1
抢分练1
(时间:30 分钟,满分:24 分)
1.(12 分)(2023 湖南邵阳二模)已知双曲线C: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(0<a<10,b>0)的右顶点为A,左焦点F(-c,0)到
其渐近线bx+ay=0 的距离为2,斜率为1
3的直线l1交双曲线C 于A,B 两点,且|AB|=8√10
3
.
(1)求双曲线C 的方程.
(2)过点T(6,0)的直线l2与双曲线C 交于P,Q 两点,直线AP,AQ 分别与直线x=6 相交于M,N 两点,试问:
以线段MN 为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
2.(12 分)(2023 新高考Ⅱ,22)(1)证明:当0<x<1 时,x-x2<sin x<x;
(2)已知函数f(x)=cos ax-ln(1-x2),若x=0 是f(x)的极大值点,求a 的取值范围.
2
抢分练1
1.解 (1)∵双曲线C 的左焦点F(-c,0)到双曲线C 的一条渐近线bx+ay=0 的距离d=|bc|
√a
2+b
2=b,而
d=2,∴b=2.
∴双曲线C 的方程为x
2
a
2 - y
2
4 =1(0<a<10).
依题意直线l1的方程为y=1
3(x-a).
联立{
x
2
a
2 - y
2
4 =1,
y = 1
3 ( x -a),
消去y 整理得(36-a2)x2+2a3x-a2(a2+36)=0,
依题意36-a2≠0,Δ>0,设点A,B 的横坐标分别为xA,xB,
则xAxB=a
2(a
2+36)
a
2-36
.∵xA=a,∴xB=a(a
2+36)
a
2-36
.
∴|AB|=√1+( 1
3 )
2|xA-xB|=√10
3 |xA-xB|=8√10
3
,∴|xA-xB|=8,即|a-a(a
2+36)
a
2-36
|=8,
∵0<a<10,∴a=3,经检验,a=3 符合题意,
∴双曲线C 的方程为x
2
9 - y
2
4 =1.
(2)过定点.依题意直线l2的斜率不等于0,设直线l2的方程为x=my+6.
由{
x =my +6,
x
2
9 - y
2
4 =1,消去x 整理得(4m2-9)y2+48my+108=0,
∴4m2-9≠0,Δ1>0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则y1+y2=- 48m
4 m
2-9,y1y2=
108
4 m
2-9.
易知x1≠3,则直线AP 的方程为y=
y1
x1-3(x-3),令x=6 得y= 3 y1
x1-3,∴M(6, 3 y1
x1-3).同理可得N(6,
3 y2
x2-3).
由对称性可知,若以线段MN 为直径的圆过定点,则该定点一定在x 轴上,
设该定点为R(t,0),则⃗RM=(6-t, 3 y1
x1-3),⃗RN=(6-t, 3 y2
x2-3),
故⃗RM ·⃗RN=(6-t)2+
9 y1 y2
( x1-3)( x2-3) =(6-t)2+
9 y1 y2
(m y1+3)(m y2+3) =(6-t)2+
9 y1 y2
m
2 y1 y2+3m( y1+ y2)+9
=(6-t)2+
9×
108
4 m
2-9
m
2×
108
4 m
2-9
- 3m×48m
4 m
2-9
+9
=(6-t)2-12=0.
解得t=6-2√3或t=6+2√3.故以线段MN 为直径的圆过定点(6-2√3,0)和(6+2√3,0).
3
2.(1)证明 设h(x)=sin x-x,x∈[0,1],则h'(x)=cos x-1≤0 对∀x∈[0,1]恒成立,且仅在x=0 时有
h'(0)=0,
所以函数h(x)在[0,1]上单调递减.
所以对∀x∈(0,1),有h(x)<h(0)恒成立.
又因为h(0)=0,所以sin x-x<0 恒成立.
