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八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题2 分，共20 分）
1．已知三角形两边的长分别是4 和10，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A．6B．7C．9.5 D．10
2．已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是（ ）
A．18cmB．21cmC．18cm 或21cmD．无法确定
3．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．下列计算正确的是（ ）
A．x4+x4=2x8 B．（x2y）
3=x6y C．﹣（x2）
3=x5 D．﹣x3•（﹣x）
5=x8
5．若多项式x2+mx+12 因式分解的结果是（x
2
﹣）（x
6
﹣），则m 的值是（ ）
A．8B．﹣4 C．﹣8 D．4
6．下列四个分式中，是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．甲乙两地相距420 千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客
运车平均速度是原来的1.5 倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2 小时．设原来
的平均速度为x 千米/时，可列方程为（ ）
A．
+
=2
B．
﹣
=2
C．
+
=
D．
﹣
=
8．如图．△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交AC 于P 点，若AB=6cm，BC=4cm，
△PBC 的周长等于（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
9．如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使
△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D ．∠B=∠E ，
∠A=∠D
10．如图，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
二、填空题（本大题共8 个小题，每小题2 分，共16 分）
11．分解因式：a3
a=
﹣
．
12．3
2
﹣= ；0.0000000251= （用科学记数法表示）
13．点M（3，﹣4）关于x 轴的对称点的坐标是 ．
14．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE=AD，则∠EDC= ．
15．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC，若AD=6，则CD= ．
16．x2+kx+9 是完全平方式，则k= ．
17．如图在等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠BAC 交BC 于D，DE⊥AB
于E，若AB=10，则△BDE 的周长等于 ．
18．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON 上，点B1，B2，B3，…在射线
OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的
边长为 ．
三、解答题（本大题共8 个小题，共64 分）
19．化简：（x+y）（x
y
﹣）﹣（2x
y
﹣）（x+3y）
20．先化简，（
﹣
）÷
，再选一个合适的数作为a 的值计算．
21．如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
22．如图，△ABC 中，A 点坐标为（2，4），B 点坐标为（﹣3，﹣2），C 点坐标为（3，
1）．
（1）在图中画出△ABC 关于y 轴对称的△A′B′C′（不写画法），并写出点A′，B′，C′的
坐标．
（2）求△ABC 的面积．
23．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6 个字，小明打120 个
字所用的时间和小张打180 个字所用的时间相等．求小明和小张每分钟各打多少
个字？
24．已知：如图，E、F 在AC 上，AD∥CB 且AD=CB，∠D=∠B．求证：AE=CF．
25．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AE 是△ABC 的角平分线；ED 平分∠AEB，交
AB 于点D；∠CAE=∠B．
（1）求∠B 的度数．
（2）如果AC=3cm，求AB 的长度．
（3）猜想：ED 与AB 的位置关系，并证明你的猜想．
26．乘法公式的探究与应用：
（1）如图甲，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，请你写出阴影
部分面积是 （写成两数平方差的形式）
（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是 ，
宽是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）．
（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）
公式1：
公式2：
（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．
八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题2 分，共20 分）
1．已知三角形两边的长分别是4 和10，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A．6B．7C．9.5 D．10
【考点】三角形三边关系．
【分析】设第三边的长为x，再由三角形的三边关系即可得出结论．
【解答】解：设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是4 和10，
∴10
4
﹣＜x＜10+4，
即6＜x＜14．
故选A．
2．已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是（ ）
A．18cmB．21cmC．18cm 或21cmD．无法确定
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和8cm，而没有明确腰、底分别是
多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）当腰是5cm 时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm，能构成三角形，
则等腰三角形的周长=5+5+8=18cm；
（2）当腰是8cm 时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm，能构成三角形，
则等腰三角形的周长=5+8+8=21cm．
因此这个等腰三角形的周长为18 或21cm．
故选：C．
3．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】轴对称图形．
【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．
【解答】解：中间两个图形是轴对称图形，轴对称图形的个数是2，故选B．
4．下列计算正确的是（ ）
A．x4+x4=2x8 B．（x2y）
3=x6y C．﹣（x2）
3=x5 D．﹣x3•（﹣x）
5=x8
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】结合同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解
即可．
【解答】解：A、x4+x4=2x4≠2x8，本选项错误；
B、（x2y）
3=x6y3≠x6y，本选项错误；
C、﹣（x2）
3=
x
﹣6≠x5，本选项错误；
D、﹣x3•（﹣x）
5=x8，本选项正确．
故选D．
5．若多项式x2+mx+12 因式分解的结果是（x
2
﹣）（x
6
﹣），则m 的值是（ ）
A．8B．﹣4 C．﹣8 D．4
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】根据题意可列出等式求出m 的值．
