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二次函数y＝ax2的图象和性质
1．关于二次函数y＝8x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它的形状是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y 轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它的顶点在原点处，坐标为(0，0)
【解析】 ∵抛物线y＝8x2中二次项系数为8，∴此抛物线的开口向上，顶点为(0，0)，它应是抛
物线的最低点．
2．对于二次函数y＝－x2，下列说法错误的是( A )
A．开口向上
B．对称轴为y 轴
C．顶点坐标为(0，0)
D．当x＝0 时，y 有最大值0
【解析】 当a＝－＜0 时，二次函数的图象开口向下．
3．若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2，4)，则该图象必经过点( A )
A．(2，4) B．(－2，－4)
C．(－4，－2) D．(4，－2)
4．已知二次函数：y＝2 013x2，y＝－2 013x2，y＝x2，y＝－x2，它们图象的共同特点为( D )
A．都关于原点对称，开口方向向上
B．都关于x 轴对称，y 随x 增大而增大
C．都关于y 轴对称，y 随x 增大而减小
D．都关于y 轴对称，顶点都是原点
【解析】 根据y＝ax2的图象特征判断．D 正确．
5．下列函数中，当x＞0 时，y 随x 的增大而减小的是( D )
A．y＝x2 B．y＝x－1
C．y＝x D．y＝
【解析】 A 不正确，二次函数y＝x2的对称轴为x＝0，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大；B、
C 中y 随x 的增大而增大，均不正确，D 正确．
图22－1－7
6．函数y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象大致如图22－1－7 所示，则图中从里到外的三条抛物线对
应的函数依次是( D )
A．y＝x2，y＝x2，y＝2x2
B．y＝x2，y＝x2，y＝2x2
C．y＝2x2，y＝x2，y＝x2
D．y＝2x2，y＝x2，y＝x2
【解析】 |a|越大，抛物线y＝ax2的开口越小．
7．抛物线y＝－x2的开口向__下__，顶点坐标为(0，0)，顶点是抛物线的最高点，当x＝__0__
时，函数有最大值为__0__．
8．若二次函数y＝(m＋2)xm2－3 的图象开口向下，则m＝__－__．
【解析】 根据题意知 解得m＝－.
9．一个二次函数的图象如图22－1－8 所示，图象过点(－2，3)，则它的解析式为__y ＝
x 2 __，
当x＝__0__时，函数有最__小__值为__0__，若另一个函数图象与此图象关于x 轴对称，那么
另一个函数的解析式为__y ＝－
x 2 __，当x＝__0__时，函数y 有最__大__值为__0__．
图22－1－8
【解析】 设y＝ax2，则3＝4a，a＝，∴y＝x2.
当x＝0 时，y 有最小值．关于x 轴对称的抛物线的解析式中a 值互为相反数．
10．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：y＝x2，y＝x2，y＝－x2.
解：列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
2
0
2
…
y＝x2
…
9
1
4
…
y＝－x2
…
－1
－1
－9
…
描点、连线画图象．
(1)完成上述表格，在图22－1－9 中画出其余的两个函数的图象；
(2)由图22－1－9 中的三个函数图象，请总结二次函数y＝ax2中a 的值与它的图象有什么关
系？
图22－1－9
解：(1)第二行依次填，，，；
第三行依次填4，0，1，9；
第四行依次填－9，－4，0，－4.图象略．
(2)a 的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口大小．
11．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax 与y＝ax2的图象有可能是( C )
【解析】 在同一平面直角坐标系中，a 值的正、负情况应保持一致，只有A、C 符合条件，又因
为两图象应有两个交点，故选C.
12．已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；
(3)求出此抛物线上纵坐标为－6 的点的坐标．
解：(1)把(－2，－8)代入y＝ax2，
得－8＝a×(－2)2，解出a＝－2，
所求抛物线的函数解析式为y＝－2x2.
(2)因为－4≠－2×(－1)2，
所以点B(－1，－4)不在此抛物线上．
(3)由－6＝－2x2，得x2＝3，x＝±，
所以抛物线上纵坐标为－6 的点有两个，它们分别是(，－6)，(－，－6)．
图22－1－10
13．如图22－1－10，已知直线l 过A(4，0)，B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一
象限内相交于点P.若△AOP 的面积为，求a 的值．
解：设点P(x，y)，直线AB 的解析式为y＝kx＋b，
将A(4，0)，B(0，4)分别代入y＝kx＋b，
得k＝－1，b＝4，故y＝－x＋4，
∵△AOP 的面积为＝×4×y
∴y＝
再把y＝代入y＝－x＋4，得x＝，
所以P(，)
把P(，)代入到y＝ax2中得：a＝.
14．问题情境：
如图22－1－11，在x 轴上有两点A(m，0)，B(n，0)(n>m>0)，分别过点A，点B 作x 轴的垂线，
交抛物线y＝x2于点C，点D，直线OC 交直线BD 于点E，直线OD 交直线AC 于点F，点E，
点F 的纵坐标分别为yE，yF.
特例探究：
填空：
当m＝1，n＝2 时，yE＝________，yF＝________；
当m＝3，n＝5 时，yE＝________，yF＝________．
归纳证明：
对任意m，n(n>m>0)，猜想yE与yF的大小关系，并证明你的猜想．
拓展应用：
(1)若将“抛物线y＝x2”改为“抛物线y＝ax2(a>0)”，其他条件不变，请直接写出yE与yF的
大小关系；
(2)连接EF，AE.当S 四边形OFEB＝3S△OFE时，直接写出m 与n 的关系及四边形OFEA 的形状．
图22－1－11
解：2 2 15 15
归纳证明：猜想：yE＝yF.
证明：∵AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，A，B 的坐标分别为A(m，0)，B(n，0)，
∴C，D 的横坐标分别为m，n.
∵C，D 在抛物线y＝x2上，
∴C 点的坐标为(m，m2)，D 点的坐标为(n，n2)．
设直线OC 的解析式为y＝k1x，直线OD 的解析式为y＝k2x，∴m2＝k1 m，n2＝k2n，解得k1＝
m，k2＝n，
∴直线OC 的解析式为y＝mx.
直线OD 的解析式为y＝nx，
把E，F 的横坐标分别代入y＝mx 与y＝nx 得
yE ＝mn，yF ＝mn，∴yE＝yF.
拓展应用：(1)yE＝yF.
(2)n＝2m，四边形OAEF 为平行四边形．
