：
　
　
　
　　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　　
（１）－(
)
３
４
÷ －(
)
１
４；
（２）＋(
)
５
８
÷（－５）；
（３）０÷ －１１
(
)
６；
（４）（－４２）÷（＋６）；
（５）－３６
(
)
７
÷ ６；
（６）（－８）÷ －１６
(
)
５；
（７）（－２）÷（－４）；
（８）（－０７５）÷ ５
４；
（９）（－１）÷ －(
)
１
３；
（１０）２÷ －(
)
１
２
．
　　３乘、除混合运算
例３　计算：
（１）－
(
)
５
２
÷（－５）×（－２）；
（２）（－６）÷（－４）÷ －
(
)
６
５
．
解　（１）－
(
)
５
２
÷（－５）×（－２）
＝－
(
)
５
２
× －
(
)
１
５
×（－２）
＝－１．
（２）（－６）÷（－４）÷ －
(
)
６
５
３５
　
　１．５　有理数的乘除
　　　
＝（－６）× －
(
)
１
４
× －
(
)
５
６
＝－５
４．
例４　计算：
（１）３
４＋１
５÷ －
(
)
４
５
－２
５× －
(
)
５
４；
（２）－５＋１－０２×
(
)
５
３
÷（－２）．
解　（１）３
４
＋１
５÷ －
(
)
４
５
－２
５× －
(
)
５
４
＝３
４＋１
５× －
(
)
５
４
－２
５× －
(
)
５
４
＝３
４－１
４＋１
２
＝１．
（２）－５＋１－０２×
(
)
５
３
÷（－２）
＝－５＋１－
(
)
１
３
÷（－２）
＝－５＋２
３× －
(
)
１
２
＝－５－１
３
＝－１６
３．
从这里可以看到：有理数乘、除的混合运算，可统一化
为乘法运算．
含加、减、乘、除的算式，如没有括号，应先做乘除运
算，后做加减运算；如有括号，应先做括号里的运算．
３６
　第１章　有理数　
在小学学习时，我们知道乘法有三条运算律，即
乘法交换律：ａｂ＝ｂａ．
乘法结合律：（ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ）．
分配律（ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅｌａｗ）：ａ（ｂ＋ｃ）＝ａｂ＋ａｃ．
引入负数后，这三条运算律也同样适用，即这里的ａ，ｂ，
ｃ可以表示任何有理数．
运用这些运算律，有时可以简化计算．
例５　计算：
（１）１
４＋１
６－
(
)
１
２
×（－１２）；
（２）（－０１）×（－１００）× ００１×（－１０）．
解　（１）１
４＋１
６－
(
)
１
２
×（－１２）
＝１
４×（－１２）＋１
６×（－１２）－１
２×（－１２）　
（分配律）
＝－３－２＋６
＝１．
（２）（－０１）×（－１００）× ００１×（－１０）
＝－（０１× １００× ００１× １０）　
（乘法符号法则）
＝－［（０１× １０）×（００１× １００）］　
（乘法交换律、结合律）
＝－１．
１．计算：
（１）－８１
(
)
２０× １２５×（－８）；　
　
　
　
　
　（２）－３５÷ －(
)
７
８
× －(
)
３
４
．
３７
　
　１．５　有理数的乘除
（第３题）
２计算：
（１）
７
９－５
６＋３
４－７
(
)
１８× ３６；
（２）－５
(
)
３１× －(
)
９
２
× －３１
(
)
１５× ２
９．
３探空气球的气象观测统计资料表明，高度每增加１ｋｍ，气
温降低大约６℃．现在地面气温是２１℃，那么１０ｋｍ高空
处的气温约是多少摄氏度？
习题１．５
１计算：
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
（１）（－８）×（＋１２５）；
（２）０×（－１９１９）；
（３）（＋０００２）× －１
(
)
５００；
（４）＋８
(
)
３
× －８
(
)
３

２计算：
（１）（－３）×（－４）×（－５）；　
（２）－７
(
)
８
× １５× －８
(
)
７

３计算：
（１）（－１）×（２－５）；　
（２）８－３×（４－６）；
（３）－３
(
)
４
× －８＋２
３－４
(
)
３；　
（４）（－１２）× －５
(
)
８
＋（－２４）× １
１２．
４计算：
（１）－４
(
)
３
÷ －３
(
)
４；　
　
（２）－３
(
)
５
÷ －３
(
)
５；
（３）（＋１８４）÷（－０５）；
（４）（－０２５）÷（－４）；
（５）０÷（－１８５０）；
（６）（－０７５）÷ ４５
８
５计算：
（１）－６÷（－０２５）× ５
６；　
（２）（－１７）×（－９）× ０× ３７；
（３）（－６０）×
３
４＋５
６－１１
１５－７
(
)
１２；　
（４）－９×（－１１）－１２×（－８）
３８
　第１章　有理数　
６计算：
（１）１－０２×
－３－４×
１８
５－
(
)
[
]
５３；　（２）１
２０－
(
)
３
４
×
５
７＋－５
(
)
[
]
１４；
（３）－２２
７×
２２
７－
(
)
４
３
× ７
２２÷ －２２
(
)
２１；　
（４）｛４－［１２＋４×（３－１０）］｝÷ ５．
７．在下面括号内填上适当的数：
（１）（－５）＋（　）＝１；　
　
（２）（－５）－（　）＝１；
（３）（－５）×（　）＝１；　
　
（４）（－５）÷（　）＝１．
翻币问题
金质纪念币的正面、反面如图１
１４所示．
如果桌上有３枚金质纪念币，正面全部向上．现在让你做一
个游戏：每次将其中２枚同时翻转，问：能否经过若干次翻转，使
３枚纪念币的反面全部向上？
先动手做一做，看有没有可能．如果不可能，又如何说明其中
的道理？
这个实际问题怎样转化为数学问题呢？
在每枚金币的正面上写个＋１，反面上写个－１．每翻转一次
就相当于把原来向上一面上的数字乘－１．
研究３枚金币向上一面上的３个数的积，把这个积记作ｓ．
当３枚金币都是正面向上时，有
ｓ＝（＋１）×（＋１）×（＋１）＝＋１．
如果每次同时翻转２枚，多试几次，看能不能使３枚金币反面
都向上，即得到
ｓ＝（－１）×（－１）×（－１）＝－１．
为什么得不到？请与同伴们交流，看谁能说清其中道理．
如果金币有６枚，每次翻转３枚，能不能使正面全部向上变为
反面全部向上？
图　１
１４
３９
　
　１．６　有理数的乘方
１．６有理数的乘方
　　如图１
１５（１），边长为５的正方形，它的面积是５×５＝
２５，５× ５可记作５２．
如图１
１５（２），棱长为２的正方体，它的体积是２×２×
２＝８，２× ２× ２可记作２３．
一般地，ｎ个相同的因数ａ相乘，记作ａｎ，即
这种求ｎ个相同因数的积的运算叫做乘方．乘方的结果
叫做幂（ｐｏｗｅｒ）．
在乘方运算ａｎ中，ａ叫做底数（ｂａｓｅｎｕｍｂｅｒ），ｎ叫做ａ
的幂的指数，简称指数（ｅｘｐｏｎｅｎｔ）．ａｎ既表示ｎ个ａ相乘，又
表示ｎ个ａ相乘的结果．因此ａｎ可读作ａ的ｎ次方，或ａ的
ｎ次幂（图１
１６）．
例如，在幂５２中，底数是５，指数是２，５２读作５的２次
方（或５的平方）或５的２次幂２３读作２的３次方（或２的
立方）或２的３次幂．
一个数的一次方，就是这个数本身，例如６１就是６，指数
１通常省略不写．
例１　计算：
（１）（－４）３；　　　　　　　　（２）（－２）４．
解　（１）（－４）３＝（－４）×（－４）×（－４）＝　　　．
（２）（－２）４＝　　　　　　　　　　　
＝　　　．
用计算器直接按下列顺序计算：
图　１
１５
图　１
１６
４０
　第１章　有理数　
按键顺序
显　示
４
＋／－
　
ｙｘ
３
＝
－６４
２
＋／－
　
ｙｘ
４
＝
　１６
　　乘方运算实际上就是乘法运算，根据有理数的乘法法
则，可得乘方运算的法则：
非０有理数的乘方，将其绝对值乘方，而结果的符号是：
正数的任何次乘方都取正号；负数的奇次乘方取负号，负数
的偶次乘方取正号
在进行有理数的加、减、乘、除以及乘方混合运算时，一
般应按下列顺序进行：
先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的
运算
例２　计算：
（１）－１０＋８÷（－２）２－（－４）×（－３）；
（２）－
(
)
９
５
× －
(
)
５
３
２
＋－
(
)
３
８
÷
－
(
)
１
２
３
－
[
]
１
４
．
解　（１）－１０＋８÷（－２）２－（－４）×（－３）
＝－１０＋８÷ ４－４× ３
＝－１０＋２－１２
＝－２０．
（２）－
(
)
９
５
× －
(
)
５
３
２
＋－
(
)
３
８
÷
－
(
)
１
２
３
－
[
]
１
４
＝
－
(
)
９
５
× ２５
９＋－
(
)
３
８
÷
－
(
)
１
８
－
[
]
１
４
＝
－
(
)
９
５
× ２５
９＋－
(
)
３
８
÷ －
(
)
３
８
＝－５＋１＝－４．
４１
　
　１．６　有理数的乘方
图　１
１７
　　拉面师傅制作拉面时，按对折、拉
伸的步骤，重复多次，如图１
１７．
（１）先用乘法计算拉１２次得到的
面条数，再改用计算器计算，这两种方
法哪种算得快？
（２）如果拉面师傅每次拉伸面条
的长度为０８ｍ，那么拉１２次后，得到
的面条总长是多少米？
１举出用乘方计算的实例．
２填空：
（１）在７４中，底数是　
　
　，指数是　
　　；
（２）在－
(
)
１
２
５中，底数是　
　
　，指数是　　　．
３计算（先确定符号，再算结果）：
（１）（－１５）２；　
　
　
　
　
　
　
　
　
　　　　（２）４×（－２）３；
（３）－（－２）４；　
　
（４）（－２）３×（－２）２
４计算：
（１）－２３－３×（－１）３－（－１）４；
（２）（－２）３÷ ４
９× －(
)
２
３
２
．
　　在日常生活中，常会接触到一些比较大的数，如长江三
峡水库容量达３９３００００００００ｍ３；光在空气中传播的速度大
４２
　第１章　有理数　
约是３００００００００ｍ／ｓ（图１
１８）．
这些较大的数，像上面的写法，写起来既麻烦又容易出
错，于是人们想出如下的简洁方法来表示它们．
一种方法是用更大的数量级来表示：
如将３９３００００００００表示为３９３亿．
另一种方法是，由于１０的正整数次幂有如下特点：
１０１＝１０，１０２＝１００，１０３＝１０００，１０４＝１００００，…，因
而，也可用１０的幂来表示上述大数，例如：
３９３００００００００＝３９３× １００００００００００＝３９３× １０１０，
３００００００００＝３× １００００００００＝３× １０８．
一般地，一个绝对值大于１０的数都可记成± ａ× １０ｎ的
形式，其中１≤ａ＜１０，ｎ等于原数的整数位数减１．
图１
１９　哪种写法好
这种记数方法，在科学技术方面是常用的，习惯上把它
叫做科学记数法（ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃｎｏｔａｔｉｏｎ）．
例３　资料表明，被称为“地球之肺”的森林正以每年约
１３００万公顷的速度从地球上消失，每年森林的消失量用科
学记数法表示应是多少公顷？
解　
１３００万＝１３００００００＝１３× １０７．
因此，每年森林的消失量用科学记数法表示应是
１３× １０７ｈｍ２．
图　１
１８
４３
　
　１．６　有理数的乘方
１用科学记数法表示下列各数：
１００００，８０００００，５６００００００，７４０００００．
２下列用科学记数法表示的数原来各是什么数？
１× １０７，４× １０３，８５× １０６，７０４× １０５．
３我国水稻育种专家于１９７６年培育出杂交水稻，到２００６年时，全国累计种植杂交水稻
面积达３７３００００ｈｍ２，累计生产稻谷达５２００亿千克．用科学记数法表示上述有关稻
谷的数据
４目前我国水土流失问题仍很严重．每年全国土壤流失总量高达５０亿吨，其中长江流域
年土壤流失量为２４亿吨，黄河流域仅黄土高原区域每年就流失１６亿吨．用科学记数
法表示上述数据．
习题１．６
１计算：
（１）－２４－（４－６）２－１２×（－２）２；
（２）－５
８×（－４）２－０２５×（－５）×（－４）３；
（３）７× １０２＋６×（－１）２－８×（－１）３；
（４）［０－（－３）］×（－６）－１２÷［（－３）＋（－１５）÷ ５］；
（５）（－２）３×（－３）２；
（６）－２× ０１３＋（－０２）２×（－０８）；
（７）－３
２×
－３２× －２
(
)
３
３
－
[
]
２
２当ａ＝－２时，判断下列各式是否成立：
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
（１）ａ２＝（－ａ）２；
（２）ａ３＝（－ａ）３；
（３）－ａ２＝｜－ａ２｜；
（４）ａ３＝｜ａ３｜
３１天有８６４× １０４ｓ，一年如果以３６５天计，共有多少秒？
４４
　第１章　有理数　
４用科学记数法表示下列各数：
（１）３０４０００；
（２）８７０００００；
（３）５００９０００００；
（４）６３００００００．
５下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
（１）９６× １０５；　
（２）６０３× １０８
６用科学记数法表示下列各数：
（１）地球的半径约为６４０００００ｍ；
（２）青藏铁路从青海西宁到西藏拉萨的铁路全长约１９５５０００ｍ；
（３）长江每年流入大海的淡水约是１０００亿立方米；
（４）地球上已发现的生物约１７０００００种；
（５）太平洋西部的马里亚纳海沟在海平面下约１１０００ｍ处；
（６）我国总人口（未包括台湾、香港、澳门）２０１０年底约达１３４０００００００人．
７填空：
（１）一种电子计算机每秒可做４× １０７次计算，也就是说它每秒可做　
　
　万次
计算；
（２）一期国债发行了６× １０１０元，也就是发行了　
　亿元；　
　
（３）我国香港特别行政区的陆地面积约为１１× １０９ｍ２，也就是约为　
　
　
ｋｍ２．
４５
　
　１．７　近似数
１．７近似数
１数一数今天班上的同学数．
２查一查你的数学课本的页数．
３量一量数学课本的宽度．
４称一称你的书包的质量．
在上面的操作中得到的数据，哪些是精确的？
哪些是近似的？
在上述“操作”中，操作１和２的数据由计数得来，是准
确数．操作３和４的数据由测量得来，由于受测量工具、测量
方法、测量者等因素的影响，测量的结果一般只是一个与实
际数值很接近的数，我们称此数为近似数（ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ
ｎｕｍｂｅｒ）．如图１
２１，测量数学课本的宽度，图（１）是用只有
图　１
２１
图　１
２０
４６
　第１章　有理数　
厘米刻度的尺去测量，得宽度约１８４ｃｍ，图（２）是用有毫米
刻度的尺去测量，得宽度约１８４３ｃｍ．
这里得到的１８４ｃｍ，１８４３ｃｍ都是数学课本宽度的近
似值．
近似值与它的准确值的差，叫做误差（ｅｒｒｏｒ），即
误差＝近似值－准确值．
误差可能是正数，也可能是负数．误差的绝对值越小，近
似值就越接近准确值，也就是近似程度越高．
近似数与准确数的接近程度，通常用精确度表示．前
面测得数学课本宽度值１８４ｃｍ，１８４３ｃｍ都是近似数．
１８ｃｍ是精确到个位（或者说精确到１ｃｍ）的近似数（测量
时，尺上只读到厘米刻度数，小于１ｃｍ的刻度数略去），
１８４ｃｍ是精确到十分位（或者说精确到０１ｃｍ）的近似
数（在尺上，读到毫米刻度数）．近似数一般由四舍五入法
取得，四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那
一位．
除了测量会得到近似数外，在计数、计算等许多情况下，
有时很难取得准确数，有时不必使用准确数，这时，就可以使
用近似数．例如，在涉及有关圆的周长或面积计算时，遇到
π，常取π ≈３１４．又如黄山的最高峰———莲花峰海拔
１８６７ｍ．在向游客介绍时，说是约１９００ｍ，或约１８７０ｍ，都
是可以的．
例１　十一期间，某商场准备对商品作打８折即８
(
)
１０促
销．一种原价为３４８元的微波炉，打折后，如果要求精确
到元，定价是多少？如果要求精确到１０元，定价又是
多少？
解　这种微波炉打８折后的价格为
３４８× ８
１０＝２７８４（元）．
图　１
２２
　　　
４７
　
　１．７　近似数
要求精确到元的定价为２７８元；精确到１０元的定价为
２．８× １０２元．
例２　据２０１０年上海世博会官方统计，２０１０年５月１
日到１０月３１日期间，共有７３０８．４４万人次入园参观，求每
天的平均入园人次（精确到０．０１万人次）．
解　从５月１日到１０月３１日共有１８４天，所以每天的
平均入园人次为
７３０８．４４÷ １８４≈３９．７１９≈３９．７２（万人次）．
例３　下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪
一位？
（１）４８３；　　　　　　　　（２）００３０８６；
（３）２４０万；
（４）６５× １０４．
解　（１）４８３，精确到十分位．
（２）００３０８６，精确到十万分位（或精确到０００００１）．
（３）２４０万，精确到百位．
（４）６５× １０４，精确到千位．
１下列各题中的数据，哪些是准确的？哪些是近似的？
（１）小芳班上有４５人；
（２）我国有５６个民族；
（３）我国人工造林的保存面积居世界首位，目前已达６２００万公顷；
（４）举世瞩目的西气东输工程全长４０００ｋｍ．
２用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似值：
（１）０８５１４９（精确到千分位）；　
　
　　　（２）４９９６（精确到十分位）；
（３）１５９７２（精确到００１）；
（４）３７２５０（精确到千位）．
４８
　第１章　有理数　
习题１．７
１下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？
（１）小强的身高为１６０ｍ；
（２）２０１０年底我国高速公路里程约为７４１× １０７ｍ；
（３）我国的陆地面积为９６× １０６ｋｍ２；
（４）京九铁路线北起北京，南达香港九龙，全长为２５× １０６ｍ
２用四舍五入法，对下列各数按括号中的要求取近似值：
（１）５４０７２（精确到００１）；
（２）０７０９６（精确到千分位）．
３下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？
（１）２５７；　
　
　（２）０００４０７；　
　
　（３）１３亿；　
　
　（４）２５０× １０４
（第４题）
４如图，应用激光技术测得地球和月球之间的距离为
３７７９８５６５４３２ｍ，请按下列要求分别取这个数的近似数：
（１）精确到千位；
（２）精确到千万位；
（３）精确到亿位．
５张军和李明今年都是１３岁，那么他们一样大吗？怎样比
较他们的大小．
６下列每题中表示同一个数的两个近似值，它们表示的意思
是否相同？说明理由．
（１）２４０万，２４万；　
　（２）１０× １０１３，１× １０１３．
负　　数
负数，在我国最早出现在《九章算术》一书中．《九章算术》是
我国古代数学里最重要的一部著作，在该书“方程”一章中引进了
负数，并提出了“正负术”，即正负数加减运算法则．
４９
　
　１．７　近似数
公元３世纪魏晋时数学家刘徽，于公元２６３年撰写了《九章
算术注》，在这部著作中刘徽对负数的出现作了很自然的解释：
“两算得失相反，要令正、负以名之．”这句话实质上给出了正、负
数的定义．刘徽还对当时用算筹（小竹棒，当时的计算工具）作计
算时如何表示作出规定：“正算赤，负算黑，否则以邪正为异．”就
是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹．如果只有同色算筹的
话，则遇到正数将筹放正，负数将筹放邪（同斜）．宋代以后出现笔
算也相应地用红色和黑色数字以区别正数、负数．后来由于黑色
成了主要书写色，才演变成用黑色数字表示收入，红色数字表示
支出．今天人们还常用“财政赤字”来表示财政的亏空．
关于正负数的加减运算法则，《九章算术》中已有着明确规
定．正负数乘除法则，元代朱世杰于《算学启蒙》（１２９９年）中作出
了规定：“同名相乘为正，异名相乘为负”、“同名相除所得为正，异
名相除所得为负”．因此最迟于１３世纪末，我国对有理数四则运
算法则已全面作了总结．
在国外，７世纪的印度数学家也开始使用负数．在欧洲对负数
的认识却进展缓慢，直到１６世纪在韦达的著作中还回避使用负数．
图１
２４　刘徽《九章算术注》书影
图１
２３　刘徽
５０
　第１章　有理数　
一、内容整理
二、主要知识回顾
１．整数与分数统称有理数．有理数又常按以下方式分类：
有理数
正有理数
０{负有理数
２．有理数是有序的，可以比较大小．在数轴上，右边的点所表示的数比左
边的点所表示的数大．
５１
　
　小结·评价
３．有理数运算
（１）运算法则
运　算
两数同号
两数异号
符　号
绝对值
符　号
绝对值
两数中
一个为０
加法
乘法
　　减法可化为加法：减去一个数，等于加上　　　　　　．
除法可化为乘法：除以一个不为０的数，等于乘以　　　　　　．
乘方即为乘法：是相同因数的乘法．
（２）运算律
设ａ，ｂ，ｃ是任意有理数，用式子表示下面运算律：
运　算
加　法
乘　法
交换律
结合律
分配律
　　（３）运算顺序
先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算．
三、自评与互评
１．引进负数解决了什么问题？谈谈你的看法．
２．举例说明有理数的运算（加、减、乘、除）与小学学习的同样运算的不同
之处．
３．如果你是老师，你准备以什么具体问题向学生解释算式２－３＝－１．
把你的想法和同学们交流．
４．从特殊到一般是数学发现中常用的方法，在本章的学习中也多次用到
这种方法，请举例说明．
５．数轴是研究数学问题的重要工具，结合本章学习谈谈数轴是如何帮助
你理解所学知识的．
５２
　第１章　有理数　
１判断正误：
（１）有理数分为正数和负数．
（　
　）
（２）－ａ一定表示负数．
（　
　）
（３）－｜－２｜＝２．
（　
　）
（４）（－３）３０＞０．
（　
　）
２报纸上常出现进出口贸易“顺差”和“逆差”，查一查资料，说一说它们的含义．
３将下列各数表示在数轴上，并从小到大用“＜”号把它们连接起来：
－４，０，－１５，１，－０５，－６，＋７，２５．
４比较下列各组数的大小：
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
（１）－（＋０１６）与－｜－０１６１｜；　
　
　
　
　
　
　
　
　
（２）－（－１５）与１５；
（３）－０３３３与－１
３；
（４）｜－９｜与－｜＋９｜
５（１）在数轴上到原点距离等于６个单位长度的点表示什么数？
（２）求满足等式｜ｘ｜＝｜－５｜的ｘ值．
６计算：
（１）（－１０）＋８；
（２）（－１３）＋（－３０）；
（３）（－１５）－２１；
（４）（－１３）－（－７）；
（５）（－３２）－（－３２）；
（６）２５－（－２５）；
（７）－(
)
２
５
× －(
)
５
２；
（８）（－１１）× １２；
（９）（－９１）÷ １３；
（１０）（－４８）÷（－１６）；
（１１）－(
)
１
３
÷ －(
)
４
３；
（１２）２５÷（－５）
７判断正误：
（１）两个数的积是正数，这两个数都是正数．
（　
　）
（２）负数的任何次方都是负数．
（　
　）
５３
　
　小结·评价
