文档文本内容
《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（提高）
【学习目标】
1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用sinA 、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、
45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；
2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的
度数；
3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两
个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；
4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，
体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、锐角三角函数
1.正弦、余弦、正切的定义
如右图、在Rt△ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定：
(1)sinA=
，这个比叫做∠A 的正弦.
(2)cosA=
，这个比叫做∠A 的余弦.
(3)tanA=
，这个比叫做∠A 的正切.
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大
小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)sinA、cosA、tanA 是一个整体符号，即表示∠A 三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，
但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写
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成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
(3)sin2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
(4)三角函数有时还可以表示成
等.
2.锐角三角函数的定义
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.
要点诠释：
1. 函数值的取值范围
对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA、
tanA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA、cosA、tanA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围
是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.
2．锐角三角函数之间的关系：
余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，
那么：sinA=cosB； cosA=sinB；
同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=
3.30°、45°、60°角的三角函数值
∠A
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
30°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是
几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.
要点二、解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：
角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；
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边边关系：勾股定理，即
；
边角关系：锐角三角函数，即
要点诠释：
解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：
(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；
(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因
此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．
要点三、解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量
关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
1.解这类问题的一般过程
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，
建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
2.常见应用问题
(1)坡度：
； 坡角:
.
(2)方位角：
(3)仰角与俯角：
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要点诠释：
1．解直角三角形的常见类型及解法
已知条件
解法步骤
Rt△ABC
两
边
两直角边(a，b)
由
求∠A，
∠B=90°－∠A，
斜边，一直角边(如c，a)
由
求∠A，
∠B=90°－∠A，
一
边
一
角
一直角边
和一锐角
锐角、邻边
(如∠A，b)
∠B=90°－∠A，
，
锐角、对边
(如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
，
斜边、锐角(如c，∠A)
∠B=90°－∠A，
，
2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：
把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系
转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．
借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问
题抽象为数学问题．
当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．
3．锐角三角函数的应用
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用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角
形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：
∵
∴
∵
∴
∵
∴
【典型例题】
类型一、锐角三角函数
1．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2 倍，则∠A 的正弦值是( )．
A．扩大2 倍 B．缩小2 倍 C．扩大4 倍 D．不变
【答案】 D；
【解析】根据
知sin∠A 的值与∠A 的大小有关，与
的比值有关．
当各边长度都扩大为原来的2 倍时，其
的比值不变．故选D.
【总结升华】 锐角三角函数正弦、余弦和正切反映了直角三角形中边与边的关系．
举一反三：
【变式1】已知，如图，
中，
，
，
，求cosA 及tanA．
A
B
C
D
E
【答案】易证点B、C、D、E 四点共圆，△ADE∽△ABC，
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cosA=
tanA=
【变式2】如图所示，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a，请你证明
．
【答案】
证明：⊙O 是△ABC 的外接圆，设圆的半径为R，连结AO 并延长交⊙O 于点D，
