文档文本内容
1
二次函数的图象
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__________________________________________________________________________________
1、能利用描点法作出二次函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质，建立二次函
数表达式与图象之间的联系；
2、经历探索二次函数图象的过程，进一步培养数形结合的数学思想与学习方法；
3、通过探讨作图激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质．
1．二次函数的图象
（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①_______：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x 值，求出函数值，列表．
②_______：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③_______：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两
侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲
线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物
线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|
|个单位，
再向上或向下平移|
|个单位得到的．
2．二次函数图象与系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a 决定抛物线的______和_______．
当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大，
开口就越___．
②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．
当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴
右．（简称：左同右异）
③．常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c）．
④抛物线与x 轴交点个数．
2
=b
△
2
4ac
﹣
＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；△=b2
4ac=0
﹣
时，抛物线与x 轴有1 个交点；
△=b2
4ac
﹣
＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．
3．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状____，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：
一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；
二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
参考答案：
1.（1）①列表；②描点；③连线；
2. ① 开口方向 大小 小
3. 不变
1. 动点的二次函数图象．
【例1】（2014•北京望京陈经纶中学期末）如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，∠B=45°，底边
AB=5，高AD=3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM AB
⊥
于M，EN AD
⊥
于N，设
BM=x，矩形AMEN 的面积为y，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）
【解析】利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案．
解：根据已知可得：点E 在未到达C 之前，y=x（5
x
﹣）=5x
x
﹣2；且x≤3，当x 从0 变化到2.5 时，
y 逐渐变大，当x=2.5 时，y 有最大值，当x 从2.5 变化到3 时，y 逐渐变小，到达C 之后，y=3
（5
x
﹣）=15
3x
﹣
，x＞3，根据二次函数和一次函数的性质．
故选：A．
练1. 如图，等腰直角三角形ABC（∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为4cm，CA
与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右平移，直到C 点与N 点重合
时为止，设△ABC 与正方形MNPQ 的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA 的长
度为xcm，则y 与x 之间的函数关系大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】动点问题的函数图象；二次函数的图象．
3
解：当x≤4cm 时，重合部分是边长是x 的等腰直角三角形，面积y= x2，是一个开口向上的二次函
数；当x＞4 时，重合部分是直角梯形，面积y=8﹣（x
4
﹣）2，即y=﹣x2+4x，是一个开口
向下的二次函数．
故选B．
2.二次函数图象的象限分布．
【例2】（2015•山东淄博三中月考）已知y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则y=ax+b 的图象一定过（
）
A．第一，二，三象限
B．第一，二，四象限
C．第二，三，四象限 D．第一，三，四象限
【解析】由抛物线开口向上得到a＞0，由对称轴为x=﹣
＞0 可以推出b＜0，而一次函数与y 轴
的交点为（0，b），与x 轴的交点为（﹣，0），一次可以得到y=ax+b 的图象象经过的
象限．
解：∵抛物线开口向上，
a
∴＞0，
∵对称轴为x=﹣
＞0，
又∵a＞0，
b
∴＜0，
一次函数与y 轴的交点为（0，b），与x 轴的交点为（﹣，0），
故图象一定过第一，三，四象限．
故选D．