８计算：
（１）７３－８２＋５１－１２；
（２）１５－［１－（－１０－４）］；
（３）－２
３＋－(
)
１
６
－－(
)
１
４
－１
２；
（４）１
２－２
５－３
(
)
１０÷ －(
)
３
５；
（５）－５
３× ０．５－
(
)
２
３
÷ １０
９；
（６）４２× －(
)
２
３
＋－(
)
３
４
÷（－０．２５）；
（７）（－５６）÷（－１２＋８）＋（－２）× ５；
（８）－３２－（－２）２＋（－３）３－２３．
９填空：
（１）截至２０１０年底，我国已建立的自然保护区总面积为１４９４４万公顷，用科学记数
法表示应为　
　　ｈｍ２；
（２）截至２０１０年底，我国手机用户达到８５９亿户．用科学记数法表示应为　
　户．
１０用四舍五入法对下列各数按要求取近似值：
（１）１２１７，８６０４００（精确到十位）；
（２）３４０１７，９２５９８（精确到百分位）．
１１某冷冻厂的一个冷库的温度是－２℃，现有一批食品需要在－２８℃下冷藏，如果
每时能降温４℃，问经过多长时间能降到所要求的温度？
１２某商店出售的一种袋装大米，在包装袋上标有：２５（ｋｇ）± ０２５（ｋｇ）．问：
（１）±０２５（ｋｇ）是什么意思？
（２）这袋大米最多有多重？最少有多重？
１３学校开运动会选拔男仪仗队员．身高以１７５ｃｍ为基准，高于基准记为正，低于基
准记为负．现有参选队员５人，量得他们的身高后，分别记为－５ｃｍ，－３ｃｍ，
－１ｃｍ，２ｃｍ，３ｃｍ．如果实际选拔男仪仗队员的身高标准为１７３～１７７ｃｍ（包括
１７３ｃｍ和１７７ｃｍ），那么上述５人中有几人可入选？
５４
　第１章　有理数　
１有理数ｘ１，ｘ２表示在数轴上得到点Ａ１，Ａ２，我们就把ｘ１，ｘ２叫做Ａ１，Ａ２的一维
坐标．一般地，称｜ｘ２－ｘ１｜为点Ａ１与点Ａ２之间的距离．如果ｘ１，ｘ２分别取下面
各组的值，试求｜ｘ２－ｘ１｜的值．
（１）ｘ１＝５，ｘ２＝２；　
　
（２）ｘ１＝２，ｘ２＝－５；
（３）ｘ１＝６，ｘ２＝－３；
（４）ｘ１＝－３，ｘ２＝－６
２ｎ是正整数，求（＋１）ｎ＋（－１）ｎ
２
的值．
３计算：
（１）１－２＋３－４＋５－６＋… ＋９９－１００；
（２）１－２＋３－４＋５－６＋… ＋９９－１００＋１０１；
（３）１－２＋３－４＋５－６＋… ＋（－１）ｎ＋１ｎ（ｎ为正整数）．　
　
　
５５
　
　小结·评价
整式加减
２．１　代数式
２．２　整式加减
　　RSTUVWXTYZ[\]'-*，^[_`\]
.abcdef.*ghi，6jab`kjlm？D2
3nopqrFQ？
　
　
!"0'(1+23425678．
５６
　第２章　整式加减　
２．１代数式
　　１．用字母表示数
问题?　２００８年９月２５日，我国成功发射了“神舟七
号”载人飞船．它在椭圆形轨道上环绕地球飞过４５周，历时
约６８ｈ．试求：
（１）该飞船绕地球飞行一周约需　　　　
ｍｉｎ（精确到
１ｍｉｎ）；
（２）该飞船绕地球飞行ｎ周约需　　　　ｍｉｎ．
问题?　能被２整除的整数叫做偶数（ｅｖｅｎｉｎｔｅｇｅｒ），不
能被２整除的整数叫做奇数（ｏｄｄｉｎｔｅｇｅｒ）．
设ｋ表示任意一个整数，用含有ｋ的式子表示：
（１）任意一个偶数：　　　　；
（２）任意一个奇数：　　　　．
图　２
２
图　２
１
５７
　
　２．１　代数式
问题?　如图２
２，月历中用长方形框任意框出的３个
数之间的关系是　　　　　　　　（请用一个等式表示
这个关系）．
从上面例子可以看出：用字母表示数，可以把一些数量
关系更简明地表示出来，把具体的数换成抽象的字母，使所
得式子反映的规律具有普遍意义，从而为叙述和研究问题带
来方便．
１用所给字母表示有关图形的周长和面积的计算公式：
名　称
图　形
用字母表示公式
周长（Ｃ）
面积（Ｓ）
正方形
Ｃ＝４ａ
Ｓ＝ａ２
三角形
梯　形
圆
２填空：
（１）甲、乙两地相距ｓｋｍ，一辆汽车以ｖｋｍ／ｈ的平均速度从甲地到乙地，走完全程共
需　　
　
　
ｈ；
５８
　第２章　整式加减　
　（２）把ａｇ盐放进ｂｇ水中全部溶化得到盐水，这时盐水含盐的百分率为　　　　；
（３）棱长为ａｃｍ的正方体，它的体积为　　　　
ｃｍ３；
（４）圆锥的底面半径为ｒｍ，高为ｈｍ，它的体积为　　　　ｍ３．
３．填空：
（１）如果ａ，ｂ互为相反数，那么ａ＋ｂ＝　　　　；
（２）用字母表示有理数减法法则：　
　　　　　　　　　　　　　．
４．判断正误：
（１）如果ａ，ｂ是任意数，ａ＝ｂ，那么｜ａ｜＝｜－ｂ｜．
（　　）
（２）如果ａ，ｂ是任意数，ａ＞ｂ，那么｜ａ｜＞｜ｂ｜．
（　　）
　　２．代数式
在前面，出现了９１ｎ，ａ＋ｂ，２ｋ－１，４ａ，ａ２，ｓ
ｖ，１
３πｒ２ｈ
等，像这样用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数
的字母连接而成的式子，叫做代数式（ａｌｇｅｂｒａｉｃｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）．
单个的数或字母也是代数式．
在代数式中：
（１）如果出现乘号，可写成“·”或不写．数字与字母相
乘时，数字写在字母前，如９１× ｎ写成９１ｎ．字母与字母相乘
时，相同字母写成幂的形式，如ａ·ａ写成ａ２．数字与数字相
乘时，“×”号不能省．
（２）如果式中出现除法，一般写成分数形式，如ｓ÷ｖ写
成ｓ
ｖ．
在今后的学习中，为解决问题常需先把问题中的一些数量
关系用代数式表示出来，也就是列出代数式．
例１　设甲数为ａ，乙数为ｂ，用代数式表示：
（１）甲数的３倍与乙数的一半的差；
５９
　
　２．１　代数式
（２）甲、乙两数和的平方．
解　（１）３ａ－１
２ｂ．　　　　（２）（ａ＋ｂ）２．
例２　填空：
（１）某商店上月收入ｘ元，本月收入比上月的２倍还多
５万元，该商店本月收入为　　　　元；
（２）一件ａ元的衬衫，降价１０％后，价格为　　　　元；
（３）含盐１０％的盐水８００ｇ，在其中加入盐ａｇ后，盐水
含盐的百分率为　　　　．
解　（１）（２ｘ＋５００００）．
（２）（１－１０％）ａ．
（３）８００× １０％＋ａ
８００＋ａ
× １００％＝
８０＋ａ
８００＋ａ× １００％．
１填空：
（１）甲数比乙数的２倍多４，设乙数为ｘ，则甲数为　　　　；
（２）甲数除以乙数得商为１０，设甲数为ｙ，则乙数为　　　　．
２填空：
（１）ｍ支铅笔售价１０元，ｎ支这种铅笔的售价是　　　　元；
（２）苹果每千克售价ｐ元，买５ｋｇ以上９折优惠．现买１５ｋｇ，应付　　　　元．
３用代数式表示：
（１）－ａ的相反数；
（２）ａ，ｂ两数平方的和．
４用代数式表示：
（１）一桶含盐ｐ％的盐水的质量为ｍｋｇ，则这桶盐水中水的质量为多少？
（２）某超市里的矿泉水进价每瓶为ａ元，零售时每瓶要加价２０％，它的零售价是多
少元？
６０
　第２章　整式加减　
　　例３　用代数式表示：
（１）把ａ本书分给若干名学生，若每人５本，尚余３本，
求学生数；
（２）２０１１年６月３０日京沪高铁客运专线正式开通，从
北京到上海，高铁列车比动车组列车运行时间缩短了约３ｈ．
假设从北京到上海列车运行全程为ｓｋｍ，动车组列车的平
均速度为ｖｋｍ／ｈ，求高铁列车运行全程所需的时间．
解　（１）从ａ本书中去掉３本后，按每人５本正好分
完，故学生数为ａ－３
５
．
（２）因为动车组列车运行全程需要ｓ
ｖｈ，所以，高铁列
车运行全程需要
ｓ
ｖ－
(
)
３
ｈ．
例４　说出下列代数式的意义：
（１）圆珠笔每支售价ａ元，练习簿每本售价ｂ元，那么
３ａ＋４ｂ表示什么？
（２）长方形的长、宽分别为ａ，ｂ，那么ａ（ｂ＋１）表示
什么？
解　（１）３支圆珠笔与４本练习簿的总价格．
（２）长为ａ、宽为ｂ＋１的长方形的面积．
１填空：
（１）购买单价为ａ元的贺年卡ｎ张，付出５０元，应找回　
　
　
　元；
（２）女儿今年ｘ岁，妈妈的年龄是女儿的３倍，３年后妈妈的年龄是　　　　岁．
２用代数式表示被３除所得的商为ｎ、余数为２的整数．
３长方体的长为３ｍ、宽和高都是ａｍ，用代数式表示长方体的表面积．
４代数式２ｘ＋３可以表示什么？结合生活实际，举出两个可以用这个代数式表示其中数
量关系的例子．
６１
　
　２．１　代数式
　
　１．整数２３读作“二十三”，应是２×１０＋３．如果
图　２３
一个整数的个位和十位上的数字分
别是ａ１，ａ２，那么这个两位数用代数
式表示为　　　．
对于任一个三位数，设它个位、
十位和百位上的数字分别为ａ１，ａ２，
ａ３，那么这个三位数用代数式表示
为　　　　．
２．松手释放一个小球，让它从
高处自由落下（图２
３），测得它下
落的高度ｈ与时间ｔ的有关数据如下表：
ｔ／ｓ
１
２
３
ｈ／ｍ
１
２× ９．８× １
１
２× ９．８× ４
１
２× ９．８× ９
ｔ／ｓ
４
５
…
ｈ／ｍ
１
２× ９．８× １６
１
２× ９．８× ２５
…
　　（１）观察表中的数据，你发现有什么规律？
（２）用含ｔ的式子表示ｈ，并求出ｔ＝１０时的
ｈ值．
３．把长与宽分别为２，１的小长方形纸片，一个紧
接着前一个排在一条直线上，形成一个个大长方形，依次
如图２
４
图　２
４
６２
　第２章　整式加减　
　
　（１）分别算出各个大长方形的周长（填在
表内）：
小长方形个数
１
２
３
４
５
６
大长方形周长
　　（２）当小长方形有ｎ个时，求大长方形的周长．
（第１题）
１（１）在一块长和宽分别为ａ，ｂ的长方形园地里，修建一个
中心是圆，四角都是四分之一个圆（半径均为ｒ）的花
坛，其余部分种上草．请算出草地面积，如图（１）；
（２）如果将长方形四边的中点顺次连接起来得到的四个
三角形及中间一个圆（半径为ｒ）的部分做花坛，其余
部分做草地，如图（２），这时草地的面积是多少？与图
（１）比较，哪一个图中草地面积大些？
（３）在这块园地里，你能设计出其他形状的花坛吗？把你
的设计和同学交流一下，并写出计算草地面积的
式子．
２．观察下列一组数：１
２，３
４，５
６，７
８，…它们是按一定规律排列
的，那么这一组数的第ｋ个数是　
　
　　．
３．如图是一组有规律的图案，第１个图案由４个基础图形组成，第２个图案由７个基础
图形组成……第ｎ（ｎ是正整数）个图案由　　　　个基础图形组成．
（第３题）
　　　　　　
　
　大长方形周
长是怎么算的，与
同学们交流，看看
算法是否一样？
６３
　
　２．１　代数式
　　在代数式中，４ａ，ａ２，１
３πｒ２ｈ，－ｙ都是数与字母的积，
像这样的代数式叫做单项式（ｍｏｎｏｍｉａｌ），其中４，１，１
３π，
－１分别是４ａ，ａ２，１
３πｒ２ｈ，－ｙ的系数（ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ）．单项
式的系数是１或－１时，“１”省略不写．单个的字母或数，如
ａ，７等也是单项式．
一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的
次数（ｄｅｇｒｅｅ）．如４ａ，－ｙ的次数都是１；而ａ２，１
３πｒ２ｈ的次
数分别是２，３
２ｘ＋３，ｂ＋ａ，ａｂ＋ａｃ，ｗ－２，１００ａ＋１０ｂ＋ｃ都是几个
单项式的和，像这样的代数式叫做多项式（ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ）．
在多项式里，每个单项式（连同符号）叫做多项式的项
（ｔｅｒｍ），其中不含字母的项，叫做常数项（ｃｏｎｓｔａｎｔｔｅｒｍ）．
如４ａ２－ａ＋７中，４ａ２，－ａ和７都是它的项，其中７是常
数项．　
　
一个多项式含有几项，这个多项式就叫做几项式．一个
多项式里，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．如
４ａ２－ａ＋７是二次三项式．
单项式与多项式统称为整式（ｉｎｔｅｇｒａｌｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）．
例５　写出下列单项式的系数和次数：
－１５ａ２ｂ，ｘｙ，２
３ａ２ｂ２，－ａ，１
２ａｈ．
解　
单项式
－１５ａ２ｂ
ｘｙ
２
３ａ２ｂ２
－ａ
１
２ａｈ
系　数
－１５
１
２
３
－１
１
２
次　数
３
２
４
１
２
６４
　第２章　整式加减　
　　例６　下列多项式分别是几次几项式？
２
３ｘ－１
２ｙ，４ａ２－ａｂ＋ｂ２，ｘ２ｙ２－１
３ｘｙ－１．
解　
２
３ｘ－１
２ｙ是一次二项式；
４ａ２－ａｂ＋ｂ２是二次三项式；
ｘ２ｙ２－１
３ｘｙ－１是四次三项式
１判断正误：
（１）ｘ是一次单项式．
（　　）
（２）５
ａ是单项式．
（　　）
（３）单项式ｘｙ没有系数．
（　　）
（４）２３ｘ２是五次单项式．
（　　）
（５）－１不是单项式．
（　　）
（６）３ｘ＋ｙ是二次二项式．
（　　）
２填表：
单项式
－７ａ
３
５ｘ２ｙ３
ｍ
０．３ｘｙ
２ａｂ
－ｘ２ｙ
系　数
次　数
３下列多项式是几次几项式，说出它们各项的系数、次数：
（１）－２ｘ＋１；　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　　　（２）ｘ２－ｘｙ＋ｙ２；
（３）３ｘ－４ｘ２＋１；　
（４）－ｍｎ－ｍ＋１
４说出多项式２ｘ－３ｘｙ２＋１中最高次项及常数项．
６５
　
　２．１　代数式
　　３．代数式的值
一项调查研究显示：一个１０～５０岁的人，每天所需的睡
眠时间ｔｈ与他的年龄ｎ岁之间的关系为ｔ＝１１０－ｎ
１０
．
例如，３０岁的人每天所需的睡眠时间为
ｔ＝１１０－３０
１０
＝８（ｈ）．
算一算，你每天需要多少睡眠时间？
像这样，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的
运算关系计算得出的结果叫做代数式的值（ｖａｌｕｅｏｆａｌｇｅｂｒａｉｃ
ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ）．
例７　某堤坝［图２
５（１）］的横截面是梯形［图２
５（２）］，
测得梯形上底ａ＝１８ｍ，下底ｂ＝３６ｍ，高ｈ＝２０ｍ，求这个
截面的面积．
图　２
５
解　梯形面积公式是
Ｓ＝１
２（ａ＋ｂ）ｈ．
将ａ＝１８，ｂ＝３６，ｈ＝２０代入上面公式，得
Ｓ＝１
２（ａ＋ｂ）ｈ
＝１
２×（１８＋３６）× ２０
６６
　第２章　整式加减　
＝５４０（ｍ２）．
答：堤坝的横截面面积是５４０ｍ２．
例８　当ｘ＝－３，ｙ＝２时，求下列代数式的值：
（１）ｘ２－ｙ２；　　　　　　（２）（ｘ－ｙ）２．
解　当ｘ＝－３，ｙ＝２时，
（１）ｘ２－ｙ２＝（－３）２－２２
＝９－４
＝５．
（２）（ｘ－ｙ）２＝（－３－２）２
＝（－５）２
＝２５．
１填图：
（第１题）
　　　　　　　
（第２题）
２如图是一个圆环，外圆与内圆的半径分别是Ｒ和ｒ．
（１）用代数式表示圆环面积；
（２）当Ｒ＝５ｃｍ，ｒ＝２ｃｍ时，圆环的面积是多少（π取３１４）？
３设甲数是ｘ，乙数是ｙ．
（１）用代数式表示甲、乙两数和的立方；
（２）用代数式表示甲、乙两数的立方和；
（３）当ｘ＝－２，ｙ＝－１时，计算（１）和（２）所列代数式的值．
６７
　
　２．１　代数式
习题２．１
１填空：
（１）２０ｋｇ种子售价ａ元，那么ｍｋｇ种子的售价是　
　
　元；
（２）某旅游景区有自行车出租，在前２ｈ每辆每时收租金１０元，以后每时收租金
ａ元，那么一辆自行车出租５ｈ应收租金　
　
　
　元．
２填空：
（１）三个连续整数中，中间一个是ｎ，其余两个分别是　
　
　和　
　
　；
（２）２ｎ是偶数，那么它的相邻偶数是　
　
　
　
　
　
　
　
　
．
３某商品实行８折优惠．（１）如果它的原价为ｘ元，求优惠价；（２）如果优惠价为ｘ
元，求原价．
４某餐厅有ａｍ３液化气，计划每天用ｂｍ３．现节约用气，每天少用２ｍ３．问实行节约
用气后可多用多少天？
５如图，求图中阴影部分的面积．
（第５题）
６已知代数式：
３ｘ，５
２ａｂ，２
Ｒ，－ｙ，ａ＋ｂ，１＋ｘ２－３ｘ，－２ｔ２，３ｘ－１
２，ｍ２－１，１
ｒ＋１．
（１）其中哪些是单项式？分别指出它们的系数和次数；
（２）其中哪些是多项式？它们分别是几次几项式？如果有常数项，那么常数项各
是什么？
７当ｘ＝１
２，ｙ＝－２时，求下列代数式的值：
（１）２ｘ２－ｙ＋２；　
　
　
　
　
　
　
　
　
　（２）４ｘ－２ｙ
ｘｙ

６８
　第２章　整式加减　
８将ａ＝－８，ｂ＝３，ｃ＝２，ｄ＝－４分别代入（ａ－ｂ）－（ｃ－ｄ）和ａ－ｂ－ｃ＋ｄ
两个式子，计算结果，看看它们是否相等？再任给ａ，ｂ，ｃ，ｄ若干组你喜欢的值，
代入上面式子中，计算结果．从中你能得到什么结论？
９．从山脚起每升高１００ｍ，气温降低０．６℃．已知山脚的温度是２６℃，在高出山脚ｘｍ
的山上温度是多少？在高出山脚８００ｍ的山上温度是多少？
（第１０题）
１０一种放铅笔的Ｖ形槽如图，从下向上数，第一层放１支，第
二层放２支，依次每层多放１支．只要数一数顶层的支数
ｎ，就可以用公式ｎ（ｎ＋１）
２
算出槽内铅笔的总数．当ｎ＝６，
ｎ＝１２时，分别计算槽内铅笔的总数．
１１．某商店出售一种商品，其数量ｘ与售价ｙ之间的关系如
下表（表中０．２是包装费）：
数量ｘ／件
１
２
３
４
…
售价ｙ／元
２．３＋０．２
４．６＋０．２
６．９＋０．２
９．２＋０．２
…
（１）写出用数量ｘ表示售价ｙ的代数式；
（２）求２０件这种商品的售价；
（３）若买这种商品花费了２３．２元，问买了多少件？
探索数的规律
任意写一个三位数，比如４１９．然后再把这个三位数
重写一次与它并排构成一个六位数：４１９４１９．对于这个
六位数，先用７去除，把得到的商用１１去除，对第二次
得到的商再用１３去除．这时，你得到怎样的结果？
再举几个三位数，按上述步骤试试．
你能归纳出其中的规律吗？能说明其中的道理吗？
６９
　
　２．２　整式加减
２．２整式加减
　　问题　在甲、乙两面墙壁上，各挖去一个圆形空洞安装
窗花，其余部分油漆．请根据图中尺寸（图２
６）算出：
（１）两面墙上油漆面积一共有多大？
（２）较大一面墙比较小一面墙的油漆面积大多少？
图　２
６
　　１．合并同类项
解答上面问题（１），容易看出一种办法是先算两个长方
形墙面的面积之和２ａｂ＋ａｂ，再减去两个圆面积之和πｒ２＋
πｒ２．
在２ａｂ＋ａｂ中，项２ａｂ与ａｂ都含字母ａ和ｂ，并且ａ的
指数都是１，ｂ的指数也都是１；在πｒ２＋πｒ２中项πｒ２与πｒ２
都含字母ｒ，并且ｒ的指数都是２．像这样，所含字母相同，并
且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（ｌｉｋｅｔｅｒｍ）．常数
项与常数项是同类项．
在多项式中遇到同类项，可以运用加法交换律、加法结
合律、分配律合并，如
４ｘ２＋２ｘ－１－３ｘ２＋３ｘ＋２　　　　　
７０
　第２章　整式加减　
＝４ｘ２－３ｘ２＋２ｘ＋３ｘ－１＋２　　　　
＝（４ｘ２－３ｘ２）＋（２ｘ＋３ｘ）＋［（－１）＋２］
＝（４－３）ｘ２＋（２＋３）ｘ＋（－１＋２）
＝ｘ２＋５ｘ＋１．
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项
（ｕｎｉｔｅｌｉｋｅｔｅｒｍ）．
合并同类项的法则是：
同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的
指数不变．
下面，请计算：（２ａｂ＋ａｂ）－（πｒ２＋πｒ２）
＝　　　　　　　　．
例１　合并下式中的同类项．
　　　
４ａ２＋３ｂ２－２ａｂ－３ａ２＋ｂ２．
解　４ａ２＋３ｂ２－２ａｂ－３ａ２＋ｂ２
＝（４ａ２－３ａ２）－２ａｂ＋（３ｂ２＋ｂ２）
＝（４－３）ａ２－２ａｂ＋（３＋１）ｂ２
＝ａ２－２ａｂ＋４ｂ２．
例２　求多项式３ａ＋ａｂｃ－１
３ｃ２－３ａ＋１
３ｃ２的值，其中
ａ＝－１
６，ｂ＝２，ｃ＝－３．
解　３ａ＋ａｂｃ－１
３ｃ２－３ａ＋１
３ｃ２
＝（３ａ－３ａ）＋ａｂｃ＋－１
３ｃ２＋１
３ｃ
(
)
２
＝（３－３）ａ＋ａｂｃ＋－１
３＋
(
)
１
３
ｃ２
＝ａｂｃ．
当ａ＝－１
６，ｂ＝２，ｃ＝－３时，
７１
　
　２．２　整式加减
原式＝ａｂｃ＝－
(
)
１
６
× ２×（－３）＝１．
１．下列各题中的两项是不是同类项？
　
　
　
　　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　　
（１）３ａ２ｂ与３ａｂ２；
（２）ｘｙ与－ｘｙ；
（３）４ａｂｃ与４ａｃ；
（４）－３与１
３．
２．判断下面合并同类项是否正确，若有错，请改正：
（１）５ｘ２＋６ｘ２＝１１ｘ４．
（　　　　　　　　　　）
（２）５ｘ＋２ｘ＝７ｘ２．
（　　　　　　　　　　）
（３）５ｘ２－３ｘ２＝２．
（　　　　　　　　　　）
（４）１６ｘｙ－１６ｙｘ＝０．
（　　　　　　　　　　）
３．合并下列各式中的同类项：
（１）－８ｘ＋８ｘ＝　
　
　
　
　
　；
（２）－ａ－７ａ＋３ａ＝　
　
　
　
　
　
．
４．求值：３ｘ－４ｘ２＋７－３ｘ＋２ｘ２＋１，其中ｘ＝２．
　　２．去括号、添括号
解答本节的问题（２），就是求整式２ａｂ－πｒ２与ａｂ－πｒ２
的差：
（２ａｂ－πｒ２）－（ａｂ－πｒ２），
要计算上式，先要去括号，如何去括号呢？
利用运算律，可以去括号，例如，
　
４＋（－ａ＋ｂ）
＝［４＋（－ａ）］＋ｂ（加法结合律）
＝４＋（－ａ）＋ｂ
＝４－ａ＋ｂ；（减法法则）
７２
　第２章　整式加减　
　
４－（－ａ＋ｂ）
＝４＋［（－１）×（－ａ＋ｂ）］（减法法则）
＝４＋［ａ＋（－ｂ）］（分配律）
＝（４＋ａ）＋（－ｂ）（加法结合律）
＝４＋ａ＋（－ｂ）
＝４＋ａ－ｂ．（减法法则）
比较
４＋（－ａ＋ｂ）＝４－ａ＋ｂ，
４－（－ａ＋ｂ）＝４＋ａ－ｂ．
在去括号前后，括号里各项的符号有什么
变化．
一般地，我们有如下的去括号法则：
（１）如果括号前面是“＋”号，去括号时把括号连同它
前面的“＋”号去掉，括号内的各项都不改变符号．
（２）如果括号前面是“－”号，去括号时把括号连同它
前面的“－”号去掉，括号内的各项都改变符号．
下面再来求２ａｂ－πｒ２与ａｂ－πｒ２的差：
　（２ａｂ－πｒ２）－（ａｂ－πｒ２）
＝２ａｂ－πｒ２－ａｂ＋πｒ２
＝ａｂ．
例３　先去括号，再合并同类项：
（１）８ａ＋２ｂ＋（５ａ－ｂ）；
（２）ａ＋（５ａ－３ｂ）－２（ａ－２ｂ）．
解　（１）８ａ＋２ｂ＋（５ａ－ｂ）
　　　
＝８ａ＋２ｂ＋５ａ－ｂ
　　　　　　
　
　一个数与
（－１）相乘，得它
的相反数，你还
记得吗？
　　　　　　
　　习题２．１第
８题，为这里归纳
法则作了铺垫．
７３
　
　２．２　整式加减
　　　
＝（８ａ＋５ａ）＋（２ｂ－ｂ）
　　　
＝１３ａ＋ｂ．
（２）ａ＋（５ａ－３ｂ）－２（ａ－２ｂ）
＝ａ＋５ａ－３ｂ－２ａ＋４ｂ
＝（ａ＋５ａ－２ａ）＋（－３ｂ＋４ｂ）
＝４ａ＋ｂ．
１．去括号：
（１）ｘ＋（－ｙ＋３）；　
　
　
　
　
　
　
　
　（２）ｘ－（－３－ｙ）；
（３）－（ｘ－ｙ）＋３；
（４）３－（ｘ＋ｙ）．
２．判断下列去括号有没有错误，如有错误，请改正：
（１）ｘ２－（３ｘ－２）＝ｘ２－３ｘ－２．
（　　　　　　　　）
（２）７ａ＋（５ｂ－１）＝７ａ＋５ｂ＋１．
（　　　　　　　　）
（３）２ｍ２－（３ｍ＋５）＝２ｍ２－３ｍ－５．
（　　　　　　　　）
（４）－（ａ－ｂ）＋（ａｂ－１）＝－ａ－ｂ＋ａｂ－１．
（　　　　　　　　）
３．先去括号，再合并同类项：
