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湖北省武汉市江夏区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（3 分）随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车
标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）一元二次方程x2
3x
8=0
﹣
﹣
的两根分别为x1、x2，则x1x2=（ ）
A．2 B．﹣2
C．8 D．﹣8
3．（3 分）抛物线y=x2
2x
﹣
+1 与坐标轴交点个数为（ ）
A．无交点
B．1 个C．2 个D．3 个
4．（3 分）如图所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=
（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
5．（3 分）若关于x 的一元二次方程（k
1
﹣）x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范
围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
6．（3 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C
落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B、D 两点间的距离为（ ）
A．
B．2
C．3 D．2
7．（3 分）若抛物线y=x2
2x
﹣
+3 不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单
位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）
A．y=（x
2
﹣）2+3 B．y=（x
2
﹣）2+5 C．y=x2
1
﹣
D．y=x2+4
8．（3 分）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化
学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n 为正整
数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ）
A．CnH2n+2
B．CnH2n C．CnH2n
2
﹣
D．CnHn+3
9．（3 分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的
图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3 分）O 是等边△ABC 内的一点，OB=1，OA=2，∠AOB=150°，则OC 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．3
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
11．（3 分）构造一个根为2 和3 的一元二次方程 （写一个即可，不限形式）
12．（3 分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，若干
小分支、支干和主干的总数是73，则每个支干长出 个小分支．
13．（3 分）已知A（0，3）、B（2，3）是抛物线y=
x
﹣2+bx+c 上两点，该抛物线的对称轴是 ．
14．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，若AB=8，CD=6，则BE= ．
15．（3 分）如图，Rt△ABC 纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D 在边BC 上，以AD 为折痕
△ABD 折叠得到△AB′D，AB′与边BC 交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD 的长是 ．
16．（3 分）函数y=
的图象与直线y=
x
﹣+n 只有两个不同的公共点，则
n 的取值为 ．
三、解答题（共72 分）
17．（8 分）解方程：x2+4x
5=0
﹣
．
18．（8 分）如图，两个圆都以点O 为圆心，大圆的弦AB 交小圆于C、D 两点．
求证：AC=BD．
19．（8 分）江夏某村种植的水稻2010 年平均亩产500kg，2012 年平均亩产605kg，求该村亩
产量的年平均增长率．
20．（8 分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，4）
（1）请画出将△ABC 向左平移4 个单位长度后得到的图形△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标；
（3）在x 轴上找一点P，使PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．
21．（8 分）已知：关于x 的方程x2+（8
4m
﹣
）x+4m2=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m
值；若不存在，请说明理由．
22．（10 分）某商场销售的某种商品每件的标价是80 元，若按标价的八折销售，仍可盈利
60%，此时该种商品每星期可卖出220 件，市场调查发现：在八折销售的基础上，该种商品每
降价1 元，每星期可多卖20 件．设每件商品降价x 元（x 为整数），每星期的利润为y 元
（1）求该种商品每件的进价为多少元？
（2）当售价为多少时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
（3）2015 年2 月该种商品每星期的售价均为每件m 元，若2015 年2 月的利润不低于24000
元，请直接写出m 的取值范围．
23．（10 分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形
吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD 两组对边AB，CD 与BC，AD 之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG
和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE 长．
24．（12 分）如图，抛物线y=
x
﹣2
2x
﹣
+3 的图象与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左边），
与y 轴交于点C
（1）求A、B、C 的坐标；
（2）过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G．若FG=
AC，求点F 的坐标；
（3）E（0，﹣2），连接BE．将△OBE 绕平面内的某点逆时针旋转90°得到△O′B′E′，O、B、E 的
