文档文本内容
八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共27 分，每小题3 分．在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正
确选项前的字母填在题后的括号里）
1．计算2x3•x2的结果是（ ）
A．2x
B．2x5
C．2x6
D．x5
2．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．要使分式
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
4．一个等腰三角形的两边长分别是3 和7，则它的周长为（ ）
A．17
B．15
C．13
D．13 或17
5．如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB 的是（ ）
A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCB
C．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠A=∠D
6．若
=
，则
的值为（ ）
A．1 B．C．D．
7．如图，在△ABC 中，AB=AC，且D 为BC 上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B 的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
8．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20 元，用
2700 元购买A 型陶笛与用4500 购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，依题意，下面所
列方程正确的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
9．如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条
件的点P，则点P 有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题
10．计算﹣（﹣3a2b3）2的结果是 ．
11．当1＜x＜2，化简
+
的值是 ．
12．如图，C、D 点在BE 上，∠1=∠2，BD=EC 请补充一个条件： ，使△ABC≌△FED．
13．x2+kx+9 是完全平方式，则k= ．
14．分解因式：9x3﹣18x2+9x= ．
15．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD 的长为 ．
16．如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，
分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 ．
17．如图，在△ABC 中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF∥AB
交AE 的延长线于点F，则DF 的长为 ．
三、解答题（共69 分）
18．（1）化简：（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）；
（2）解方程：（3x+1）（3x﹣1）﹣（3x+1）2=﹣8．
19．（7 分）解方程：
．
20．如图，点B、F、C、E 在同一直线上，BF=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AB=DE．
21．先化简，再求值：
÷（x﹣2﹣
），其中x=3．
22．如图，△ABC 中，A 点坐标为（2，4），B 点坐标为（﹣3，﹣2），C 点坐标为（3，1）．
（1）在图中画出△ABC 关于y 轴对称的△A′B′C′（不写画法），并写出点A′，B′，C′的坐标．
（2）求△ABC 的面积．
23．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，O 为BC 的中点，点E、D 分别为边AB、AC 上的点，且满足
OE⊥OD，求证：OE=OD．
24．今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40 万元，第二次花费60 万元．已知第一次采
购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500 元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均
价格下降了500 元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．
（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？
（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8 吨大蒜，每吨大蒜获利
1000 元；若单独加工成蒜片，每天可加工12 吨大蒜，每吨大蒜获利600 元．由于出口需要，所有采购
的大蒜必需在30 天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得
最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？
八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共27 分，每小题3 分．在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正
确选项前的字母填在题后的括号里）
1．计算2x3•x2的结果是（ ）
A．2x
B．2x5
C．2x6
D．x5
【考点】同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答．
【解答】解：2x3•x2=2x5．
故选B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图
形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁
的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够
重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够
重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选D．
【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．要使分式
有意义，则x 的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
【考点】分式有意义的条件．
【专题】常规题型．
【分析】根据分母不等于0 列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
4．一个等腰三角形的两边长分别是3 和7，则它的周长为（ ）
A．17
B．15
C．13
D．13 或17
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的
腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7 时，3+3＜7 不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰为7，底为3 时，周长为3+7+7=17．
故这个等腰三角形的周长是17．
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
5．如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB 的是（ ）
A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCB
C．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容逐个判断即可．
【解答】解：A、AB=DC，AC=DB，BC=BC，符合全等三角形的判定定理“SSS”，即能推出△ABC≌△DCB，故
本选项错误；
B、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合全等三角形的判定定理“SAS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选
项错误；