【解答】解：由题意可知：x2+mx+12=（x
2
﹣）（x
6
﹣），
∴x2+mx+12=x2
8x
﹣
+12
∴m=
8
﹣
故选（C）
6．下列四个分式中，是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】最简分式．
【分析】分子分母没有公因式即可最简分式
【解答】解：（B）原式=
=x+1，故B 不是最简分式，
（C）原式=
，故C 不是最简分式，
（D）原式=
=a+b，故D 不是最简分式，
故选（A）
7．甲乙两地相距420 千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客
运车平均速度是原来的1.5 倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2 小时．设原来
的平均速度为x 千米/时，可列方程为（ ）
A．
+
=2
B．
﹣
=2
C．
+
=
D．
﹣
=
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】设原来的平均速度为x 千米/时，高速公路开通后平均速度为1.5x 千米/时，
根据走过相同的距离时间缩短了2 小时，列方程即可．
【解答】解：设原来的平均速度为x 千米/时，
由题意得，
﹣
=2．
故选：B．
8．如图．△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交AC 于P 点，若AB=6cm，BC=4cm，
△PBC 的周长等于（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】先根据等腰三角形的性质得出AC=AB=6cm，再根据线段垂直平分线的性
质得出AP=BP，故AP+PC=AC，由此即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC 中，AB=AC，AB=6cm，
∴AC=6cm，
∵AB 的垂直平分线交AC 于P 点，
∴BP+PC=AC，
∴△PBC 的周长=（BP+PC）+BC=AC+BC=6+4=10cm．
故选：D．
9．如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使
△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D ．∠B=∠E ，
∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E 可利用SAS 证明
△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC 可利用SSS 证明△ABC≌△DEC，故此选
项不合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D 不能证明△ABC≌△DEC，故此选项
符合题意；
D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D 可利用ASA 证明△ABC≌△DEC，故
此选项不合题意；
故选：C．
10．如图，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE 等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．125°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的
和可得∠AEB=∠A+∠C=65°，∠DFE=∠B+∠AEC，进而可得答案．
【解答】解：∵∠A=27°，∠C=38°，
∴∠AEB=∠A+∠C=65°，
∵∠B=45°，
∴∠DFE=65°+45°=110°，
故选A．
二、填空题（本大题共8 个小题，每小题2 分，共16 分）
11．分解因式：a3
a=
﹣
a （
a + 1 ）（
a
1
﹣
）
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3
a
﹣，
=a（a2
1
﹣），
=a（a+1）（a
1
﹣）．
故答案为：a（a+1）（a
1
﹣）．
12．3
2
﹣= ；0.0000000251=
2.51
×
10
8
﹣
（用科学记数法表示）
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案；
绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10
n
﹣，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为
零的数字前面的0 的个数所决定．
【解答】解：3
2
﹣=
= ；0.0000000251=2.51×10
8
﹣（用科学记数法表示），
故答案为：，2.51×10
8
﹣．
13．点M（3，﹣4）关于x 轴的对称点的坐标是 （
3 ，
4 ）
．
【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】根据“关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（3，﹣4）关于x 轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为：（3，4）．
14．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE=AD，则∠EDC=
15°
．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】由AD 是等边△ABC 的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求
得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可
求得∠ADE 的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵AD 是等边△ABC 的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×60°=30°，
∴∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=
=75°，
∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°
75°=15°
﹣
．
故答案为：15°．
15．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC，若AD=6，则CD=
3
．
【考点】含30 度角的直角三角形．
【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD 平分∠ABC，可以推
出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，再由30°角所对的直角边等于斜边的一半
即可求出结果．
【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，
∴BD=AD=6，
∴CD= BD=6× =3．
故答案为：3．
16．x2+kx+9 是完全平方式，则k=
±
6
．
【考点】完全平方式．
【分析】这里首末两项是x 和3 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和
3 的积的2 倍，故k=±6．
【解答】解：中间一项为加上或减去x 和3 的积的2 倍，
故k=±6．
17．如图在等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠BAC 交BC 于D，DE⊥AB
于E，若AB=10，则△BDE 的周长等于
10
．
【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．
【分析】由题中条件可得Rt△ACD≌Rt△AED，进而得出AC=AE，AC=AE，把△BDE
的边长通过等量转化即可得出结论．
【解答】解：∵AD 平分∠CAB，AC⊥BC 于点C，DE⊥AB 于E，∴CD=DE．
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE．
又∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DBE 的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=10．