对应点分别为O′、B′、E′．若点B′、E′两点恰好落在抛物线上，求点B′的坐标．
湖北省武汉市江夏区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，满分30 分）
1．（3 分）（2016•随州）随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出
下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．
2．（3 分）（2016 秋•江夏区期中）一元二次方程x2
3x
8=0
﹣
﹣
的两根分别为x1、x2，则x1x2=（
）
A．2 B．﹣2
C．8 D．﹣8
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2
3x
8=0
﹣
﹣
的两根分别为x1，x2，
∴x1•x2=
8
﹣．
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是方程x2+px+q=0 的两根时，x1+x2=
p
﹣，x1x2=q．
3．（3 分）（2014•东海县模拟）抛物线y=x2
2x
﹣
+1 与坐标轴交点个数为（ ）
A．无交点
B．1 个C．2 个D．3 个
【分析】当x=0 时，求出与y 轴的纵坐标；当y=0 时，求出关于x 的一元二次方程x2
2x
﹣
+1=0
的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线y=x2
2x
﹣
+1 与x 轴的交点个数
【解答】解：当x=0 时，y=1，
则与y 轴的交点坐标为（0，1），
当y=0 时，x2
2x
﹣
+1=0，
△=（﹣2）2
4
﹣×1×1=0，
所以，该方程有两个相等的解，即抛物线y=x2
2x
﹣
+2 与x 轴有1 个点．
综上所述，抛物线y=x2
2x
﹣
+1 与坐标轴的交点个数是2 个．
故选C．
【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中
x=0，求出的y 值即为抛物线与y 轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x 的值，即为抛物线与
x 轴交点的横坐标．
4．（3 分）（2016•黄石）如图所示，⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，
则ON=（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【分析】根据⊙O 的半径为13，弦AB 的长度是24，ON⊥AB，可以求得AN 的长，从而可以求
得ON 的长．
【解答】解：由题意可得，
OA=13，∠ONA=90°，AB=24，
∴AN=12，
∴ON=
，
故选A．
【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
5．（3 分）（2016•桂林）若关于x 的一元二次方程（k
1
﹣）x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，
则k 的取值范围是（ ）
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及
根的判别式即可得出关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（k
1
﹣）x2+4x+1=0 有两个不相等的实数根，
∴
，即
，
解得：k＜5 且k≠1．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关于k 的一元
一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合一元
二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键．
6．
（3 分）
（2016•宜宾）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A 逆时针旋
转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B、D 两点间的距离为（ ）
A．
B．2
C．3 D．2
【分析】通过勾股定理计算出AB 长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求
出B、D 两点间的距离．
【解答】解：∵在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，
∴AE=4，DE=3，
∴BE=1，
在Rt△BED 中，
BD=
=
．
故选：A．
【点评】题目考查勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，
特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．
7．
（3 分）
（2016•眉山）若抛物线y=x2
2x
﹣
+3 不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右
平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）
A．y=（x
2
﹣）2+3 B．y=（x
2
﹣）2+5 C．y=x2
1
﹣
D．y=x2+4
【分析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．
【解答】解：将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移
三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3 个单位，
∵y=（x
1
﹣）2+2，
∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x
1
﹣+1）2+2
3=x
﹣
2
1
﹣，
故答案为C．
【点评】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是
反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型．
8．（3 分）（2016•娄底）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学
中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为
n（n 为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（ ）
A．CnH2n+2
B．CnH2n C．CnH2n
2
﹣
D．CnHn+3
【分析】设碳原子的数目为n（n 为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值
的变化找出变化规律“an=2n+2”，依次规律即可解决问题．
【解答】解：设碳原子的数目为n（n 为正整数）时，氢原子的数目为an，