练2. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则直线y=bx+c 的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
【解析】本题可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再利用一次函数的图象与性质解答．
解：由图象可知抛物线开口向下，
a
∴＜0，
∵对称轴在y 轴右侧，
∴对称轴x=﹣
＞0，
4
b
∴＞0；
∵抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，
c
∴＜0；
b
∵＞0，c＜0
∴一次函数y=bx+c 的图象不经过第二象限．
故选B．
练3. 在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=
mx
﹣
2+2x+2（m 是常数，且m≠0）的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m 的正负的确定，
对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0 时，开口向上；当a＜0 时，开口向下．对称轴为x=
，与y 轴的交点坐标为（0，c）．
解：逐项分析
A、由函数y=mx+m 的图象可知m＜0，即函数y=
mx
﹣
2+2x+2 开口方向朝上，与图象不符，故A 选
项错误；
B、由函数y=mx+m 的图象可知m＜0，对称轴为x=
=
= ＜0，则对称轴应在y 轴左侧，
与图象不符，故B 选项错误；
C、由函数y=mx+m 的图象可知m＞0，即函数y=
mx
﹣
2+2x+2 开口方向朝下，与图象不符，故C 选
项错误；
D、由函数y=mx+m 的图象可知m＜0，即函数y=
mx
﹣
2+2x+2 开口方向朝上，对称轴为
x=
= ＜0，则对称轴应在y 轴左侧，与图象相符，故D 选项正确；
3. 二次函数的图象．
【例3】（2014•四川绵阳一中期中）在同一坐标系中，作出函数y=kx2和y=kx
2
﹣（k≠0）的图象，
只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】根据题意，分k＞0 与k＜0 两种情况讨论，结合一次函数、二次函数的图象与系数的关系，
分析选项可得答案．
解：根据题意，
当k＞0 时，函数y=kx2开口向上，而y=kx
2
﹣的图象过一、三、四象限，
当k＜0 时，函数y=kx2开口向下，而y=kx
2
﹣的图象过二、三、四象限，
分析选项可得，只有B 符合，
故选B．
5
练4. 二次函数y=2（x+2）2
1
﹣的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．
解：∵a=2＞0，
∴抛物线开口方向向上；
∵二次函数解析式为y=2（x+2）2
1
﹣，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x=
2
﹣．
故选C．
4．二次函数图象与系数的关系．
【例4】（2014•上海闸北区24 校联考）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正
确的是（ ）
A．a＞0 B．c＜0
C．b2
4ac
﹣
＜0 D．a+b+c＞0
【解析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点得出c 的值，然后根据抛
物线与x 轴交点的个数及x=1 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解：A、由二次函数的图象开口向下可得a＜0，故选项错误；
B、由抛物线与y 轴交于x 轴上方可得c＞0，故选项错误；
C、由抛物线与x 轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0 的根的判别式b2
4ac
﹣
＞0，故选项错
误；
D、把x=1 代入y=ax2+bx+c 得：y=a+b+c，由函数图象可以看出x=1 时二次函数的值为正，正
确．
故选D．
练5. 如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=
1
﹣．给出
四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a
b+c=0
﹣
；④5a＜b．其中正确结论是（ ）
6
A．②④ B．①④
C．②③
D．①③
【解析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x=
=
1
﹣可以判定②错误；由图象与x 轴有交点，对称轴为x=
=
1
﹣，与y 轴的交点
在y 轴的正半轴上，可以推出b2
4ac
﹣
＞0，即b2＞4ac，①正确；由x=
1
﹣时y 有最大值，
由图象可知y≠0，③错误．然后即可作出选择．
解：①∵图象与x 轴有交点，对称轴为x=
=
1
﹣，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x 轴有两个交点，
b
∴2
4ac
﹣
＞0，
即b2＞4ac，正确；
②∵抛物线的开口向下，
a
∴＜0，
∵与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
c
∴＞0，
∵对称轴为x=
=
1
﹣，
2a=b
∴
，
2a+b=4a
∴
，a≠0，
错误；
x=
1
③∵
﹣时y 有最大值，
由图象可知y≠0，错误；
④把x=1，x=
3
﹣代入解析式得a+b+c=0，9a
3b+c=0
﹣
，两边相加整理得
5a
b=
c
﹣
﹣＜0，即5a＜b．
故选B．
5．二次函数自变量的取值范围；
【例5】（2014 秋•天津蓟县中学期末）函数y=ax2
2x+1
﹣
和y=ax+a（a 是常数，且a≠0）在同一直
角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
解：A、由一次函数y=ax+a 的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c 的图象应该开口向下，
故选项错误；
B、由一次函数y=ax+a 的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c 的图象应该开口向下，
故选项错误；
C、由一次函数y=ax+a 的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c 的图象应该开口向上，
对称轴x=﹣
＞0，故选项正确；
