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备战2022 年高考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（新高考）
第一模拟
（试卷满分150 分，考试用时120 分钟）
姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选
涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由题意
，
或
，
则
，
故
.
故选：A.
2．“
”是“
”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
【答案】A
【详解】
2
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当
时，
成立，即充分性成立，
当
时，满足
，但
不成立，即必要性不成立，
则“
“是“
“的充分不必要条件，
故选：A．
3．已知数列
是递减的等比数列，
的前
项和为
，若
，
，则
=（ ）
A．54
B．36
C．27
D．18
【答案】C
【详解】
由
，
解得
或
（舍去），
，
，
故选：C
4．已知向量
满足
，若
，则
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
依题意，
，
，由
两边平方得：
，即
，
解得
，于是得
，
3
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所以
夹角的余弦值为
.
故选：C
5．函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：因为
，
，
所以
，又
定义域为R，
所以
为R 上的偶函数，图象关于
轴对称，故排除选项C；
因为
，所以排除选项B；
又
时，
，故排除选项D；
故选：A.
6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；
“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六
艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不
相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408 种
B．240 种
C．192 种
D．120 种
【答案】A
4
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【详解】
将六艺全排列，有
种，
当“射”排在第一次有
种，
“数”和“乐”两次相邻的情况有
种，
“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有
种，
所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有
种，
故选：A.
7．已知直线
与圆
交于A，B 两点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
将直线
化为
，
则圆
的半径为
，
且圆心
到直线
的距离为
，
又因为
，
所以
，
即
，解得
.
故选：A.
8．已知函数
（
）的图象上存在点
，函数
的图象上存在点
，且
、
关于
轴对称，则实数的取值范围为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
令
，
，
，
因为
上存在关于
轴对称的点，
所以
，则
，
令
，要使有对称点，则
在
上有零点，
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，
又
，
，
所以
，
要使
在
上有零点，则
，
即
，解得
，
故选：C
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二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
9．已知
，则下列关于
，
可能满足的关系有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】
由
，则
，所以
，故
不正确，所以选项C 不正确.
由
，可得
所以
，故选项A 正确.
由
，即
，由均值不等式可得
即
，故选项B 正确.
由
，则
，故选项D 正确.
故选：ABD
10．已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
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A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AC
【详解】
根据函数的图像可知，
，且
，且
又
，选项A 正确；
，选项B 错误；
时，
，选项C 正确，选项D 错误.
故选：AC.
11．
是定义在
上的偶函数，对
，均有
，当
时，
，
则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的一个周期为
B．
C．当
时，
D．函数
在
内有
个零点
【答案】AC
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【详解】
是定义在
上的偶函数，对
，均有
，
故函数的周期为
，故选项A 正确；
，故选项B 错误；
当
时，
，则
，故选项C 正确；
易知
，
于是函数
在
内有
个零点，故选项D 错误，
故选：AC．
12．正方体
的棱长为2，E，F，G 分别为
的中点，则（ ）
A．直线
与直线
垂直
B．直线
与平面
平行
C．平面
截正方体所得的截面面积为
D．点C 到平面
的距离为
【答案】BCD
【详解】
A. 若
，因为
平面ABCD，则
，又
，所以
平面AEF，则
，则
，故错误；
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B.如图所示：
取
的中点
，连接
，易知
，又
平面AEF，
平面AEF，所以
平面
AEF，同理
平面AEF，
又
，所以平面
平面AEF，因为
平面
，所以
平面AEF，故正确；
C.如图所示：
连接
，因为E，F 分别为
的中点，则
，所以
共面，则截面为等腰梯
形
，又
，
等腰梯形的高为
，所以等腰梯形的面积为
，故正确；
D. 因为
，且
，所以点C 到平
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面
的距离为
，故正确.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．曲线
在
处的切线方程为______________．
【答案】
【详解】
因为
，所以
，
，
所以切线的斜率
，
所以切线方程为
.
故答案为：
.
14．已知
，则
___________.
【答案】
【详解】
，则展开式通项为
，
∴
时，
故答案为：
15．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中
国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有
个圆环，用
表示按照某种规则解下
个圆环所需的最少移动次银和翠玉制九连环数，且数列
满足
，
，
（
，
），则
_______．
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【答案】
【详解】
由题意，
故
各项相加，可得
即
故答案为：
16．如图所示，三棱锥
中，
，
，
，
则三棱锥
体积的最大值为_________．
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【答案】
【详解】
因为
，所以
.