（１）（４ａｂ－ａ２－ｂ２）－（－ａ２＋ｂ２＋３ａｂ）；
（２）ｘ＋（－１－ｘ）－２（２ｘ－４）．
　　在解答本节的问题（１）时，也可以先分别算出甲、乙两
面墙的油漆面积再求和，这时就需添括号，即
　
　（２ａｂ－πｒ２）＋（ａｂ－πｒ２）
＝２ａｂ－πｒ２＋ａｂ－πｒ２
＝２ａｂ＋ａｂ－πｒ２－πｒ２
＝（２ａｂ＋ａｂ）－（πｒ２＋πｒ２）．
添括号的法则是：
７４
　第２章　整式加减　
（１）所添括号前面是“＋”号，括到括号内的各项都不
改变符号；
（２）所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改
变符号．
１．在下列各题的括号内，填写适当的项：
（１）ａ－ｂ＋ｃ－ｄ＝ａ＋（　
　
　
　）；
（２）ａ－ｂ－ｃ＋ｄ＝ａ－（　
　
　
　）；
（３）ａ－ｂ－ｃ＋ｄ＝ａ＋（　
　
　
　）＋ｄ；
（４）ａ－ｂ＋ｃ－ｄ＝ａ－ｂ－（　
　
　
　）．
２．判断下列各题中添括号有没有错误．有错误的，应当怎样改正？
（１）ａ－２ｂ－３ｍ＋ｎ＝ａ－（２ｂ－３ｍ＋ｎ）．
（　　　　）
（２）ｍ－２ｎ＋ａ－ｂ＝ｍ＋（２ｎ＋ａ－ｂ）．
（　　　　）
（３）ｘ－２ａ－４ｂ＋ｙ＝（ｘ－２ａ）－（４ｂ－ｙ）．
（　　　　）
（４）ａ－２ｂ＋ｃ－１＝－（ａ＋２ｂ－ｃ＋１）．
（　　　　）
３．不改变多项式ｘ３－ｘ２ｙ＋ｘｙ２－ｙ３的值，按下面的要求把它的后两项用括号括起来：
（１）括号前带有“＋”号；　
　
　
　
　（２）括号前带有“－”号．
　　３．整式加减
通过前面的研究我们知道，整式加减运算可归结为去括
号、合并同类项．
例４　求整式４－５ｘ２＋３ｘ与－２ｘ＋７ｘ２－３的和．
解　（４－５ｘ２＋３ｘ）＋（－２ｘ＋７ｘ２－３）
＝４－５ｘ２＋３ｘ－２ｘ＋７ｘ２－３
＝（－５ｘ２＋７ｘ２）＋（３ｘ－２ｘ）＋（４－３）
＝２ｘ２＋ｘ＋１．
　　　　　　
　
　添括号是否
正确，可以用去
括号法则检验．
７５
　
　２．２　整式加减
运算结果，常将多项式按某个字母（如ｘ）的指数从大到
小（或从小到大）依次排列，这种排列叫做关于这个字母（如
ｘ）的降幂（升幂）排列．本例的结果是降幂排列．
例５　先化简，再求值：
５ａ２－［ａ２－（２ａ－５ａ２）－２（ａ２－３ａ）］，其中ａ＝４．
解　原式＝５ａ２－（ａ２－２ａ＋５ａ２－２ａ２＋６ａ）
＝５ａ２－（４ａ２＋４ａ）
＝５ａ２－４ａ２－４ａ
＝ａ２－４ａ．
当ａ＝４时，
原式＝ａ２－４ａ＝４２－４× ４＝０．
１．计算：
（１）－３ａ＋（－２ａ２）－（－２ａ）－３ａ２；
（２）－１
３
(
)
ｘｙ＋－２
５ｘ
(
)
２－１
２ｘ２－－１
６
(
)
ｘｙ．
２．把多项式－２ｘ２ｙ＋３ｘｙ２－ｘ３ｙ３－４重新排列：
（１）按ｘ的降幂排列；　
　
　
　
　
　
　　（２）按ｙ的降幂排列．
３．（１）求３ｘ２－２ｘ＋１与３－２ｘ２－ｘ的和，结果按ｘ的降幂排列；
（２）求７－２ｘ＋ｘ２减５＋３ｘ－２ｘ２的差，结果按ｘ的升幂排列．
４．计算：
（１）－（ｘ３＋２ｘ２－１）＋（ｘ３－２ｘ２＋ｘ－２）；
（２）（２ａｘ－３ｂｙ－５）－２（ａｘ－２）＋（－２ｂｙ＋１）．
５．求值：－２－（２ａ－３ｂ＋１）－（３ａ＋２ｂ），其中ａ＝－３，ｂ＝－２．
７６
　第２章　整式加减　
习题２．２
１．合并同类项：
（１）－８ｘ＋６ｘ－ｘ；　
　
　
　
　
　
　
　
　（２）４ａｂ－５ａｂ＋２ａｂ；
（３）２ｘ２＋ｘ－ｘ２－ｘ；　
　
（４）３ｘ２－６＋４ｘ－６ｘ－２ｘ２＋５．
２．求下列各式的值：
（１）２ｘ２－３ｘ＋ｘ２＋４ｘ－２，其中ｘ＝－１
２；
（２）７ａ２－２ａｂ＋ｂ２＋ａ２＋３ａｂ－２ｂ２，其中ａ＝－２，ｂ＝２．
３．把下列多项式先按ｘ的降幂排列，再按ｘ的升幂排列：
（１）１３ｘ－４ｘ２－２ｘ３－６；
（２）３ｘ２ｙ－３ｘｙ２＋ｙ３－ｘ３．
４．先去括号，再合并同类项：
（１）３ａ－ｂ＋（５ａ－３ｂ＋３）；
（２）（２ｂ－３ａ）－（２ａ－３ｂ＋１）；
（３）４ｘ２＋２（ｘ２－ｙ２）－３（ｘ２＋ｙ２）．
５．在下列各式的括号里填上适当的项：
（１）２ａ＋ａ２－ｂ２＝２ａ＋（　
　
　
　）；
（２）４－ａ２＋２ａｂ－ｂ２＝４－（　
　
　
　）；
（３）ａ＋ｂ－ａ２＋ｂ２＝ａ＋ｂ－（　
　
　
　）．
６．用括号把多项式ａｍ＋ｂｎ－ｂｍ－ａｎ分成两组，使其中含ｍ的项相结合，含ｎ的项相
结合（两个括号用“－”连接）．
７．计算：
（１）（３ａ＋２ｂ＋８ｃ）＋（２ａ－３ｂ－５ｃ）；
（２）（２ｘｙ＋ｘ２－ｙ２）－（ｘ２－ｙ２－３ｘｙ）；
（３）３ｘ２－［５ｘ＋（４ｘ－５）－９ｘ２］．
７７
　
　２．２　整式加减
归纳推理
用一些相同的小正方形，排成如下的一些大正方形图形，如
图２
７．
图　２
７
１．把每个图中一边上的小正方形个数和有阴影的小正方形
的个数填入表中：
图号（ｎ）
１
２
３
４
５…
ｋ…
一边上小正方形个数（ｎ）
１
２
３
…
…
阴影小正方形个数（ａｎ）
１
３
５
…
…
　
　２．第１个图中小正方形只有１个，且有阴影，记作Ｓ１＝１．把
第１个图并入第２个图，这时第２个图中阴影小正方形数就是前
面两个图中阴影小正方形数的和：ａ１＋ａ２＝１＋３＝４．我们把这个
和ａ１＋ａ２记作Ｓ２，即
Ｓ２＝ａ１＋ａ２＝１＋３＝２２．
把第１，２两个图中的阴影部分一起并入第３个图，这时第３
个图中的阴影小正方形数就是前面三个图中阴影小正方形数的
和，记作Ｓ３，即
Ｓ３＝ａ１＋ａ２＋ａ３＝１＋３＋５＝９＝３２．
下面，请你观察图后，归纳，猜想结果：
　
　
　
　
Ｓ１＝ａ１＝１，
Ｓ２＝ａ１＋ａ２＝１＋３＝２２，
７８
　第２章　整式加减　
Ｓ３＝ａ１＋ａ２＋ａ３＝１＋３＋５＝３２，
Ｓ４＝　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　，
Ｓ５＝　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　，
……
Ｓｎ＝　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
．
像这样，根据某类事物的部分对象具有的某种性质，推出这
类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理．
思考１　下面对每一列数，通过观察归纳，给出每个序列中的
后继项：
（１）１，２，４，８，１６，３２，　
　，　
　；
（２）２０，１８，１６，１４，１２，１０，　
　，　
　
．
思考２　平面上２条直线最多有几个交点？当直线是３条、４
条、ｎ条时最多有多少个交点？
对于科学的发现，归纳推理也是十分有用的，通过观察、实
验，对有限个对象的性质作归纳整理，提出对某类事物带有规律
性的猜想，是科学研究的基本方法之一．
数学符号
在古代，由于没有数学符号，要说明、解决一个数学问题，就
画一幅图画或写一篇文章．例如：
图　２
８
这是埃及出土的“莱茵德纸草书”（约公元前１６５０年）上的问
题，图２
８中记录的问题用现在的数字符号来表示，就是下面这道
数学题：
２
３＋１
２＋１
７＋
(
)
１ｘ＝３７．
又如，我国古代著名数学著作《孙子算经》（约公元４００年）
７９
　
　小结·评价
中，刊载一个“雉（鸡）兔同笼”问题及其答案和解题方法如下：
　
　问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问
雉、兔各几何？
答曰：雉二十三，兔一十二．
术曰：上置三十五头、下置九十四足，半其足得四十七．以
少减多，再命之，上三除下四，上五除下七．下有一除上三，下有
二除上五，即得．
数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达（Ｆ．Ｖｉｅｔａ，
１５４０～１６０３年），他受古希腊数学家丢番图（Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ，３世
纪）在著作中采用了一些符号的启发，第一次有意识地系统使用
代数字母与符号．其后，奥特雷德（Ｗ．Ｏｕｇｈｔｒｅｄ，１５７４～１６６０
年）、笛卡儿（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６～１６９０年）、莱布尼茨（Ｇ．Ｗ．
Ｌｅｉｂｎｉｚ，１６４６～１７１６年）、牛顿（Ｉ．Ｎｅｗｔｏｎ，１６４３～１７２７年）、欧
拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ，１７０７～１７８３年）等数学家对数学符号系统的完善
都作过很多贡献，我们今天所使用的符号，实际是长期历史淘汰
后剩下的．
数学符号系统的建立，对于数学本身的发展以及应用于广泛
的科学技术领域都是至关重要的．今天，数学符号已经成为一种
数学语言，是我们学习、研究、传播、交流和应用时必不可少的
工具．
一、内容整理
图２
９　韦达
８０
　第２章　整式加减　
二、主要知识回顾
１．用　　　　　　符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．
２．　　　　　　　　　　　　的代数式叫做单项式．单项式中的　
　
　
　　　叫做这个单项式的系数；　　　　　　叫做这个单项式的次数．
３．　　　
　
　
　
　
　
　
　
　
　的代数式叫做多项式．一个多项式里，
　　　　　　　　　　　　的次数就叫做这个多项式的次数．
４．　　　　　　　　　　　　统称为整式．整式加减运算可归结为　
　
　　　　　　　　　　．
５．去括号与添括号，关键要注意括号前的符号．如果括号前面是“＋”号，
去（添）括号时括号内的各项都不改变符号；如果括号前面是“－”号，去（添）
括号时括号内的各项都改变符号．
三、自评与互评
１．用字母表示数，建立代数式，是学习代数的基础．学过本章后你有什么
体会？互相交流一下．
２．举两个用代数式解决问题的例子，并互相评价所提问题及其解答
方法．
［第１（２）题］
１．填空：
（１）小麦播种前每公顷土地施肥１８００ｋｇ作底肥，给
ａｈｍ２土地施底肥共需肥料　
　
　
　
ｋｇ；
（２）某工厂１０月份生产机床ａ台，１１月份比１０月份增
产１０％，１１月份生产机床　
　
　
　台．
２．用代数式表示：
（１）宽为ａｃｍ，长比宽多２ｃｍ的长方形的周长；
（２）长为ａｃｍ，周长为２０ｃｍ的长方形的面积．
８１
　
　小结·评价
３．设ｙ＝３－２ｘ，将对应的ｙ值填入表中：
ｘ
－１
－１
２
０
１
２
１
３
２
２
ｙ
４．某初级中学的七、八、九各年级的学生数之比是４∶３∶３，已知全校学生数为ｍ，那
么七年级学生数是多少？
５．一个三位数的百位上的数字是２，十位和个位上的数字组成的两位数为ｘ，用代数
式表示这个三位数．
６．某种药品的原价为ｐ元，两次降价１０％后，售价是多少元？
７．下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？把它们填在相应的框中：
３ｘ，－５，ｘ＋１
２ｙ，ｂ
ａ，ｘ２＋ｙ２，５
２ｘ２ｙ，２ｘ－ｙ，ｂ２－４ａｃ．
８．（１）指出下列单项式的系数和次数：
－４ｘ２ｙ２，２ａｂ
３，２ａ，－ａｂ２；
（２）指出下列多项式的项数和次数：
ａ２＋２ａ－１，ｔ－１，ｘ２－２ｘｙ－ｙ２＋１．
９．填空：
（１）多项式ａｂ＋ｂ２－ａ２＋１按字母ａ的降幂排列为　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　；
（２）代数式３ｘ２ｙ，－２ｘｙ２，１
２ｘｙ，－ｘ２ｙ，３ｘ中，与５ｘ２ｙ是同类项的有　
　
　
　
　
　
　
　
　
　；
８２
　第２章　整式加减　
　（３）ａ２－ｘ２＋２ｘ－１＝ａ２－（　
　
　
　）；
（４）ｘ２－（ｙ２－ｘ＋ｙ）＝ｘ２－ｙ２＋（　
　
　
　）；
（５）（２ａ－ｂ＋ｃ）（２ａ＋ｂ－ｃ）＝［２ａ－（　
　）］［２ａ＋（　
　）］．
１０．计算：
（１）３（ａ２－２ａｂ）－（－ａｂ＋ｂ２）；
（２）－２（２ｘ２－ｘ＋４）＋３（ｘ２－２ｘ＋３）．
１１．求值：
（１）（３ｘ２－２）－（４ｘ２－２ｘ－３）＋（２ｘ２－１），其中ｘ＝－２；
（２）３ｘ２ｙ－［２ｘ２ｙ－（２ｘｙｚ－ｘ２ｚ）－４ｘ２ｚ］－ｘｙｚ，其中ｘ＝－２，ｙ＝－３，ｚ＝１．
１２．某体育场看台第１排有ａ个座位，后面每排比前一排多２个座位，第２排、第３
排、第４排各有几个座位？如用ｍ表示第ｎ排的座位数，则ｍ是多少？当ａ＝
２０，ｎ＝１２时，求ｍ的值．
１．在ｘｋｇ的盐水中，加水１０ｋｇ后含盐１０％，则盐水中含盐多少千克？
２．甲、乙两地相距２００ｋｍ，汽车从甲地到乙地，速度为每时ｘｋｍ．如果汽车每时多行
３０ｋｍ，可以提前多长时间到达乙地？
３．根据公式ｓ＝ｓ０＋ｖｔ填写下表：
ｓ
ｓ０
ｖ
ｔ
３０
１２
４
１２０
６０
２
７５
１５
１２
１４０
２０
４０
４．某房产公司卖出Ａ，Ｂ两套公寓，每套均售得ａ万元，其中公寓Ａ亏本２０％，公寓
Ｂ盈利２０％．
（１）用代数式表示公寓Ａ，Ｂ的成本价；
（２）设房产公司在这两笔交易中的盈亏为ｐ万元，写出用ａ表示ｐ的代数式，并
说明ａ＝８０时的盈亏情况．
８３
　
　小结·评价
１．一列数，规律如下：
１× ２，２× ３，３× ４，…，
那么第１００个数是　
　
　
　，第ｎ个数是　
　
　
　
．
２．如图是花朵摆成的三角形图案，每条边上有ｎ（ｎ＞１）个点（即花朵），每个图案的
总点数（即花朵总数）用Ｓ表示．
（１）观察图案，当ｎ＝６时，Ｓ＝　
　
　
　；
（２）分析上面的一些特例，你能得出怎样的规律？（用ｎ表示Ｓ）
（３）当ｎ＝１００时，求Ｓ．
（第２题）
３．如图，把棱长为ａ的正方体一个接一个地拼在一起，排成一组长方体．
（第３题）
（１）计算拼成的长方体的表面积，填入下表：
正方体个数
１
２
３
４
５
６
长方体表面积
（２）用代数式表示ｎ个小正方体拼成的长方体表面积．
８４
　第３章　一次方程与方程组　
一次方程与方程组
３．１　一元一次方程及
其解法
３．２　一元一次方程的
应用
３．３　二元一次方程组
及其解法
３．４　二元一次方程组
的应用
３．５　三元一次方程组
及其解法
３．６　综合与实践　一次
方程组与ＣＴ技术
今有雉兔同笼　上有三十五头
下有九十四足　问雉兔各几何
“s（t）uvw”xyPz{|}.(GLF~，€
`，!‚ƒ1？
„…x ƒ † ‡ ~ . y ˆ ‰ Š * T ‹ m，Œ [  Ž
z．
　
　
!"#$9:'(;<;=>?@A<;=>?B，
C3DEFGH$IJKLMN．
８５
　
　３．１　一元一次方程及其解法
３．１一元一次方程及其解法
　　问题?　在参加２００８年北京奥运会的中国代表队中，
羽毛球运动员有１９人，比跳水运动员的２倍少１人．参加奥
运会的跳水运动员有多少人？
图　３
１
设参加奥运会的跳水运动员有ｘ人．根据题意，得
２ｘ－１＝１９．
问题?　王玲今年１２岁，她爸爸３６岁，问再过几年，她
爸爸年龄是她年龄的２倍？
设再过ｘ年，王玲的年龄是（１２＋ｘ）岁，她爸爸的年龄
为（３６＋ｘ）岁．根据题意，得
３６＋ｘ＝２（１２＋ｘ）．
像上面得到的两个方程都只含有一个未知数（元），未
知数的次数都是１，且等式两边都是整式的方程叫做一元一
次方程（ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ）．
我们在小学已经学过简单的一元一次方程，知道使方程
两边相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解，也可
叫做方程的根．
８６
　第３章　一次方程与方程组　
方程是等式（含未知数的等式），解方程就是根据等式
的性质求方程的解的过程．
等式有如下的基本性质：
性质１　等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一
个整式，所得结果仍是等式，即
如果ａ＝ｂ，那么ａ＋ｃ＝ｂ＋ｃ，ａ－ｃ＝ｂ－ｃ．
性质２　等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不
能为０），所得结果仍是等式，即
如果ａ＝ｂ，那么ａｃ＝ｂｃ，ａ
ｃ＝ｂ
ｃ（ｃ≠０）．
性质３　如果ａ＝ｂ，那么ｂ＝ａ．（对称性）
例如，由－４＝ｘ，得ｘ＝－４．
性质４　如果ａ＝ｂ，ｂ＝ｃ，那么ａ＝ｃ．（传递性）
例如，如果ｘ＝３，又ｙ＝ｘ，所以ｙ＝３．
在解题过程中，根据等式这一性质，一个量用与它相等
的量代替，简称等量代换．
下面，我们利用等式的基本性质来解一般的一元一次
方程．
例１　解方程：２ｘ－１＝１９．
解　两边都加上１，得
　　　　　
２ｘ＝１９＋１，　（等式基本性质１）
即
２ｘ＝２０．
两边都除以２，得
　　ｘ＝１０．　（等式基本性质２）
检验：把ｘ＝１０分别代入原方程的两边，得
左边＝２× １０－１＝１９，
右边＝１９，
即　
左边＝右边．
所以ｘ＝１０是原方程的解．
８７
　
　３．１　一元一次方程及其解法
１．说明下列变形是根据等式哪一条基本性质得到的：
（１）如果５ｘ＋３＝７，那么５ｘ＝４；
（２）如果－８ｘ＝４，那么ｘ＝－１
２；
（３）如果－５ａ＝－５ｂ，那么ａ＝ｂ；
（４）如果３ｘ＝２ｘ＋１，那么ｘ＝１；
（５）如果－０．２５＝ｘ，那么ｘ＝－０．２５；
（６）如果ｘ＝ｙ，ｙ＝ｚ，那么ｘ＝ｚ．
２．根据等式的基本性质解下列方程，并检验：
（１）５ｘ－７＝８；　
　
　（２）２７＝７＋４ｘ；　　　（３）１
２
＝１
３ｘ－１
６．
仔细观察例１解答过程中的第１步：
你发现了什么？
根据等式的基本性质１对方程进行变形，相当
于把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到
另一边，这种变形叫做移项．
例２　解方程：３ｘ＋５＝５ｘ－７．
解　移项，得
３ｘ－５ｘ＝－７－５．
合并同类项，得
　　　　
　
　
　移项，一般
都习惯把含未
知数的项移到
等式左边．
８８
　第３章　一次方程与方程组　
－２ｘ＝－１２．
两边都除以－２，得
ｘ＝６．
１．下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？
（１）从９＋ｘ＝７，得　
ｘ＝７＋９；
（２）从５ｘ＝７－４ｘ，得　５ｘ－４ｘ＝７；
（３）从２ｙ－１＝３ｙ＋６，得　２ｙ－３ｙ＝６－１．
２．解下列方程，并检验：
（１）２ｘ＝ｘ＋５；　
　
　
　
　
　
　
　
　
　　（２）２ｘ－１
２
＝－１
２ｘ＋２；
（３）５ｘ＋２１＝７－２ｘ；
（４）１１ｘ＋１＝５（２ｘ＋１）．
　　例３　解方程：２（ｘ－２）－３（４ｘ－１）＝９（１－ｘ）．
解　去括号，得
２ｘ－４－１２ｘ＋３＝９－９ｘ．
移项，得
２ｘ－１２ｘ＋９ｘ＝９＋４－３．
合并同类项，得
－ｘ＝１０．
两边同除以－１，得
ｘ＝－１０．
注意：（１）用分配律去括号时，不要漏乘括号中的项，
并且不要搞错符号；
（２）－ｘ＝１０不是方程的解，必须把ｘ系数化为１，才算
完成解的过程．
８９
　
　３．１　一元一次方程及其解法
１．下面是解方程的全过程，解法正确吗？试给出评判．
解方程：３（ｙ－３）－５（１＋ｙ）＝７（ｙ－１）．
解　去括号，得
３ｙ－３－５＋５ｙ＝７ｙ－１．
移项，得
３ｙ＋５ｙ－７ｙ＝－１＋３－５．
故　
ｙ＝－３．
２．解下列方程：
（１）６＝５ｙ－２（ｙ＋４）；　
　
　
　
　
　（２）５（ｍ＋８）－６（２ｍ－７）＝１；
（３）５（ｘ＋２）＝２（２ｘ＋７）；　
（４）３（２ｙ＋１）＝２（１＋ｙ）＋３（ｙ＋３）．
　　例４　解方程：ｘ－１０ｘ＋１
６
＝２ｘ＋１
４
－１．
解　去分母，得
１２ｘ－２（１０ｘ＋１）＝３（２ｘ＋１）－１２．
去括号，得
１２ｘ－２０ｘ－２＝６ｘ＋３－１２．
移项，得
１２ｘ－２０ｘ－６ｘ＝３－１２＋２．
合并同类项，得
－１４ｘ＝－７．
两边同除以－１４，得
ｘ＝１
２．
　　通过上面的例子，总结出解一元一次方程
一般有哪些步骤，每步的根据是什么？
９０
　第３章　一次方程与方程组　
１．下面方程解的过程是否正确？若不正确，请改正．
解方程：３ｘ－２
３
＝ｘ＋２
６
－１．
解　两边同乘以６，得
６ｘ－２＝ｘ＋２－６．
移项、合并同类项，得
５ｘ＝－２．
系数化成１，得
ｘ＝－２
５．
２．把下列方程去分母，所得结果对不对？如果不对，请改正：
（１）方程为：２ｘ－１
６
－５ｘ＋１
４
＝１．
去分母，得
２（２ｘ－１）－３（５ｘ＋１）＝１．
（２）方程为：２ｘ＋３
２
－９ｘ＋５
８
＝０．
去分母，得
４（２ｘ＋３）－（９ｘ＋５）＝８．
３．解下列方程：
（１）２ｘ＋１
５
－ｘ＋１
３
＝０；　
　
　
　
　
　（２）ｙ－ｙ－１
２
＝－ｙ＋２
５；
（３）３
２
２
３
ｘ
４－
(
)
１－
[
]
２－ｘ＝２；　
（４）１．１－４ｘ
０．６
－１．３－３ｘ
０．２
＝５ｘ－０．４
０．３
．
习题３．１
１．填空，并在括号内注明是根据等式的哪条基本性质变形的：
（１）如果ｘ＋７＝１０，那么ｘ＝１０－　
　
．
（　
　
　
　
　
　）
（２）如果ｘ
２
＝３，那么ｘ＝　
　
．
（　
　
　
　
　
　）
９１
　
　３．１　一元一次方程及其解法
　（３）如果２ｘ－２
３
＝－２
３，那么２ｘ＝　
　
．
（　
　
　
　
　
　）
（４）如果－４ｘ＝２，那么ｘ＝　
　
．
（　
　
　
　
　
　）
２．根据等式的基本性质解下列方程，并检验：
（１）ｘ＋７＝４；　
　
　
　
　
　
　
　
　
　（２）５ｘ＝４ｘ＋３；
（３）－２ｘ＝６；
（４）０．５ｘ＋１＝３．
３．小华在解方程ｘ－２＝３时是这样写解的过程的：
ｘ－２＝３＝ｘ＝３＋２＝５．
小华这样写对不对？为什么？应该怎样写？
４．解下列一元一次方程：
（１）３ｘ＝１２＋２ｘ；　
（２）－６ｘ－７＝－７ｘ＋１；
（３）５ｘ＋（ｘ＋１）＝１９；
（４）３（ｘ－７）＋５（ｘ－４）＝１５．
５．解下列一元一次方程：
（１）１
２
１
２ｘ－
(
)
１－１＝１；　
（２）１
２
ｘ－１
２（ｘ－１
[
]）＝２
３（ｘ－１）；
（３）ｘ－２
４
－２ｘ－１
６
＝１；　
（４）ｘ＋４
０．２
－ｘ－３
０．５
＝－１．６；
（５）５ｙ＋１
６
＝９ｙ＋１
８
－１－ｙ
３
．
６．解本节问题２所得的方程：
　
　
　
　
３６＋ｘ＝２（１２＋ｘ）．
７．ｘ等于什么数时，代数式６＋ｘ
３与５－２ｘ
２的值相等？
８．在公式ｖ＝ｖ０＋ａｔ中，已知ｖ＝１００，ｖ０＝２５，ａ＝１０，求ｔ．
９．在公式Ｓ＝２πｒ（ｒ＋ｈ）中，已知Ｓ＝９４２，ｒ＝１０，求ｈ．（π 取３．１４）
１０．已知ｘ＝５是方程ａｘ－８＝２０＋ａ的解，求系数ａ．
９２
　第３章　一次方程与方程组　
图　３
２
　
　小华（Ｈ）邀小明（Ｍ）玩一个猜数
游戏（图３
２）：
Ｈ：你任意想好一个数，不说出来．
只要你对所想的数连续进行如下四步
运算：减去３、乘以４、加上１２、除以２．将
最后得数告诉我，我能立即猜出你原来
想的是什么数．
Ｍ：（想了一下）－１０．
Ｈ：你想的数是－５．
Ｍ：对．
（１）你能说明这个猜数游戏的道理吗？
（２）你能设计另一个猜数游戏，去考考你的同学吗？
９３
　
　３．２　一元一次方程的应用
３．２一元一次方程的应用
　
　例１　如图３