7
D、由一次函数y=ax+a 的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴x=﹣
＜0，
故选项错误．故选C．
练7．抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=ax+b 的大致图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】可先根据一次函数的图象判断a、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断
正误．
解：由这四个选项中的二次函数图象，开口向上，可判断a＞0，
对称轴在y 轴的左侧，a 与b 的符号相同，
a
∴＞0，b＞0
∴直线过第一二三象限，
故选A．
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2
4ac
﹣
＞
0，其中正确的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个
D．3 个
2．二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，则点M（b，）在（ ）
8
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
3．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则a、b、c 满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0
4．抛物线y=
x
﹣2+bx+c 的部分图象如图所示，若y＞0，则x 的取值范围是 ．
5．已知抛物线y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，若y＞0，则x 的取值范围是 ．
6．如图，⊙O 的半径为2，C1是函数y= x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面
积是 ．
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9
_________________________________________________________________________________
1．若二次函数y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则S=a+b+c 的变
化范围是（ ）
A．0＜s＜2
B．S＞1 C．1＜S＜2 D．﹣1＜S＜1
2．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列6 个代数式：ab，ac，a+b+c，a
b+c
﹣
，
2a+b，2a
b
﹣中，其值为正的式子的个数是（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
3．二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下面四个结论中正确的结论有（ ）
ac
①
＜0；②ab＞0；③2a＜b；④a+c＞b；
4a+2b+c
⑤
＞0；⑥a+b+c＞0．
A．两个 B．三个 C．四个
D．五个
4．二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，根据图象可得a，b，c 与0 的大小关系是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0
B．a＞0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
5．已知b＞0 时，二次函数y=ax2+bx+a2
1
﹣的图象如下列四个图之一所示：
根据图象分析，a 的值等于（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
6．二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
10
A．a＞0 B．b＞0
C．c＜0 D．abc＞0
7．二次函数y=ax2+bx+c 的图象过原点，且与x 轴的正半轴相交，则下列各式正确的（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．c=0，ab＜0 C．a≠0，b＜0，c=0 D．a≠0，b≥0，c=0
8．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a
b+c
﹣
＞0；③abc＜
0；④2a+b=0．其中正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9．已知a＜0，b＞0，那么抛物线y=ax2+bx+2 的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么点（
）在平面直角坐标系中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则a，b，c 满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0，b2
4ac
﹣
＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0，b2
4ac
﹣
＞0
C．a＜0，b＞0，c＞0，b2
4ac
﹣
＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0，b2
4ac
﹣
＞0
12．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c 的图象时，列了如下表格：
x
…
2
﹣
1
﹣
0
1
2
…
y
…
4
﹣
2
﹣
…
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c 在x=3 时，y= ．
13．如图是二次函数y=a（x+1）2+2 图象的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是
．
11
14．抛物线y=ax2+bx+c 过点A（1，0），B（3，0），则此抛物线的对称轴是直线x=
．
15．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2