（提示：设法将DE+BD+EB 转成线段AB）．
故答案为：10．
18．如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON 上，点B1，B2，B3，…在射线
OM 上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的
边长为
32
．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及
A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．
【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°
120°
30°=30°
﹣
﹣
，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°
60°
30°=90°
﹣
﹣
，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=2，
∴A2B1=2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：A6B6=32B1A2=32．
故答案是：32．
三、解答题（本大题共8 个小题，共64 分）
19．化简：（x+y）（x
y
﹣）﹣（2x
y
﹣）（x+3y）
【考点】平方差公式；多项式乘多项式．
【分析】根据整式运算的法则即可求出答案．
【解答】解：原式=x2
y
﹣2﹣（2x2+6xy
xy
3y
﹣
﹣
2）
=x2
y
﹣2
2x
﹣
2
5xy
﹣
+3y2
=
x
﹣2
5xy
﹣
+2y2
20．先化简，（
﹣
）÷
，再选一个合适的数作为a 的值计算．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先把除法转化为乘法，利用分配律计算，然后合并同类项即可化简，然
后代入使分式有意义的a 的值求解．
【解答】解：原式=（
﹣
）•（a+1）（a
1
﹣）
=2a（a+1）﹣a（a
1
﹣）
=2a2+2a
a2
﹣
+a
=a2+3a．
当a=0 时，原式=0．
21．如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS 证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC 和△DAE 中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE．
22．如图，△ABC 中，A 点坐标为（2，4），B 点坐标为（﹣3，﹣2），C 点坐标为（3，
1）．
（1）在图中画出△ABC 关于y 轴对称的△A′B′C′（不写画法），并写出点A′，B′，C′的
坐标．
（2）求△ABC 的面积．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，然后列式
计算即可得解．
【解答】解：（1）如图，A′（﹣2，4），B′（3，﹣2），C′（﹣3，1）；
（2）S△ABC=6×6﹣×5×6﹣×6×3﹣×1×3，
=36
15
9
1
﹣
﹣﹣
，
=10 ．
23．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6 个字，小明打120 个
字所用的时间和小张打180 个字所用的时间相等．求小明和小张每分钟各打多少
个字？
【考点】分式方程的应用．
【分析】首先设小明每分钟打x 个字，则小张每分钟打（x+6）个字，根据小明打120
个字所用的时间和小张打180 个字所用的时间相等列出方程，再解即可．
【解答】解：设小明每分钟打x 个字，则小张每分钟打（x+6）个字，
根据题意，得
=
，
解得：x=12，
经检验：x=12 是原分式方程的解，
12+6=18（个），
答：小明和小张每分钟各打12 个和18 个字．
24．已知：如图，E、F 在AC 上，AD∥CB 且AD=CB，∠D=∠B．求证：AE=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据两直线平行内错角相等即可得出∠A=∠C，再根据全等三角形的判定
即可判断出△ADF≌△CBE，得出AF=CE，进而得出AE=CF．
【解答】证明：∵AD∥CB，
∴∠A=∠C，
在△ADF 和△CBE 中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF．
25．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AE 是△ABC 的角平分线；ED 平分∠AEB，交
AB 于点D；∠CAE=∠B．
（1）求∠B 的度数．
（2）如果AC=3cm，求AB 的长度．
（3）猜想：ED 与AB 的位置关系，并证明你的猜想．
【考点】角平分线的性质；含30 度角的直角三角形．
【分析】（1）先由角平分线的定义及已知条件得出∠CAE=∠EAB=∠B，再根据直角
三角形两锐角互余得出∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，那么∠B=30°；
（2）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AB=2AC=6cm；
（3）先由∠EAB=∠B，根据等角对等边得出EB=EA，又ED 平分∠AEB，根据等腰三
角形三线合一的性质得到ED⊥AB．
【解答】解：（1）∵AE 是△ABC 的角平分线，
∴∠CAE=∠EAB，
∵∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠EAB=∠B．
∵在△ABC 中，∠C=90°，
∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，
∴∠B=30°；
（2）∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，
∴AB=2AC=6cm；
（3）猜想：ED⊥AB．理由如下：
∵∠EAB=∠B，
∴EB=EA，
∵ED 平分∠AEB，
∴ED⊥AB．
26．乘法公式的探究与应用：
（1）如图甲，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，请你写出阴影
部分面积是
a
2
b
﹣
2
（写成两数平方差的形式）
（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是
a + b
，宽是
a
b
﹣
，面积是 （
a + b ）（
a
b
﹣
）
（写成多项式乘法的形式）．
（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）
公式1： （
a + b ）（
a
b
﹣
）
=a
2 b
﹣
2
公式2：
a
2
b
﹣
2 = （
a + b ）（
a
b
﹣
）
（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．
【考点】平方差公式的几何背景．
【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2
b
﹣
2；
（2）中的长方形，宽为a
b
﹣，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a
b
﹣）；
（3）中的答案可以由（1）、（2）得到（a+b）（a
b
﹣）=a2
b
﹣
2；反过来也成立；
（4）把10.3×9.7 写成（10+0.3）（10
0.3
﹣
），利用公式求解即可．
【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2
b
﹣
2；
（2）长方形的宽为a
b
﹣，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a
b
﹣）；
故答案为：a+b，a
b
﹣，（a+b）（a
b
﹣）；
（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a
b
﹣）=a2
b
﹣
2；
公式2：a2
b
﹣
2=（a+b）（a
b
﹣）
故答案为：（a+b）（a
b
﹣），a2
b
﹣
2=（a+b）（a
b
﹣）；
（4）10.3×9.7=（10+0.3）（10
0.3
﹣
）
=102
0.3
﹣
2
=100
0.09
﹣
=99.91．
