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北京市西城区示范校九年级上学期月考数学试卷（10 月份）
一、选择题（共10 小题）
1．已知二次函数y=m2x2+x+1 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞﹣
B．m≥﹣
C．m＞﹣且m≠0 D．m≥﹣且m≠0
2．已知函数y=
，则使y=k成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①因为a＞0，所以函数y 有最大值；
②该函数的图象关于直线x=
1
﹣对称；
③当x=
2
﹣时，函数y 的值等于0；
④当x=
3
﹣或x=1 时，函数y 的值都等于0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．若二次函数y=x2
6x+c
﹣
的图象过A（﹣1，y1），B，C（
，y3），则y1，y2，y3的大小关系
是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
5．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面
2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=
2x
﹣
2
B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y= x2
6．二次函数y=﹣（x
1
﹣）2+3 的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．
（1，3）C．
（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
7．已知函数y=2x2的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移2 个
单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x+2）2+2 B．y=2（x+2）2
2
﹣C．y=2（x
2
﹣）2
2
﹣D．y=2（x
2
﹣）2+2
8．二次函数y=
3x
﹣
2
6x+5
﹣
的最大值为（ ）
A．8 B．﹣8
C．2 D．﹣4
9．抛物线C1：y=x2+1 与抛物线C2关于x 轴对称，则抛物线C2的解析式为（ ）
A．y=
x
﹣2
B．y=
x
﹣2+1 C．y=x2
1
﹣
D．y=
x
﹣2
1
﹣
10．函数y=ax+1 与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共8 小题）
11．若把函数y=x2
2x
3
﹣
﹣化为y=（x
m
﹣）2+k 的形式，其中m，k 为常数，则m+k=
．
12．已知二次函数y=
x
﹣2+4x+m 的部分图象如图，则关于x 的一元二次方程﹣x2+4x+m=0 的
解是 ．
13．抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：
x …
2
1 0 1 2 …
﹣﹣
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax2+bx+c 的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线
； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．
14．将抛物线y=x2的图象向上平移1 个单位，则平移后的抛物线C1的解析式为
，在将C1以其顶点为中心，旋转180 度所得抛物线C2的解析式为 ，再将C2关
于直线y=
2
﹣对称的抛物线的解析式为 ．
15．函数y=2x2
3x+1
﹣
与y 轴的交点坐标为 ，与x 轴的交点的坐标为
， ．
16．请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ，①过点（3，1）；②当x＞0
时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2 时，函数值小于2．
17．抛物线y=
x
﹣2+bx+c 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为 ．
18．如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞
2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为﹣3 和1；④a
2b+c
﹣
＞0．其中正确的命题是 ．
（只要求填写正确命题的序号）
三、解答题（共4 小题）
19．如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m，水位上升3m，就达
到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警
戒水位后几小时淹到桥拱顶．
20．已知二次函数y=2x2
4x
6
﹣
﹣．
（1）用配方法将y=2x2
4x
6
﹣
﹣化成y=a（x
h
﹣）2+k 的形式；
在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减少？