３，用直径为２００ｍｍ的圆柱体钢，锻造一
个长、宽、高分别为３００ｍｍ，３００ｍｍ和９０ｍｍ的长方体毛
坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢（计算时π 取３．１４，结果
精确到１ｍｍ）？
图　３
３
分析：把圆柱体钢锻造成长方体毛坯，虽然形状发生了
变化，但锻造前后的体积是相等的，也就是
圆柱体体积＝长方体体积．
解　设应截取的圆柱体钢长为ｘｍｍ．根据题意，得
３．１４× ２００
(
)
２
２
ｘ＝３００× ３００× ９０．
解方程，得
ｘ≈２５８．
答：应截取约２５８ｍｍ长的圆柱体钢．
例２　为了适应经济发展，铁路运输再次提速．如果客
车行驶的平均速度增加４０ｋｍ／ｈ，提速后由合肥到北京
１１１０ｋｍ的路程只需行驶１０ｈ．那么，提速前，这趟客车平均
每时行驶多少千米？
分析：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度、时间．
它们之间的基本关系是：
　　　　
　
　　圆柱体体积＝
πｒ２ｈ（ｒ为底面
圆半径，ｈ为高）、
长方体体积＝
ａｂｃ（ａ为长，ｂ
为宽，ｃ为高）．
９４
　第３章　一次方程与方程组　
路程＝平均速度×时间．
解　设提速前客车平均每时行驶ｘｋｍ，那么提速后客
车平均每时行驶（ｘ＋４０）ｋｍ．客车行驶路程１１１０ｋｍ，平均
速度是（ｘ＋４０）ｋｍ／ｈ，所需时间是１０ｈ．根据题意，得
１０（ｘ＋４０）＝１１１０．
解方程，得　
ｘ＝７１．
答：提速前这趟客车的平均速度是７１ｋｍ／ｈ．
分析行程问题中的等量关系，还可以借助线段示意图．
　　列方程解应用题有哪些步骤？
以上几例，说明了列方程解应用题的一般步骤：
１．弄清题意和题中的数量关系，用字母（如ｘ，ｙ）表示
问题里的未知数；
２．分析题意，找出相等关系（可借助于示意图、表格等）；
３．根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；
４．解这个方程，求出未知数的值；
５．检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答
案（包括单位名称）．
列方程，解下列各题：
１．一种小麦磨成面粉，出粉率为８０％（即２０％成为麸子）．为了得到４５００ｋｇ面粉，至少
需要多少小麦？
９５
　
　３．２　一元一次方程的应用
２．甲厂有钢材４３２ｔ，乙厂有钢材９６ｔ．如果每天从甲厂运出２０ｔ、乙厂运出４ｔ，几天后，甲
厂剩余的钢材是乙厂的２倍？
３．甲、乙两地相距１８０ｋｍ，一人骑自行车从甲地出发每时行１５ｋｍ；另一人骑摩托车从乙
地同时出发，两人相向而行，已知摩托车车速是自行车车速的３倍，问多少时间后两
人相遇？
　
　例３　王大伯３年前把手头一笔钱作为３年定期存款存
入银行，年利率为５％．到期后得到本息共２３０００元，问当年
王大伯存入银行多少钱？
分析：本题中涉及的数量关系有
本金×利率×年数＝利息，
本金＋利息＝本息和．
解　设当年王大伯存入银行ｘ元，年利率为５％，存期３
年，所以３年的利息为３× ５％ｘ元．３年到期后的本息共为
２３０００元．　　　
根据题意，得
ｘ＋３× ５％ｘ＝２３０００．
解方程，得
ｘ＝２３０００
１．１５
．
ｘ＝２００００．
答：当年王大伯存入银行２００００元．
例４　一商店出售书包时，将一种双肩背的书包按进价
提高３０％作为标价，然后再按标价９折出售，这样商店每卖
出一个这种书包可盈利８．５０元．问这种书包每个进价多少？
分析：买卖商品的问题中涉及的数量关系有
实际售价－进价（或成本）＝利润．
解　设每个书包进价为ｘ元，那么这种书包的标价为
（１＋３０％）ｘ，对它打９折得实际售价为９
１０×（１＋３０％）ｘ．
９６
　第３章　一次方程与方程组　
根据题意，得
９
１０×（１＋３０％）ｘ－ｘ＝８．５０．
解方程，得　
ｘ＝５０．
答：这种书包每个进价为５０元．
１．爸爸为小亮存了一笔钱，为期５年．５年后本息共６３７５元，小亮爸爸当时存入了多少
元？（当时的５年期储蓄的年利率为５．５％）
２．一件夹克衫，按进价加５成即５
(
)
１０作为定价．后因季节关系，按定价的８折出售，打折
后每件卖６０元，试问一件夹克衫卖出后商家是赔还是赚？
　　例５　三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队
排涝的土地面积之比为４∶５∶６，而这一次装运水泵和耗用的
电力费用共计１２０元，三个作业队按土地面积比各应该负担
多少元？
分析：各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正
比，且三个作业队各自应负担费用之和等于１２０元．由于共
有土地４＋５＋６＝１５份，因而１２０元可由１５份分担．据此，
得解法如下．
解　设每份土地排涝分担费用ｘ元，那么三个作业队应
负担费用分别为４ｘ元、５ｘ元、６ｘ元．根据题意，得
４ｘ＋５ｘ＋６ｘ＝１２０．
解方程，得
ｘ＝８．
４ｘ＝３２，５ｘ＝４０，６ｘ＝４８．
答：三个作业队各应该负担３２元、４０元、４８元．
注意：本题中“设每份土地排涝分担费用ｘ元”属间接设未
知数法．当不能或难以直接设未知数时，常用这种方法．
９７
　
　３．２　一元一次方程的应用
１．长方形的长与宽之比为５∶２，它的周长为５６ｃｍ，求这个长方形的面积．
２．兄弟两人合伙从事经营，哥哥入股２５０００元，弟弟入股２００００元，一年后盈利８３５２元．
按入股的资金比例分配，兄弟两人各应分得盈利多少元？
习题３．２
１．有资料表明：我国的水资源总量约为２４０００亿立方米，且主要分布在南方地区．
南方地区的水资源量比北方地区的水资源量的３倍还多４０００亿立方米．试问北
方地区的水资源量占全国总量的百分之几？
２．将一个长、宽、高分别为１２ｃｍ，６ｃｍ，４７ｃｍ的长方体铁块和一个棱长为６ｃｍ的
正方体铁块熔成一个底面边长均为１５ｃｍ的长方体，求这个长方体的高．
３．通讯员原计划用５ｈ从甲地到乙地，因为任务紧急，他每时比原计划快３ｋｍ，结果
提前１ｈ到达，求甲、乙两地间的距离．
４．张宏在商场买一种商品．如买９件，则所带钱差３．５元；如买８件，尚余２．５元．问
张宏带了多少钱？
５．一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的２倍．如果把个位和十位上的数字
对调，那么所得两位数比原两位数大３６．求原来的两位数．
６．某种贺年卡大量上市，几天来价格不断下滑．小红第一天买了２张；第二天贺年卡
的价格打８折，小红买了５张；第三天贺年卡的价格又下跌了０．２元，小红又买了
５张，三天共花了２９元．如果用２９元在第三天买这种贺年卡，能买多少张？
９８
　第３章　一次方程与方程组　
３．３二元一次方程组及其解法
　　问题?　某班同学在植树节时植樟树和白杨树共４５
棵．已知樟树苗每棵２元，白杨树苗每棵１元，购买这些树苗
用了６０元．问樟树苗、白杨树苗各买了多少棵？
　　１．上述问题中有几个未知数，列一元一次方程
能解吗？
２．如果设两个未知数ｘ，ｙ，你能列出几个独立
的方程？
设樟树苗买了ｘ棵，白杨树苗买了ｙ棵，根据两种树苗
总数为４５棵，得
ｘ＋ｙ＝４５．
①
又根据购买树苗的总费用是６０元，得
２ｘ＋ｙ＝６０．
②
这里的ｘ，ｙ既要满足树苗总数关系①，又要满足购买
树苗总费用关系②，就是说它必须同时满足上面①②两个
方程．因此，我们把上面两个方程加上括号联立在一起，
写成：
ｘ＋ｙ＝４５，
２ｘ＋ｙ＝６０
{
，
①
②
其中每个方程都是含有两个未知数的一次方程，像这样的方
程，叫做二元一次方程．联立在一起的几个方程，称为方程
图　３
４
　
９９
　
　３．３　二元一次方程组及其解法
组．由两个一次方程组成的含两个未知数的方程组就叫做二元
一次方程组（ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ）．
问题?　我国古代算书《孙子算经》中有一题：今有雉
（鸡）兔同笼，上有３５头，下有９４足，问雉、兔各几何？
设有雉ｘ只，兔ｙ只．根据头数、足数可得二元一次方
程组：
ｘ＋ｙ＝３５，
２ｘ＋４ｙ＝９４
{
．
①
②
［第１（１）题］
１．根据题意，列出二元一次方程组：
（１）小华买了６０分与８０分的邮票共１０枚，花了７元２
角，那么，６０分和８０分的邮票各买了多少枚？
（２）甲、乙两人共植树１３８棵，甲所植的树比乙所植的树
的２
３多８棵，试问甲、乙两人各植树多少棵？
２．请你根据生活中的某一事例，编拟一道数学问题并列出方
程组．
　　问题１中，我们得到方程组：
ｘ＋ｙ＝４５，
２ｘ＋ｙ＝６０
{
．
①
②
怎样求出其中ｘ，ｙ的值呢？
　图　３
５
１００
　第３章　一次方程与方程组　
　　由①，得
ｙ＝４５－ｘ，
③
这一步就是用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数．
把③代入②，得
２ｘ＋（４５－ｘ）＝６０，
这是一个一元一次方程．
解方程，得
ｘ＝１５．
把ｘ＝１５代入③，得
ｙ＝３０．
把ｘ＝１５，ｙ＝３０代入原方程组中的两个方程中去检
验，两个方程都成立．所以，它们是这个二元一次方程组的
解，我们把它写成如下的形式：
ｘ＝１５，
ｙ＝３０
{
．
即樟树苗买了１５棵，白杨树苗买了３０棵．
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的
值，叫做二元一次方程组的解．
上面解二元一次方程组的基本思想是“消元”，也就是
要消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化成解一元
一次方程．
这里的消元方法是，从一个方程中求出某一个未知数的
表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫
做代入消元法，简称代入法（ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ）．
例１　解方程组：
２ｘ＋３ｙ＝－７，
ｘ＋２ｙ＝３
{
．
①
②
分析：要考虑将一个方程中的某个未知数用含另一个未
知数的代数式表示．方程②中ｘ的系数是１，因此，可以先将方
　　　　　　
　
　通过“代
入”，消去了一
个未知数，二元
转化成一元求
解了！　
１０１
　
　３．３　二元一次方程组及其解法
程②变形，用含ｙ的代数式表示ｘ，再代入方程①求解．
解　由②，得
ｘ＝３－２ｙ．
③
把③代入①，得
２（３－２ｙ）＋３ｙ＝－７．
－ｙ＝－１３．
ｙ＝１３．
把ｙ＝１３代入③，得
ｘ＝３－２× １３．
ｘ＝－２３．
所以　
ｘ＝－２３，
ｙ＝１３
{
．
１．把下列方程写成用含ｘ的代数式表示ｙ的形式：
（１）３ｘ－２ｙ＝４；
（２）５ｘ－ｙ＝５；
（３）５ｘ＋２ｙ＋１＝０．
２．用代入法解下列方程组：
（１）ｘ＋ｙ＝３００，
ｘ＝ｙ＋１０
{
；
　
　
　
　
　
　
　
　
　（２）ｘ－３ｙ＝１，
ｘ＋２ｙ＝６
{
；
（３）３ｘ－２ｙ＝１０，
２ｘ－ｙ＝０
{
；
（４）３ｍ－４ｎ＝７，
９ｍ－１０ｎ＋２３＝０
{
．
３．解问题２中的方程组：
ｘ＋ｙ＝３５，
２ｘ＋４ｙ＝９４
{
．
４．已知二元一次方程组
ａｘ＋ｂｙ＝１３，
（ａ＋ｂ）ｘ－ａｙ＝
{
９的解为
ｘ＝３，
ｙ＝２
{
．求ａ，ｂ的值．
１０２
　第３章　一次方程与方程组　
　　解问题１中的方程组，除代入消元法外，是否还
有别的消元方法？
根据等式的基本性质可这样来考虑：
ｘ＋ｙ＝４５，
２ｘ＋ｙ＝６０
{
．
①
②
从方程②的两边各自减去方程①的两边，得
２ｘ－ｘ＝６０－４５．
这样，也得到一个一元一次方程．
解方程，得
ｘ＝１５．
把ｘ＝１５代入①，得
１５＋ｙ＝４５．
解方程，得
ｙ＝３０．
所以　
ｘ＝１５，
ｙ＝３０
{
．
像这种把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未
知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法（ａｄｄｉｔｉｏｎ
ｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ）．
例２　解方程组：
４ｘ＋ｙ＝１４，
８ｘ＋３ｙ＝３０
{
．
①
②
分析：在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减，
都不能消去未知数ｘ或ｙ，怎么办？我们可以对其中一个
（或两个）方程进行变形，使得这个方程组中ｘ或ｙ的系数相
　　　　　　
　
　这个结果与
代入法求得的结
果一样．
１０３
　
　３．３　二元一次方程组及其解法
等或互为相反数，再来求解．
解法一（消去ｘ）
将①× ２，得
８ｘ＋２ｙ＝２８．
③
②－③，得
ｙ＝２．
把ｙ＝２代入①，得
４ｘ＋２＝１４．
ｘ＝３．
所以　
ｘ＝３，
ｙ＝２
{
．
解法二（消去ｙ）　请同学们自己完成．
例３　解方程组：
４ｘ＋２ｙ＝－５，
５ｘ－３ｙ＝－９
{
．
①
②
分析：比较方程组中的两个方程，ｙ的系数的绝对值比
较小，将①×３，②×２，就可使ｙ的系数绝对值相等，再用加
减法即可消去ｙ．
解　
①× ３，得
１２ｘ＋６ｙ＝－１５．
③
②× ２，得
１０ｘ－６ｙ＝－１８．
④
③＋④，得
２２ｘ＝－３３．
ｘ＝－３
２．
把ｘ＝－３
２代入①，得
－６＋２ｙ＝－５．
ｙ＝１
２．
１０４
　第３章　一次方程与方程组　
所以　{
　ｘ＝－３
２，
ｙ＝１
２．
用加减法解下列方程组：
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　　
（１）２ｘ－３ｙ＝５，
２ｘ－２ｙ＝－２
{
；
（２）ｘ＋２ｚ－９＝０，
３ｘ－ｚ＋１＝０
{
；
（３）４ｘ－２ｙ＝３９，
３ｘ－４ｙ＝１８
{
；
（４）
１
３ｘ＋３ｙ＝１９，
１
３ｙ＋３ｘ＝１１
{
．
　　用代入法、加减法解方程组的基本思路、具体步
骤各是什么？用代入法、加减法解题时各应注意些
什么？
例４　解方程组：
２（ｘ－１５０）＝５（３ｙ＋５０），
１０％·ｘ＋６％·ｙ＝８．５％× ８００
{
．
①
②
解　将原方程组化简，得
２ｘ－１５ｙ＝５５０，
５ｘ＋３ｙ＝３４００
{
．
③
④
③＋④× ５，得
２７ｘ＝１７５５０．
１０５
　
　３．３　二元一次方程组及其解法
ｘ＝６５０．
将ｘ＝６５０代入④，得
５× ６５０＋３ｙ＝３４００．
ｙ＝５０．
所以　
ｘ＝６５０，
ｙ＝５０
{
．
解下列方程组：
（１）
ｘ
３＋ｙ
５
＝１，
３（ｘ＋ｙ）＋２（ｘ－３ｙ）＝１５
{
；
　
　（２）０．８ｘ－０．９ｙ＝０．２，
６ｘ－３ｙ＝４
{
；
（３）
ｍ＋ｎ
３
－ｎ－ｍ
４
＝２，
４ｍ＋ｎ
３
＝８
{
；
（４）９ｘ＋７ｙ＝３０，
７ｘ＋９ｙ＝３４
{
；
（５）ｘ＋ｙ＝６０，
３０％·ｘ＋６０％·ｙ＝１０％× ６０
{
．
习题３．３
根据第１～４题中的问题，列出方程组：
１．如图，图（１）中天平的左盘放着一只梨和一只苹果，右盘放有３００ｇ的砝码，此
（第１题）
１０６
　第３章　一次方程与方程组　
　时天平平衡；图（２）中，把梨和苹果分别放在天平的左、右盘中，当右盘内加一个
５ｇ的砝码时，天平又达到平衡．问梨和苹果各为多少克？
２．有甲、乙两个数，它们的和是２５，甲数的２倍比乙数大８，求这两个数．
３．赵亮家年初从承包的鱼塘中捕捞鲫鱼和鲢鱼共２０００ｋｇ，卖出后得１３６００元．已知
鲫鱼每千克８元，鲢鱼每千克６元．问鲫鱼、鲢鱼各捕捞了多少千克？
４．据资料所得，我国由风蚀和水蚀造成的水土流失面积达３５７万平方千米．其中风蚀
造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多３５万平方千米．问风蚀与水蚀
造成的水土流失面积各是多少万平方千米？
５．用代入法解下列方程组：
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
（１）３ｘ＋４ｙ＝２，
２ｘ－ｙ＝５
{
；
　
　
　
　
　
（２）ｘ＋ｙ＝５，
３ｘ－７ｙ＝１１
{
；
（３）２ｘ－３ｙ＝８，
３ｘ＋７ｙ＝０．５
{
；
　
　
（４）９ｘ＋８ｙ＝－２，
４ｘ＋５ｙ＝－１１
{
；
（５）３（ｘ－１）＝ｙ＋５，
５（ｙ－１）＝３（ｘ＋５
{
）；
　
　
（６）
２ｕ
３＋３ｖ
４
＝１
２，
４ｕ
５＋５ｖ
６
＝７
１５





．
６．用加减法解下列方程组：
（１）４ｍ－３ｎ＋１＝０，
２ｍ＋６ｎ＝７
{
；
　
　
（２）５ｘ＋２ｙ＝２，
７ｘ－５ｙ＝３４
{
；
（３）３ｘ＋ｙ＋１＝０，
３ｙ＝２ｘ＋１９
{
；
（４）３ｘ－４ｙ＋５＝０，
５ｘ＋２ｙ＝９
{
；
（５）８ｘ＋３ｙ＋２＝０，
６ｘ＋５ｙ＋７＝０
{
；
（６）
ｘ＋１
３
－ｙ＋２
４
＝０，
ｘ－３
４
－ｙ－３
３
＝１
１２





．
７．解下列方程组：
（１）
２（ｘ－ｙ）
３
＝ｘ＋ｙ
４
－１，
６（ｘ＋ｙ）＝４（２ｘ－ｙ）＋１６
{
；
　
（２）２ｖ＋ｔ
３
＝３ｖ－２ｔ
８
＝３；
（３）５（ｘ－３ｙ）－６＝２ｘ＋１，
３（ｘ＋６ｙ）＋４＝９ｙ＋１９
{
．
１０７
　
　３．４　二元一次方程组的应用
３．４二元一次方程组的应用
　　列方程组解决实际问题，是中学数学应用的一个重要方
面．方程组是一组表示相等关系的等式，因此，对于一个实际
问题，要想通过列出方程组来求解，就得从问题中找出一组
相等关系，这是列方程组解应用题的关键一环．下面通过一
些例子来学习建立方程组的方法．
例１　某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得３分，
平一场得１分．市第二中学足球队比赛１１场，没有输过一
场，共得２７分．试问该队胜几场，平几场？
解法一　如果设该市第二中学足球队胜ｘ场，那么该队
平（１１－ｘ）场．根据得分规定，胜ｘ场，得３ｘ分，平（１１－ｘ）
场，得（１１－ｘ）分．共得２７分，得方程
３ｘ＋（１１－ｘ）＝２７．
解方程，得
ｘ＝８．
１１－ｘ＝１１－８＝３（场）．
答：该市第二中学足球队胜８场，平３场．
　　如果该市第二中学足球队胜的场数与平的场数
分别用不同的未知数ｘ，ｙ来表示，是否能列出方程
组来求解呢？
１０８
　第３章　一次方程与方程组　
解法二　设市第二中学足球队胜ｘ场，平ｙ场．由该队
共比赛１１场，得方程
ｘ＋ｙ＝１１．
①
又根据得分规定，胜ｘ场，得３ｘ分，平ｙ场，得ｙ分，共
得２７分，因而得方程
３ｘ＋ｙ＝２７．
②
解方程①②组成的方程组，得
ｘ＝８，
ｙ＝３
{
．
答：该市第二中学足球队胜８场，平３场．
例２　甲、乙两人相距４ｋｍ，以各自的速度同时出发．如
果同向而行，甲２ｈ追上乙；如果相向而行，两人０．５ｈ后相
遇．试问两人的速度各是多少？
分析：用示意图来表示数量关系，比较直观，便于找到
相等关系．本例中“同时出发，同向而行”，可用图３
６
表示．　
　
图　３
６
“同时出发，相向而行”，可用图３
７表示．
图　３
７
解　设甲、乙的速度分别是ｘｋｍ／ｈ，ｙｋｍ／ｈ．根据题意
与分析中图示的两个相等关系，得
　　　　　　
　
　画示意图可
以帮助我们理清
数量间的关系．
１０９
　
　３．４　二元一次方程组的应用
２ｘ－２ｙ＝４，
１
２ｘ＋１
２ｙ＝４
{
．
　①
　
　
②
②× ４＋①，得
４ｘ＝２０．
ｘ＝５．
将ｘ＝５代入①，得
ｙ＝３．
所以　
ｘ＝５，
ｙ＝３
{
．
答：甲的速度是５ｋｍ／ｈ，乙的速度是３ｋｍ／ｈ．
１．某班课外活动小组买了９副象棋和７副跳棋，共计７０元．已知２副象棋的价格比１副跳
棋的价格高１元５角，问１副象棋和１副跳棋的价格各是多少元？
２．某人骑自行车预定用同样时间往返于甲、乙两地．来时每时行１２ｋｍ，结果迟到６ｍｉｎ；
回去时每时行１５ｋｍ，结果早到２０ｍｉｎ．试求甲、乙两地之间的路程和此人原来预定的
时间．
３．一艘江轮航行在相距７２ｋｍ的两个港口之间，顺流需４ｈ，逆流需４ｈ４８ｍｉｎ，求江轮在
静水中的航速．
（顺流航行的航速＝船在静水中速度＋水速；逆流航行的航速＝船在静水中速度－
水速）
　　例３　玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合
而成，要求原料中含二氧化硅７０％．根据化验，石英砂中含
二氧化硅９９％，长石粉中含二氧化硅６７％．试问在３．２ｔ原
料中，石英砂和长石粉各多少吨？
分析：问题中涉及了哪些已知量和未知量？它们之间
有何关系？引入未知数，填写下表：
１１０
　第３章　一次方程与方程组　
石英砂／ｔ
长石粉／ｔ
总量／ｔ
需要量
ｘ
ｙ
３．２
含二氧化硅
９９％ｘ
６７％ｙ
７０％×３．２
　　解　设需石英砂ｘｔ，长石粉ｙｔ．
由所需总量，得
ｘ＋ｙ＝３．２．
①
再由所含二氧化硅的百分率，得
９９％ｘ＋６７％ｙ＝７０％× ３．２．
②
解方程①②组成的方程组，得
ｘ＝０．３，
ｙ＝２．９
{
．
答：在３．２ｔ原料中，石英砂０．３ｔ，长石粉２．９ｔ．
１．某乡今年春播作物的面积比秋播作物的面积多６３０ｈｍ２．计划明年春播作物的面积增
加２０％，秋播作物的面积减少１０％，这样明年春播、秋播作物的总面积将比今年增加
１２％．试求这个乡今年春播与秋播作物的面积各是多少？
２．甲、乙两种铜块分别含铜６０％和８０％．请问这两种铜块各取多少克，熔化后才能得到
含铜７４％的铜块５００克．
　　例４　某村１８位农民筹集５万元资金，承包了一些低产
田地．根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，
改种蔬菜和荞麦．种这两种作物每公顷所需的人数和需投入
的资金如下表：
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金／万元
蔬菜
５
１．５
荞麦
４
１
　　在现有的条件下，这１８位农民应承包多少公顷田地，怎样
　　　　　　
　
　列表可以帮
助我们理清数量
关系．
　　　　　　
　
　本题如果
只引入一个未知
数能解决吗？试
试看．
１１１
　
　３．４　二元一次方程组的应用
安排种植才能使所有的人都有工作，且资金正好够用？
分析：怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够
用”？能用等式来表示它们吗？根据题意列表如下：
作物品种
种植面积Ｓ／ｈｍ２
需要人数
投入资金／万元
蔬菜
ｘ
５ｘ
１．５ｘ
荞麦
ｙ
４ｙ
ｙ
合计
１８
５
　　解　设蔬菜的种植面积为ｘｈｍ２，荞麦的种植面积为
ｙｈｍ２．根据题意，得
５ｘ＋４ｙ＝１８，
１．５ｘ＋ｙ＝５
{
．
解方程组，得
ｘ＝２，
ｙ＝２
{
．
承包田地的面积为
ｘ＋ｙ＝４（ｈｍ２）．
人员安排为
５ｘ＝５× ２＝１０（人），　４ｙ＝４× ２＝８（人）．
答：这１８位农民应承包４ｈｍ２的田地，种植蔬菜和荞麦
各２ｈｍ２，并安排１０人种蔬菜，８人种荞麦，这样能使所有的人
都有工作，且资金正好够用．
（第２题）
１．某医院利用甲、乙两种原料为病人配制营养品．已知每克甲原料含０．６单位蛋白质和
０．０８单位铁质，每克乙原料含０．５单位蛋白质和０．０４单位铁