3x+a
﹣
2
1
﹣的图象，那么a 的值是 ．
16．二次函数y=ax2+bx+c 的部分对应值如下表：
x…﹣
3
2
﹣ 0 1 3 5…
y… 7 0 ﹣
8
9
﹣﹣
5
7 …
二次函数y=ax2+bx+c 图象的对称轴为x= ，x=2 对应的函数值y= ．
12
参考答案：
当堂检测
1.
【分析】由抛物线的开口向下得到a＜0，由此判定①错误；
由抛物线与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上得到c＞0，由此判定②正确；
由抛物线与x 轴有两个交点得到b2
4ac
﹣
＞0，由此判定③正确．
所以有2 个正确的．
【解答】解：①∵抛物线的开口向下，
a
∴＜0，错误；
②∵抛物线与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，
c
∴＞0，正确；
③∵抛物线与x 轴有两个交点，
b
∴2
4ac
﹣
＞0，正确．
∴有2 个正确的．
故选C．
2．
【分析】由抛物线的开口向下得到a＜0，由与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上得到c＞0，进一步得
到＜0，由对称轴为x=
＞0 可以推出b＞0，最后即可确定点M（b，）的位置．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
a
∴＜0，
∵与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，
c
∴＞0，
∴＜0，
∵对称轴为x=
＞0，
a
∴、b 异号，即b＞0，
∴点M（b，）在第四象限．
故选D．
3．
13
【分析】由于开口向下可以判断a＜0，由与y 轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴x=﹣
＜
0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．
【解答】解：根据二次函数图象的性质，
∵开口向下，
a
∴＜0，
∵与y 轴交于正半轴，
c
∴＞0，
又∵对称轴x=﹣
＜0，
b
∴＜0，
所以A 正确．
故选A．
4．
【分析】根据抛物线的对称轴为x=
1
﹣，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结
合图象求出y＞0 时，x 的范围．
【解答】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=
1
﹣，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y＞0 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
5．
【分析】由图可知，该函数的对称轴是x=1，则x 轴上与﹣1 对应的点是3．观察图象可知y＞0 时x
的取值范围．
【解答】解：已知抛物线与x 轴的一个交点是（﹣1，0）对称轴为x=1，
根据对称性，抛物线与x 轴的另一交点为（3，0），
观察图象，当y＞0 时，﹣1＜x＜3．
6．
【分析】不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积．
【解答】解：由图形观察可知，把x 轴上边的阴影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，
则阴影部分的面积s=
=2π．
故答案为：2π．
家庭作业
1．
【分析】由二次函数的解析式可知，当x=1 时，所对应的函数值y=s=a+b+c．把点（0，1），（﹣
1，0）代入y=ax2+bx+c，得出c=1，a
b+c=0
﹣
，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图
并判断出a 与b 的符号，进而求出S=a+b+c 的变化范围．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限，
且经过点（0，1），（﹣1，0），
∴易得：c=1，a
b+c=0
﹣
，a＜0，b＞0，
由a=b
1
﹣＜0 得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b=a+1＞0 得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，
∴由①②得：﹣1＜a+b＜1，且c=1，
得到0＜a+b+c＜2，
14
0
∴＜s＜2．
故选A．
2．
【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上可以推出c＜0，然后就可
以判定ac 的符号，对称轴为x=
＞0 可以判定ab 的符号；由于当x=1 时，y=a+b+c＞
0，当x=
1
﹣时，y=a
b+c
﹣
＜0；由对称轴为x=
＜1，a＜0 可以判定2a+b 的符号；由
a＜0，b＞0 可以判定2a
b
﹣的符号．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
a
∴＜0，
∵与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，
c
∴＜0，
ac
∴
＞0，
∵对称轴为x=
＞0，
a
∴、b 异号，
即b＞0，
ab
∴
＜0，
当x=1 时，y=a+b+c＞0，
当x=
1
﹣时，y=a
b+c
﹣
＜0，
∵对称轴为x=
＜1，a＜0，
2a+b
∴
＜0，
a
∴＜0，b＞0，
2a
b
∴
﹣＜0
∴有2 个正确．
故选A．
3．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称
轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断
【解答】解：①错误，由函数图象开口向下及与y 轴的交点在y 轴的负半轴可知，a＜0，c＜0，则
ac＞0；
②错误，由函数图象开口向下可知，a＜0，由对称轴在x 轴的正半轴上可知，﹣
＞
0，由于a＜0，故b＞0，ab＜0；
③正确，由于a＜0，b＞0，所以2a＜b；
④错误，由于a＜0，c＜0，b＞0，所以a+c＜0，故a+c＜b；
15
⑤错误，由函数图象可知对称轴x=﹣
＞0，0＜﹣
＜1，因为a＜0，所以4a+2b＜
0，因为c＜0，所以4a+2b+c＜0；
⑥正确，因为x=1 时，由函数的图象可知y＞0，所以a+b+c＞0．
故选A．