（4）当x 取何值是，y=0，y＞0，y＜0，
（5）当0＜x＜4 时，求y 的取值范围；
（6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．
21．二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于B、C 两点，与y 轴交于A 点．
（1）根据图象确定a、b、c 的符号，并说明理由；
如果点A 的坐标为（0，﹣3），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求这个二次函数的解析式．
22．已知抛物线C1：y=x2
x+m
﹣
2
10
﹣
的顶点A 到y 轴的距离为3，与x 轴交于C、D 两点．
（1）求顶点A 的坐标；
若点B 在抛物线C1上，且
，求点B 的坐标．
北京市西城区示范校九年级上学期月考数学试卷（10 月
份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10 小题）
1．已知二次函数y=m2x2+x+1 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞﹣
B．m≥﹣
C．m＞﹣且m≠0 D．m≥﹣且m≠0
考点： 抛物线与x 轴的交点．
分析： 由于关于x 的方程m2x2+x+1=0 有两个不相等的实数根，根据定义和△的意义得到
m2≠0 且△＞0，即4（m
1
﹣）2
4m
﹣
2＞0，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．
解答： 解：∵二次函数y=m2x2+x+1 的图象与x 轴有两个交点，
∴关于x 的方程m2x2+x+1=0 有两个不相等的实数根，
m
∴
2≠0 且2
4m
﹣
2＞0，
解得m＞﹣且m≠0．
故选：C．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式△=b2
4ac
﹣
：当△＞0，方程有
两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查
了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定义．
2．已知函数y=
，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
考点： 二次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 大致画出两抛物线，注意取值范围，可得到它们的交点为（3，3），所以直线y=3 与两抛
物线有三个交点，则得到k=3．
解答： 解：如图，
当y=k 成立的x 值恰好有三个，即直线y=k 与两抛物线有三个交点，
而当x=3，两函数的函数值都为3，即它们的交点为（3，3），
所以k=3．
故选D．
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣
，
），对称轴直线x=
b2a
﹣
，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0
时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣
时，y 随x 的增大而减小；x＞﹣
时，y 随
x 的增大而增大；x=﹣
时，y 取得最小值
，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0 时，
抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣
时，y 随x 的增大而增大；x＞﹣
时，y 随x
的增大而减小；x=﹣
时，y 取得最大值
，即顶点是抛物线的最高点．
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①因为a＞0，所以函数y 有最大值；
②该函数的图象关于直线x=
1
﹣对称；
③当x=
2
﹣时，函数y 的值等于0；
④当x=
3
﹣或x=1 时，函数y 的值都等于0．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点： 二次函数的性质．
分析： 观察图象即可判断．①开口向上，应有最小值；②根据抛物线与x 轴的交点坐标来确
定抛物线的对称轴方程；③x=
2
﹣时，对应的图象上的点在x 轴下方，所以函数值小于0；④
图象与x 轴交于﹣3 和1，所以当x=
3
﹣或x=1 时，函数y 的值都等于0．
解答： 解：由图象知：
①函数有最小值；错误．
②该函数的图象关于直线x=
1
﹣对称；正确．
③当x=
2
﹣时，函数y 的值小于0；错误．
④当x=
3
﹣或x=1 时，函数y 的值都等于0．正确．
故正确的有两个，选C．
点评： 此题考查了根据函数图象解答问题，体现了数形结合的数学思想方法．
4．若二次函数y=x2
6x+c
﹣
的图象过A（﹣1，y1），B，C（
，y3），则y1，y2，y3的大小关系
是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
考点： 二次函数图象上点的坐标特征．
专题： 压轴题；函数思想．
分析： 根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（﹣1，y1），B，C（
，y3）分别代入二次函
数的解析式y=x2