质，如果病人每餐需３４单位蛋白质和４单位铁质，那么每餐
甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
２．某车间有９０人，每人每天可以生产螺栓７６００个或螺母８８００
个，如果一个螺栓配两个螺母．试问应怎样分配人力，才能使
每天生产的螺栓与螺母恰好配套？
１１２
　第３章　一次方程与方程组　
习题３．４
１．若干学生分若干支铅笔，如果每人５支，那么多余３支；如果每人７支，那么缺５
支．试问有多少名学生？共有多少支铅笔？
２．甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步．如果同时同地出发，相向而行，每隔
２ｍｉｎ相遇一次；如果同向而行，每隔６ｍｉｎ相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲、乙每
分各跑多少圈？
３．某商场向银行申请了甲、乙两种贷款，共计６８万元．每年应付利息３．８２万元，甲种贷
款年利率是６％，乙种贷款年利率是５％．试问这两种贷款的金额各是多少？
４．某人装修房屋，原预算２５０００元．装修时因材料费下降了２０％，装修工人的工资涨了
１０％，实际用去２１５００元．求原预算材料费和付给装修工人的报酬各多少？
５．５辆马车和４辆卡车一次能运货２４ｔ，１０辆马车和２辆卡车一次能运货２１ｔ．试求
每辆马车和卡车平均各装货多少吨？
６．某化肥厂把化肥送到甲、乙两个村庄，先后各送了两次．每次的运量和运费如
下表：
次　序
甲村运量／ｔ
乙村运量／ｔ
共计运费／元
第１次
６
５
２７０
第２次
８
１１
４９０
试问两个村庄应该各负担运费多少元？
（第７题）
７．某铁路桥长１０００ｍ，现有一列火车从桥上通过，测得火
车从开始上桥到完全过桥共用６０ｓ，整列火车在桥上的
时间是４０ｓ．试求车速和车长．
１１３
　
　３．４　二元一次方程组的应用
　
　１．结合你身边的实际，编制４个可以通过解同一个方程：
３ｘ＋４＝４０来解决的问题．　
　
２．有人说：“凡可用二元一次方程组解决的问题，都可用
一元一次方程来解决．因此，在学过一元一次方程后没有必要
再学二元一次方程组了．”对此，谈谈你的看法，并写成小论文．
１１４
　第３章　一次方程与方程组　
３．５三元一次方程组及其解法
　
　本套书中凡是标有的内容均为选学内容，不作考试要求．
　　许多实际问题，在列方程解时，涉及的未知数往往不止
两个，如本章的“数学史话”所介绍的《九章算术》一书中第
八章第一题，列成方程组，就是
３ｘ＋２ｙ＋ｚ＝３９，
２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝３４，
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝２６
{
．
这种由三个一次方程组成的含三个未知数的方程组，叫
做三元一次方程组．
怎样解三元一次方程组，解二元一次方程组的消元法
（加减消元法和代入消元法）是否能加以推广，用来解三元
一次方程组呢？
例１　解方程组：
ｘ＋ｙ＋２ｚ＝３，
－２ｘ－ｙ＋ｚ＝－３，
ｘ＋２ｙ－４ｚ＝－５
{
．
①
②
③
解　先用加减消元法消去ｘ：
②＋①×２，得
ｙ＋５ｚ＝３．
④
③－①，得
ｙ－６ｚ＝－８．
⑤
下面解由④⑤联立成的二元一次方程组：
１１５
　
　
３．５　三元一次方程组及其解法
④－⑤，得
１１ｚ＝１１，
⑥
所以
ｚ＝１．
⑦
将⑦代入④，得
ｙ＝－２．
将ｙ，ｚ的值代入①，得
ｘ＝３．
所以　
ｘ＝３，
ｙ＝－２，
ｚ＝１
{
．
代入原方程组检验，知道这的确是原方程组的解．上面
是先通过消元，消去②和③中ｘ，将原方程组化成
ｘ＋ｙ＋２ｚ＝３，
　　ｙ＋５ｚ＝３，
　　ｙ－６ｚ＝－８
{
，
①
④
⑤
再通过消元，消去⑤中ｙ，化成
ｘ＋ｙ＋２ｚ＝３，
　　ｙ＋５ｚ＝３，
　　　１１ｚ＝１１
{
，
①
④
⑥
然后，由⑥解得ｚ＝１，再将ｚ值回代④，解得ｙ＝－２，最后，
将ｙ，ｚ值回代①，解得ｘ＝３．通过消元，把一个较复杂的三
元一次方程组化为简单易解的形如由①④⑥联立成的阶梯
形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程就称为
用消元法解三元一次方程组．
　　　　
　
　
　通过消元，
把解三元一次方
程组的问题转化
成解二元一次方
程组的问题．
　　　　
　
　
　通过消元，
把解二元一次方
程组的问题转化
成解一元一次方
程的问题．
１１６
　第３章　一次方程与方程组　
解下列方程组：
（１）
ｘ＋ｙ＋ｚ＝６，
２ｘ＋３ｙ－ｚ＝４，
３ｘ－ｙ＋ｚ＝８
{
；
　
　
　
　
　
　　　　（２）
２ｘ－ｙ＋３ｚ＝１，
２ｘ＋２ｚ＝６，
４ｘ＋２ｙ＋５ｚ＝４
{
．
　　例２　解《九章算术》第八章第一题的方程组：
３ｘ＋２ｙ＋ｚ＝３９，
２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝３４，
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝２６
{
．
①
②
③
解　将方程③前移为第１个方程，将方程①和②分别后
移为第２个和第３个方程，得
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝２６，
３ｘ＋２ｙ＋ｚ＝３９，
２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝３４
{
．
④
⑤
⑥
⑤－④×３，⑥－④×２，得
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝２６，
－４ｙ－８ｚ＝－３９，
　
－ｙ－５ｚ＝－１８
{
．
④
⑦
⑧
⑧＋⑦×
－
(
)
１
４，得
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝２６，
　－４ｙ－８ｚ＝－３９，
　　　
－３ｚ＝－３３
４





．
再通过回代，解得　
ｚ＝１１
４，ｙ＝１７
４，ｘ＝３７
４．
１１７
　
　
３．５　三元一次方程组及其解法
所以　
ｘ＝３７
４，
ｙ＝１７
４，
ｚ＝１１
４









．
例３　幼儿营养标准中要求一个幼儿每天所需的营
养量中应包含３５单位的铁、７０单位的钙和３５单位的维
生素．现有一营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们
配餐，其中包含Ａ，Ｂ，Ｃ三种食物，下表给出的是每份
（５０ｇ）食物Ａ，Ｂ，Ｃ分别所含的铁、钙和维生素的量
（单位）．　
　
　
食　物
铁
钙
维生素
Ａ
５
２０
５
Ｂ
５
１０
１５
Ｃ
１０
１０
５
　　（１）如果设食谱中Ａ，Ｂ，Ｃ三种食物各为ｘ，ｙ，ｚ份，
请列出方程组，使得Ａ，Ｂ，Ｃ三种食物中所含的营养量刚
好满足幼儿营养标准中的要求．
（２）解该三元一次方程组，求出满足要求的Ａ，Ｂ，Ｃ的
份数．
解　（１）设食谱中Ａ，Ｂ，Ｃ三种食物各为ｘ，ｙ，ｚ份，
由该食谱中包含３５单位的铁、７０单位的钙和３５单位的维生
素，得方程组
　５ｘ＋５ｙ＋１０ｚ＝３５，
２０ｘ＋１０ｙ＋１０ｚ＝７０，
　５ｘ＋１５ｙ＋５ｚ＝３５
{
．
①
②
③
（２）②－①×４，③－①，得
１１８
　第３章　一次方程与方程组　
５ｘ＋５ｙ＋１０ｚ＝３５，
　
－１０ｙ－３０ｚ＝－７０，
　　
１０ｙ－５ｚ＝０
{
．
　①
　④
　⑤
⑤＋④，得
５ｘ＋５ｙ＋１０ｚ＝３５，
　
－１０ｙ－３０ｚ＝－７０，
　　　　
－３５ｚ＝－７０
{
．
　①
　④
　⑥
再通过回代，解得　
ｚ＝２，ｙ＝１，ｘ＝２．
答：该食谱中包含Ａ种食物２份，Ｂ种食物１份，Ｃ种
食物２份．
１．解下列方程组：
（１）
３ｘ＋ｙ－４ｚ＝１３，
５ｘ－ｙ＋３ｚ＝５，
ｘ＋ｙ－ｚ＝３
{
；
　
　
　
　
　
　　　（２）
３ｘ－ｙ＋ｚ＝４，
２ｘ＋３ｙ－ｚ＝１２，
ｘ＋ｙ＋ｚ＝６
{
．
２．某商场计划用６００００元从某厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家
生产的甲、乙、丙三种型号手机，出厂价分别为每部１８００元、６００元和１２００元．该商场
用６００００元恰好购买上述三种型号手机共４０部，因市场需求甲型号手机比丙型号手
机多购买了２４部，求该商场购买了上述三种型号手机各多少部？
习题３．５
１．解下列方程组：
（１）
ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝６，
２ｘ＋ｙ＋２ｚ＝５
{
；
　
　
（２）
ｘ＋２ｙ＝９，
ｙ－３ｚ＝－５，
－ｘ＋５ｚ＝１４
{
；
　　　　　　
　
　你还有其他
解法吗？
１１９
　
　
３．５　三元一次方程组及其解法
　（３）
２ｘ－２ｙ＋ｚ＝０，
２ｘ＋ｙ－ｚ＝１，
ｘ＋３ｙ－２ｚ＝１
{
；
（４）
２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝１１，
ｘ＋ｙ＋ｚ＝６，
３ｘ－ｙ－ｚ＝－２
{
．
２．已知甲、乙两数之和为３，乙、丙两数之和为６，甲、丙两数之和为７，求这三个数．
３．在等式ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中，当ｘ＝－１时，ｙ＝０；当ｘ＝２时，ｙ＝３；当ｘ＝５时，
ｙ＝６０．求ａ，ｂ，ｃ的值．
４．某饮食方案中要求每天食谱中包含１００单位的脂肪，２００单位的蛋白质，４００单位
的淀粉．现有三种食品Ａ，Ｂ，Ｃ，每份（５０ｇ）食品Ａ，Ｂ，Ｃ分别所含的脂肪、蛋白
质和淀粉的量（单位）如下表：
食　品
脂　肪
蛋白质
淀　粉
Ａ
２
７
１７
Ｂ
２
４
７
Ｃ
１０
１６
３０
试求满足要求的Ａ，Ｂ，Ｃ的份数．
联产品的成本计算
奶制品加工厂可以同时生产出牛奶、奶油等产品，
煤气厂在生产过程中，会同时生产出煤气、焦炭和煤焦
油等产品．一个工厂使用同种原料，经过同一加工过程
而同时生产出来的两种或两种以上的主要产品称为联
产品．如何确定联产品中每种产品的单位成本（即每千
克的成本）呢？可以通过几次测试来求解．
（１）设某工厂在一次投料生产过程中能同时生产
出两种产品，现通过两次测试，每次测试所花费的联合
１２０
　第３章　一次方程与方程组　
成本（指Ａ和Ｂ两种产品的成本之和，其中
　
　
每种产品的成本＝产量×单位成本）
如下：
批　次
产品／ｋｇ
Ａ
Ｂ
联合成本／万元
第一批生产
４０
２０
１６
第二批生产
１６０
６０
６０
　
　试求每种产品的单位成本．
（２）设某工厂在一次投料生产过程中能同时获得
三种产品，现通过三次测试，每次测试所花费的联合成
本如下：
批　次
产品／ｋｇ
Ａ
Ｂ
Ｃ
联合成本／万元
第一批生产
１００
４０
４０
１３２
第二批生产
４００
１８０
１６０
５３８
第三批生产
５００
２４０
２２０
６８６
　
　试求每种产品的单位成本．
１２１
　
　３．６综合与实践　一次方程组与ＣＴ技术
３．６综合与实践
一次方程组与ＣＴ技术
　
　
ＣＴ是Ｘ射线计算机断层成像（Ｘ— ｒａｙｃｏｍｐｕｔｅｄ
ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ）的简称，它显著地改善了Ｘ射线检查的分辨能
力，其分辨率大大高于一般Ｘ光机，能清楚地显示出器官是
否有病变，因而被广泛地用于医学诊断．
ＣＴ的工作程序是这样的：根据人体不同组织对Ｘ射线
吸收程度的不同，运用灵敏度极高的仪器对人体进行检查，
然后将检查所获取的数据输入计算机，由计算机对数据进行
处理，就可得到人体被检查部位的各断层的图象，从而发现
体内任何部位的细小病变．
如ＣＴ在对人的大脑进行检查时，为了显示整个头部
的情况，就需要先把它分成多个连续的横断面即断层，断
层厚度一般为１～１０ｍｍ，再进行扫描，以获得各断层
图象．
图３
９　头部断层
各断层的ＣＴ图象是如何得来的？我们在受检体内欲
成图象的断层表面上，按一定大小（长或宽为１～２ｍｍ）把
断层划分成许多很小的部分（它的高就是断层的厚度），这
些小块就称为体素，如图３
９，一般用吸收值来表示Ｘ射线
图３
８　ＣＴ检查
１２２
　第３章　一次方程与方程组　
束穿过一个体素后被吸收的程度，要得到该断层的图象，要
发现受检体有无病变，就需要把它上面的各体素的吸收值都
求出来．
图　３
１０
如何求一个断层上各体素的吸收值呢？下面我们用
最简单的由Ａ，Ｂ，Ｃ三个体素组成的断层（图３
１０）为例
来加以说明．设体素Ａ，Ｂ，Ｃ的吸收值分别为ｘ，ｙ，ｚ，则Ｘ射
线束１穿过体素Ａ和Ｂ后，由探测器测得的总吸收值
为ｐ１，则
ｘ＋ｙ＝ｐ１．
①
同样，Ｘ射线束２穿过体素Ａ和Ｃ后，测得总吸收值为ｐ２，Ｘ
射线束３穿过体素Ｂ和Ｃ后，测得总吸收值为ｐ３，则
ｘ＋ｚ＝ｐ２，
②
ｙ＋ｚ＝ｐ３．
③
将方程①②③联立起来，得到一个含有未知数ｘ，ｙ，ｚ的
三元一次方程组，解此方程组，可以求得体素Ａ，Ｂ，Ｃ的各自
吸收值．
由于一般的断层至少也得划分成１６０× １６０＝２５６００个
体素，Ｘ射线束从不同位置、不同方向穿过该断层，因而需
要解由此而建立的２５６００个元的一次方程组，才能求出各体
素的吸收值．
　　　　　　
　
　此方法称为
联立方程法，由于
需建立的方程太
多，因而建立图象
的速度较慢．目前
ＣＴ图象的建立
普遍采用滤波反
投影法，建立图象
的速度很快，待Ｘ
射线扫描结束之
后，随之可得ＣＴ
图象．
１２３
　
　３．６综合与实践　一次方程组与ＣＴ技术
问题?　设图３
１０中测得的３个总吸收值分别为
ｐ１＝０．８，ｐ２＝０．５５，ｐ３＝０．６５，求体素Ａ，Ｂ，Ｃ的吸收值．
问题?　如图３
１０，设３个病人甲、乙、丙的３个体素
Ａ，Ｂ，Ｃ被Ｘ射线束１，２，３分别穿过后所测得的总吸收值
如下：
总吸收值
病人
ｐ１
ｐ２
ｐ３
甲
０．４５
０．４４
０．３９
乙
０．９０
０．８８
０．８２
丙
０．６６
０．６４
０．７０
　
　（１）设ｘ，ｙ，ｚ分别为体素Ａ，Ｂ，Ｃ的吸收值，完成
下表：　
　
体素吸收值
病人
ｘ
ｙ
ｚ
甲
乙
丙
　　（２）设Ｘ射线束穿过健康器官、肿瘤、骨质的体素吸收
值如下：
组织类型
体素吸收值
健康器官
０．１６２５～０．２９７７
肿瘤
０．２６７９～０．３９３０
骨质
０．３８５７～０．５１０８
　　对照上表，分析３个病人的检测情况，判断哪位患有
肿瘤．
　　　　
　
　　在ＣＴ图象
中，各体素的黑
白程度是由吸
收值来定的，深
色表示低吸收
值区，浅色表示
高吸收值区．
１２４
　第３章　一次方程与方程组　
“方程”的由来
一次方程的问题，在我国数学史上占有重要的地位．我国古
代数学专著《九章算术》中，第八章的章名就叫“方程”．图３
１１讲
的就是列多元一次方程组解决实际问题．
图　３
１１
在我国古代还没有ｘ，ｙ，ｚ这些符号，也没有阿拉伯数字，不
能用笔在纸上作运算．我们的祖先是如何列方程组解决问题的
呢？他们创造了用算筹（竹子做的条形棒子）来表示数目的方法．
如图３
１２所示，它有下面的两种排列方式：
图　３
１２
１２５
　
　小结·评价
运算是把算筹摆在桌面上进行的．
“方程”中的第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，
实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一
秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各
几何？”
按今天的解法，即设上、中、下等稻子（禾）每捆（秉）可出谷子
（实）分别为ｘ，ｙ，ｚ（斗），于是得含三个未知数的方程组：
３ｘ＋２ｙ＋ｚ＝３９，
２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝３４，
ｘ＋２ｙ＋３ｚ＝２６
{
．
　
（上等稻子捆数）
（中等稻子捆数）
（下等稻子捆数）
（打出稻谷斗数）
　
　
　
　
　
图　３
１３
而《九章算术》中的解，只是根据条件，将
题中各个系数依次摆出像图３
１３的格式，然
后用直除法（列与列相减，这里不详细介绍）
去解．
由于这样排出的数字构成一个方阵，而且
方阵中各个数字所在位置不可任意调换，排列
有严格程式．《九章算术》称它为“方程”．这也
是方程一词的最早来源．以后，就把含未知数
的等式（不论是含一个或多个未知数）统称为
方程了．
一、内容整理
１２６
　第３章　一次方程与方程组　
二、主要知识回顾
１．等式的基本性质是：
（１）　　　　　　　　　　　　　　　　　　
；
（２）　　　　　　　　　　　　　　　　　　
；
（３）　　　　　　　　　　　　　　　　　　
；
（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　
．
２．解一元一次方程，就是根据等式的基本性质和运算律，通过　
　
　、
　　　、　　　、　　　等步骤，将原方程变形为最简方程ａｘ＝ｂ（ａ≠０）的
形式，再在方程两边同除以未知数的系数ａ，从而得出方程的解ｘ＝ｂ
ａ．
３．解二元一次方程组的基本思路是：通过　
　
　，把解二元一次方程组
转化成解　　　　　　．消元常见方法有　　　和　　　．
４．方程（组）是反映现实世界数量之间相等关系的一个有效的数学模型．
建立方程（组）模型解决实际问题的关键是：首先分析问题中有哪些数量，其
次是分析这些数量间有怎样的关系，然后再建立相关模型．
三、自评与互评
１．和同伴一起比较“代入法”和“加减法”的异同点，然后互出两道题，互
相检测一下，看解答是否正确、简捷．
２．通过学习一元一次方程、二元一次方程组和三元一次方程组的解法，
你有怎样的体会？
１．解下列一元一次方程：
（１）７ｘ＝－３ｘ＋５；　
　
　
　
　
　
　
　
　（２）３ｘ－２７＝１５－３ｘ；
（３）１２－３（２－ｙ）＝６ｙ＋５；　
（４）６（ｙ＋７）－３＝４（３－ｙ）＋３．
２．解下列一元一次方程：
（１）２ｘ＋１
３
＝ｘ＋１１
５；　
（２）２
５（ｙ－３）＝１
３ｙ－３
５（ｙ－７）．
１２７
　
　小结·评价
３．解下列方程组：
（１）３ｘ－２ｙ＝１０，
４ｘ－３ｙ＝１３
{
；
　
（２）２ｘ＋３ｙ－２＝０，
４ｘ－９ｙ＋１＝０
{
；
（３）ｘ＋１＝５（ｙ＋２），
３（２ｘ－５）－４（３ｙ＋４）＝５
{
；
　
（４）
ｙ
３－ｘ＋１
６
＝３，
２ｘ－ｙ
(
)
２
＝３ｘ＋ｙ
(
)
１８





．
４．在等式ｙ＝ｋｘ＋ｂ中，当ｘ＝１时，ｙ＝３；当ｘ＝－２时，ｙ＝９．试求ｋ，ｂ的值．
５．将内径为９０ｍｍ的圆柱形玻璃杯装满水，用它向一个长方体铁盒中倒水．已知长
方体铁盒的长、宽、高分别为１３１ｍｍ，１３１ｍｍ，８１ｍｍ，问当铁盒装满水时，玻璃
杯中水的高度大约下降多少毫米？
（第６题）
６．某公路收费站的收费标准是：大客车２０元，大货车
１０元，轿车５元．某天通过该收费站的三种车辆的数
量之比是５∶７∶６，共收费４．８万元．试问这天通过收
费站的三种车辆各是多少辆？
７．运输户承包运送２０００套玻璃茶具，运输合同规定：
每套运费１．６元；如有损坏，每套不仅得不到运费，
还要赔１８元，结果，这个运输户得到运费３１０２元．
问运输过程中损坏了几套茶具？
８．同一建筑工地上，在甲处劳动的有２７人，在乙处劳动的有１９人．现调来２０人支
援，使在甲处的总人数为在乙处的总人数的２倍．问调来的２０人分配至甲、乙两
处各多少人？
９．有一旅客携带３０ｋｇ行李乘飞机去外地．按规定，旅客最多可免费携带２０ｋｇ行
李，超重部分每千克按当班飞机票价格的１．５％购买行李票．现该旅客购买了
（第１０题）
１２０元的行李票，问当班飞机票的价格是多少元？
１０．在长方形ＡＢＣＤ中，放入８个形状和大小相同的小长
方形，位置和尺寸如图所示，试求阴影部分的面积．
１１．某厂现有厂房１５０００ｍ２，计划拆除部分旧厂房，重建
新厂房，使厂房总面积扩大４０％．如果新建厂房的面
积是拆除的旧厂房面积的３倍，那么应该拆除多大面
积的旧厂房？新建厂房面积有多大？
１２８
　第３章　一次方程与方程组　
１２．某印刷厂第一、二两个装订车间由于改进了操作方法，每天第一车间多装订书
１０％，第二车间多装订书１５％．如果改进后一天共装订书５０００册，那么比原来
一天多装订书６００册．试问原来第一、二车间一天各装订书多少册？
１３．某校今年秋季招收七年级、高中一年级新生共５００人．计划明年秋季这两个年级
招生数比今年增加１８％，其中七年级增加２０％，高中一年级增加１５％，求该校明
年计划招收七年级、高中一年级新生各多少人？
１４．某人用２４０００元买进甲、乙两种股票，当甲股票升值１５％，乙股票下跌１０％时全
部卖出，共获利１３５０元（不计佣金和印花税等交易成本）．试问某人买了甲、乙
两种股票各是多少元？
１５．将浓度为３０％的酒精与浓度为６０％的酒精混合，制成了浓度为５０％的酒精
３０ｋｇ，问前两种酒精各使用了多少千克？
１６．某天，一蔬菜经营户用６０元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共４０ｋｇ到
菜市场去卖，西红柿和豆角这天每千克的批发价与零售价如下表所示：
品　名
西红柿
豆角
批发价／元
１．２
１．６
零售价／元
１．８
２．５
问：他当天卖完这些西红柿和豆角共能赚多少钱？
１．甲、乙两人同时解方程组
ａｘ＋ｂｙ＝２，
ｍｘ－７ｙ＝８
{
．
甲解对了，得　
ｘ＝３，
ｙ＝２
{
．
乙写错了ｍ，得
ｘ＝－２，
ｙ＝－２
{
．
试求原方程组中ａ，ｂ，ｍ的值．
１２９
　
　小结·评价
２．某商品的进价为２００元，标价为３００元，折价销售时的利润率为５％，问此商品是
按几折销售的
[？利润率＝
利润
进价（或成本]）
３．一个三位数，个位、百位上的数字之和等于十位上的数字，百位上的数字的７倍比
个位、十位上的数字之和大２，个位、十位、百位上的数字之和是１４，求这个三
位数．
４．我国古代数学专著《九章算术》中有一题：用卖２头牛、５头羊的钱买１３头猪，剩
钱１０００；用卖３头牛、３头猪的钱买９头羊，钱正好；用卖６头羊、８头猪的钱买５
头牛，还差钱６００．求牛、羊、猪每头的价钱各多少？
１．三个连续整数的和为６６，求这三个数．如果是三个连续偶数，是否有解？如果是三
个连续奇数，是否有解？
２．某本书正文所标注的页码共用了２９８９个阿拉伯数字，问这本书的正文共有多
少页？
１３０
　第４章　直线与角　
直线与角
４．１　几何图形
４．２　线段、射线、直线
４．３　线段的长短比较
４．４　角
４．５　角的比较与补
（余）角
４．６　用尺规作线段与角
　　RUV‘`’*“”，•V–—˜™，š›œ，ž
Ÿ ¡N¢.&–£¤．
　
　
!"0OPQRSETU,VW，'(XY@Z,)
-./．
１３１
　
　４．１　几何图形
４．１几何图形
　　我们周围的物体，多姿多彩．如果只研究它们的形状和
大小，而不涉及它们的其他性质，就得到各种几何图形．
画线，把图４
１中上一行的物体与下一行中类
似它们的几何图形连接起来：
图　４
１
你能再举一些类似于上面这些图形的物体吗？
长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体