C、在△AOB 和△DOC 中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AB=DC，∠ABO=∠DCO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC 和△DCB 中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
D、具备条件AB=DC，BC=BC，∠∠A=∠D 不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是
解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6．若
=
，则
的值为（ ）
A．1 B．C．D．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据合分比性质求解．
【解答】解：∵
=
，
∴
=
=
．
故选D．
【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性
质；等比性质．
7．如图，在△ABC 中，AB=AC，且D 为BC 上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B 的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C 的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵CD=AD，
∴∠C=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出
∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C 关系．
8．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20 元，用
2700 元购买A 型陶笛与用4500 购买B 型陶笛的数量相同，设A 型陶笛的单价为x 元，依题意，下面所
列方程正确的是（ ）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】销售问题．
【分析】设A 型陶笛的单价为x 元，则B 型陶笛的单价为（x+20）元，根据用2700 元购买A 型陶笛与用
4500 购买B 型陶笛的数量相同，列方程即可．
【解答】解：设A 型陶笛的单价为x 元，则B 型陶笛的单价为（x+20）元，
由题意得，
=
．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适
的等量关系，列方程．
9．如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条
件的点P，则点P 有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定得出点P 的位置即可．
【解答】解：要使△ABP 与△ABC 全等，点P 到AB 的距离应该等于点C 到AB 的距离，即3 个单位长度，
故点P 的位置可以是P1，P3，P4三个，
故选C
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P 的位置．
二、填空题
10．计算﹣（﹣3a2b3）2的结果是 ﹣
9a
4 b 6
．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】首先利用积的乘方和幂的乘方进行计算，再加上括号前面的负号即可．
【解答】解：原式=﹣9a4b6，
故答案为：﹣9a4b6．
【点评】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方，关键是掌握积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
11．当1＜x＜2，化简
+
的值是 ﹣
2
．
【考点】约分．
【分析】根据绝对值的定义，再根据已知条件，化简式子即可得出结果．
【解答】解：因为1＜x＜2，
所以
+
=
，
故答案为：﹣2
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地化简式子，比较简单．
12．如图，C、D 点在BE 上，∠1=∠2，BD=EC 请补充一个条件：
AC=DF
，使△ABC≌△FED．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】条件是AC=DF，求出BC=DE，根据SAS 推出即可．
【解答】解：条件是AC=DF，
理由是：∵BD=CE，
∴BD﹣CD=CE﹣CD，
∴BC=DE，
在△ABC 和△FED 中，
，
∴△ABC≌△FED（SAS），
故答案为：AC=DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，
SSS．此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
13．x2+kx+9 是完全平方式，则k=
±
6
．
【考点】完全平方式．
【分析】这里首末两项是x 和3 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3 的积的2 倍，故
k=±6．
【解答】解：中间一项为加上或减去x 和3 的积的2 倍，
故k=±6．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2 倍，就构成了一个完全
平方式．注意积的2 倍的符号，避免漏解．
14．分解因式：9x3﹣18x2+9x=
9x
（
x﹣1
）
2
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式9x，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：9x3﹣18x2+9x
=9x（x2﹣2x+1）
=9x（x﹣1）2．
故答案为：9x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
15．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD 的长为
2
．
【考点】含30 度角的直角三角形．
【专题】计算题．
【分析】过P 作PE 垂直与OB，由∠AOP=∠BOP，PD 垂直于OA，利用角平分线定理得到PE=PD，由PC 与OA
平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又OP 为角平分线得到一对角相等，等量代换可得
∠COP=∠CPO，又∠ECP 为三角形COP 的外角，利用三角形外角的性质求出∠ECP=30°，在直角三角形
ECP 中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边PC 的长求出PE 的长，即为PD 的长．
【解答】解：过P 作PE⊥OB，交OB 与点E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE，
∵PC∥OA，
∴∠CPO=∠POD，
又∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠CPO=∠BOP=15°，
又∠ECP 为△OCP 的外角，
∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，
在直角三角形CEP 中，∠ECP=30°，PC=4，
∴PE=
PC=2，
则PD=PE=2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了含30°角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三角形的外角性
质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．同时注意辅助线的作法．
16．如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，
分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式
a 2 ﹣b
2 = （
a + b ）（
a﹣b
）
．
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b），根
据面积相等即可解答．
【解答】解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
17．如图，在△ABC 中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF∥AB
交AE 的延长线于点F，则DF 的长为
5.5
．
【考点】等腰三角形的判定与性质；含30 度角的直角三角形．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后
根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，然后求