6x+c
﹣
求得y1，y2，y3，然后比较它们的大小并作出选择．
解答： 解：根据题意，得
y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c；
y2=4
12+c=
8+c
﹣
﹣
，即y2=
8+c
﹣
；
y3=9+2+6
18
6
﹣
﹣
+c=
7+c
﹣
，
即y3=
7+c
﹣
；
7
∵＞﹣7＞﹣8，
7+c
∴
＞﹣7+c＞﹣8+c，
即y1＞y3＞y2．
故选B．
点评： 本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征（图象上的点都在该函数的图象上）．
解答此题时，还利用了不等式的基本性质：在不等式的两边加上同一个数，不等式仍成立．
5．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面
2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=
2x
﹣
2
B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y= x2
考点： 根据实际问题列二次函数关系式．
专题： 压轴题．
分析： 由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：
y=ax2，利用待定系数法求解．
解答： 解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；
那么应在此函数解析式上．
则﹣2=4a
即得a=﹣，
那么y=﹣x2．
故选：C．
点评： 根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解
析式上的点．
6．二次函数y=﹣（x
1
﹣）2+3 的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3）B．
（1，3）C．
（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
考点： 二次函数的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
解答： 解：二次函数y=﹣（x
1
﹣）2+3 为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选B．
点评： 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
7．已知函数y=2x2的图象是抛物线，现在同一坐标系中，将该抛物线分别向上、向左平移2 个
单位，那么所得到的新抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x+2）2+2 B．y=2（x+2）2
2
﹣C．y=2（x
2
﹣）2
2
﹣D．y=2（x
2
﹣）2+2
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 直接利用平移规律（左加右减，上加下减）求新抛物线的解析式．
解答： 解：抛物线y=2x2向上、向左平移2 个单位后的解析式为：y=2（x+2）2+2．
故选：A．
点评： 主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解
析式求得平移后的函数解析式．
8．二次函数y=
3x
﹣
2
6x+5
﹣
的最大值为（ ）
A．8 B．﹣8
C．2 D．﹣4
考点： 二次函数的最值．
分析： 利用配方法得出顶点式即可得解．
解答： 解：∵y=
3x
﹣
2
6x+5=
3
﹣
﹣（x+1）2+8，抛物线开口向下，
∴函数最大值为8．
故选：A．
点评： 此题考查二次函数的最值，利用顶点式求最值是常用的方法之一，也可直接利用顶点
坐标公式计算得出答案．
9．抛物线C1：y=x2+1 与抛物线C2关于x 轴对称，则抛物线C2的解析式为（ ）
A．y=
x
﹣2
B．y=
x
﹣2+1 C．y=x2
1
﹣
D．y=
x
﹣2
1
﹣
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 画出图形后可根据开口方向决定二次项系数的符号，开口度是二次项系数的绝对值；
与y 轴的交点为抛物线的常数项进行解答．
解答： 解：关于x 轴对称的两个函数解析式的开口方向改变，开口度不变，二次项的系数互
为相反数；对与y 轴的交点互为相反数，那么常数项互为相反数，故选D．
点评： 根据画图可得到抛物线关于x 轴对称的特点：二次项系数，一次项系数，常数项均互
为相反数．
10．函数y=ax+1 与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．
分析： 根据a 的符号，分类讨论，结合两函数图象相交于（0，1），逐一排除；
解答： 解：当a＞0 时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向上，函数y=ax+1 的图象应在一、
二、三象限，故可排除D；
当a＜0 时，函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象开口向下，函数y=ax+1 的图象应在一二四象限，故
可排除B；
当x=0 时，两个函数的值都为1，故两函数图象应相交于（0，1），可排除A．
正确的只有C．
故选C．