１３２
　第４章　直线与角　
（ｓｏｌｉｄ）．
包围着体的是面（ｓｕｒｆａｃｅ）．面有平的面与曲的面两种．
平面没有边界．教室里窗户玻璃的表面、黑板的表面给
我们的都只是平面的局部的形象．
观察图４
１，回答：
１．长方体、四面体各有几个面？它们是平的面还是曲的面？
２．包围着圆柱、圆锥、球的面是平的面还是曲的面？
　　长方体、四面体等，围成它们的面都是平面的一部分，这
样的几何体都是多面体．
圆柱、圆锥、球都是旋转体．围成圆柱、圆锥的面有平的
面和曲的面，其中平的面是底面、曲的面是侧面．围成球的面
是曲的面．
空中架设的电线（图４
２）、墙面与地板面的交界线都
给我们线的形象．几何体中面与面相交形成线（ｌｉｎｅ）．多面
体中面与面的交线是直的，它们叫做多面体的棱．圆柱、圆锥
中侧面与底面的交线是曲线．
线与线相交得到点（ｐｏｉｎｔ）．多面体中棱与棱相交的点
叫做顶点，如长方体有８个顶点，四面体有４个顶点．
几何图形是由点、线、面、体组成的．其中点是最基本的图
形．电视屏幕上的画面，可以看作是由点组成的，如图４
３．
几何图形中，像直线、角、三角形、圆等，它们上面的各点
都在同一个平面内，这样的图形叫做平面图形；像长方体、圆
柱体、球等，它们上面的各点不都在同一个平面内，这样的图
形叫做立体图形．
图　４
２
图　４
３
１３３
　
　４．１　几何图形
几何图形在建筑、图案、徽标等许多方面都有着广泛的
应用，如图４
４．
图　４
４
１．试举出图形是长方体、圆柱的实物的例子．
２．下图中的蒙古包，可看作由哪些几何体组成的？
（第２题）
习题４．１
１．把图中一些实物与类似它们的几何图形用线连接起来．
（第１题）
１３４
　第４章　直线与角　
２．数一数长方体、四面体的面数、顶点数和棱数，并填写下表：
名　称
面数（ｆ）
顶点数（ｖ）
棱数（ｅ）
ｆ＋ｖ－ｅ
长方体
四面体
３．收集应用几何图形的实际例子（商标、图案、标志等），与同学进行交流．
制作正多面体
本书最后附有两张如图４
５且放大了的手工图
纸，请剪下后粘合，做成５个正多面体的模型．
图　４
５
对照模型，填写下表：
名　称
面数（ｆ）顶点数（ｖ）棱数（ｅ）ｆ＋ｖ－ｅ
（１）正四面体
（２）正六面体
（３）正八面体
（４）正十二面体
（５）正二十面体
　
　从中你能得出怎样的规律？
　
　数学家欧拉
（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ，１７０７～
１７８３年，原籍瑞士）
发现多面体中，面
数ｆ、顶点数ｖ和棱
数ｅ之间存在着本
题中得到的重要关
系式，并证明了它．
人们把这个著名的
关系式称为欧拉
公式．
１３５
　
　４．２　线段、射线、直线
４．２线段、射线、直线
１．如图４
６（１），长方体的棱可以看作是什么
图形？
２．如图４
６（２），数学课本封面长方形的边是
什么图形？
图　４
６
在图４
６中，像长方体的棱、长方形的边，这些图形都
是线段（ｌｉｎｅｓｅｇｍｅｎｔ）．
线段有两个端点．以Ａ，Ｂ为端点的线段，记作线段ＡＢ
（或线段ＢＡ）或线段ａ．该线段可以用图４
７的方式表示．
线段可以延长．用直尺画线段ＡＢ的延长线，如图４
８（１）；
延长线段ＢＡ（或称反向延长线段ＡＢ），如图４
８（２）．
图　４
７
１３６
　第４章　直线与角　
图　４
８
将线段向一个方向无限延长就得到了射线（ｒａｙ或ｈａｌｆ
ｌｉｎｅ）．图４
９（１）中所示的光线给我们射线的形象．射线有
一个端点，它可以用图４
９（２）所示的方式表示，图中的射
线记作射线ＯＰ（端点Ｏ应写在点Ｐ之前）．
图　４
９
将线段向两个方向无限延长就形成了直线（ｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅ
或ｒｉｇｈｔｌｉｎｅ）．直线没有端点，它可以用图４
１０所示的方式表
示，图中的直线记作直线ＡＢ（或直线ＢＡ）或直线ｌ．
　　１．如图４
１１（１），经过一点Ａ画直线，可以画
几条？如图４
１１（２），经过两点Ａ，Ｂ画直线，可以
画几条？
图　４
１１
　
图　４
１２
２．如图４
１２，要把一根挂衣帽的挂钩架，水平
固定在墙上，至少要钉几个钉子？
图　４
１０
　
１３７
　
　４．２　线段、射线、直线
　　上面问题，反映了直线有如下基本事实：
图　４
１３
经过两点有一条直线，并且只
有一条直线．
图４
１３中直线ｌ与直线ｍ相
交，得到一个交点Ａ，它们会不会还
有另外的交点？为什么？
根据上面的基本事实，可得直线的如下性质：
两条直线相交只有一个交点．
（第１题）
１．如图，下列语句的叙述是否正确，为什么？
（１）线段ＡＢ与线段ＢＣ是同一条线段；
（　　）
（２）直线ＡＢ与直线ＢＣ是同一条直线；
（　　）
（３）点Ａ在线段ＢＣ上；
（　　）
（４）点Ｃ在射线ＡＢ上．
（　　）
２．读下列语句，并按照这些语句画出图形：
（１）直线ＤＥ经过点Ｆ；
（２）点Ｐ在直线ｌ外；
（３）在同一平面内，经过点Ｏ有三条直线ａ，ｂ，ｃ；
（４）直线ＡＢ和ＣＤ相交于点Ｏ．
习题４．２
１．如图，已知三点Ａ，Ｂ，Ｃ．画线段ＡＢ、直线ＢＣ、射线ＣＡ．
（第１题）
　　　　
　
　
　基本事实
是人们在长期
实践中总结出
来的结论，可以
作为后面几何
证明的原始
依据．
１３８
　第４章　直线与角　
２．填空：
（１）图（１）中，共有　
　条线段，它们是　
　
　
；
（２）图（２）的长方体，共有　
　条棱，其中以点Ｂ为端点的棱有　
　条，它们是
　
　
　
　
　
　
　
　
　
．
（第２题）
３．（１）关于直线，有哪些基本事实和性质？
（２）射线有几个端点？线段有几个端点？
（３）线段ＡＢ与线段ＢＡ是同一条线段吗？
（第４题）
４．如图，射线ＯＡ与射线ＡＢ是同一条射线吗？射线ＯＡ与
射线ＡＯ呢？
１３９
　
　４．３　线段的长短比较
４．３线段的长短比较
图　４
１４　
　　小明和小刚站在一起，谁的个子高（图４
１４）？
比较两条线段ＡＢ与ＣＤ的长短，可以采用叠合的
方法．
将ＡＢ，ＣＤ放在同一条直线上，如图４
１５，使端点
Ａ与Ｃ重合，端点Ｂ与Ｄ落在Ａ的同一侧．
１．当点Ｄ与Ｂ重合时，线段ＡＢ与线段ＣＤ相等
［图４
１５（１）］，记作
　　
ＡＢ＝ＣＤ．
２．当点Ｄ在线段ＡＢ内部时，线段ＡＢ大于线段
ＣＤ［图４
１５（２）］，记作
ＡＢ＞ＣＤ．
图　４
１５
３．当点Ｄ在线段ＡＢ延长线上时，线段ＡＢ小于线段
ＣＤ［图４
１５（３）］，记作
ＡＢ＜ＣＤ．
我们也可以利用刻度尺量出线段的长度，来比较它们的
长短．
在图４
１６（１）中，点Ｃ在线段ＡＢ的延长线上，如果线
段ＡＢ＝ａ，线段ＢＣ＝ｂ，那么线段ＡＣ就是ａ与ｂ的和，记
作ＡＣ＝ａ＋ｂ．
在图４
１６（２）中，点Ｄ在线段ＡＢ上，如果线段ＡＢ＝
ａ，线段ＤＢ＝ｂ，那么线段ＡＤ就是ａ与ｂ的差，记作
ＡＤ＝ａ－ｂ．
图　４
１６
１４０
　第４章　直线与角　
在图４
１７中，点Ｃ在线段ＡＢ上且使线段ＡＣ，ＣＢ
相等，这样的点Ｃ叫做线段ＡＢ的中点（ｍｉｄｄｌｅｐｏｉｎｔ），这
时有
ＡＣ＝ＣＢ＝１
２ＡＢ，
或
ＡＢ＝ＡＣ＋ＣＢ＝２ＡＣ＝２ＣＢ．
　　１．如图４
１８，甲、乙两地间有曲线、折线、线段等４条路线可走，其中
哪一条路线最短？
图　４
１８
　　　　　　
图　４
１９
２．如图４
１９，人们修建公路遇到大山阻碍时，为什么时常打通一条穿
越大山的直的隧道？
　　上面问题，反映了线段有如下的基本事实：
两点之间的所有连线中，线段最短．
两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
（ｄｉｓｔａｎｃｅ）．
例　已知：线段ＡＢ＝４，延长ＡＢ至点Ｃ，使ＡＣ＝１１．点
Ｄ是ＡＢ的中点，点Ｅ是ＡＣ的中点．求ＤＥ的长．
图　４
１７
　
１４１
　
　４．３　线段的长短比较
解　如图４
２０，因为ＡＢ＝４，点Ｄ为ＡＢ中点，故
ＡＤ＝２．
图　４
２０
又　因为ＡＣ＝１１，点Ｅ为ＡＣ中点，ＡＥ＝５．５．
故ＤＥ＝ＡＥ－ＡＤ＝５．５－２＝３．５．
（第４题）
１．比较各图中线段ＡＢ与ＣＤ的长度（可以先目测，再用刻度尺测量）．
（第１题）
２．如图，Ｃ，Ｄ是线段ＡＢ上不同的两点，那么：
（１）ＡＣ＝　
　
　
－ＤＣ，ＢＤ＝　
　
　
－ＣＤ；
（２）ＡＣ＝　
　
　
－ＢＣ，ＢＤ＝　
　
　
－ＡＤ；
（３）ＡＢ＝　
　
　
＋　
　
　
＋　
　
　．
（第２题）
　
　
　　　
（第３题）
３．如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ在一条直线上，已知ＡＢ＝３ｃｍ，ＢＣ＝１ｃｍ，
Ｍ是ＡＢ的中点，Ｎ是ＢＣ的中点，求ＭＮ的长．
４．如图，用刻度尺测量出ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ的长度，并比较ＡＢ＋ＡＣ
与ＢＣ的长短．不通过测量，你能比较ＡＢ＋ＡＣ与ＢＣ的长短
吗？依据是什么？
１４２
　第４章　直线与角　
习题４．３
１．用叠合的方法比较数学课本与练习本的宽，看哪一个长些．
２．如图，Ｃ，Ｄ是线段ＡＢ上两点，Ｄ是ＡＣ的中点，ＣＢ＝４ｃｍ，ＤＢ＝７ｃｍ，求ＡＢ，
ＡＣ的长．
（第２题）
３．同一条直线上有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ六个点，且Ｃ是ＡＢ的中点，Ｂ是ＡＤ的中点，Ａ
是ＢＥ的中点，Ｄ是ＥＦ的中点，ＡＣ＝１，求ＥＦ的长．
４．线段ＡＢ上有两点Ｐ，Ｑ，点Ｐ将ＡＢ分成两部分，ＡＰ∶ＰＢ＝２∶３；点Ｑ将ＡＢ也
分成两部分，ＡＱ∶ＱＢ＝４∶１；且ＰＱ＝３ｃｍ．求ＡＰ，ＱＢ的长．
５．已知线段ＡＢ＝１０ｃｍ，点Ｃ是任意一点，那么线段ＡＣ与ＢＣ的和最少是多少？
１４３
　
　４．４　角
４．４角
　　钟面上的时针与分针所构成的图形、四面体中任意两条
相交棱所构成的图形（图４
２１），都给我们以角（ａｎｇｌｅ）的
形象．
图　４
２１
角可以看作是从一点Ｏ出发的两条射线ＯＡ，ＯＢ所组
成的图形（图４
２２），其中，点Ｏ叫做角的顶点，射线ＯＡ，
ＯＢ叫做角的边．这个角可记作∠ＡＯＢ，读作“角ＡＯＢ”（当不
引起误解时，也可记作∠Ｏ）．
角还可以用如图４
２３所示的方法表示，图中的角记作
∠１或∠α．
图　４
２３
　
图　４
２４
∠ＡＯＢ也可以看成是射线ＯＡ绕着点Ｏ旋转到ＯＢ的
位置后形成的图形（图４
２４）．射线ＯＡ，ＯＢ分别叫做这个
角的始边和终边．
　　　　
　
　
　用三个字
母表示角时，要
把表示顶点的
字母写在中间．
图　４
２２
　　　　
　
　
　在没有特
别说明的情况
下，我们说的角
都是在０° ～１８０°
之间．
１４４
　第４章　直线与角　
（第１题）
１．填空：
如图，从端点Ｏ引出射线ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，图中小于９０°的角
分别是　　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　　　　　　　．
２．填表：
名　称
锐角
钝角
周角
图　形
范　围
α ＝９０°
α ＝３６０°
　　角的度量单位是“度、分、秒”．把一个周角３６０等分，每
一等份是１度的角，１度记作１°；把１°的角６０等分，每一等
份是１分的角，１分记作１′；把１′的角６０等分，每一等份是１
秒的角，１秒记作１″．即
１° ＝６０′，１′ ＝６０″．
例１　计算：
（１）用度、分、秒表示３０．２６°；
（２）４２°１８′１５″等于多少度？
解　（１）因为０．２６° ＝６０′ × ０．２６
＝１５．６′，
０．６′ ＝６０″ × ０．６
＝３６″，
所以　３０．２６° ＝３０°１５′３６″．
１４５
　
　４．４　角
（２）因为１５″ ＝
１
(
)
６０
′ × １５
＝０．２５′，
　　　１８．２５′ ＝
１
(
)
６０
° × １８．２５
≈０．３０４°，
所以　４２°１８′１５″ ≈４２．３０４°．
例２　把一个周角１７等分，每份是多少？（精确到１′）
解　
３６０° ÷ １７＝２１° ＋３° ÷ １７
＝２１° ＋１８０′ ÷ １７≈２１°１１′．
１．填空：
（１）(
)
１
４
° ＝　
　
′ 　
　
″；　
　
　
　
　
　（２）５２°１９′１２″ ＝　　　　
°．
２．计算：
（１）２５°２３′１７″ ＋４６°５３′４３″；
（２）７５°２３′１２″ －４６°５３′４３″；
（３）１９°２０′２４″ × ４；
（４）１３４°２２′ ÷ ３．
习题４．４
１．如图是中央电视台部分节目的播出时间，分别确定钟表上时针与分针所成的最小
的角的度数．
（第１题）
１４６
　第４章　直线与角　
（第２题）
２．平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运
动的方向，这种表示方向的角叫做方向角，在测绘、航海
中经常用到．如图，ＯＡ是表示北偏东２０°方向的一条射
线．仿照这条射线画出表示下列方向的射线：
（１）北偏西５０°；　
　
　（２）南偏东１０°；
（３）西南方向（即南偏西４５°）．
３．计算：
（１）３０°１９′２１″ ＋１５°４０′４２″；　
　
　
　
　
　
　
　
　
（２）９０° －６８°１７′５０″；
（３）４０．８２° ＝　
　
　
° 　
　
　
′ 　
　
　
″；　
（４）５２°２２′ × ９；
（５）１７８°５３′ ÷ ５（精确到１′）．
４．已知一条射线ＯＡ，若从点Ｏ再引两条射线ＯＢ，ＯＣ，使∠ＡＯＢ＝７２°，∠ＢＯＣ＝
３６°，求∠ＡＯＣ的度数．
１４７
　
　４．５　角的比较与补（余）角
４．５角的比较与补（余）角
比较两个角的大小，可以采用叠合的方法．
叠合∠ＤＥＦ与∠ＡＢＣ，如图４
２５，把∠ＤＥＦ移
动，使它的顶点Ｅ移到和∠ＡＢＣ的顶点Ｂ重合，一
边ＥＤ和ＢＡ重合，另一边ＥＦ和ＢＣ落在ＢＡ的同
旁．如果ＥＦ和ＢＣ重合，那么∠ＤＥＦ＝∠ＡＢＣ
［图４
２５（１）］；如果ＥＦ落在∠ＡＢＣ的内部，那么
∠ＤＥＦ＜∠ＡＢＣ［图４
２５（２）］；如果ＥＦ落在∠ＡＢＣ
的外部，那么∠ＤＥＦ＞∠ＡＢＣ［图４
２５（３）］．
　
　
　
　
　
图　４
２５
我们也可用量角器量出角的度数，再比较它们的大小．
在图４
２６中，∠ＡＯＣ是∠ＡＯＢ与∠ＢＯＣ的和，记作
∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ，∠ＡＯＢ是∠ＡＯＣ与∠ＣＯＢ的
差，记作∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＣ－∠ＣＯＢ．类似地，∠ＡＯＣ－
∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＢ．
图　４
２６
１４８
　第４章　直线与角　
例１　如图４
２７，求解下列问题：
（１）比较∠ＡＯＣ与∠ＢＯＣ，∠ＢＯＤ与∠ＣＯＤ的大小；
（２）将∠ＡＯＣ写成两个角的和与两个角的差的形式．
解　（１）由图４
２７可以看出：
∠ＡＯＣ＞∠ＢＯＣ，（ＯＢ在∠ＡＯＣ内）
∠ＢＯＤ＞∠ＣＯＤ．（ＯＣ在∠ＢＯＤ内）
（２）∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＢ＋∠ＢＯＣ，
∠ＡＯＣ＝∠ＡＯＤ－∠ＤＯＣ．
在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分
成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线（ａｎｇｕｌａｒ
ｂｉｓｅｃｔｏｒ）．
如图４
２８，ＯＣ是∠ＡＯＢ的平分线，这时有：
∠ＡＯＣ＝∠ＣＯＢ＝１
２∠ＡＯＢ，
或
∠ＡＯＢ＝２∠ＡＯＣ＝２∠ＣＯＢ．
如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角
互为补角（ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙａｎｇｌｅ），简称互补．
如图４
２９，∠１＋∠２＝１８０°，∠１叫做∠２的补角，∠２
也叫做∠１的补角，∠１与∠２互补．
图　４
２９
　　　
图　４
３０
如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角
互为余角（ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙａｎｇｌｅ），简称互余．
如图４
３０，∠α ＋∠β ＝９０°，∠α叫做∠β的余角，∠β
也叫做∠α的余角，∠α与∠β互余．
图　４
２７
图　４
２８
１４９
　
　４．５　角的比较与补（余）角
例２　如图４
３１，∠１＝∠３，∠１与∠２互补，∠３与
∠４互补，那么∠２与∠４有什么关系？
图　４
３１
解　因为∠１与∠２互补，所以∠２＝１８０° －　　　．
因为∠３与∠４互补，所以∠４＝１８０° －　　　．
又　因为∠１＝∠３，所以　　　
＝　　　．
于是得到补角的性质：
同角（或等角）的补角相等．
　　余角有无与上面补角类似的性质？如果有，你
能说明道理吗？
同角（或等角）的余角相等．
１．按下列要求画图、计算：
（１）画∠ＡＯＢ＝９０°；
（２）在∠ＡＯＢ外画∠ＢＯＣ＝３０°；
（３）分别画∠ＡＯＢ，∠ＢＯＣ的角平分线ＯＤ，ＯＥ；
（４）求∠ＡＯＣ，∠ＥＯＤ的度数．
１５０
　第４章　直线与角　
（第２题）
２．已知：如图，点Ｏ为直线ＡＢ上一点，ＯＣ是∠ＡＯＢ的平分线，ＯＤ在∠ＣＯＢ内．看图填
空（选填“＜”“＞”或“＝”）：
（１）∠ＡＯＤ　
　
　
∠ＡＯＢ，
∠ＡＯＤ　
　
　
∠ＤＯＢ，
∠ＡＯＣ　
　
　∠ＢＯＣ；
（２）∠ＡＯＤ的补角是　
　
　，∠ＣＯＤ的余角是　　　，
∠ＢＯＤ的补角是　
　
　，∠ＡＯＣ的补角是　　　．
习题４．５
１．（１）图中共有几个角？说出它们之间的大小关系；
（２）把图中的一个角写成另两个角的和；
（３）把图中的一个角写成另两个角的差．
（第１题）
　
　
　
　
　
　
　
　
（第２题）
２．如图，点Ａ，Ｏ，Ｂ在同一条直线上，ＯＣ是一条射线，ＯＥ，ＯＦ分别是∠ＡＯＣ，∠ＣＯＢ
的角平分线．你能说出∠ＥＯＦ的度数吗？你是怎样得到的？
３．已知：如图，∠ＡＯＢ＝１６５°，且∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ＝９０°，求∠ＣＯＤ的度数．
（第３题）
　
　
　
　
　
　
　
（第４题）
４．已知：如图，从点Ｏ依次引四条射线ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ，ＯＤ，如果∠ＡＯＢ，∠ＢＯＣ，
∠ＣＯＤ，∠ＤＯＡ的度数之比为１∶２∶３∶４，求∠ＢＯＣ的度数．
１５１
　
　４．５　角的比较与补（余）角
（第５题）
５．已知：如图，∠ＣＯＢ＝２∠ＡＯＣ，ＯＤ平分∠ＡＯＢ，且
∠ＣＯＤ＝１９°，求∠ＡＯＢ的度数．
６．互余且相等的两个角各是多少度？
７．一个锐角的补角比这个角的余角大多少度？
生物中的最佳角
１．如图４
３２，大雁迁徙时常排成人字形，这个人字形的一边
与其飞行方向夹角是５４°４４′８″．从空气动力学角度看，这个角度对
于大雁队伍飞行最佳，所受阻力最小．
图　４
３２
２．不少植物的叶子在茎上的排布很有规律，如图４
３３（１）．从茎
的顶端沿茎向下看，相邻两片叶子间的夹角是１３７°２８′，如图４
３３（２）．
图　４
３３
１５２
　第４章　直线与角　
研究表明：这个角度对植物叶子通风、采光来讲，都是最佳的．
３．蜂窝的形状如图４
３４（１），其中单个蜂房的横断面是正六
边形，如图４
３４（２），蜂房顶由三个菱形拼接而成，如图４
３４（３），
菱形的钝角是１０９°２８′，锐角是７０°３２′，如图４
３４（４）．
这种结构使蜂窝具有省料且质量轻的特点．
图　４
３４
１５３
　
　４．６　用尺规作线段与角
４．６用尺规作线段与角
　　画图形、设计图案，时常要画线段和角．
画一条线段等于已知线段，可以先用刻度尺量出已知线
段的长度，再画出等于这个长度的线段．
画一个角等于已知角，可以利用量角器量出已知角的度
数，再画一个等于这个度数的角．
几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画
图的方法叫做尺规作图．
下面介绍如何用尺规作一条线段等于已知线段，作一个
角等于已知角．
例１　作一条线段等于已知线段．
已知：线段ａ［图４
３５（１）］．
求作：线段ＡＢ，使ＡＢ＝ａ．
作法：
（１）作一条直线ｌ；
（２）在ｌ上任取一点Ａ，以点Ａ为圆心，以线段ａ的长度
为半径画弧，交直线ｌ于点Ｂ［图４
３５（２）］．
线段ＡＢ就是所求作的线段．
例２　作一个角等于已知角．
已知：∠ＡＯＢ［图４
３６（１）］．
求作：∠ＤＥＦ，使∠ＤＥＦ＝∠ＡＯＢ．
作法：
（１）在∠ＡＯＢ上以点Ｏ为圆心，任意长为半径画弧，分
别交ＯＡ，ＯＢ于点Ｐ，Ｑ［图４
３６（１）］；
图　４
３５
图　４
３６
１５４
　第４章　直线与角　
（２）作射线ＥＧ，并以点Ｅ为圆心，ＯＰ长为半径画弧交
ＥＧ于点Ｄ；
（３）以点Ｄ为圆心，ＰＱ长为半径画弧交第（２）步中所
画弧于点Ｆ；
（４）作射线ＥＦ［图４
３６（２）］，∠ＤＥＦ即为所求作的角．
１．如图，已知线段ａ，ｂ，用直尺和圆规作一条线段ＡＢ等于（１）ａ＋ｂ；（２）ａ－ｂ．
（第１题）
　
　　　　　　
（第２题）
２．如图，已知∠α，用尺规作∠ＡＯＢ＝２∠α．
３．用直尺和圆规按下列步骤作图：
（１）作线段ＡＢ；
（２）以点Ａ为圆心，ＡＢ为半径画弧；
（３）以点Ｂ为圆心，ＡＢ为半径画弧，与第（２）步所画的弧在ＡＢ的一方交于点Ｃ；
（４）连接ＡＣ，ＢＣ，所得的是什么图形？
习题４．６
１．已知线段ａ，ｂ（ａ＞ｂ），用直尺和圆规作一条线段ＡＢ，使得线段ＡＢ等于２ａ－ｂ．
（第１题）
　
　
　
　
　
　
（第２题）
１５５
　
　４．６　用尺规作线段与角
２．已知∠α，∠β，且∠α ＞∠β，用直尺和圆规作∠ＡＯＢ，使得：
（１）∠ＡＯＢ＝∠α ＋∠β；　
　
　
　
　
　
　（２）∠ＡＯＢ＝∠α －∠β．
画　　图
１．（１）任意画一个圆；
（２）以圆心为顶点，利用量角器接连画五个７２°
（３６０° ÷５）角，这些角的边分别与圆周交于五个点；
（３）用线段连接相间的点；
（４）适当修饰后，即得五角星．
２．（１）过纸上一点画一些直线，使相邻两条直线之
间的夹角都是１０°．这里是先画出的５条，如图４
３７（１）；
（２）以该点为中心，分别以１ｃｍ，２ｃｍ，３ｃｍ，４ｃｍ，
５ｃｍ等为半径作圆；
（３）在这个图形上按一定规则着上颜色可得到不
同的图案．图４
３７（２）是一种具有“螺旋”感的图案；
（４）你可按不同的规则着色，看能否得出别样的
图案．
图　４
３７
１５６
　第４章　直线与角　
“几何”的由来
人类早期对几何图形的认识和研究，是由于生产和生活的需
要．几何的起源，在国外可追溯到公元前３０００年的古埃及．由于
尼罗河泛滥成灾，经常要测量被河水冲毁了的土地，这便逐步产
生了几何图形的知识．埃及文化传入希腊后，公元前３００年左右，
希腊数学家欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ）在泰勒斯（Ｔｈａｌｅｓ）、毕达哥拉斯
（Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ）等前人工作基础上，结合自己的发现，把当时已有的
数学内容，归纳整理写出了一本包括１３卷的巨著———Ｅｌｅｍｅｎｔｓ
（《原本》）．在这本书里，对几何图形性质的研究，是从一些基本定
义和尽可能少的几条不言而喻的、一致公认的基本事实（称为公理）
出发，运用逻辑推理的方法，推演出内容丰富、准确可靠的几何学．
从此使几何学成为一门系统演绎的科学．《原本》包括有５条公理、５
条公设（现代数学已不区分公设与公理，都称之为公理）、１１９个定
义和４６５条命题，构成了历史上第一个数学公理体系，它是一部划
时代的数学巨著，影响遍及整个科学领域．
１６０７年，我国明代科学家徐光启和意大利传教士利玛窦
（ＭａｔｔｅｏＲｉｃｃｉ）合作，把该书的前６卷翻译成中文，取名《几何原
本》．书名所加的“几何”两字，出自拉丁文Ｇｅｏｍｅｔｒｙ（Ｇｅｏ指土地，
ｍｅｔｒｙ指测量）中Ｇｅｏ的音译，“几何”在中文里还有“多少”的含
义．这样，音义兼顾，十分贴切、巧妙．
我国古代的许多著作如《墨经》、《周髀算经》、《九章算术》中
记载了大量的图形知识和处理几何问题的方法．１９５２年我国考古
学家在陕西省西安市半坡村发现一处距今约六七千年的氏族部
落的遗址，表明当时已经会建造圆锥形或长方体形的房屋（图
４
３９）．１９５３年在安徽灵璧和浙江嘉兴发现的新石器时代的遗
址，挖掘出不少碎陶片，上面就有方格、米字、回字等几何图案（图
４
４０）．在考古中还发现，公元前２世纪时的浮雕中就有伏羲执
矩（曲尺）、女娲执规（圆规）的画像（图４
４１），说明我国古代很
早就会使用规和矩，并在实际中运用几何知识了．
图４
３８　欧几里得
图　４
３９
　
图　４
４０
　
图　４
４１
　
１５７
　
　小结·评价
一、内容整理
二、主要知识回顾
１．线段是直线的一部分，它有两个端点．
（１）线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短；
（２）线段的中点：如图４
４２，Ｃ为ＡＢ的中点，则ＡＣ＝ＣＢ＝１
２ＡＢ，或
图　４
４２
ＡＢ＝２ＡＣ＝２ＣＢ．
２．射线是直线的一部分，它有一个端点．
３．直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有
一条直线．
４．直线的性质：两条直线相交只有一个交点．
５．角．
（１）由同一点出发的两条射线所组成的图形，如图４
４３中的∠ＡＯＢ（或
∠α）；也可以看成是射线ＯＡ绕点Ｏ旋转到ＯＢ位置所形成的图形；
图　４
４３
　　　　　　　
图　４
４４
（２）角的平分线：如图４
４４，若ＯＢ平分∠ＡＯＣ，则∠ＣＯＢ＝∠ＢＯＡ＝
１５８
　第４章　直线与角　
１
２∠ＡＯＣ；
（３）同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等；
（４）１° ＝　　　′，１′ ＝　　　″．
６．用直尺和圆规作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角．
三、自评与互评
１．与小学数学比较，本章有哪些新的内容？
２．总结所学直线、线段、射线、角的意义、性质和表示方法．
３．与同学合作，检测自己能否根据学过的几何语句准确地画出图形，并
用学过的语句描述简单的几何图形．
１．已知线段ＡＢ＝２ｃｍ，延长ＡＢ到Ｃ，使ＢＣ＝２ＡＢ，Ｄ为ＡＢ的中点，求ＤＣ的长．
２．把一条３２ｃｍ的线段分成三段，中间一段长为８ｃｍ，问第一段中点到第三段中点
（第３题）
的距离等于多少？
３．如图，用“＞”“＜”或“＝”填空：
（１）若ＢＥ是∠ＡＢＣ的平分线，则∠ＡＢＣ　
∠ＡＢＥ，
∠ＡＢＥ　
∠ＥＢＣ；
（２）已知Ｄ是ＢＣ上一点，则∠ＢＡＤ　
∠ＢＡＣ，
∠ＤＡＣ　
∠ＢＡＣ．
４．（１）作∠ＡＯＢ＝９０°，在∠ＡＯＢ的内部作∠ＢＯＣ＝３０°，∠ＡＯＤ＝７５°，∠ＡＯＥ＝
３０°；
（２）填空：在上面所作的图中，∠ＣＯＤ＝　
　
　，射线ＯＤ是∠ＢＯＣ的　
　，
ＯＥ是∠ＡＯＣ的　
　，∠ＤＯＥ＝　
　
　
．
５．如图，∠ＡＯＢ是一个平角，∠１＝∠２，∠３＝∠４，那么：
（１）ＯＤ是　
　
　的角平分线；
（２）∠ＡＯＣ的补角是　　　，∠ＢＯＥ的补角是　　　，∠ＡＯＤ的补角是　
　
　；
（３）∠３的余角是　
　
　，∠１的余角是　
　
　
．
１５９
　
　小结·评价
（第５题）
　
　
　
　
　
　
（第６题）
６．如图，点Ｏ在直线ＡＤ上，∠ＢＯＥ＝∠ＣＯＤ＝９０°，写出：
（１）互为余角的角；（２）互为补角的角；（３）相等的角．
７．已知∠α ＝５０°１７′４２″，求∠α 的补角和余角的度数．
（第８题）
８．根据下列条件，用量角器、刻度尺画出点的位置：
（１）点Ａ在北偏东３０°方向上，与点Ｏ相距２ｃｍ；
（２）点Ｂ在北偏西７０°方向上，与点Ｏ相距１ｃｍ；
（３）点Ｃ在西南方向上，与点Ｏ相距１．５ｃｍ；
（４）点Ｄ在正东方向上，与点Ｏ相距１．５ｃｍ．
９．已知甲从点Ａ出发向北偏东３０°方向走５０ｍ到达点Ｂ，乙从
点Ａ出发向南偏西３５°方向走了８０ｍ到达点Ｃ，试求ＡＢ，ＡＣ所成的最小的角的
度数．
１．已知Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点，任意三点都不在同一直线上，以其中的任意两点为端点的
线段有多少条？
２．线段ＡＢ＝１２ｃｍ，点Ｍ是ＡＢ中点，点Ｃ在ＭＢ上且ＭＣ∶ＣＢ＝１∶２．求线段ＡＣ
的长．
３．在平面内有∠ＡＯＢ＝５０°，∠ＢＯＣ＝３０°，ＯＭ是∠ＡＯＢ的平分线，ＯＮ是∠ＢＯＣ
的平分线．求∠ＭＯＮ的度数．
１６０
　第４章　直线与角　
１．设有两块三角尺，其中一块的三个角分别是９０°，６０°，３０°，另一块的三个角分别是
９０°，４５°，４５°．你用这两块三角尺能画出多少个小于平角的，度数确定且大小互不
相等的角？
（第２题）
２．如图，给出一条线段ＡＢ，这时，图中的线段条数为１，记作
Ｓ０，即Ｓ０＝１．如果在ＡＢ上任取一点Ｃ（不与原有端点重
合），这时，共有Ｓ１条线段，即
Ｓ１＝１＋２＝３．
如果在ＡＢ上任取两个不同点（不与原有各个点重合），这时，共有Ｓ２条线段，
那么
Ｓ２＝１＋２＋３＝６．
如此类推：Ｓ３，Ｓ４各等于多少？
如果在ＡＢ上任给ｎ个不同点，那么Ｓｎ等于多少？
１６１
　
　小结·评价
数据的收集与整理
５．１　数据的收集
５．２　数据的整理
５．３　用统计图描述数据
５．４　从图表中的数据获
取信息
５．５　综合与实践　水资
源浪费现象的调查
　　¥¦§¨、©ª«¬、­®¯°……!±‚²³´N
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１６２
　第５章　数据的收集与整理　
５．１数据的收集
　　生活中数据无处不在，可是你是否知道，这些数据是如
何得到的？
问题?　班级要举办球类比赛，如果由你来策划这次活
动，你将如何安排？
解决这个问题，首先需要了解全班每位同学各喜爱哪项
球类活动．为此，你需要进行调查，你可以把要调查的问题作
为目标来设计调查问卷．　
调查问卷
你喜爱的球类活动是（只选一项）
（　　）．
Ａ．篮球　
　Ｂ．足球　　
Ｃ．乒乓球　　
Ｄ．羽毛球
Ｅ．排球
填完后，请将问卷交给王平同学，谢谢合作．
将问卷发给每位同学，然后收集、记录．
下面是对该班５０位同学“喜爱的球类活动”收集的资
料．习惯上把所收集的资料称为“数据”．
调查是收集数据的重要方法．在问题１提到的收集数据
活动中，全班同学是我们要考察的对象，我们用问卷对全体
　　　　　　
　
　用字母代替
球类活动的类
型，便于统计．
　
　人口普查是国
家为了解人口情
况，定期进行的人
口调查，它的对象
是全国所有人口．
我国的人口普查已
进行了６次，第六
次人口普查是于
２０１０年１１月１日０
时开始的．
１６３
　
　５．１　数据的收集
同学作了逐一调查．像这样对全体对象进行的调查叫做全
面调查（普查）．我国政府定期进行的人口普查，就是采用全
面调查．
问题?　某灯泡生产厂家，改进了生产过程中的某一项
工艺，生产出５００只新灯泡．现需对这５００只新灯泡进行试
验，看新灯泡的使用寿命是否比原灯泡长．做这样的试验时，
能否对这５００只灯泡全部进行试验？为什么？
调查、试验如采用普查可以收集到较全面、准确的数据，
但普查的工作量比较大，有时受客观条件（人力、财力等）的
限制难以进行；有时由于调查具有破坏性，不允许采用．在这
些情况下，常常采用抽样调查（ｓａｍｐｌｉｎｇｓｕｒｖｅｙ），即从被考
察的全体对象中抽出一部分对象进行考察的调查方式．
在一个统计问题中，我们把所要考察对象的全体叫做总
体（ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ），其中的每一个考察对象叫做个体
（ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ），从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一
个样本（ｓａｍｐｌｅ），样本中个体的数目叫做样本容量（ｓａｍｐｌｅ
ｓｉｚｅ）．
　　例如，在通过试验考察５００只新工艺生产的灯泡的使用
寿命时，从中抽取５０只进行试验．这５００只灯泡的使用寿命
的全体是总体，其中每只灯泡的使用寿命是个体，抽取的５０
只灯泡的使用寿命是一个样本，５０是这个样本的样本容量．
为了使抽取的５０只灯泡能很好地反映５００只灯泡的情
况，抽取时要使每只灯泡被抽到的机会相等，应该如何抽取？
可以先把５００只灯泡逐一进行编号，再把编号写在小纸
片上，将小纸片揉成团，放在一个不透明的容器内，充分搅拌
后，从中一个一个地抽出５０个号签．
上面抽取样本的过程中，总体中的各个个体都有相等的
机会被抽到，像这样的抽样方法是一种简单随机抽样
（ｓｉｍｐｌｅｒａｎｄｏｍｓａｍｐｌｉｎｇ）．
图　５
１
１６４
　第５章　数据的收集与整理　
１．下面的问题都要收集数据，你认为采用全面调查还是抽样调查合适？
（１）了解本班学生每周的课外阅读时间；
（２）奥运会上，为了解参赛运动员是否服用违禁药物的情况，对运动员进行的尿样
检查；
（３）调查中央电视台《焦点访谈》节目的收视率；
（４）对我国首个空间实验室“天宫一号”的零部件的检查；
（５）一批罐头产品的质量检查；
（６）对河水的污染情况的调查．
２．分别指出以下各个问题中的总体、个体、样本和样本容量：
（１）考察某商场一年中每天的营业额，从中抽取４０天的营业额；
（２）了解一批某种型号电池的使用寿命，从中抽取１０节进行检测．
３．某乡为了解果农的年收入情况，从全乡果农中抽取５０户果农进行调查，这５０户果农
的年收入是（　
　）．
（Ａ）样本　
　
　
　（Ｂ）样本容量　
　
　　（Ｃ）个体　　　　（Ｄ）总体
４．某班举办元旦联欢会，主持人从全班同学中抽取５个幸运奖，要使每名同学都有相等
的中奖机会，你认为应该如何抽取？
水库相关数据收集的重要性
在河流上拦河筑坝形成人工的水池（用来调节河水的流量）
就是水库．由于天然来水（包括水库以上河道的来水和库区范围
内的降雨、雪等）的时间，与用水部门需水的时间往往不能吻合，
例如，冬季发电需水量较多，而一般河流都处于枯水期．为充分利
用河流的天然来水，就需要兴建水库，人为地将天然来水在时间
上重新分配，进行调节．当汛期来水流量大于流出的用水流量时，
水库就蓄水，水就被暂时蓄于水库；当枯水期来水流量小于用水
流量时，水库就放水，将汛期多余水量调剂到枯水期使用．我国一
１６５
　
　５．１　数据的收集
般河流汛期和枯水期水量相差悬殊，而多数用水部门如发电、航
运、供水等，一年内需水量变化不大．这就要求在一年范围内将天
然来水重新分配，调节每月用水流量．
下表收集的是某水库某年各月的来水流量和用水流量的数
据，其中每月的用水流量都是２０．０ｍ３／ｓ．
月　份
３
４
５
６
７
８
９
１０
１１
１２
１
２
合计
来水流量
（ｍ３／ｓ）
３１．１
４０．４
６８．２
８５．８
５８．２
３０．６
１３．４
６．５
３．２
４．４
９．２
１５．５
３６６．５
用水流量
（ｍ３／ｓ）
２０．０
２０．０
２０．０
２０．０
２０．０
２０．０
２０．０
２０．０
２０．０
２０．０
２０．０
２０．０
２４０．０
余、亏水量
（ｍ３／ｓ）
１１．１
２０．４
４８．２
６５．８
３８．２
１０．６
－６．６－１３．５－１６．８－１５．６－１０．８－４．５
１２６．５
　
　从上表可以看出３月至８月为余水期，９月至次年２月为亏水
期．本例中６个月的余水期总余水量为１１．１＋２０．４＋４８．２＋６５．８＋
３８．２＋１０．６＝１９４．３（ｍ３／ｓ）·月，６个月的亏水期总亏水量为６．６＋
１３．５＋１６．８＋１５．６＋１０．８＋４．５＝６７．８（ｍ３／ｓ）·月，水库在亏水期需
要补充６７８（ｍ３／ｓ）·月的水量．由于余水期多余的水量远远超过亏
水期所缺的水量，所以该年在亏水期也能正常供水．　　
由于一个水库的天然来水量每年不同，所以每年都要综合地
考虑汛期与枯水期的均衡发电、水坝与电站的安全及下游用水等
因素，来对水库每月用水流量合理地进行调节，使之得到最佳的综
合效益．为此，我们需要采集历年的来水流量的数据，一般如有几
十年的来水流量的数据，我们就可以发现来水流量变化的统计规
律，预估未来余、亏水量可能的变化，用以判断水库未来蓄、放水的
工作情况．
习题５．１
１．以你所在班级同学为调查对象，了解一下每位学生的如下情况，你将采用何种调
查方式？（需普查还是抽样调查？若需抽样调查，又该如何抽样？）
（１）每天课外阅读的时间；
　　　　　　
　
　在水利计
算中常用（流
量·月）表示水
量，一个月以
３０．４日计，即
１（ｍ３／ｓ）·月＝
２６２６５６０ｍ３．
１６６
　第５章　数据的收集与整理　
　（２）每天课外做作业的时间；
（３）每天进行户外运动的时间；
（４）全班同学对某科教师教学满意情况．
２．下列问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？
（１）为了检查一批零件的长度是否符合要求，从中抽取１０件，量得它们的长度如
下（单位：ｃｍ）：
２２．３６，２２．３５，２２．３３，２２．３５，２２．３７，
２２．３４，２２．３８，２２．３６，２２．３２，２２．３５．
（２）某县参加中考共有５０００名学生，从中抽取５００名考生的成绩进行分析．
３．请设计一个调查个人情况（包括姓名、性别、出生年月、身高、体重、视力等）的问
卷，对全班的同学进行调查．
１６７
　
　５．２　数据的整理
５．２数据的整理
　　在上一节“你喜爱的球类活动”调查中，我们得到了如
下的数据：
　　从这些数据中，你能一下子就看出喜爱哪项球
类活动的同学最多吗？
收集到的数据，一般比较散乱，难以从中获得需要的信
息．为此，要对数据进行整理．
通常将这些数据制成表：
全班同学喜爱的球类活动统计表
节目形式
记　录
人　数
百分率（％）
篮球（Ａ）
正正正■
１７
３４
足球（Ｂ）
正■
８
１６
乒乓球（Ｃ）
正正■
１４
２８
羽毛球（Ｄ）
正■
６
１２
排球（Ｅ）
正
５
１０
１６８
　第５章　数据的收集与整理　
　　把数据整理成表，同时还常用一些统计图来直观地表达
经整理后得到的结果，使人看到统计图后，便一目了然．常用
的统计图有三种，在小学我们已经学过：条形统计图（ｂａｒ
ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｃｈａｒｔ）、折线统计图（ｂｒｏｋｅｎｌｉｎｅｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｃｈａｒｔ）和
扇形统计图（ｓｅｃｔｏｒｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｃｈａｒｔ），如图５
２、图５
３和
图５
４．
图　５
２
　
图　５
３
图　５
４
　　由图５
４可见，扇形统计图可以直观、生动地反映出喜
爱各种球类活动的同学数占全班人数的百分率．
在扇形统计图中：
扇形的圆心角＝３６０° ×该部分占总体的百分率．
如表示“篮球”部分的扇形的圆心角为
３６０° × ３４％＝１２２．４°．
怎样绘制扇形统计图呢？我们来看下面的例子．
例　２０１０年某调查所进行了“如何度过春节”的调查，
结果如下：
“如何度过春节”的调查情况统计表
选　择
占调查人数的百分率（％）
回家
４４．５
旅游
３７．０
１６９
　
　５．２　数据的整理
（续表）
选　择
占调查人数的百分率（％）
工作
５．７
学习
５．６
尚未定
７．２
　　请根据上面数据，画出表示调查结果的扇形统计图．
分析：根据人们的５种选择情况，要把表示总体的圆分
成５个扇形．先由每种选择的人数占调查总人数的百分率，
计算出相应扇形圆心角的大小；然后，根据各扇形圆心角的
度数，画出各个扇形．
　图　５
５
解　表示“回家”部分的扇形的圆心角为
３６０° × ４４．５％＝１６０．２°．
表示“旅游”部分的扇形的圆心角为
３６０° × ３７．０％＝１３３．２°．
表示“工作”部分的扇形的圆心角为
　　　　　　　　　　　　　　　　．
表示“学习”部分的扇形的圆心角为
　　　　　　　　　　　　　　　　．
表示“尚未定”部分的扇形的圆心角为
　　　　　　　　　　　　　　　　．
用量角器画出相应的扇形的圆心角，标明各扇形表示的
部分的名称和所占百分率，得到图５
５．
１．体育老师对某班同学进行了１ｍｉｎ跳绳次数的体能测验，所得数据如下：
４８，６２，５４，５５，６７，６５，５６，６８，
５１，４７，５８，６２，６３，５８，６２，５９，
５３，４６，５８，６３，５７，６０，６５，６３，
５２，５４，６１，６０，５４，５８，６７，５８．
１７０
　第５章　数据的收集与整理　
　（１）根据上述数据，完成下表：
全班同学１ｍｉｎ跳绳次数分布表
次　数
记　录
人　数
百分率（％）
４５～４９
５０～５４
５５～５９
６０～６４
６５～６９
（２）用扇形统计图来表述上表中不同次数范围的人数占总人数的百分率．
２．如图，从这两个统计图中，你能判断哪个学校的男教师多吗？说说道理．
（第２题）
３．在全校，根据“你知道父母的生日吗？”的调查结果，绘制表示调查结果的扇形统计图．
英文字母统计
下面是一篇英语幽默短文：
ＴｈｅＦｉｒｓｔＤａｙａｔＳｃｈｏｏｌ
ＷｈｅｎＢｉｌｌｃａｍｅｂａｃｋｆｒｏｍｓｃｈｏｏｌｏｎｔｈｅｆｉｒｓｔｄａｙ，
ｈｉｓｍｏｔｈｅｒａｓｋｅｄｈｉｍ．
１７１
　
　５．２　数据的整理
Ｍｏｔｈｅｒ：Ｉｓｉｔｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇｔｏｇｏｔｏｓｃｈｏｏｌ？
Ｂｉｌｌ：Ｙｅｓ．Ａｆｔｅｒｃｌａｓｓ，Ｉｈａｖｅａｇｏｏｄｔｉｍｅｗｉｔｈａ
ｆｅｗｃｌａｓｓｍａｔｅｓ．ＩｆＩｄｏｎｔｈａｖｅａｎｙｃｌａｓｓｅｓ，ｉｔｗｉｌｌｂｅ
ｅｖｅｎｍｏｒｅｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇｔｏｇｏｔｏｓｃｈｏｏｌ！
分组完成下面的统计表：
字母字母出现
的次数占字母总数的
百分率（％）字母字母出现
的次数占字母总数的
百分率（％）
ａ
ｎ
ｂ
ｏ
ｃ
ｐ
ｄ
ｑ
ｅ
ｒ
ｆ
ｓ
ｇ
ｔ
ｈ
ｕ
ｉ
ｖ
ｊ
ｗ
ｋ
ｘ
ｌ
ｙ
ｍ
ｚ
　
　上述表中：
（１）出现最多的字母为　
　
　
　
　；
（２）出现的百分率超过４％的字母有　　　　　．
习题５．２
１．数学教师在一次数学活动后，对全班学生就“你是否乐意参加这样的数学活动”进
行了调查，结果如下：
１７２
　第５章　数据的收集与整理　
态　度
人　数
百分率（％）
乐意参加
３５
无所谓
１０
不乐意
５
　（１）持各种态度的学生数占全班人数的百分率是多少？请填入上表；
（２）用扇形统计图表示上述调查结果．
２．下面是某班４０名学生立定跳远的得分记录：
２，４，３，５，３，５，４，４，３，５，
１，５，３，３，２，４，３，５，４，４，
４，５，２，３，２，５，４，５，２，３，
４，４，３，５，２，４，５，４，３，４．
（１）用表格整理上面的数据；
（２）用条形统计图表示上面的数据；
（３）用扇形统计图表示不同得分的同学人数占班级总人数的百分率．
３．如表是我国国家税务总局公布的２００４～２０１０年的税收收入统计表．
年　份
２００４
２００５
２００６
２００７
２００８
２００９
２０１０
税收收入
／亿元
２５７１８
３０８６６
３７６３６
４９４４９
５４２２０
６３１０４
７７３９０
请用折线统计图来表示上述税收收入情况．
１７３
　
　５．３　用统计图描述数据
５．３用统计图描述数据
　　问题?　小华对２００１～２０１１年同学家中有无电视机及
近一年来同学在家看电视的情况，在同年级两个班的１００名
同学中作了问卷调查，得到如下两个方面的数据：　　
调查项目１　２００１～２０１１年拥有电视机的家庭数
年　份
２００１
２００３
２００５
２００７
２００９
２０１１
户　数
２０
３２
５６
７０
８８
９４
　　调查项目２　近一年中每周看电视的时间
看电视的时间
４ｈ以下
４～８ｈ
８ｈ以上
占被调查人数的百分率（％）
３６
４８
１６
　
　对于调查项目１，小华同学画了两幅统计图（图５
６和
图５
７）：
图　５
６
　
图　５
７
　　　　　
１７４
　第５章　数据的收集与整理　
　　１．如果小华想让别人通过统计图很快地了解不同时期拥有电视机户
数的增长情况，你认为选择图５
６和图５
７中的哪幅图较合适？
２．对于调查项目２，用怎样的统计图较合适？
３．对于常用的三种统计图：条形统计图、折线统计图和扇形统计图
（图５
８），说说它们在描述数据上各自的优势．
图　５
８
　　问题?　２０００年、２０１０年两次人口普查中，都对每１０
万人中受教育程度的人数进行了统计，结果如下表：
每１０万人中受教育程度的人数统计表
受教育程度
人　　数
普查
大　学高　中初　中小　学其　他
２０００年第五次
３６１１
１１１４６
３３９６１
３５７０１
１５５８１
２０１０年第六次
８９３０
１４０３２
３８７８８
２６７９９
１１４５１
　　（１）小王用两幅条形统计图比较两次普查各种受教育
程度的情况，如图５
９．
（２）小李用一幅条形统计图比较两次普查各种受教育
程度的情况，如图５
１０．
１７５
　
　５．３　用统计图描述数据
图　５
９
图　５
１０
哪种方法效果好？好在哪里？
１．小明就市电视台的节目受欢迎的情况，对本班５０名同学作了一次调查，结果如下：
最受学生欢迎的电视节目
节　目
人　数
新闻
１６
体育
１８
综艺
８
节　目
人　数
动画
５
其他
３
选用适当的统计图描述上表数据．
１７６
　第５章　数据的收集与整理　
２．下面是某报刊载的“城市居民最关心的生活问题”的调查结果．
城市居民最关心的生活问题
最关心的
问题
占总人数的
百分率（％）
医疗保障
２１
收入
２０
子女教育
１９
最关心的
问题
占总人数的
百分率（％）
健康
１５
就业
１４
其他
１１
试将上面的调查结果用扇形统计图表示．
习题５．３
１．下表给出了１９９９年至２００９年我国人口自然增长率情况．
