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二次函数的图象
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1、能利用描点法作出二次函数的图象，并根据图象认识和理解二次函数的性质，建立二次函
数表达式与图象之间的联系；
2、经历探索二次函数图象的过程，进一步培养数形结合的数学思想与学习方法；
3、通过探讨作图激发学生学习数学的兴趣，通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质．
1．二次函数的图象
（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：
①_______：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x 值，求出函数值，列表．
②_______：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③_______：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两
侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲
线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物
线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移|
|个单位，
再向上或向下平移|
|个单位得到的．
2．二次函数图象与系数的关系
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a 决定抛物线的______和_______．
当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大，
开口就越___．
②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．
当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴
右．（简称：左同右异）
③．常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c）．
④抛物线与x 轴交点个数．
2
=b
△
2
4ac
﹣
＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；△=b2
4ac=0
﹣
时，抛物线与x 轴有1 个交点；
△=b2
4ac
﹣
＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．
3．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状____，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：
一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；
二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
1. 动点的二次函数图象．
【例1】（2014•北京望京陈经纶中学期末）如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，∠B=45°，底边
AB=5，高AD=3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM AB
⊥
于M，EN AD
⊥
于N，设
BM=x，矩形AMEN 的面积为y，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）
练1. 如图，等腰直角三角形ABC（∠C=90°）的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为4cm，CA
与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右平移，直到C 点与N 点重合
时为止，设△ABC 与正方形MNPQ 的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycm2，MA 的长
度为xcm，则y 与x 之间的函数关系大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.二次函数图象的象限分布．
【例2】（2015•山东淄博三中月考）已知y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则y=ax+b 的图象一定过（
）
A．第一，二，三象限
B．第一，二，四象限
C．第二，三，四象限 D．第一，三，四象限
练2. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则直线y=bx+c 的图象不经过（ ）
3
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
练3. 在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=
mx
﹣
2+2x+2（m 是常数，且m≠0）的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 二次函数的图象．
【例3】（2014•四川绵阳一中期中）在同一坐标系中，作出函数y=kx2和y=kx
2
﹣（k≠0）的图象，
只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
练4. 二次函数y=2（x+2）2
1
﹣的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．二次函数图象与系数的关系．
【例4】（2014•上海闸北区24 校联考）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正
确的是（ ）
A．a＞0 B．c＜0
C．b2
4ac
﹣
＜0 D．a+b+c＞0
4
练5. 如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=
1
﹣．给出
四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a
b+c=0
﹣
；④5a＜b．其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④
C．②③
D．①③
5．二次函数自变量的取值范围；
【例5】（2014 秋•天津蓟县中学期末）函数y=ax2
2x+1
﹣
和y=ax+a（a 是常数，且a≠0）在同一直
角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
练7．抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=ax+b 的大致图象只可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2
4ac
﹣
＞
0，其中正确的个数是（ ）
5
A．0 个 B．1 个 C．2 个
D．3 个
2．二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，则点M（b，）在（ ）
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
3．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则a、b、c 满足（ ）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0
4．抛物线y=
x
﹣2+bx+c 的部分图象如图所示，若y＞0，则x 的取值范围是 ．
5．已知抛物线y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，若y＞0，则x 的取值范围是 ．
6．如图，⊙O 的半径为2，C1是函数y= x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面
积是 ．
6
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1．若二次函数y=ax2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则S=a+b+c 的变
化范围是（ ）
A．0＜s＜2
B．S＞1 C．1＜S＜2 D．﹣1＜S＜1
2．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列6 个代数式：ab，ac，a+b+c，a
b+c
﹣
，
2a+b，2a
b
﹣中，其值为正的式子的个数是（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
3．二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下面四个结论中正确的结论有（ ）
ac
①
＜0；②ab＞0；③2a＜b；④a+c＞b；
4a+2b+c
⑤
＞0；⑥a+b+c＞0．
A．两个 B．三个 C．四个
D．五个
4．二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，根据图象可得a，b，c 与0 的大小关系是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0
B．a＞0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
7
5．已知b＞0 时，二次函数y=ax2+bx+a2
1
﹣的图象如下列四个图之一所示：
根据图象分析，a 的值等于（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
6．二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．a＞0 B．b＞0
C．c＜0 D．abc＞0
7．二次函数y=ax2+bx+c 的图象过原点，且与x 轴的正半轴相交，则下列各式正确的（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．c=0，ab＜0 C．a≠0，b＜0，c=0 D．a≠0，b≥0，c=0
8．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c＞0；②a
b+c
﹣
＞0；③abc＜
0；④2a+b=0．其中正确的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9．已知a＜0，b＞0，那么抛物线y=ax2+bx+2 的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么点（
）在平面直角坐标系中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则a，b，c 满足（ ）
8
A．a＜0，b＜0，c＞0，b2
4ac
﹣
＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0，b2
4ac
﹣
＞0
C．a＜0，b＞0，c＞0，b2
4ac
﹣
＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0，b2
4ac
﹣
＞0
12．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c 的图象时，列了如下表格：
x
…
2
﹣
1
﹣
0
1
2
…
y
…
4
﹣
2
﹣
…
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c 在x=3 时，y= ．
13．如图是二次函数y=a（x+1）2+2 图象的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是
．
14．抛物线y=ax2+bx+c 过点A（1，0），B（3，0），则此抛物线的对称轴是直线x=
．
15．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2
3x+a
﹣
2
1
﹣的图象，那么a 的值是 ．
16．二次函数y=ax2+bx+c 的部分对应值如下表：
x…﹣
3
2
﹣ 0 1 3 5…
y… 7 0 ﹣
8
9
﹣﹣
5
7 …
二次函数y=ax2+bx+c 图象的对称轴为x= ，x=2 对应的函数值y= ．
课程顾问签字： 教学主管签字：
