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甘肃省平凉市庄浪县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0
B．
=2 C．x2+2x=x2
1
﹣
D．3（x+1）2=2（x+1）
2．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=1﹣
x2
B．y=2（x
1
﹣）2+4 C．y= （x
1
﹣）（x+4）D．y=（x
2
﹣）2
x
﹣2
3．方程（x+1）（x
3
﹣）=5 的解是（ ）
A．x1=1，x2=
3
﹣
B．x1=4，x2=
2
﹣
C．x1=
1
﹣，x2=3 D．x1=
4
﹣，x2=2
4．把二次函数y=﹣x2
x+3
﹣
用配方法化成y=a（x
h
﹣）2+k 的形式时，应为（ ）
A．y=﹣（x
2
﹣）2+2 B．y=﹣（x
2
﹣）2+4 C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=﹣（x﹣）2+3
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2
4ac
﹣
＜0
C．当﹣1＜x＜3 时，y＞0 D．﹣
6．对抛物线：y=
x
﹣2+2x
3
﹣而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x 轴有两个交点B．开口向上
C．与y 轴的交点坐标是（0，3）D．顶点坐标是（1，﹣2）
7．以3 和﹣1 为两根的一元二次方程是（ ）
A．x2+2x
3=0
﹣
B．x2+2x+3=0 C．x2
2x
3=0
﹣
﹣
D．x2
2x+3=0
﹣
8．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax2+8x+b 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．将抛物线y=3x2向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=3（x
2
﹣）2
1
﹣B．y=3（x
2
﹣）2+1 C．y=3（x+2）2
1
﹣D．y=3（x+2）2+1
10．某果园2011 年水果产量为100 吨，2013 年水果产量为144 吨，求该果园水果产量的年平
均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．144（1
x
﹣）2=100 B．100（1
x
﹣）2=144 C．144（1+x）2=100D．100（1+x）2=144
二、填空题（共8 小题，每小题4 分，满分32 分）
11．方程2x2
1=
﹣
的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
．
12．若函数y=（m
3
﹣）
是二次函数，则m= ．
13．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），
B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x 的取值范围是 ．
14．抛物线y=2x2
bx+3
﹣
的对称轴是直线x=1，则b 的值为 ．
15．关于x 的一元二次方程（m
2
﹣）x2+3x+m2
4=0
﹣
有一个解是0，则m= ．
16．抛物线y=2x2+8x+m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ．
17．已知方程x2
3x+1=0
﹣
的两个根是x1，x2，则：x1
2+x2
2= ．
18．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上的点，F 为CD 边上的点，且AE=AF，AB=4，设
EC=x，△AEF 的面积为y，则y 与x 之间的函数关系式是 ．
三、解答题（共9 小题，满分88 分）
19．用适当的方法解一元二次方程：
（1）x2+3x
4=0
﹣
（2）3x（x
2
﹣）=2（2
x
﹣）
（3）x2
2x
8=0
﹣
﹣
（4）（x
2
﹣）（x
5
﹣）=
2
﹣．
20．用长为20cm 的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．
（1）求出y 与x 的函数关系式．
（2）当边长x 为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
21．抛物线y=
2x
﹣
2+8x
6
﹣．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
（3）x 取何值时，y=0；x 取何值时，y＞0；x 取何值时，y＜0．
22．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4 米，顶部C 离地面高度
为4.4 米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 米，装货宽度为2.4 米．
请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
23．某商店经销一种成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个
月能售出500 千克．若销售价每涨1 元，则月销售量减少10 千克．
（1）要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？
（2）要使月销售利润不低于8000 元，请结合图象说明销售单价应如何定？
24．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙
保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬
菜种植区域的面积是288m2？
25．阅读下列例题：
解方程x2
|x|
2=0
﹣
﹣
解：（1）当x≥0 时，原方程化为x2