点评： 应该识记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关
性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
二、填空题（共8 小题）
11．若把函数y=x2
2x
3
﹣
﹣化为y=（x
m
﹣）2+k 的形式，其中m，k 为常数，则m+k= ﹣
3
．
考点： 二次函数的三种形式．
分析： 利用配方法操作整理，然后根据对应系数相等求出m、k，再相加即可．
解答： 解：y=x2
2x
3
﹣
﹣，
=（x2
2x+1
﹣
）﹣1
3
﹣，
=（x
1
﹣）2
4
﹣，
所以，m=1，k=
4
﹣，
所以，m+k=1+（﹣4）=
3
﹣．
故答案为：﹣3．
点评： 本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法的操作是解题的关键．
12．已知二次函数y=
x
﹣2+4x+m 的部分图象如图，则关于x 的一元二次方程﹣x2+4x+m=0 的
解是
x 1=
1
﹣
，
x 2=5
．
考点： 抛物线与x 轴的交点．
分析： 由二次函数y=
x
﹣2+4x+m 的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x 轴的一
个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x 轴交点的横坐标与相应的一
元二次方程的根的关系即可得到关于x 的一元二次方程﹣x2+4x+m=0 的解．
解答： 解：根据图示知，二次函数y=
x
﹣2+4x+m 的对称轴为x=2，与x 轴的一个交点为（5，
0），
根据抛物线的对称性知，抛物线与x 轴的另一个交点横坐标与点（5，0）关于对称轴对称，即
x=
1
﹣，
则另一交点坐标为（﹣1，0）
则当x=
1
﹣或x=5 时，函数值y=0，
即﹣x2+4x+m=0，
故关于x 的一元二次方程﹣x2+4x+m=0 的解为x1=
1
﹣，x2=5．
故答案是：x1=
1
﹣，x2=5．
点评： 本题考查了抛物线与x 轴的交点．解答此题需要具有一定的读图的能力．
13．抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如下表：
x …
2
1 0 1 2 …
﹣﹣
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是 ①③④ ．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为（3，0）； ②函数y=ax2+bx+c 的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线
； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．
考点： 抛物线与x 轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．
专题： 压轴题；图表型．
分析： 根据表中数据和抛物线的对称性，可得到抛物线的开口向下，当x=3 时，y=0，即抛物
线与x 轴的交点为（﹣2，0）和（3，0）；因此可得抛物线的对称轴是直线x=3﹣= ，再根据抛
物线的性质即可进行判断．
解答： 解：根据图表，当x=
2
﹣，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3 时，y=0，即抛物线与x 轴
的交点为（﹣2，0）和（3，0）；
∴抛物线的对称轴是直线x=3﹣= ，
根据表中数据得到抛物线的开口向下，
∴当x= 时，函数有最大值，而不是x=0，或1 对应的函数值6，
并且在直线x= 的左侧，y 随x 增大而增大．
所以①③④正确，②错．
故答案为：①③④．
点评： 本题考查了抛物线y=ax2+bx+c 的性质：抛物线是轴对称图形，它与x 轴的两个交点是
对称点，对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点；a＜0 时，函数有最大值，在对称轴左侧，y
随x 增大而增大．
14．将抛物线y=x2的图象向上平移1 个单位，则平移后的抛物线C1的解析式为
y=x
2 +1
，
在将C1以其顶点为中心，旋转180 度所得抛物线C2的解析式为
y=
x
﹣
2 +1
，再将C2关于
直线y=
2
﹣对称的抛物线的解析式为
y=x
2
5
﹣
．
考点： 二次函数图象与几何变换．
分析： 函数y=x2的图象向上平移1 个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接
在函数上加1 可得新函数．
将其绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得
出所求的结论．
求得抛物线C2关于直线y=
2
﹣对称的抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标写出新抛物线解析
式．
解答： 解：∵抛物线y=x2的图象向上平移1 个单位，
∴平移后的抛物线C1的解析式为y=x2+1．
将抛物线C1y=x2+1 绕顶点旋转180°后，得抛物线C2的解析式为：y=
x
﹣2+1．
抛物线C2的顶点坐标是（0，1），则关于直线y=
2
﹣对称的顶点坐标是（0，﹣5），则将C2关于
直线y=
2
﹣对称的抛物线的解析式为y=x2
5
﹣．