所以sin x<x,x∈(0,1).设g(x)=sin x-(x-x2),
则g'(x)=cos x+2x-1.令G(x)=cos x+2x-1,则G'(x)=-sin x+2>0 对∀x∈[0,1]恒成立,
所以g'(x)在x∈[0,1]上单调递增,且因为g'(0)=1+0-1=0,所以对∀x∈[0,1],g'(x)≥0 恒成立,且仅在
x=0 时有g'(0)=0,所以函数y=g(x)在[0,1]上单调递增.
所以对∀x∈(0,1),有g(x)>g(0)恒成立.又因为g(0)=0,
所以sin x+x2-x>0 对∀x∈(0,1)恒成立.
所以x-x2<sin x,x∈(0,1).
综上可知,x-x2<sin x<x,x∈(0,1)成立.
(2)解 若a≠0,当0<x<min{1,
1
|a|}时,
(ⅰ)若a>0,有a2x-a3x2<asin ax<a2x;
(ⅱ)若a<0,有a2x+a3x2<asin ax<a2x.
证明:(ⅰ)当a>0 时,由(1)知ax-a2x2<sin ax<ax,0<x<min{1,
1
|a|},所以a2x-a3x2<asin ax<a2x;
(ⅱ)当a<0 时,由(1)知-ax-(-ax)2<sin(-ax)<-ax,0<x<min{1,
1
|a|},所以-a2x-a(-ax)2>asin(-ax)>-a2x,
即a2x+a3x2<asin ax<a2x.故上述说法成立.
因为f(x)=cos ax-ln(1-x2),x∈(-1,1),所以f'(x)=-asin ax--2 x
1- x
2=-asin ax+ 2 x
1- x
2,满足f'(0)=-asin
0+0=0.因为f'(-x)=asin ax- 2 x
1- x
2=-f'(x),
所以函数f'(x)为奇函数.
①若a=0,则f'(x)= 2 x
1- x
2.
当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;
当x∈(0,1)时,f'(x)>0.
故x=0 是函数f(x)的极小值点,不符合题意.
②若a∈(√2,+∞),则当0≤x<min{1, 1
a}时,asin ax>a2x-a3x2.
所以f'(x)<-a2x+a3x2+ 2 x
1- x
2=x(
2
1- x
2 +a
3 x -a
2).
令F1(x)=
2
1- x
2+a3x-a2,0≤x<min{1, 1
a},
则F'1(x)=
4 x
(1- x
2)
2 +a3>0,故当0≤x<min{1,
1
|a|}时,F1(x)单调递增.又因为F1(0)=2-a2<0,
所以存在t1>0,使得F1(x)在(0,t1)上恒小于0,
此时f'(x)<xF1(x)<0.
又因为函数f'(x)是奇函数,所以在(-t1,0)内有f'(x)>0.
因此函数f(x)在(-t1,0)内单调递增,在(0,t1)内单调递减,所以x=0 是函数f(x)的极大值点.
③若a∈(-∞,-√2),
则当0≤x<min{1,
1
|a|}时,a2x+a3x2<asin ax<a2x.
4
所以f'(x)<-a2x-a3x2+ 2 x
1- x
2=x(
2
1- x
2 -a
3 x -a
2).
令F2(x)=
2
1- x
2-a3x-a2,则F'2(x)=
4 x
(1- x
2)
2 -a3>0,
故当0<x<min{1,
1
|a|}时,F2(x)单调递增.
又因为F2(0)=2-a2<0,
所以存在t2>0,使得F2(x)在(0,t2)上恒小于0,
此时f'(x)<xF2(x)<0.
又因为函数f'(x)是奇函数,所以在(-t2,0)内有f'(x)>0.
因此函数f(x)在(-t2,0)内单调递增,在(0,t2)内单调递减,所以x=0 是函数f(x)的极大值点.
④若a∈[-√2,√2],
则当0≤x<min{1,
1
|a|}时,asin ax<a2x.
所以f'(x)=-asin ax+ 2 x
1- x
2 > 2 x
1- x
2-a2x=x(
2
1- x
2 -a
2)≥x(
2
1- x
2 -2)>x(2-2)=0.
此时,与x=0 是函数f(x)的极小值点矛盾.
综上可知,实数a 的取值范围是(-∞,-√2)∪(√2,+∞).
