关注微信公众号：加油高三
专题五
平面向量
第十四讲向量的应用
2019
年
1.（2019 江苏12）如图，在
ABC
△
中，
是
的中点，
D
BC
E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE
交于点O .若
6
AB AC
AO EC
=
，则AB
AC
的值是 .
2.
2019
（
浙江17）已知正方形ABCD
的边长为，当每个
1
(
1,2,3,4,5,6)
i i
=
取遍1
时，
1
2
3
4
5
6
|
|
AB
BC
CD
DA
AC
BD
+
+
+
+
+
的最小值是________，最大值是
_______.
3.（
天津理
2019
14）在四边形ABCD中，
,
2 3,
5,
30
AD
BC
AB
AD
A
=
=
=
∥
，
点E 在线段CB 的延长线上，且
AE
BE
=
，则
BD AE
=
.
2010-2018
年
一、选择题
1
(2018
)
．
天津如图，在平面四边形ABCD中，
AB
BC
⊥
，
AD
CD
⊥
，
120
BAD
=
，
1
AB
AD
=
= ．若点
E 为边CD上的动点，则
uuur uur
AE BE 的最小值为
A．21
16
B
．3
2
C
．25
16
D
．3
E
D
C
B
A
关注微信公众号：加油高三
2
(2018
．
浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3
，
向量b 满足
2
4
3
0
−
+
=
b
e b
，则|
|
−
a
b 的最小值是
A．
3
1
−
B．
3
1
+
C
2
D
．
．2
3
−
3
2017
．（
新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，
1
AB = ，
2
AD =
，动点P 在以点C 为圆心且与BD
相切的圆上．若
AP
AB
AD
=
+
，则
+
的最大值为
A
3 B
．
．2 2
C．5
D
2
．
4．（ 2017 新课标Ⅱ）已知
ABC
是边长为
的等边三角形，
2
P 为平面ABC 内一点，则
(
)
PA PB
PC
+
的最小值是
A．2
−
B．
3
2
−
C．
4
3
−
D．1
−
5．（2017 浙江）如图，已知平面四边形ABCD，
AB
BC
⊥
，
2
AB
BC
AD
=
=
=
，
3
CD =
，
AC 与BD 交于点O ，记
1
I
OA OB
=
，
2
·
I
OB OC
＝
，
3
·
I
OC OD
＝
，则
O
A
B
C
D
A．
1I <
2
I <
3
I
B．
1I <
3
I <
2
I
C．
3
I <
1I <
2
I
D．
2
I <
1I <
3
I
6
2016
．（
四川）在平面内，定点
，，，
A
B
C
D 满足DA = DB = DC ，
DA DB
=
DB DC
=
DC DA
= −
2，动点
，
P
M 满足AP =1，PM =MC ，则
2
BM
的最大值
是
A．43
4
B．49
4
C．
37
6 3
4
+
D．
37
2 33
4
+
7
(2015
)
．
山东已知菱形
的边长为
ABCD
a ，
60
ABC
=
，则
BD CD
＝
A．
2
3
2 a
−
B．
2
3
4 a
−
C．
2
3
4 a
D．
2
3
2 a
关注微信公众号：加油高三
8
2015
．（
新课标）设D 为ABC
所在平面内一点，
3
BC
CD
=
，则
A．
1
4
3
3
AD
AB
AC
= −
+
B．
1
4
3
3
AD
AB
AC
=
−
C．
4
1
3
3
AD
AB
AC
=
+
D．
4
1
3
3
AD
AB
AC
=
−
9
2015
．（
福建）已知
AB
AC
⊥
，
1
AB
t
=
，
AC
t
= ，若点P 是ABC
所在平面内一
点，且
4
AB
AC
AP
AB
AC
=
+
，则
PB PC
的最大值等于
A
13 B
15 C
19 D
．
．
．
．21
10．（ 2015 四川）设四边形ABCD为平行四边形，
6
AB =
，
4
AD =
．若点
,
M N 满足
3
BM
MC
=
，
2
DN
NC
=
，则
AM NM
=
A
20 B
15 C
9 D
6
．
．
．
．
11．（2015 湖南）已知点
, ,
A B C 在圆
2
2
1
x
y
+
= 上运动，且
AB
BC
⊥
．若点P 的坐标为
(2,0) ，则
PA
PB
PC
+
+
的最大值为
A
6 B
7 C
8 D
9
．
．
．
．
12．（2014 安徽）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,a b，
|
| |
| 1
=
=
a
b
，
0
=
a b
，点Q
满足
2(
)
OQ =
+
a
b ．曲线
{ |
cos
sin ,0
2 }
C
P OP
=
=
+
a
b
≤≤
，区域
{ |0
|
|
,
}
P
r
PQ
R r
R
=
≤
≤
．若
C
为两段分离的曲线，则
A．
1
3
r
R
B．
1
3
r
R
C．
1
3
r
R
D．1
3
r
R
13．（2014 天津）已知菱形ABCD
的边长为，
2
120
BAD
?