连结CD，则∠B＝∠D．
∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°．即△ADC 为直角三角形．
∴
，∴
．
同理可证：
，
．
∴
．
类型二、 特殊角三角函数值的计算
2．已知a＝3，且
，则以a、b、c 为边长的三角形面积等于( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A；
【解析】根据题意知
解得
所以a＝3，b＝4，c＝5，即
，其构成的三角形为直角三角形，且∠C＝90°，
所以
．
【总结升华】利用非负数之和等于0 的性质，求出b、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三
角形，注意tan45°的值不要记错．
举一反三：
【变式】计算：
＋
60°
【答案】原式=
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=
类型三、 解直角三角形
3．如图所示，在等腰Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，D 是AC 上一点，若
，则AD 的
长为( )．
A．2 B．
C．
D．1
【思路点拨】
如何用好
是解题关解，因此要设法构造直角三角形，若所求的元素不在直角三角
形中，则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径及方法很多，如可作辅助线构造直角三角形，或找已知
直角三角形中的边或角替代所要求的元素等．
【答案】 A；
【解析】
作DE⊥AB 于点E．
因为△ABC 为等腰直角三角形，所以∠A＝45°，所以AE＝DE．
又设DE＝x，则AE＝x，由
．
知BE＝5x，所以AB＝6x，由勾股定理知AC2+BC2＝AB2，
所以62+62＝(6x)2，
，AD＝
AE＝
．
【总结升华】在直角三角形中，若已知两边，宜先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值；若已知一边
和角，应先求另一角，再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解．
类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合
4．如图所示，直角△ABC 中，∠C＝90°，AB＝
，sin B＝
，点P 为边BC 上一动点，PD∥AB，PD
交AC 于点D，连接AP，
(1)求AC，BC 的长；
(2)设PC 的长为x，△ADP 的面积为y，当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．
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【思路点拨】
(1)在Rt△ABC 中，由AB＝
，sin B＝
，易得AC＝2，再由勾股定理求BC．
(2)
，只要把AD 用x 表示即可求出△ADP 的面积y，
由PD∥AB 可得
，从而求出
，则
．
【答案与解析】
(1)在Rt△ABC 中，由
，∴AC＝2，由勾股定理得BC＝4．
(2)∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴
．
∵PC＝x，则
，
∴当x＝2 时，y 有最大值，最大值是1．
【总结升华】
近几年，锐角三角函数与圆、函数、相似三角形以及方程相结合的题目在各地中考试题中出现的频率
越来越大．如圆中的垂径定理，直径所对的圆周角都出现了直角或直角三角形．在函数中，在直角坐标系中
求点的坐标，离不开求直角三角形两直角边的问题，相似三角形中可将有些元素进行转换或替代．
举一反三：
【变式】如图，设P 是矩形ABCD 的AD 边上一动点，
于点E，
于F，
，
．
求
的值．
【答案】如图，sin∠1=
sin∠2=
由矩形ABCD 知∠1=∠2，
则 PE=PAsin∠1，PF=PDsin∠2,sin∠1=
，
所以PE+PF= PAsin∠1+ PDsin∠2=（PA+PD）sin∠1=
类型五、三角函数与实际问题
5．某乡镇中学教学楼对面是一座小山，去年“联通”公司在山顶上建了座通讯铁塔．甲、乙两位同学
想测出铁塔的高度，他们用测角器作了如下操作：甲在教学楼顶A 处测得塔尖M 的仰角为α，塔座N 的仰角
为β；乙在一楼B 处只能望到塔尖M，测得仰角为θ(望不到底座)，他们知道楼高AB＝20 m，通过查表得：
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＝0.572 3，
0.2191，
＝0.7489，请你根据这几个数据，结合图形推算出铁塔高度MN 的
值．
【答案与解析】
如图所示，设地平线BD、水平线AE 分别交直线MN 于D、E，显然AE＝BD，不妨设为m，
则在Rt△AEM 中，ME＝mtanα，
在Rt△AEN 中，NE＝mtanβ．
∴MN＝m(tanα－tanβ)．
在Rt△BDM 中，MD＝mtanθ，
而AB＝DE＝MD－ME＝m(tanθ－tanα)，
∴
，
∴
．
将AB＝20(m)，
＝0.5723，
0.2191，
0.7489 代入得MN＝40(m)．
∴可测得铁塔的高度MN＝40m.
【总结升华】构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题.
6．如图所示，帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O 点．训练时
要求A，B 两船始终关于O 点对称．以O 为原点，建立如图所示的坐标系，x 轴，y 轴的正方向分别表示正东、
正北方向．设A，B 两船可近似看成在双曲线
上运动．湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船
与A，B 两船恰好在直线y＝x 上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C 船，此时教练船测得C 船在东南45°
方向上，A 船测得AC 与AB 的夹角为60°，B 船也同时测得C 船的位置(假设C 船位置不再改变，A，B，C 三船
可分别用A，B，C 三点表示)．
(1)发现C 船时，A，B，C 三船所在位置的坐标分别为A(________，________)，B(________，________)和
C(________，________)；
(2)发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A，O，B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设A，B 两船的
速度相等，教练船与A 船的速度之比为3:4，问教练船是否最先赶到?请说明理由．
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【思路点拨】
作AD⊥x 轴，在等腰直角三角形ADO 中． 结合点A 在
上，不难求出A 点坐标，而B 与A 关于
原点对称．注意到△ABC 为等边三角形，连OC，作CH⊥x 轴解直角三角形，求出CH、OH 的长，即可求
出点C 坐标．在求点A、B、C 坐标过程中，可求出AC、OC 的长再根据两船速度比，分别用含字母的式
子表示所用的时间，再比较大小．
【答案与解析】
(1)A(2，2)；B(-2，-2)；C(
，
)．
(2)作AD⊥x 轴于D，连接AC，BC 和OC．如图所示．
∵ A 的坐标为(2，2)，
∴∠AOD＝45°，AO＝
．
∵ C 在O 的东南45°方向上，
∴ ∠AOC＝45°+45°＝90°．
∵ AO＝BO，∴ AC＝BC．又∵ ∠BAC＝60°．
∴ △ABC 为正三角形，∴ AC＝BC＝AB＝2AO＝
．
∴ OC＝BC·cos30°＝
．
由条件设：教练船的速度为3m，A、B 两船的速度均为4m．
则教练船所用的时间为：
，A、B 两船所用的时间均为
．
∴ 教练船不是最先赶到．
【总结升华】
（1）一是通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的
表达式，再由已知条件确定表达式中的字母系数即可；（2）从问题本身的条件中不知道变量之间是
什么函数关系，在这种情况下和列方程解实际问题一样找出等量关系，把变量联系起来就得到函
数的表达式.
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