观察，发现规律：a1=4=2×1+2，a2=6=2×2+2，a3=8=2×3+2，…，
∴an=2n+2．
∴碳原子的数目为n（n 为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2．
故选A．
【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“an=2n+2”．本题
属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关
键．
9．（3 分）（2016 秋•江夏区期中）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同
一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据一次函数和二次函数的性质可以判断a、b 的正负，从而可以解答本题．
【解答】解：在A 中，由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故
选项A 错误；
在B 中，由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，故选项B 错误；
在C 中，由一次函数图象可知，a＜0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项C 正确；
在D 中，由一次函数图象可知，a＜0，b＞0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，故选项D 错误；
故选C．
【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
10．（3 分）（2016 秋•江夏区期中）O 是等边△ABC 内的一点，OB=1，OA=2，∠AOB=150°，则
OC 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【分析】根据等边三角形的性质，将△AOB 绕B 点顺时针旋转60°到△BO′C 的位置，可证
△OO′B 为等边三角形，由旋转的性质可知∠BO′C=∠AOB=150°，从而可得∴∠CO′O=90°，
已知OO′=OB=1，CO′=AO=2，在Rt△COO′中，由勾股定理可求OC．
【解答】解：如图，将△AOB 绕B 点顺时针旋转60°到△BO′C 的位置，由旋转的性质，得
BO=BO′，
∴△BO′O 为等边三角形，
由旋转的性质可知∠BO′C=∠AOB=150°，
∴∠CO′O=150°
60°=90°
﹣
，
又∵OO′=OB=1，CO′=AO=2，
∴在Rt△COO′中，由勾股定理，得OC=
=
=
．
故选B．
【点评】本题利用了旋转的性质解题．关键是根据AB=BC，∠ABC=60°，得出等边三角形，运
用勾股定理逆定理得出直角三角形．
二、填空题（每小题3 分，共18 分）
11．（3 分）（2016 秋•江夏区期中）构造一个根为2 和3 的一元二次方程 （
x
2
﹣
）（
x
3
﹣
）
=0
或
x 2
5x
﹣
+ 6=0
（写一个即可，不限形式）
【分析】依题意知方程的两根是2 和3，因而方程是（x
2
﹣）（x
3
﹣）=0．
【解答】解：∵一元二次方程（要求二次项系数为1）的两根是2 和3，
∴该方程是（x
2
﹣）（x
3
﹣）=0，即x2
5x
﹣
+6=0．
故答案是：（x
2
﹣）（x
3
﹣）=0 或x2
5x
﹣
+6=0．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．已知方程的两根写出方程的方法是需
要熟记的．即（x
x
﹣1）（x
x
﹣2）=0．
12．（3 分）（2016 秋•江夏区期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相
同数目的小分支，若干小分支、支干和主干的总数是73，则每个支干长出
8
个小分支．
【分析】设每个支干长出的小分支的数目是x 个，每个小分支又长出x 个分支，则又长出x2个
分支，则共有x2+x+1 个分支，即可列方程求得x 的值．
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x 个，
根据题意列方程得：1+x+x•x=73，
即x2+x
72=0
﹣
，
（x+9）（x
8
﹣）=0，
解得x1=8，x2=
9
﹣（舍去）．
答：每个支干长出8 个小分支．
故答案为8．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列
方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．
13．（3 分）（2016 秋•江夏区期中）已知A（0，3）、B（2，3）是抛物线y=
x
﹣2+bx+c 上两点，该抛
物线的对称轴是
x=1
．
【分析】把点的坐标代入可求得抛物线解析式，则可求得对称轴．
【解答】解：
∵A（0，3）、B（2，3）是抛物线y=
x
﹣2+bx+c 上两点，
∴
，解得
，
∴抛物线解析式为y=
x
﹣2+2x+3，
∴对称轴为x=﹣
=1，
故答案为：x=1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，由已知点的坐标求得抛物线解析式是解题的关键．
14．
（3 分）
（2016•安顺）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，若AB=8，CD=6，则BE=
4﹣
．
【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED=
CD=3，然后在Rt△OEC 中由勾股定理求出
OE 的长度，最后由BE=OB
OE
﹣
，即可求出BE 的长度．
【解答】解：如图，连接OC．
∵弦CD⊥AB 于点E，CD=6，
∴CE=ED=
CD=3．
∵在Rt△OEC 中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，
∴OE=
=
，
∴BE=OB
OE=4
﹣
﹣
．
故答案为4﹣
．
【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出CE、
ED 的长度．
15．（3 分）（2016•金华）如图，Rt△ABC 纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D 在边BC 上，以
AD 为折痕△ABD 折叠得到△AB′D，AB′与边BC 交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD
的长是
2 或
5
．
【分析】先依据勾股定理求得AB 的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分
为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关