x
2=0
﹣﹣
，解得x1=2，x2=
1
﹣（舍去）．
当x＜0 时，原方程化为x2+x
2=0
﹣
，解得x1=1（舍去），x2=
2
﹣．
∴x1=2，x2=
2
﹣是原方程的根．
请参照例题解方程：x2
|x
1|
1=0
﹣﹣﹣
．
26．已知关于x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a
c
﹣）=0，其中a、b、c 分别为△ABC 三边的长．
（1）如果x=
1
﹣是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
27．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于A、B 两点，其中A 点坐标为（﹣1，
0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB 的面积S△MCB．
甘肃省平凉市庄浪县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0
B．
=2 C．x2+2x=x2
1
﹣
D．3（x+1）2=2（x+1）
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数
是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，
满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、ax2+bx+c=0 当a=0 时，不是一元二次方程，故A 错误；
B、
+ =2 不是整式方程，故B 错误；
C、x2+2x=x2
1
﹣是一元一次方程，故C 错误；
D、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故D 正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否
是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．下列函数中，不是二次函数的是（ ）
A．y=1﹣
x2
B．y=2（x
1
﹣）2+4 C．y= （x
1
﹣）（x+4）D．y=（x
2
﹣）2
x
﹣2
【考点】二次函数的定义．
【分析】利用二次函数的定义，整理成一般形式就可以解答．
【解答】解：A、y=1﹣
x2=﹣
x2+1，是二次函数，正确；
B、y=2（x
1
﹣）2+4=2x2
4x+6
﹣
，是二次函数，正确；
C、y= （x
1
﹣）（x+4）= x2+ x
2
﹣，是二次函数，正确；
D、y=（x
2
﹣）2
x
﹣2=
4x+4
﹣
，是一次函数，错误．
故选D．
【点评】本题考查二次函数的定义．
3．方程（x+1）（x
3
﹣）=5 的解是（ ）
A．x1=1，x2=
3
﹣
B．x1=4，x2=
2
﹣
C．x1=
1
﹣，x2=3 D．x1=
4
﹣，x2=2
【考点】解一元二次方程-公式法．
【专题】计算题．
【分析】首先把方程化为一般形式，利用公式法即可求解．
【解答】解：（x+1）（x
3
﹣）=5，
x2
2x
3
5=0
﹣
﹣﹣
，
x2
2x
8=0
﹣
﹣
，
化为（x
4
﹣）（x+2）=0，
∴x1=4，x2=
2
﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法．
4．把二次函数y=﹣x2
x+3
﹣
用配方法化成y=a（x
h
﹣）2+k 的形式时，应为（ ）
A．y=﹣（x
2
﹣）2+2 B．y=﹣（x
2
﹣）2+4 C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=﹣（x﹣）2+3
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把
一般式转化为顶点式．
【解答】解：y=﹣x2
x+3=
﹣
﹣（x2+4x+4）+1+3=﹣（x+2）2+4．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c 为常数）；
（2）顶点式：y=a（x
h
﹣）2+k；
（3）交点式（与x 轴）：y=a（x
x
﹣1）（x
x
﹣2）．
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b2
4ac
﹣
＜0
C．当﹣1＜x＜3 时，y＞0 D．﹣
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】存在型．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵抛物线的开口向上，∴a＞0，故选项A 错误；
B、∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴△=b2
4ac
﹣
＞0，故选项B 错误；
C、由函数图象可知，当﹣1＜x＜3 时，y＜0，故选项C 错误；
D、∵抛物线与x 轴的两个交点分别是（﹣1，0），（3，0），∴对称轴x=﹣
=
=1，故选
项D 正确．
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，能利用数形结合求解是解答此题的关
键．
6．对抛物线：y=
x
﹣2+2x
3
﹣而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x 轴有两个交点B．开口向上
C．与y 轴的交点坐标是（0，3）D．顶点坐标是（1，﹣2）
【考点】二次函数的性质；抛物线与x 轴的交点．
【专题】计算题．
【分析】根据△的符号，可判断图象与x 轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令
函数式中x=0，可求图象与y 轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
【解答】解：A、∵△=22
4×
﹣
（﹣1）×（﹣3）=
8
﹣＜0，抛物线与x 轴无交点，本选项错误；