故答案为：y=x2+1；y=
x
﹣2+1；y=x2
5
﹣．
点评： 考查二次函数图象与几何变换．抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的
问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化．
15．函数y=2x2
3x+1
﹣
与y 轴的交点坐标为 （
0 ，
1 ）
，与x 轴的交点的坐标为 （，
0 ）
，
（
1 ，
0 ）
．
考点： 抛物线与x 轴的交点．
分析： 函数y=2x2
3x+1
﹣
与y 轴的交点坐标，即为x=0 时，y 的值．当x=0，y=1．故与y 轴的
交点坐标为（0，1）；
x 轴的交点的坐标为y=0 时方程2x2
3x+1=0
﹣
的两个根为x1= ，x2=1，与x 轴的交点的坐标
为
（，0），（1，0）．
解答： 解：把x=0 代入函数可得y=1，故y 轴的交点坐标为（0，1），
把y=0 代入函数可得x= 或1，故与x 轴的交点的坐标为（，0），（1，0）．
点评： 解答此题要明白函数y=2x2
3x+1
﹣
与y 轴的交点坐标即为x=0 时y 的值；x 轴的交点
的坐标为y=0 时方程2x2
3x+1=0
﹣
的两个根．
16．请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式
y=﹣
x+2
，①过点（3，1）；②当x＞0
时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2 时，函数值小于2．
考点： 二次函数的性质；一次函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 由题意设出函数的一般解析式，再根据①②③的条件确定函数的解析式．
解答： 解：设函数的解析式为：y=kx+b，
∵函数过点（3，1），
3k+b=1…
∴
①
∵当x＞0 时，y 随x 的增大而减小，
k
∴＜0…②，
又∵当自变量的值为2 时，函数值小于2，
当x=2 时，函数y=2k+b＜2…③
由①②③知可以令b=2，可得k=﹣，此时2k+b=﹣+2＜2，
∴函数的解析式为：y=﹣x+2．
答案为y=﹣x+2．
点评： 此题是一道开放性题，主要考查一次函数的基本性质，函数的增减性及用待定系数法
来确定函数的解析式．
17．抛物线y=
x
﹣2+bx+c 的图象如图所示，则此抛物线的解析式为
y=
x
﹣
2 +2x+3
．
考点： 待定系数法求二次函数解析式．
分析： 此图象告诉：函数的对称轴为x=1，且过点（3，0）；用待定系数法求b，c 的值即可．
解答： 解：据题意得
解得
∴此抛物线的解析式为y=
x
﹣2+2x+3．
点评： 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法，考查了
数形结合思想．
18．如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞
2a；③ax2+bx+c=0 的两根分别为﹣3 和1；④a
2b+c
﹣
＞0．其中正确的命题是 ①③ ．（只
要求填写正确命题的序号）
考点： 二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x 轴的交点．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据﹣
=
1
﹣，推出b=2a；根据图象关于对
称轴对称，得出与X 轴的交点是（﹣3，0），（1，0）；由a
2b+c=a
2b
a
b=
3b
﹣
﹣
﹣﹣
﹣
＜0，根据
结论判断即可．
解答： 解：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；
﹣
=
1
﹣，
b=2a
∴
，∴②错误；
根据图象关于对称轴x=
1
﹣对称，
与X 轴的交点是（﹣3，0），（1，0），∴③正确；
b=2a
∵
＞0，
b
∴﹣＜0，
a+b+c=0
∵
，
c=
a
b
∴
﹣﹣，
a
2b+c=a
2b
a
b=
3b
∴﹣
﹣
﹣﹣
﹣
＜0，
∴④错误．
故答案为：①③．
点评： 本题主要考查对二次函数与X 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图
象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键．
三、解答题（共4 小题）
19．如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m，水位上升3m，就达
到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警
戒水位后几小时淹到桥拱顶．
考点： 二次函数的应用．
分析： 以AB 为x 轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知B、D 可得y 的解析式，从
而求出OM 的值．又因为MN=OM
ON
﹣
，故可求t 的值．
解答： 解：根据题意建立坐标系如下：
设抛物线解析式为：y=ax2+h，
又∵B（4，0），D
∴
，
解得：
，
y=
∴
﹣x2+4，
M
∴
（0，4）即OM=6m
MN=OM
ON=31
∴
﹣
，
则t=
=5（小时）．
答：水过警戒线后5 小时淹到拱桥顶．
点评： 本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