，点,
E F 分别在边
,
BC DC
上，
BE
λBC
=
，
DF
μDC
=
.若
1
AE AF
?
，
2
3
CE CF
?
-
，则
λ
μ
+
=
A．1
2
B．2
3
C．5
6
D．7
12
14．
（2012天津）在△
中，
ABC
A=90°，AB=1，设点，
P Q满足
AP
AB
=
，
(1
)
AQ
AC
=
−
，
R
．若
2
BQ CP
=−，则=
A．1
3
B
．2
3
C．4
3
D
2
．
关注微信公众号：加油高三
15．(2012
)
安徽在平面直角坐标系中，
(0,0), (6,8)
O
P
，将向量OP
绕点
按逆时针旋转
O
3
4
后得向量OQ，则点Q 的坐标是
A．
( 7 2,
2)
−
−
B．
( 7 2, 2)
−
C．
( 4 6, 2)
−
−
D
．
( 4 6,2)
−
16．（2012 广东）对任意两个非零的平面向量
和，定义
α
β
=
．若平面向量,
a b
满足
|
| |
| 0
…
a
b
，a 与b 的夹角
(0,
)
4
，且a b 和b a 都在集合
{
|
}
2
n n
Z 中，
则a b=
A．1
2
B．
．
1
C
3
2
D．5
2
17．（ 2011 山东）设
1A ，
2
A ，
3
A ，
4
A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，
若
1
3
1
2
A A
A A
=
(∈R)，
1
4
1
2
A A
A A
=
( μ ∈R )，且1
1
2
+
=
，则
称
3
A ，
4
A 调和分割
1A ，
2
A ，已知点
( ,0)
C c
，
( ,0)
D d
，( ,c d ∈R )调和分割
点
(0,0)
A
，(1,0)
B
，则下面说法正确的是
A．C 可能是线段AB的中点
B．D 可能是线段AB的中点
C．C ，D 可能同时在线段AB 上
D．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
二、填空题
18．(2018
)
上海在平面直角坐标系中，已知点
( 10)
A −，，
(2,0)
B
，E ，F 是y 轴上的两个
动点，且
|
| 2
EF =
，则
AE BF
的最小值为______
．
19
2017
．
（
江苏）在平面直角坐标系xOy 中， ( 12,0)
A −
，(0,6)
B
，点P 在圆O ：
2
2
50
x
y
+
=
上，若
20
PA PB
≤
，则点P
的横坐标的取值范围是
．
20．（ 2017 天津）在
ABC
△
中，
60
A=
∠
，
3
AB =
，
2
AC =
．若
2
BD
DC
=
，
AE
AC
AB
=
−
(
)
R ，且
4
AD AE
= −，则的值为___________
．
21．（ 2016 年浙江）已知向量,a b，
|
| 1
=
a
，
|
| 2
=
b
，若对任意单位向量e ，均有
关注微信公众号：加油高三
|
|
|
|
6
+
„
ae
be
，则
a b的最大值是
．
22．(2015 北京)在
ABC
△
中，点M ，N 满足
2
AM
MC
=
，
BN
NC
=
．
若
MN
xAB
yAC
=
+
，则x =
； y =
．
23．（ 2015 天津）在等腰梯形ABCD中已知
,
AB
DC
∥
,
2
AB =
,
1
BC =
,
60
ABC
=
．
动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且
BE
BC
=
，
1
9
DF
DC
=
，则
AE AF
的
最小值为
．
24．
（2015 江苏）设向量
(cos
,sin
cos
)
6
6
6
k
k
k
k
=
+
a
(
0,1,2,
,12)
k =
，则
=
+
12
0
1)
(
k
k
k a
a
的值为
．
25．（ 2014 天津）已知菱形ABCD的边长为2 ，
120
BAD
=
，点E ，F 分别在边BC 、
DC 上，
3
BC
BE
=
，
DC
DF
=
．若
1
AE AF
=
，则的值为________
．
26．（ 2014 湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，
( 1,0), (0, 3), (3,0),
A
B
C
−
动点D 满
足
|
| 1
CD = ，则
|
|
OA OB
OD
+
+
的最大值是
．
27．（2012 江苏）如图，在矩形ABCD中，
2
2
AB
BC
=
=
，
，点E 为BC 的中点，点F 在
边CD上，若
2
AB
AF =