出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵AB=AC，AD 是△ABC 的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=
∠BAC=
×120°=60°，
∵AE 是∠BAD 的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB=
∠BAD=
×60°=30°，
∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°，
∴∠DAE=∠F=30°，
∴AD=DF，
∵∠B=90°﹣60°=30°，
∴AD=
AB=
×11=5.5，
∴DF=5.5．
故答案为：5.5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的
一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
三、解答题（共69 分）
18．（2015 秋•黄冈校级期末）（1）化简：（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）；
（2）解方程：（3x+1）（3x﹣1）﹣（3x+1）2=﹣8．
【考点】平方差公式；多项式乘多项式；解一元一次方程．
【分析】（1）先根据平方差公式和多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可求解；
（1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项得到﹣6x﹣2=﹣8，再解一元一次方程即
可求解．
【解答】解：（1）原式=x2﹣y2﹣（2x2+5xy﹣3y2）
=﹣x2﹣5xy+2y2；
（2）去括号，得9x2﹣1﹣（9x2+6x+1）=﹣8，
9x2﹣1﹣9x2﹣6x﹣1=﹣8，
合并，得﹣6x﹣2=﹣8，
解得x=1．
【点评】本题考查了平方差公式，多项式乘多项式，完全平方公式，解一元一次方程，解一元一次方程
的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针
对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a 形式转化．
19．解方程：
．
【考点】解分式方程．
【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
【解答】解：
=1+
，
2x=x﹣2+1，
x=﹣1，
经检验x=﹣1 是原方程的解，
则原方程的解是x=﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，用到的知识点是解分式方程的步骤：去分母化整式方程，解整式方程，
最后要把整式方程的解代入最简公分母进行检验．
20．如图，点B、F、C、E 在同一直线上，BF=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AB=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由于BF=CE，利用等式性质可证BC=EF，而AB∥ED，AC∥FD，利用平行线的性质可得∠B=∠E，
∠ACB=∠DFE，从而利用ASA 可证△ABC≌△DEF，进而可得AB=DE．
【解答】证明：∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，
即BC=EF，
∵AB∥ED，
∴∠B=∠E，
∵AC∥FD，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC 和△DEF 中，
∵
，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是注意先证明ASA 所需要的三个条件．
21．先化简，再求值：
÷（x﹣2﹣
），其中x=3．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x=3 代入进行计算即可．
【解答】解：原式=
÷
=
÷
=
•
=
．
当x=3 时，原式=1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．
许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对
于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
22．如图，△ABC 中，A 点坐标为（2，4），B 点坐标为（﹣3，﹣2），C 点坐标为（3，1）．
（1）在图中画出△ABC 关于y 轴对称的△A′B′C′（不写画法），并写出点A′，B′，C′的坐标．
（2）求△ABC 的面积．
【考点】作图-轴对称变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
【解答】解：（1）如图，A′（﹣2，4），B′（3，﹣2），C′（﹣3，1）；
（2）S△ABC=6×6﹣
×5×6﹣
×6×3﹣
×1×3，
=36﹣15﹣9﹣1
，
=10
．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点
的位置是解题的关键．
23．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，O 为BC 的中点，点E、D 分别为边AB、AC 上的点，且满足
OE⊥OD，求证：OE=OD．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】连接AO，证明△BEO≌△ADO 即可．
【解答】证明：
如图，连接AO，
∵∠BAC=90°，AB=AC，O 为BC 的中点，
∴AO=BO，∠OAD=∠B=45°，
∵AO⊥BO，OE⊥OD，
∴∠AOE+∠BOE=∠AOE+∠AOD=90°，
在△AOD 和△BOE 中
∴△AOD≌△BOE，
∴OE=OD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、
SAS、ASA、AAS 和HL．
24．（2015•莱芜）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40 万元，第二次花费60 万元．
已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500 元，第二次采购时每吨大蒜的价格
比去年的平均价格下降了500 元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍．
（1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？
（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8 吨大蒜，每吨大蒜获利
1000 元；若单独加工成蒜片，每天可加工12 吨大蒜，每吨大蒜获利600 元．由于出口需要，所有采购
的大蒜必需在30 天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得
最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？
【考点】一元一次不等式组的应用；分式方程的应用．
【分析】（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x 元，则第一次采购的平均价格为（x+500）元，第二次采购
的平均价格为（x﹣500）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的大蒜数，根据采购的大蒜必需在30 天内加工完毕，蒜粉的大蒜数量不少于
加工蒜片的大蒜数量的一半，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
【解答】解：（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x 元，
由题意得，
×2=
，
解得：x=3500，
经检验：x=3500 是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨大蒜的平均价格是3500 元；
（2）由（1）得，今年的大蒜数为：
×3=300（吨），
设应将m 吨大蒜加工成蒜粉，则应将（300﹣m）吨加工成蒜片，
由题意得，
，
解得：100≤m≤120，
总利润为：1000m+600（300﹣m）=400m+180000，
当m=120 时，利润最大，为228000 元．
答：应将120 吨大蒜加工成蒜粉，最大利润为228000 元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找
出合适的等量关系，列方程求解．