于x 的方程求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC 纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵以AD 为折痕△ABD 折叠得到△AB′D，
∴BD=DB′，AB′=AB=10．
如图1 所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．
设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8
x
﹣．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8
x
﹣）2=102．
解得：x1=2，x2=0（舍去）．
∴BD=2．
如图2 所示：当∠B′ED=90°时，C 与点E 重合．
∵AB′=10，AC=6，
∴B′E=4．
设BD=DB′=x，则CD=8
x
﹣．
在Rt△′BDE 中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8
x
﹣）2+42．
解得：x=5．
∴BD=5．
综上所述，BD 的长为2 或5．
故答案为：2 或5．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x 的方程是
解题的关键．
16．（3 分）（2016 秋•江夏区期中）函数y=
的图象与直线y=
x
﹣+n 只有
两个不同的公共点，则n 的取值为
n ＞
﹣
3 或
n=﹣
．
【分析】画出图象，利用图象法解决问题．
【解答】解：函数y=
的图象如图所示，
由图象可知当n＞﹣3 时，函数y 的图象与直线y=
x
﹣+n 只有两个不同的公共点．
由
消去y 得到x2
3x
3
n=0
﹣
﹣﹣
，
△=0 时，n=﹣
，
由
，消去y 得到x2
3x
﹣
+
=0，
∵△=0，
∴直线y=
x
﹣﹣
与函数y 的图象只有两个交点，
综上所述，n 的取值范围为n＞﹣3 或n=﹣
故答案为n＞﹣3 或n=﹣
．
【点评】本题考查二次函数、一次函数的图象特征，解题的关键是理解题意，学会正确画出图
象，利用图象解决问题，学会利用方程组确定交点个数问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共72 分）
17．（8 分）（2010•西藏）解方程：x2+4x
5=0
﹣
．
【分析】通过观察方程形式，利用二次三项式的因式分解法解方程比较简单．
【解答】解：原方程变形为（x
1
﹣）（x+5）=0
∴x1=
5
﹣，x2=1．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0 后
方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0 的特点解出
方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
18．
（8 分）
（2015•江岸区校级模拟）如图，两个圆都以点O 为圆心，大圆的弦AB 交小圆于C、
D 两点．
求证：AC=BD．
【分析】作OH⊥AB 于H，根据垂径定理得到AH=BH，CH=DH，然后利用等量减等量差相等
可得到结论．
【解答】证明：作OH⊥AB 于H，如图，
则AH=BH，CH=DH，
∴AH
CH=BH
DH
﹣
﹣
，
即AC=BD．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
19．（8 分）（2016 秋•江夏区期中）江夏某村种植的水稻2010 年平均亩产500kg，2012 年平均
亩产605kg，求该村亩产量的年平均增长率．
【分析】设该村亩产量的年平均增长率为x，根据“2012 年的亩产=2010 年的亩产×1 加增长
率的平方”即可列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设该村亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：500×（1+x）2=605，
解得：x=10%或x=
210%
﹣
（舍去）．
答：该村亩产量的年平均增长率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x 的一元二次方程是解题
的关键．
20．（8 分）（2016 秋•江夏区期中）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C
（3，4）
（1）请画出将△ABC 向左平移4 个单位长度后得到的图形△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC 绕原点O 顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标；
（3）在x 轴上找一点P，使PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C 平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2））找出点A、B、C 关于原点O 的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（3）找出A 的对称点A′，连接BA′，与x 轴交点即为P．
【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标（﹣3，1）；
（2）如图所示：点A2的坐标（﹣1，﹣1）；
（3）找出A 的对称点A′（1，﹣1），
连接BA′，与x 轴交点即为P；
如图所示：点P 坐标为（2，0）．
【点评】本题考查了利用平移变换作图、轴对称﹣最短路线问题；熟练掌握网格结构准确找出
对应点的位置是解题的关键．
21．（8 分）（2016 秋•江夏区期中）已知：关于x 的方程x2+（8
4m
﹣
）x+4m2=0
（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m
值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m 的一元一次方程，
解方程即可得出m 的值，再将其代入原方程解方程即可求出方程的根；
（2）假设存在，设方程两根为x1，x2，根据根与系数的关系可得出x1+x2=4m
8
﹣、x1•x2=4m2，结
合
=136 即可得出关于m 的一元二次方程，解方程即可得出m 的值，再由方程有解
即可得出△=64
64m
﹣
≥0，解不等式即可确定m 的值，此题得解．
【解答】解：（1）∵方程x2+（8
4m
﹣
）x+4m2=0 有两个相等实根，
∴△=（8
4m
﹣
）2
4
﹣×1×4m2=64
64m=0
﹣
，
解得：m=1，
∴原方程为x2+4x+4=0，
解得：x1=x2=
2
﹣．
答：m 的值为1，此方程的根为﹣2．
（2）假设存在，设方程两根为x1，x2，
则有x1+x2=4m
8
﹣，x1•x2=4m2，
∴
=
2x
﹣
1•x2=（4m
8
﹣）2
2
﹣×4m2=8m2
64m
﹣
+64=136，
解得：m1=
1
﹣，m2=9．
∵方程有实数根，
∴△=（8
4m
﹣
）2
4
﹣×1×4m2=64
64m
﹣
≥0，
∴m≤1，