，则
AE
BF 的值是
．
28．（2012 山东）如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (
)1,0
，此
时圆上一点P 的位置在 (
)
0,0
，圆在x 轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于 (
)1,2
时，
OP 的坐标为
．
关注微信公众号：加油高三
29．（ 2010 湖南）在边长为
的正三角形
中设
1
ABC
,
2
,
3
,
BC
BD CA
CE
=
=
则
AD BE
= ______
．
三、解答题
30．
（2015 广东）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量
2
2
(
,
)
2
2
=
−
m
，
(sin ,cos )
x
x
=
n
，
(0,
)
2
x
．
（）若
1
⊥
m
n，求
tan x 的值；
（）若
2
m 与n的夹角为3
，求x 的值．
31．（
山东）已知向量
2014
(
)
(
)
,cos2
,
sin2 ,
m
x
x n
=
=
a
b
，函数
( )
f x =
a b，且
( )
y
f x
=
的图像过点
, 3
12
和点2
, 2
3
−
．
（Ⅰ）求,
m n 的值；
（Ⅱ）将
( )
y
f x
=
的图像向左平移
(
)
0
个单位后得到函数
( )
y
g x
=
的图像，若
( )
y
g x
=
图像上各最高点到点 (
)
0,3
的距离的最小值为，
1
求
( )
y
g x
=
的单调递增区间．
32．（ 2014 辽宁）在ABC
中，内角
, ,
A B C 的对边, ,
a b c ，且a
c
，已知
2
BA BC
=
，
1
cos
3
B =
， 3
b =
，求：
（Ⅰ）a 和c 的值；
（Ⅱ）
cos(
)
B
C
−
的值．
33．（
）已知
2013 江苏
(cos ,sin
)
=
a
，
(cos
,sin
)
=
b
，0
．
(1) 若
|
|
2
−
=
a
b
，求证：
⊥
a
b；
关注微信公众号：加油高三
(2) 设
(0,1)
=
c
，若
+
=
a
b
c ，求，的值．
34．（ 2013 湖南）过抛物线
2
:
2
(
0)
E x
py p
=
的焦点
作斜率分别为
F
1
2
,
k k 的两条不同的
直线1
2
,
l l ，且
1
2
2
k
k
+
=
，1l
E
与
相交于点A，，
B
2l
E
与
相交于点
，
C
D．以
，
AB
CD
为直径的圆
（
，
为圆心）的公共弦所在的直线记为
M，圆N
M
N
l ．
（）若
I
1
2
0,
0
k
k
，证明：
2
2
FM FN
p
；
（）若点
到直线
II
M
l 的距离的最小值为7 5
5
，求抛物线
的方程．
E
35．（ 2013 辽宁）设向量
(
)
(
)
3sin ,sin
,
cos ,sinx ,
0,
.
2
x
x
x
x
=
=
a
b
（）若
I
|
| |
|
=
a
b ，求x 的值；
（）设函数
II
( )
f x =
a b ，求( )
f x 的最大值．
36．（ 2012 江西）已知三点(0,0)
O
，
( 2,1)
A −
，
(2,1)
B
，曲线C 上任意一点
( , )
M x y 满足
|
|
(
)
2
MA
MB
OM
OA OB
+
=
+
+
．
（）求曲线
1
C的方程；
（）动点
2
0
0
0
(
,
)( 2
2)
Q x
y
x
−
在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l 。问：是否
存在定点
(0, )(
0)
P
t t
，使得l与
,
PA PB 都相交，交点分别为
,
D E ，且QAB
与PDE
的面积之比是常数？若存在，求t 的值．若不存在，说明理由．
37．（2011 安徽）设，点A的坐标为(1,1) ，点B 在抛物线y
x
=
上运动，点Q满足
QA
BQ
=
，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足
MP
QM
=
,
求点P 的轨迹方程．
38．（ 2010 江苏）在平面直角坐标系xoy 中，点
( 1, 2)
A −−
、
(2,3)
B
、
( 2, 1)
C −
−
．
关注微信公众号：加油高三
（）求以线段
1
AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（）设实数
2
t 满足(
OC
t
AB −
)·OC =0，求t 的值．