B、∵二次项系数﹣1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当x=0 时，y=
3
﹣，抛物线与y 轴交点坐标为（0，﹣3），本选项错误；
D、∵y=
x
﹣2+2x
3=
﹣
﹣（x
1
﹣）2
2
﹣，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性
质的联系．
7．以3 和﹣1 为两根的一元二次方程是（ ）
A．x2+2x
3=0
﹣
B．x2+2x+3=0 C．x2
2x
3=0
﹣
﹣
D．x2
2x+3=0
﹣
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】由题意，可令方程为（x
3
﹣）（x+1）=0，去括号后，直接选择C；
或把3 和﹣1 代入各个选项中，看是否为0，用排除法选择C；
或利用两根之和等于
，和两根之积等于来依次判断．
【解答】解：以3 和﹣1 为两根的一元二次方程的两根的和是2，两根的积是﹣3，据此判断．
A、两个根的和是﹣2，故错误；
B、△=22
4×3=
8
﹣
﹣＜0，方程无解，故错误；
C、正确；
D、两根的积是3，故错误．
故选C．
【点评】本题解答方法较多，可灵活选择解题的方法．
8．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax2+8x+b 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】令x=0，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定
出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
【解答】解：x=0 时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B、D 选项错误；
由A、C 选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b 经过第一三象限，
所以，A 选项错误，C 选项正确．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况
下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9．将抛物线y=3x2向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位，所得抛物线为（ ）
A．y=3（x
2
﹣）2
1
﹣B．y=3（x
2
﹣）2+1 C．y=3（x+2）2
1
﹣D．y=3（x+2）2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．
【解答】解：抛物线y=3x2向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣
2，﹣1），
所得抛物线为y=3（x+2）2
1
﹣．
故选C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关
键．
10．某果园2011 年水果产量为100 吨，2013 年水果产量为144 吨，求该果园水果产量的年平
均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．144（1
x
﹣）2=100 B．100（1
x
﹣）2=144 C．144（1+x）2=100D．100（1+x）2=144
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】2013 年的产量=2011 年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：2012 年的产量为100（1+x），
2013 年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，
即所列的方程为100（1+x）2=144，
故选：D．
【点评】考查列一元二次方程；得到2013 年产量的等量关系是解决本题的关键．
二、填空题（共8 小题，每小题4 分，满分32 分）
11．方程2x2
1=
﹣
的二次项系数是
2
，一次项系数是 ﹣
，常数项是 ﹣
1
．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫
二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程2x2
1=
﹣
化成一般形式是2x2﹣
1=0
﹣
，
二次项系数是2，一次项系数是﹣
，常数项是﹣1．
【点评】要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，
一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
12．若函数y=（m
3
﹣）
是二次函数，则m= ﹣
5
．
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义解答．
【解答】解：∵y=（m
3
﹣）
是二次函数，
∴
，
解得m=
5
﹣．
故答案为﹣5．
【点评】本题考查了二次函数的定义，要知道，形如x+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二
次函数．其中x、y 是变量，a、b、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
y═ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
13．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），
B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x 的取值范围是
x ＜﹣
2 或
x ＞
8