∴m 的值为﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合
=136 求出m 的值是解题的关键．
22．（10 分）（2016 秋•江夏区期中）某商场销售的某种商品每件的标价是80 元，若按标价的
八折销售，仍可盈利60%，此时该种商品每星期可卖出220 件，市场调查发现：在八折销售的
基础上，该种商品每降价1 元，每星期可多卖20 件．设每件商品降价x 元（x 为整数），每星期
的利润为y 元
（1）求该种商品每件的进价为多少元？
（2）当售价为多少时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
（3）2015 年2 月该种商品每星期的售价均为每件m 元，若2015 年2 月的利润不低于24000
元，请直接写出m 的取值范围．
【分析】（1）设成本为m 元，根据题意得：80×0.8
m=0.6m
﹣
，即可解答；
（2）根据题意得到y=（80×0.8
x
40
﹣﹣
）（220+20x）=
20x
﹣
2+260x+5280=
20
﹣
（x
6.5
﹣
）
2+6125，利用二次函数的性质，即可解答；
（3）利用每星期的利润恰为24000÷4=6000 元建立一元二次方程，求出方程的解，进一步确
定取值范围．
【解答】解：（1）设成本为m 元，根据题意得：
80×0.8
m=0.6m
﹣
解得：m=40，
∴该种商品每件的进价为40 元；
（2）y=（80×0.8
x
40
﹣﹣
）（220+20x）=
20x
﹣
2+260x+5280=
20
﹣
（x
6.5
﹣
）2+6125，
∴当x=6.5 时，y 最大，
∵x 为整数，
∴x1=7，x2=6，
∴当x=6 或7 时，y 最大为6120 元．
80×0.8
7=57
﹣
（元），80×0.8
6=58
﹣
（元），
∴当售价为57 元或58 元时，每星期的利润最大．
（3）由题意得：﹣20（x
6.5
﹣
）2+6125=24000÷4，
解得：x1=9，x2=4，
∴64
9=55
﹣
（元），64
4=60
﹣
（元），
∵2015 年2 月该种商品每星期的售价均为每件m 元，
∴55≤m≤60．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键是根据题目中的数量关系列出式子，求出函数
关系式．
23．（10 分）（2016•衢州）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD 是垂美四边形
吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD 两组对边AB，CD 与BC，AD 之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述） 垂美四边形两组对边的平方和相等
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG
和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE 长．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【解答】解：（1）四边形ABCD 是垂美四边形．
证明：∵AB=AD，
∴点A 在线段BD 的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C 在线段BD 的垂直平分线上，
∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD 是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD 中，AC⊥BD，垂足为E，
求证：AD2+BC2=AB2+CD2
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB 和△CAE 中，
，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB 是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4
，BE=5
，
∴GE2=CG2+BE2
CB
﹣
2=73，
∴GE=
．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应
用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
24．（12 分）（2016 秋•江夏区期中）如图，抛物线y=
x
﹣2
2x
﹣
+3 的图象与x 轴交于A、B 两点
（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C
（1）求A、B、C 的坐标；
（2）过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G．若FG=
AC，求点F 的坐标；
（3）E（0，﹣2），连接BE．将△OBE 绕平面内的某点逆时针旋转90°得到△O′B′E′，O、B、E 的
对应点分别为O′、B′、E′．若点B′、E′两点恰好落在抛物线上，求点B′的坐标．
【分析】（1）对于抛物线分别令x=0，y=0 即可解决问题．
（2）先求出AC 的解析式，由题意可知FG=2，设F（m，﹣m2
2m
﹣
+3），则G（m，m+3），则有|
m
﹣
2
2m
﹣
+3﹣（m+3）|=2，解方程即可．
（3）如图2 中，旋转90°后，对应线段互相垂直且相等，则BE 与B’E’互相垂直且相等．设
B’（t，﹣t 2
2t
﹣+3），则E’（t+2，﹣t2
2t
﹣+3
1
﹣）．因为E’在抛物线上，则有﹣（t+2）2
2
﹣
（t+2）+3=
t
﹣2
2t
﹣+3
1
﹣，解方程即可．
【解答】解：（1）对于抛物线y=
x
﹣2
2x
﹣
+3，
令x=0 得y=3，∴C（0，3），
令y=0，则﹣x2
2x
﹣
+3=0 解得x=
3
﹣或1，
∴A（﹣3，0）；B（1，0）；C（0，3）．
（2）如图1 中，
∵A（﹣3，0），C（03），
∴直线AC 解析式为y=x+3，OA=OC=3，
∴AC=3
，FG=
AC=2
设F（m，﹣m2
2m
﹣
+3），则G（m，m+3），
则|
m
﹣
2
2m
﹣
+3﹣（m+3）|=2，
解得m=
1
﹣或﹣2 或
或
，
则F 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）或（
，
）或（
，
）．
（3）如图2 中，旋转90°后，对应线段互相垂直且相等，则BE 与B’E’互相垂直且相等．
设B’（t，﹣t2
2t
﹣+3），则E’（t+2，﹣t2
2t
﹣+3
1
﹣）
∵E’在抛物线上，则﹣（t+2）2
2
﹣（t+2）+3=
t
﹣2
2t
﹣+3
1
﹣，
解得，t=﹣
，则B’的坐标为（﹣
，
）．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数等知识，解题的关键是灵活应用待
定系数法，学会用方程的思想思考问题，把问题转化为方程，本题体现了数形结合的思想，属
于中考常考题型．