年　份
１９９９
２００１
２００３
２００５
２００７
２００９
增长率（‰）
８．１８
６．９５
６．０１
５．８９
５．１７
５．０５
请制作适当的统计图表示我国１９９９年至２００９年人口自然增长率的变化情况．
１‰ ＝
１
１
(
)
０００
２．２００２年１２月３日晚，从摩纳哥蒙特卡罗举行的国际展览局大会上传来了振奋人
心的消息———中国当选为２０１０年世博会的东道主，选举的方式是由国际展览局
８９个成员国的代表以无记名方式进行投票．
在首轮投票中，中国３６票，韩国２８票，俄罗斯１２票，墨西哥６票，其他７票；
在第二轮投票中，中国３８票，韩国３４票，俄罗斯１０票，其他７票；
在第三轮投票中，中国４４票，韩国３２票，其他１３票；
在最后一轮投票中，中国以５４票胜出．
请用扇形统计图表示出首轮投票的结果．
１７７
　
　５．４　从图表中的数据获取信息
５．４从图表中的数据获取信息
　　统计图表反映了被描述对象的重要内容和数据情况，它
简单明了，有利于我们把握数据的特点，统计图还能直观、生
动地传递信息．
问题?　２０１１年４月２９日，某报在刊登国家统计局公
布的《２０１０年第六次人口普查主要数据公报（第一号）》时，
还附发了下面一组统计图（图５
１１）：
图　５
１１
从图中，你得到了哪些信息？
（１）图５
１１是从哪几个方面反映我国人口（未包括台
湾、香港、澳门）构成情况的？　　
（２）图５
１１中哪几项把第六次与第五次人口普查资
料作了对比？
１７８
　第５章　数据的收集与整理　
例　根据图５
１２中的统计图，回答下列问题：
（１）２００１年这些海域共发生赤潮多少次？
（２）哪个海域发生赤潮的次数最少？哪个海域发生
赤潮的次数最多？你认为哪些海域的环境需要重点
治理？　
　
图　５
１２
解　（１）从图５
１２可以看出全国部分沿海省（直辖
市）赤潮发生的次数，所以这些海域赤潮共发生的次数是
２６＋１７＋１４＋６＋４＋３＋２＋２＋２＋１＝７７（次）．
（２）在这些海域中，发生赤潮的次数以浙江省最多，达
２６次，海南省最少，为１次．从赤潮发生次数多少来看，浙
江、辽宁、广东等省海域的环境需要重点治理．　
　
　
问题?　（１）Ａ市晚报刊出了该市几种报纸发行量的
统计图及其附带的说明（图５
１３）．
　
　海水中某些浮
游植物、原生动物或
细菌爆发性增殖或
高度聚集引起水体
变色的有害生态现
象称为赤潮．赤潮的
发生有自然因素，但
人类无节制地向海
洋排放、倾倒废弃
物，引起藻类及其他
浮游生物迅速繁殖，
是目前发生赤潮的
主要原因．赤潮会破
坏海洋的生态平衡、
海洋渔业和水产资
源，危害人类的健
康．
１７９
　
　５．４　从图表中的数据获取信息
图　５
１３
（２）对于图５
１３（２）中Ａ市几种报纸的发行量，时报
刊出了另一幅统计图［图５
１４（２）］．
图　５
１４
比较晚报和时报刊出的两幅统计图，有什么感受？该市
几家报纸发行量的差别大吗？你同意晚报的宣传吗？
为什么两幅统计图表示的数据相同，给人的感觉不
一样？
统计图表示的数据是否从０开始，横轴、纵轴上单位长
１８０
　第５章　数据的收集与整理　
度是否一致会导致直观上的差异．
由此可知，图表虽然给我们带来了有利于决策的各种信
息，但用不当的图表来表达数据，会给人以误导．在从图表中
获得信息时，要关注数据的来源、收集的方法和描述的形式，
以便获得可靠的信息．
（第１题）
１．请从下面统计图中获取信息：
（１）该地区何时的汽车销售量
最大？
（２）何时汽车销售量增长率
最高？
２．根据下表数据绘制的两幅折线统
计图，表示的是某股票的价格变
化情况．
年　份
２００５
２００６
２００７
２００８
股票最高
价格／元
２０
２１
２３
２７
（第２题）
（１）哪一幅图显示的增长幅度可能给人以误导？
（２）造成误导的原因是什么？
１８１
　
　５．４　从图表中的数据获取信息
３．如图是甲、乙两家公司的利润增长情况统计图．哪一家公司的利润增长速度较快？
（第３题）
习题５．４
１．如图所示的扇形图是根据两户人家的支出情况画出来的：
（第１题）
（１）两家在食物方面的支出各占多大比例？
（２）能否从图中得出在交通支出方面，甲家庭比乙家庭花去的钱少？
（３）要回答上面的问题（２），还需什么资料？
（４）如果以食物的支出占家庭全部支出的比例越小来说明生活水平越高，你认为
哪家生活状况好些？
１８２
　第５章　数据的收集与整理　
２．如图为某公司下属两个销售部近６年来的年销售额：
（第２题）
（１）哪一年销售部Ｂ与销售部Ａ的销售额差距最小？
（２）为什么２００７年对于销售部Ａ来说是不一样的一年？
（３）销售额最多的一年，销售部Ｂ比销售部Ａ约多百分之几？
３．如图为两本中学生科普图书近年销售情况的折线统计图：
（第３题）
（１）分别描述两本书２００５～２０１０年间的销售情况；
（２）按照图中后几年的销售趋势，预测两本书今后的销售情况．
１８３
　
　５．４　从图表中的数据获取信息
４．城镇人口占总人口比例的大小表示城镇化水平的高低，下表为我国城镇人口占总
人口的百分率．
年　份
１９５３
１９６４
１９８２
１９９０
２００２
２０１０
百分率（％）
１３．２６
１８．３０
２１．１３
２６．４１
３９．０９
４９．６８
（１）绘制城镇人口占总人口比例的折线统计图；
（２）我国城市化水平在哪几个年段提高较快？
５．某公司去年７～１２月的销售额如下表：
（单位：万元）
月　份
７
８
９
１０
１１
１２
销售额
８０
８５
８５
９０
９５
１００
如图是公司王经理和业务员小张根据上述数据分别绘制的折线统计图．
（第５题）
王经理指着自己画的图说：下半年我公司的业绩上升的速度较为缓慢；而业务员
小张说：下半年我公司业绩直线上升．
（１）请你仔细比较这两个图，它们所表示的数据相同吗？你认为他们谁说的有
道理？
（２）为什么这两个图给人的感觉不一样？
１８４
　第５章　数据的收集与整理　
用Ｅｘｃｅｌ软件绘制统计图
选择合适的计算机软件可以利用计算机绘制出各种统
计图表，ＭｉｃｒｏｓｏｆｔＥｘｃｅｌ（以下简称Ｅｘｃｅｌ）软件就是其中的
一个．
通过下面的操作，我们来了解用Ｅｘｃｅｌ软件绘制统计图的
方法．
例　根据下表，绘制统计图．
２０１０年上海世博会每月入园人数统计表
月　份
５
６
７
８
９
１０
人数／万人８０３．４４
１３０９．５７
１３７８．９４
１２４５．９２
１０００．８４
１５６９．７３
　
　具体操作步骤如下：
（１）打开Ｅｘｃｅｌ软件，在打开的窗口中根据上表输入数据，
选中“人数／万人”数据Ｂ２～Ｂ７（图５
１５）；
图　５
１５
　
　
图　５
１６
（２）选择“插入”菜单中的“图表”命令（图５
１６），在弹出
的“图表向导”对话框中选择需要的图表类型（图５
１７）；
１８５
　
　５．４　从图表中的数据获取信息
图　５
１７
（３）点击“下一步”按钮，按照提示一步一步做下去，就能
画出你需要的统计图（折线统计图、条形统计图、扇形统计图），
如图５
１８的三个图形．
　
　
　
　
　
　
　
图　５
１８
进一步修饰上述图表：调整纵轴上数据的起点，将横轴上
显示的数据改成月份，给图表加上标题等．
１８６
　第５章　数据的收集与整理　
５．５综合与实践
水资源浪费现象的调查
　　由于水资源（指陆地上的淡水资源）分布不均匀、人口
急剧增长、水污染等原因，全世界已有三分之一的人口面临
供水紧张的问题．我国是水资源紧缺的国家，人均水资源占
有量约为世界人均水平的四分之一．每年的３月２２日是联
合国确定的“世界水日”，它提醒人们要保护水资源，珍惜
水，节约用水．
图５
１９　请珍惜每一滴水
请观察日常生活中有哪些水资源浪费现象，与同学进行
交流，就水资源浪费现象作一调查．
１．试写出４种日常生活中水资源浪费现象．
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
２．试针对上述４种现象设计并制作调查问卷，了解全
班同学日常生活中水资源浪费的情况．
１８７
　
　小结·评价
调查问卷　　　　
你曾经有过的水资源浪费行为是（可选多项）（　　）．
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
填完后，请将问卷交给　　　　同学，谢谢合作．
３．将问卷发给每位同学，然后收集并完成下表．
全班同学日常生活中水资源浪费的情况统计表
水资源浪费现象
用“正”字记录
人　数
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
　　４．请根据上面的数据，用条形统计图表示调查结果．
５．针对调查结果中涉及人数最多的水资源浪费现象，
请提出杜绝或减少该浪费现象的措施，并将措施向全班同学
宣传．
一、内容整理
１８８
　第５章　数据的收集与整理　
二、主要知识回顾
１．数据收集：全面调查或抽样调查．
为使收集的数据具有代表性，抽样方法要讲究．本章介绍的常用的抽样方
法是：　　　　　　　　．
２．三种常见统计图（条形统计图、折线统计图、扇形统计图）的画法．
３．从统计图中正确获取信息，对要研究的问题作出判断．
三、自评与互评
１．这章内容有些在小学已学过，学习本章后你有哪些新的收获与体会？
与同学们交流一下．
２．你是否注意从统计图表中获取信息？并举例说明在数据的收集和整
理时，应当注意些什么？
１．假设你想对全校七年级同学如何到校问题进行一次调查，那么，在调查中：
（１）你的调查目标是　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
；
（２）你的调查对象是　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
；
（３）你要记录的数据是调查对象的　
　
　
　
　
；
（４）你能设计一张调查表吗？
２．如图是中国秦初至清末部分朝代历经的时间．
（１）哪一朝代历经的时间最长？哪一个朝代最短？
（２）有多少个朝代历经的时间超过２５０年？
（３）如果把西汉、东汉合为汉，北宋、南宋合为宋，那么上面（１），（２）题答案有什么
变化？
１８９
　
　小结·评价
（第２题）
３．如图是某一天中各时段上网人数所占网民总数的百分率的折线图：
（第３题）
（１）哪个时段上网的网民最少？
（２）从何时开始上网人数激增，何时上网人数最多？
（３）哪几个时段是网民使用互联网的高峰时间？
４．王蓉同学负责做一期班级墙报的编辑，她想了解同学们对这期墙报的评价，对全
班４４名同学进行了一项问卷调查，调查结果如下（其中Ａ表示很好，Ｂ表示较好，
Ｃ表示一般，Ｄ表示不好）：
１９０
　第５章　数据的收集与整理　
Ａ　
Ｃ　
Ｄ　
Ｂ　
Ｂ　
Ａ　
Ｃ　
Ｃ　
Ａ　
Ａ　
Ｂ
Ｃ　
Ｂ　
Ｃ　
Ｃ　
Ａ　
Ｂ　
Ｃ　
Ａ　
Ｂ　
Ａ　
Ａ
Ｂ　
Ｂ　
Ｂ　
Ｃ　
Ｄ　
Ｃ　
Ｂ　
Ｃ　
Ａ　
Ｂ　
Ｃ
Ｂ　
Ｄ　
Ｃ　
Ｂ　
Ｂ　
Ｄ　
Ｂ　
Ａ　
Ｄ　
Ａ　
Ｂ
　（１）把上面的资料整理成统计表；
（２）作何种评价的人数最多；
（３）根据统计表，请你对这期墙报作一个总的评价．
１．请你选择适当的统计图将下表中的国内生产总值和增长速度表示出来，并根据所
制作的统计图说说你所获得的信息．
年　份
国内生产
总值／亿元
增长速度
（按可比价格计算）（％）
２０００
９９２１４
８．４
２００１
１０９６５５
８．３
２００２
１２０３３３
９．１
２００３
１３５８２３
１０．０
２００４
１５９８７８
１０．１
２００５
１８４９３７
１０．２
２００６
２１６３１４
１１．６
２００７
２６５８１０
１１．９
２００８
３１４０４５
９．０
２００９
３４０５０７
９．２
２０１０
４０１５１３
１０．４
１９１
　
　小结·评价
２．下表给出了在第１５届、第１６届亚运会上，获得金牌前五名的国家或地区的奖牌
情况：
第１５届
国家或地区
金牌
银牌
铜牌
中国
１６５
８８
６３
韩国
５８
５３
８２
日本
５０
７１
７７
哈萨克斯坦
２３
１９
４３
泰国
１３
１５
２６
　
　　
第１６届
国家或地区
金牌
银牌
铜牌
中国
１９９
１１９
９８
韩国
７６
６５
９１
日本
４８
７４
９４
伊朗
２０
１４
２５
哈萨克斯坦
１８
２３
３８
　
　
　
　
　
　
（１）从这两张统计表中你能得到哪些信息？
（２）小翔将表中的数据制成了下面的两幅统计图，请你对这两幅统计图进行评价．
（第２题）
３．如图是２００９年和２０１０年某村Ａ至Ｆ六个村办企业上缴利润的百分率．
１９２
　第５章　数据的收集与整理　
　（１）Ｂ企业２０１０年上缴的利润是否比２００９年上缴的利润少？
（２）Ｆ企业２０１０年上缴的利润比２００９年上缴的利润增加了百分之几？
（３）完成下面的条形统计图．
（第３题）
４．中国体育代表团从１９８４年至２００８年参加了７届奥运会，获得的奖牌数如下面统
计表所示：
年　份
１９８４
１９８８
１９９２
１９９６
２０００
２００４
２００８
合计／枚
金牌／枚
１５
５
１６
１６
２８
３２
５１
银牌／枚
８
１１
２２
２２
１６
１７
２１
铜牌／枚
９
１２
１６
１２
１５
１４
２８
合计／枚
（１）完成上表；
（２）用折线统计图表示中国体育代表团在各届奥运会上分别获得的奖牌总数；
（３）从图中你可以获得哪些信息？
１９３
　
　小结·评价
１．如图是甲、乙两个旅游地的月平均气温和平均降雨量，其中，折线表示气温（单位：
℃）的变化，条形表示降雨量（单位：ｍｍ）．
（第５题）
（１）甲、乙两地平均气温与平均降雨量之间各有怎样的关系？
（２）甲地是位于北半球还是南半球？乙地呢？
（３）甲、乙两地，从气候条件看，哪一个更能吸引游客？
２．就你自己生活或学习中的某一方面数据制作合适的统计图，并分析其结果和原
因，更好地指导自己的生活或学习．
１９４
　附　录　
附录１　常用的单位及其符号
量的名称
单位（符号）
备　注
长度
毫米（ｍｍ）
厘米（ｃｍ）
米（ｍ）
千米（ｋｍ）
海里（ｎｍｉｌｅ）
１ｃｍ＝１０ｍｍ
１ｍ＝１００ｃｍ
１ｋｍ＝１０００ｍ
１ｎｍｉｌｅ＝１．８５２ｋｍ
面积
平方毫米（ｍｍ
２）
平方厘米（ｃｍ
２）
平方米（ｍ
２）
公顷（ｈｍ
２）
平方千米（ｋｍ
２）
１ｃｍ
２＝１００ｍｍ
２
１ｍ
２＝１００００ｃｍ
２
１ｈｍ
２＝１００００ｍ
２
１ｋｍ
２＝１００００００ｍ
２
体积
立方毫米（ｍｍ
３）
立方厘米（ｃｍ
３）
立方米（ｍ
３）
１ｃｍ
３＝１０００ｍｍ
３
１ｍ
３＝１００００００ｃｍ
３
容积
毫升（ｍＬ）
升（Ｌ）
１ｍＬ＝１ｃｍ
３
１Ｌ＝１０００ｍＬ
质量
毫克（ｍｇ）
克（ｇ）
千克（ｋｇ）
吨（ｔ）
１ｇ＝１０００ｍｇ
１ｋｇ＝１０００ｇ
１ｔ＝１０００ｋｇ
时间
秒（ｓ）
分（ｍｉｎ）
［小］时（ｈ）
天（ｄ）
１ｍｉｎ＝６０ｓ
１ｈ＝６０ｍｉｎ
１ｄ＝２４ｈ
角度
秒（″）
分（′）
度（°）
１′ ＝６０″
１° ＝６０′
速度
米／秒（ｍ／ｓ）
千米／时（ｋｍ／ｈ）
１ｋｍ／ｈ＝５
１８ｍ／ｓ
温度
摄氏度（℃）
１９５
　
　附　录
附录２　部分中英文词汇索引
中　文
英　文
页　码
正数
ｐｏｓｉｔｉｖｅｎｕｍｂｅｒ
３
负数
ｎｅｇａｔｉｖｅｎｕｍｂｅｒ
３
整数
ｉｎｔｅｇｅｒ
５
分数
ｆｒａｃｔｉｏｎ
５
有理数
ｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒ
５
原点
ｏｒｉｇｉｎ
７
正方向
ｐｏｓｉｔｉｖｅｄｉｒｅｃｔｉｏｎ
７
单位长度
ｕｎｉｔｌｅｎｇｔｈ
７
数轴
ｎｕｍｂｅｒａｘｉｓ
７
相反数
ｏｐｐｏｓｉｔｅｎｕｍｂｅｒ
９
绝对值
ａｂｓｏｌｕｔｅｖａｌｕｅ
１１
加法法则
ｌａｗｏｆａｄｄｉｔｉｏｎ
１８
减法法则
ｌａｗｏｆｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎ
２１
加法交换律
ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅｌａｗｏｆａｄｄｉｔｉｏｎ
２２
加法结合律
ａｓｓｏｃｉａｔｉｖｅｌａｗｏｆａｄｄｉｔｉｏｎ
２３
乘法法则
ｌａｗｏｆｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ
２９
倒数
ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ
３０
除法法则
ｌａｗｏｆｄｉｖｉｓｉｏｎ
３２
分配律
ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｖｅｌａｗ
３６
幂
ｐｏｗｅｒ
３９
底数
ｂａｓｅｎｕｍｂｅｒ
３９
指数
ｅｘｐｏｎｅｎｔ
３９
科学记数法
ｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃｎｏｔａｔｉｏｎ
４２
近似数
ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅｎｕｍｂｅｒ
４５
误差
ｅｒｒｏｒ
４６
偶数
ｅｖｅｎｉｎｔｅｇｅｒ
５６
奇数
ｏｄｄｉｎｔｅｇｅｒ
５６
代数式
ａｌｇｅｂｒａｉｃｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ
５８
单项式
ｍｏｎｏｍｉａｌ
６３
系数
ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ
６３
１９６
　附　录　
　　　　　　　　　　（续表）
中　文
英　文
页　码
次数
ｄｅｇｒｅｅ
６３
多项式
ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ
６３
常数项
ｃｏｎｓｔａｎｔｔｅｒｍ
６３
整式
ｉｎｔｅｇｒａｌｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ
６３
代数式的值
ｖａｌｕｅｏｆａｌｇｅｂｒａｉｃｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ
６５
同类项
ｌｉｋｅｔｅｒｍ
６９
合并同类项
ｕｎｉｔｅｌｉｋｅｔｅｒｍ
７０
一元一次方程
ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ
８５
二元一次方程组
ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈ
ｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ
９９
代入法
ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ
１００
加减法
ａｄｄｉｔｉｏｎｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ
１０２
体
ｓｏｌｉｄ
１３１
面
ｓｕｒｆａｃｅ
１３２
线段
ｌｉｎｅｓｅｇｍｅｎｔ
１３５
射线
ｒａｙ或ｈａｌｆｌｉｎｅ
１３６
直线
ｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅ或ｒｉｇｈｔｌｉｎｅ
１３６
中点
ｍｉｄｄｌｅｐｏｉｎｔ
１４０
距离
ｄｉｓｔａｎｃｅ
１４０
角
ａｎｇｌｅ
１４３
角的平分线
ａｎｇｕｌａｒｂｉｓｅｃｔｏｒ
１４８
补角
ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙａｎｇｌｅ
１４８
余角
ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙａｎｇｌｅ
１４８
抽样调查
ｓａｍｐｌｉｎｇｓｕｒｖｅｙ
１６３
总体
ｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ
１６３
个体
ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ
１６３
样本
ｓａｍｐｌｅ
１６３
样本容量
ｓａｍｐｌｅｓｉｚｅ
１６３
简单随机抽样
ｓｉｍｐｌｅｒａｎｄｏｍｓａｍｐｌｉｎｇ
１６３
条形统计图
ｂａｒｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｃｈａｒｔ
１６８
折线统计图
ｂｒｏｋｅｎｌｉｎｅｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｃｈａｒｔ
１６８
扇形统计图
ｓｅｃｔｏｒｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌｃｈａｒｔ
１６８
１９７
　
　
　
　
手工纸（参考本书第１３４页）
１９９
　
　
　
　
　　１９９９年，我们根据《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修
订版）》，编写了一套华东版初中数学教材，经三年实验后，于２００２年报教育部
经全国中小学教材审定委员会审查通过．
２００１年，国家颁布了《基础教育课程改革纲要（试行）》及《全日制义务教
育数学课程标准（实验稿）》，正式启动了新一轮中小学课程、教材改革．本套
教科书就是根据课程标准，在吸取了华东版教材实验过程中的经验后重新编
写的，并于２００４年经全国中小学教材审定委员会初审通过．现教育部决定全
面启动义务教育课程标准实验教材的修订工作，我们已切实把《义务教育数学
课程标准（２０１１年版）》的要求落实到新修订的教材中，使教材的质量进一步
得到提升，特色更加鲜明．
本套教材在送审和实验过程中，得到了许多专家、学者、教研人员与广大
师生的关爱，特别是人民教育出版社张孝达先生与陈宏伯先生直接参与教材
的整体设计和章节审稿，他们以实际行动给予我们很大的支持与鼓舞，我们衷
心地感谢他们．
为了做好这次的修订工作，我们调整并充实了编写队伍，本套教科书编写
组主要人员有：
吴之季　苏　淳　杜先能　徐子华　郭要红　胡　涛　陈先荣　王南林
胡茂侠　邱广东
本册主要编写人员有：
孙　彦　王道宇　冯　玲　王志刚　胡亚华　凤良仪　苏茂鸣　周光剑
陆学政　王南林　李德山　万家练　徐　勇　曾令鹏
此外，参与本册修改工作的还有：
胡祥峰　王　捷　李春楠　徐慧敏　曹玉清　陈钦光　郭宏斌　王晓丰
黄健梅　刘志昂　郭茂华　郝广俊　周　奇
教材建设是一项长期任务，需要通过实验、修改，反复锤炼．这不仅需要
全体编写人员的努力，还要有广大师生的积极支持与参与，恳请使用本套教材
的师生批评指正．
新时代数学编写组
２０１３年４月
说　明
本书下列图片由东方ＩＣ提供：图１
１１冯雷、Ｐ３７第
３题图ＳＴＲ、图１
１７、图１
１８（２）、图１
２０、图１
２２陈
诚、Ｐ４８第４题图、图２
１ｇｉｐｎｏ、图２
５（１）刘君凤、Ｐ８０
第１（２）题图园禾、图３
１（１）、图３
１（２）ＭＩＣＨＡＥＬ
ＫＡＰＰＥＬＥＲ、图３
４、Ｐ１１２第７题图戚振林、Ｐ１３０章头图、
Ｐ１３３第２题图朱明、图４
２、图４
９（１）钟阳、图４
２１（１）、
图４
３２徐振华、图５
１、图５
１２顾留章．