．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】先观察图象确定抛物线y1=ax2+bx+c 和一次函数y2=kx+b（k≠0）的交点的横坐标，即
可求出y1＞y2时，x 的取值范围．
【解答】解：由图形可以看出：
抛物线y1=ax2+bx+c 和一次函数y2=kx+b（k≠0）的交点横坐标分别为﹣2，8，
当y1＞y2时，x 的取值范围正好在两交点之外，即x＜﹣2 或x＞8．
故答案为：x＜﹣2 或x＞8．
【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
14．抛物线y=2x2
bx+3
﹣
的对称轴是直线x=1，则b 的值为
4
．
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求b 的值．
【解答】解：∵y=2x2
bx+3
﹣
，对称轴是直线x=1，
∴
=1，即﹣
=1，解得b=4．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法：公式法：y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（
，
），对称轴是x=
．
15．关于x 的一元二次方程（m
2
﹣）x2+3x+m2
4=0
﹣
有一个解是0，则m= ﹣
2
．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未
知数所得式子仍然成立．将x=0 代入方程式即得．
【解答】解：把x=0 代入一元二次方程（m
2
﹣）x2+3x+m2
4=0
﹣
，得m2
4=0
﹣
，即m=±2．又m﹣
2≠0，m≠2，取m=
2
﹣．
故答案为：m=
2
﹣．
【点评】此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
16．抛物线y=2x2+8x+m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为
8
．
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【专题】判别式法．
【分析】由抛物线y=2x2+8x+m 与x 轴只有一个公共点可知，对应的一元二次方程
2x2+8x+m=0，根的判别式△=b2
4ac=0
﹣
，由此即可得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的
值．
【解答】解：∵抛物线与x 轴只有一个公共点，
∴△=0，
∴b2
4ac=8
﹣
2
4×2×m=0
﹣
；
∴m=8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了二次函数根的判别式的和抛物线与x 轴的交点个数的关系．
17．已知方程x2
3x+1=0
﹣
的两个根是x1，x2，则：x1
2+x2
2=
7
．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据x1+x2=﹣，x1x2= ，求出x1+x2=3，x1x2=1，再根据x1
2+x2
2=（x1+x2）2
2x
﹣
1x2即可
求求出答案．
【解答】解：根据题意x1+x2=3，x1x2=1，
则x1
2+x2
2=（x1+x2）2
2x
﹣
1x2=9
2=7
﹣
，
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方
程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2= ．
18．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上的点，F 为CD 边上的点，且AE=AF，AB=4，设
EC=x，△AEF 的面积为y，则y 与x 之间的函数关系式是
y=﹣
x 2 +4x
．
【考点】正方形的性质；根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，再利用“HL”证明Rt△ABE 和Rt△ADF 全等，根据
全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根据△AEF 的面积等于正方形的
面积减去三个直角三角形的面积列式整理即可得解．
【解答】解：在正方形ABCD 中，AB=AD，
在Rt△ABE 和Rt△ADF 中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，
∵CE=x，
∴BE=DF=4
x
﹣，
∴y=42
2×
﹣
×4×（4
x
﹣）﹣x2，
=﹣x2+4x，
即y=﹣x2+4x．
故答案为：y=﹣x2+4x．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟记性质并求
出三角形全等是解题的关键．
三、解答题（共9 小题，满分88 分）
19．用适当的方法解一元二次方程：
（1）x2+3x
4=0
﹣
（2）3x（x
2
﹣）=2（2
x
﹣）
（3）x2
2x
8=0
﹣
﹣
（4）（x
2
﹣）（x
5
﹣）=
2
﹣．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）（3 利用因式分解求得方程的解；
（2）移项，利用提取公式法因式分解求得方程的解即可；
（4）化为一般形式，利用因式分解法求得方程的解即可．
【解答】解：（1）x2+3x
4=0
﹣
（x+4）（x
1
﹣）=0
x+4=0，x
1=0
﹣
解得：x1=
4
﹣，x2=1；
（2）3x（x
2
﹣）=2（2
x
﹣）
3x（x
2
﹣）﹣2（2
x
﹣）=0
（3x+2）（x
2
﹣）=0
3x+2=0，x
2=0
﹣
解得：x1=﹣，x2=2；
（3）x2
2x
8=0
﹣
﹣
（x
4
﹣）（x+2）=0
x
4=0
﹣
，x+2=0
解得：x1=4，x2=
2
﹣；
（4）（x
2
﹣）（x
5
﹣）=
2
﹣
x2
7x+12=0
﹣
（x
4
﹣）（x
3
﹣）=0
x
4=0
﹣
，x
3=0
﹣
解得：x1=4，x2=3．