20．已知二次函数y=2x2
4x
6
﹣
﹣．
（1）用配方法将y=2x2
4x
6
﹣
﹣化成y=a（x
h
﹣）2+k 的形式；
在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减少？
（4）当x 取何值是，y=0，y＞0，y＜0，
（5）当0＜x＜4 时，求y 的取值范围；
（6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．
考点： 二次函数的三种形式；二次函数的图象；二次函数的性质．
分析： （1）直接利用配方法得出函数顶点式即可；
利用顶点式得出顶点坐标，进而得出函数与坐标轴交点进而画出函数图象；
（3）利用函数顶点式得出对称轴进而得出答案；
（4）利用函数图象得出答案即可；
（5）利用x=1 以及x=4 是求出函数值进而得出答案；
（6）利用函数图象得出三角形面积即可．
解答： 解：（1）y=2x2
4x
6
﹣
﹣
=2（x2
2x
﹣
）﹣6
=2（x
1
﹣）2
8
﹣；
当y=0，则0=2（x
1
﹣）2
8
﹣，
解得：x1=
1
﹣，x2=3，
故图象与x 轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
当x=0，y=
6
﹣，
故图象与y 轴交点坐标为：（0，﹣6），
如图所示：
；
（3）当x＜1 时，y 随x 的增大而减少；
（4）当x=1 或﹣3 时，y=0，
当x＜﹣1 或x＞3 时，y＞0，
当﹣1＜x＜3 时；y＜0；
（5）当0＜x＜4 时，
x=1 时，y=
8
﹣，x=4 时，y=10，
故y 的取值范围是：﹣8≤y＜10；
（6）如图所示：
函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为：×4×6=12．
点评： 此题主要考查了配方法求函数顶点坐标以及利用图象判断函数值以及三角形面积求
法，正确画出函数图象是解题关键．
21．二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴交于B、C 两点，与y 轴交于A 点．
（1）根据图象确定a、b、c 的符号，并说明理由；
如果点A 的坐标为（0，﹣3），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求这个二次函数的解析式．
考点： 二次函数综合题；解三元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式．
专题： 综合题；压轴题．
分析： （1）根据开口方向可确定a 的符号，由对称轴的符号，a 的符号，结合起来可确定b 的
符号，看抛物线与y 轴的交点可确定c 的符号；
已知OA=3，解直角△OAB、△OAC 可得B、C 的坐标，设抛物线解析式的交点式，把A、B、C
代入即可求解析式．
解答： 解：（1）∵抛物线开口向上
a
∴＞0
又∵对称轴在y 轴的左侧
∴
＜0，
b
∴＞0
又∵抛物线交y 轴的负半轴
c
∴＜0
连接AB，AC
∵在Rt
AOB
△
中，∠ABO=45°
OAB=45°
∴∠
，
OB=OA
∴
B
∴（﹣3，0）
又∵在Rt
ACO
△
中，∠ACO=60°
OC=OAcot=60°=
∴
C
∴（
，0）
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）
由题意：
∴所求二次函数的解析式为y=
x2+（
﹣1）x
3
﹣．
点评： 本题考查了点的坐标求法，正确设抛物线解析式，求二次函数解析式的方法，需要学
生熟练掌握．
22．已知抛物线C1：y=x2
x+m
﹣
2
10
﹣
的顶点A 到y 轴的距离为3，与x 轴交于C、D 两点．
（1）求顶点A 的坐标；
若点B 在抛物线C1上，且
，求点B 的坐标．
考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）把抛物线一般表达式写成顶点式，知道顶点A 到y 轴的距离，进而求出m 的值，
写出抛物线顶点式表达式，求出坐标．由抛物线C1的解析式为y=（x
3
﹣）2
18
﹣
，解得C、D 两
点坐标，求出CD 的值，由B 点在抛物线C1上，
，求出B 点纵坐标，把纵坐标代
入抛物线解出横坐标．
解答： 解：（1）y=x2
x+m
﹣
2
10
﹣
=[x﹣（m+2）]2+m2
10
﹣
﹣（m+2）2
=[x﹣（m+2）]2
4m
14
﹣
﹣
∴抛物线顶点A 的坐标为（m+2，﹣4m
14
﹣
）
由于顶点A 到y 轴的距离为3，
|m+2|=3
∴
m=1
∴
或m=
5
﹣
∵抛物线与x 轴交于C、D 两点，
m=
5
∴
﹣舍去．
m=1
∴
，
∴抛物线顶点A 的坐标为（3，﹣18）．
∵抛物线C1的解析式为y=（x
3
﹣）2
18
﹣
，
∴抛物线C1与x 轴交C、D 两点的坐标为（
，0），（
，0），
CD=
∴
，
B
∵
点在抛物线C1上，
，设B（xB，yB），则yB=±2，
把yB=2 代入到抛物线C1的解析式为y=（x
3
﹣）2
18
﹣
，
解得
或
，
把yB=
2
﹣代入到抛物线C1的解析式为y=（x
3
﹣）2
18
﹣
，
解得xB=
1
﹣或xB=7，
B
∴
点坐标为，（﹣2
，2），（﹣1，﹣2），（7，﹣2）
点评： 本题是二次函数的综合应用题，考查抛物线的顶点坐标公式，会求解抛物线上的点的
坐标．此题不是很难，但做题时也要小心仔细．