4．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，然后
根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，
c
∴＜0，
∵对称轴为x=
＞0，
a
∴、b 异号，即b＞0．
故选D．
5．
【分析】先根据所给条件和图象特征，判断出正确图形，再根据图形特征求出a 的值．
【解答】解：因为前两个图象的对称轴是y 轴，所以﹣
=0，又因为a≠0，所以b=0，与b＞0 矛盾；
第三个图的对称轴﹣
＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0 矛盾；
故第四个图正确．
由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：
a2
1=0
﹣
，
解得a=±1，
由于开口向下，
a=
1
﹣．
故选B．
6．
【分析】由抛物线的开口方向向上可以得到a＞0，由与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上可以推出c
＜0，而对称轴为x=
＞0 可以推出b＜0，由此可以确定abc 的符号．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向上，
a
∴＞0，
∵与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，
c
∴＜0，
∵对称轴为x=
＞0，
a
∴、b 异号，即b＜0，
abc
∴
＞0．
故选B．
7．
【分析】二次函数y=ax2+bx+c 的图象过原点，则可判断c=0，由对称轴公式x=
＞0，即可判
断a、b 异号．
16
【解答】解：∵y=ax2+bx+c 的图象过原点，∴c=0；
又∵x=
＞0，
∴＜0，
ab
∴
＜0．
故选B．
8．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称
轴及抛物线中自变量x=1 及x=
1
﹣的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①当x=1 时，y=a+b+c＜0，错误；
②当x=
1
﹣时，y=a
b+c
﹣
＞0，正确；
③由抛物线的开口向下知a＜0，与y 轴的交点为在y 轴原点，c=0，对称轴为x=
＜0，a、b 同号，即b＜0，因此abc=0，错误；
④∵对称轴为x=
=
1
﹣，得2a
b=0
﹣
，错误；
故选A．
9．
【分析】由a＜0，b＞0，故其图象开口向下，由对称轴x=﹣
＞0 在x 轴的正半轴，而c=2＞0，
可以得到图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，故可以确定抛物线y=ax2+bx+2 的顶点所在
象限．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+2 中，a＜0，b＞0，
∴图象开口向下，
∵对称轴x=﹣
＞0，
∴对称轴在x 轴的正半轴，
c=2
∵
＞0，
∴图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
故抛物线y=ax2+bx+2 的顶点在第一象限．
故选A．
10．
【分析】根据对称轴的位置、开口方向、与y 轴的交点的位置即可判断出a、b、c 的符号，进而求
出（，）的符号．
【解答】解：如图所示：
∵抛物线开口向上，
a
∴＞0，
又∵对称轴在y 轴左侧，
∴﹣
＜0，
b
∴＞0，
又∵图象与y 轴交于负半轴，
c
∴＜0，
17
∴＜0，＜0，
点（，）在第三象限．
故选C．
11．
【分析】根据抛物线的开口方向判定a 的符号，根据对称轴的位置来确定b 的符号，根据抛物线与
y 轴的交点位置来判断c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数可确定根的判别式．
【解答】解：由图知：
抛物线的开口向下，则a＜0；对称轴在y 轴左侧，则x=﹣
＜0，即b＜0；
抛物线交y 轴于正半轴，则c＞0；与x 轴有两个不同的交点，则b2
4ac
﹣
＞0；
故选A．
12．
【分析】由表格可知，（0，﹣2 ），（2，﹣2 ）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用
对称性求出横坐标为3 的对称点（﹣1，﹣4）即可．
【解答】解：观察表格可知，当x=0 或2 时，y=
2
﹣
，
根据二次函数图象的对称性，
（0，﹣2 ），（2，﹣2 ）是抛物线上两对称点，
对称轴为x=
=1，顶点（1，﹣2），
根据对称性，x=3 与x=
1
﹣时，函数值相等，都是﹣4．
故答案为：﹣4．
13．
【分析】由二次函数y=a（x+1）2+2 可知对称轴x=
1
﹣，从图象上看出与x 轴左侧交点为（﹣3，
0），利用二次函数的对称性可知该图在对称轴右侧与x 轴交点坐标．
【解答】解：由y=a（x+1）2+2 可知对称轴x=
1
﹣，根据对称性，
图象在对称轴左侧与x 轴交点为（﹣3，0），
所以该图在对称轴右侧与x 轴交点的坐标是（1，0）．
14．
【分析】抛物线过点A（1，0），B（3，0），纵坐标相等，它们是抛物线上的对称点，其对称轴
是两点横坐标的平均数．
【解答】解：∵点A（1，0），B（3，0）的纵坐标相等，
A
∴、B 两点是抛物线上的两个对称点，
∴对称轴是直线x=
=2．
15．
【分析】由图象可知，抛物线经过原点（0，0），二次函数y=ax2
3x+a
﹣
2
1
﹣与y 轴交点纵坐标为
a2
1
﹣，所以a2
1=0
﹣
，解得a 的值．再图象开口向下，a＜0 确定a 的值．
【解答】解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），
所以a2
1=0
﹣
，解得a=±1，
∵图象开口向下，a＜0，
18
a=
1
∴
﹣．
16．
【分析】①由表格的数据可以看出，x=
3
﹣和x=5 时y 的值相同都是7，所以可以判断出，点
（﹣3，7）和点（5，7）关于二次函数的对称轴对称，利用公式：x=
可求对称轴；
②利用表格中数据反映出来的对称性，结合对称轴x=1，可判断出x=2 时关于直线x=1 对称
的点为x=0，故可求出y=
8
﹣．
【解答】解：①∵x=
3
﹣和x=5 时，y=7，∴对称轴x=
=1；
x=2
②
的点关于对称轴x=1 对称的点为x=0，
x=0
∵
时，y=
8
﹣，
x=2
∴
时，y=
8
﹣．
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