【点评】此题考查解一元二次方程的方法，根据方程的特点，灵活选用适当的方法求得方程的
解即可．
20．用长为20cm 的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．
（1）求出y 与x 的函数关系式．
（2）当边长x 为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（20
2x
﹣
）．根据面积公式即可解答．
（2）把函数解析式用配方法化简，得出y 的最大值．
【解答】解：（1）已知一边长为xcm，则另一边长为（10
x
﹣）．
则y=x（10
x
﹣）化简可得y=
x
﹣2+10x
（2）y=10x
x
﹣2=﹣（x2
10x
﹣
）=﹣（x
5
﹣）2+25，
所以当x=5 时，矩形的面积最大，最大为25cm2．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，重点要注意配方法的运用．
21．抛物线y=
2x
﹣
2+8x
6
﹣．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
（3）x 取何值时，y=0；x 取何值时，y＞0；x 取何值时，y＜0．
【考点】二次函数的三种形式；二次函数的性质．
【专题】计算题；配方法．
【分析】（1）根据配方法的步骤要求，将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐
标和对称轴；
（2）由对称轴x=
2
﹣，抛物线开口向下，结合图象，可确定函数的增减性；
（3）判断函数值的符号，可以令y=0，解一元二次方程求x，再根据抛物线的开口方向，确定函
数值的符号与x 的取值范围的对应关系．
【解答】解：（1）∵y=
2x
﹣
2+8x
6=
2
﹣
﹣（x
2
﹣）2+2，
∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2；
（2）∵a=
2
﹣＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，
∴当x＞2 时，y 随x 的增大而减小；
（3）令y=0，即﹣2x2+8x
6=0
﹣
，解得x=1 或3，抛物线开口向下，
∴当x=1 或x=3 时，y=0；
当1＜x＜3 时，y＞0；
当x＜1 或x＞3 时，y＜0．
【点评】本题考查了抛物线的顶点坐标，与x 轴的交点坐标的求法及其运用，必须熟练掌握．
22．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB=4 米，顶部C 离地面高度
为4.4 米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 米，装货宽度为2.4 米．
请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】本题只要计算大门顶部宽2.4 米的部分离地面是否超过2.8 米即可．如果设C 点是原
点，那么A 的坐标就是（﹣2，﹣4.4），B 的坐标是（2，﹣4.4），可设这个函数为y=kx2，那么将
A 的坐标代入后即可得出y=
1.1x
﹣
2，那么大门顶部宽2.4m 的部分的两点的横坐标就应该是
﹣1.2 和1.2，因此将x=1.2 代入函数式中可得y≈
1.6
﹣
，因此大门顶部宽2.4m 部分离地面的
高度是4.4
1.6=2.8m
﹣
，因此这辆汽车正好可以通过大门．
【解答】解：根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数为y=kx2．
将A 的坐标代入，得y=
1.1x
﹣
2，
∴E、F 两点的横坐标就应该是﹣1.2 和1.2，
∴将x=1.2 代入函数式，得
y≈
1.6
﹣
，
∴GH=CH
CG=4.4
1.6=2.8m
﹣
﹣
，
因此这辆汽车正好可以通过大门．
【点评】本题主要结合实际问题考查了二次函数的应用，得出二次函数式进而求出大门顶部
宽2.4m 部分离地面的高度是解题的关键．
23．某商店经销一种成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个
月能售出500 千克．若销售价每涨1 元，则月销售量减少10 千克．
（1）要使月销售利润达到最大，销售单价应定为多少元？
（2）要使月销售利润不低于8000 元，请结合图象说明销售单价应如何定？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）设销售单价定为每千克x 元，获得利润为w 元，则可以根据成本，求出每千克的
利润，以及按照销售价每涨1 元，月销售量就减少10 千克，可求出销量．从而得到总利润关
系式；
（2）先计算出y=8000 时所对应的x 的值，然后画出函数的大致图象，再根据图象回答即可．
【解答】解：（1）设销售单价定为每千克x 元，获得利润为w 元，则：
w=（x
40
﹣
）[500﹣（x
50
﹣
）×10]，
=（x
40
﹣
）（1000
10x
﹣
），
=
10x
﹣
2+1400x
40000
﹣
，
=
10
﹣
（x
70
﹣
）2+9000，
故当x=70 时，利润最大为9000 元．
答：要使月销售利润达到最大，销售单价应定为70 元；
（2）令y=8000，则﹣10（x
20
﹣
）2+9000=8000，
解得x1=10，x2=30．
函数的大致图象为：
观察图象当10≤x≤30 时，y 不低于8000．
所以当销售单价不小于60 元而不大于80 元时，商场获得的周销售利润不低于8000 元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数
的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常
用的是后两种方法．
24．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙
保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬
菜种植区域的面积是288m2？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】本题有多种解法．设的对象不同则列的一元二次方程不同．设矩形温室的宽为xm，则
长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．
【解答】解：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，
根据题意，得（x
2
﹣）•（2x
4
﹣）=288，
∴2（x
2
﹣）2=288，
∴（x
2
﹣）2=144，
∴x
2=±12
﹣
，
解得：x1=
10
﹣
（不合题意，舍去），x2=14，
所以x=14，2x=2×14=28．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm．根据题意，得（x
2
﹣）•（x
4
﹣）=288．
解这个方程，得x1=
20
﹣
（不合题意，舍去），x2=28．
所以x=28， x= ×28=14．
答：当矩形温室的长为28m，宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
【点评】解答此题，要运用含x 的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程．
25．阅读下列例题：
解方程x2
|x|
2=0
﹣
﹣
解：（1）当x≥0 时，原方程化为x2
x
2=0
﹣﹣
，解得x1=2，x2=
1
﹣（舍去）．
当x＜0 时，原方程化为x2+x
2=0
﹣
，解得x1=1（舍去），x2=
2
﹣．
∴x1=2，x2=
2
﹣是原方程的根．
请参照例题解方程：x2
|x
1|
1=0
﹣﹣﹣
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；绝对值．
【专题】阅读型．
【分析】参照例题，应分情况讨论，主要是|x
1|
﹣，随着x 取值的变化而变化，它将有两种情况，
考虑问题要周全．
【解答】解：（1）设x
1≥0
﹣
原方程变为x2
x+1
1=0
﹣
﹣
，
x2
x=0
﹣
，
x1=0（舍去），x2=1．
（2）设x
1
﹣＜0，原方程变为x2+x
1
1=0
﹣﹣
，
x2+x
2=0
﹣
，
解得x1=1（舍去），x2=
2
﹣．
∴原方程解为x1=1，x2=
2
﹣．
【点评】解本题时，应把绝对值去掉，对x
1
﹣正负性分类讨论，x
1≥0
﹣
或x
1
﹣＜0．
26．已知关于x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a
c
﹣）=0，其中a、b、c 分别为△ABC 三边的长．
（1）如果x=
1
﹣是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
【考点】根的判别式；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据方程解的定义把x=
1
﹣代入方程得到（a+c）×（﹣1）2
2b+
﹣
（a
c
﹣）=0，整理得
a
b=0
﹣
，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC 是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到△=（2b）2
4
﹣（a+c）（a
c
﹣）=0，整理得a2=b2+c2，然后根据勾股定
理的逆定理得到△ABC 是直角三角形．
【解答】解：（1）△ABC 是等腰三角形．理由如下：
∵x=
1
﹣是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2
2b+
﹣
（a
c
﹣）=0，
∴a+c
2b+a
c=0
﹣
﹣
，
∴a
b=0
﹣
，
∴a=b，
∴△ABC 是等腰三角形；
（2）△ABC 是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2b）2
4
﹣（a+c）（a
c
﹣）=0，
∴4b2
4a
﹣
2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC 是直角三角形．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2
4ac
﹣
有如下关
系：当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根；
当△＜0 时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．
27．已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于A、B 两点，其中A 点坐标为（﹣1，
0），点C（0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB 的面积S△MCB．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）将已知的三点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式．
（2）可根据抛物线的解析式先求出M 和B 的坐标，由于三角形MCB 的面积无法直接求出，
可将其化为其他图形面积的和差来解．过M 作ME⊥y 轴，三角形MCB 的面积可通过梯形
MEOB 的面积减去三角形MCE 的面积减去三角形OBC 的面积求得．
【解答】解：
（1）依题意：
，
解得
∴抛物线的解析式为y=
x
﹣2+4x+5
（2）令y=0，得（x
5
﹣）（x+1）=0，x1=5，x2=
1
﹣，
∴B（5，0）．
由y=
x
﹣2+4x+5=﹣（x
2
﹣）2+9，得M（2，9）
作ME⊥y 轴于点E，
可得S△MCB=S 梯形MEOB
S
﹣
△MCE
S
﹣
△OBC= （2+5）×9﹣×4×2﹣×5×5=15．
【点评】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法．不规则图形的面积通常转
化为规则图形的面积的和差．