因为
，
，所以
，
，
又
，所以
.
过A 作AF⊥BD 于F，连结CF，则CF⊥BD.过F 作EF⊥AC 于E.
因为
，所以
，而EF⊥AC，所以E 为AC 的中点.
因为AF⊥BD, CF⊥BD,
,所以BD⊥面ACF.
所以
.
要使三棱锥
的体积最大，只需要△ACF 的面积最大.
而
，只需EF 最大.
因为
，
所以只需AF 最大.
在△ABD 中，
所以A 在以D、B 为焦点的椭圆上,如图示：
因为AF⊥BD，由椭圆的几何性质可得，要使AF 最大，只需A 为短轴顶点，即AF 为短轴的一半.此时
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所以
.
所以
，所以
，
所以
.
即三棱锥
体积的最大值为
.
四．解答题：本小题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，
补充在下面的问题中，并解答问题.在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，且满足________.
（1）求
；
（2）若
的面积为
，
的中点为
，求
的最小值.
【答案】
（1）选①
，
由正弦定理可得
，
又因为
，可得
，
即
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，解得
.
②
，
由正弦定理可得
，
即
，
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整理可得
，
又因为
，解得
，
因为
，所以
.
③
，
由正弦定理可得
，
整理可得
，
即
，
即
，
所以
或
（舍），
即
，即
，解得
.
（2）
，
解得
，
由余弦定理可得
，
所以
，当且仅当
时，即
取等号，
所以
的最小值为
.
18．已知数列
是等差数列，
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
.
【答案】
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（1）设等差数列的公差为
，则
，即
，解得
，
（2）
，
.
19．如图，四棱锥
的底面是边长为
的菱形，
，E 为
的
中点．
（1）证明：平面
平面
；
（2）已知点F 为
上的点，
，求二面角
的余弦值．
【详解】
(1) 证明：
∵四边形
为菱形，且
∴
、
为等边三角形，
∴
∵E 为
的中点，∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
平面
，
∵
，∴
平面
，
∵
平面
，∴平面
平面
;
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(2) 解：∵
由（1）可得
，可得O 为
外心，
因
为等边三角形，O 也为
重心，
∴
，
，
以O 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，
则
∵
，∴
∴
，
，
设平面
的法向量为
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令，
，则
，即
，
设平面
的法向量为
令，
，则
，即
，
所以二面角
的余弦值为
20．很多新手拿到驾驶证后开车上路，如果不遵守交通规则，将会面临扣分的处罚，为让广大新手了解驾
驶证扣分新规定，某市交警部门结合机动车驾驶人有违法行为一次记12 分､6 分､3 分､2 分的新规定设置了
一份试卷（满分100 分），发放给新手解答，从中随机抽取了12 名新手的成绩，成绩以茎叶图表示如图所
示，并规定成绩低于95 分的为不合格，需要加强学习，成绩不低于95 分的为合格.
（1）求这12 名新手的平均成绩与方差；
（2）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，若从该市新手中任选4 名参加座谈会，用X 表示成绩合
格的人数，求X 的分布列与数学期望.
【答案】
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（1）这12 名新手的成绩分别为68，72，88，95，95，96，96，97，98，99，100，100，则平均成绩为
，
其方差为
.
（2）抽取的12 名新手中，成绩低于95 分的有3 个，成绩不低于95 分的有9 个，故抽取的12 名新手中合
格的频率为
，故从该市新手中任选1 名合格的概率为
.
X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，则
，
，
，
，
.
所以X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
.
21．已知双曲线
的左焦点为
，右顶点为
，点
是其渐近线上的一点，且
以
为直径的圆过点
，
，点
为坐标原点.
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（1）求双曲线
的标准方程；
（2）当点
在
轴上方时，过点
作
轴的垂线与
轴相交于点
，设直线
与双曲线
相交于不同的两点
、
，若
，求实数
的取值范围.
【答案】
（1）解：
，
，双曲线
的渐近线方程为
，
以
为直径的圆过点
，所以，
，
不妨取点
在
上，设点
，
，
，
因为
，则
，可得
，则点
,
，则
，
，则
，
所以，双曲线
的标准方程为
.
（2）解：由题意可知
，设
、
，
线段
中点
，联立
得
，
依题意
，即
①，
由韦达定理可得
，
，
则
，
，
，
，
，
所以，
②，
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又
③，由①②③得：
或
.
22．设函数
的导数
满足
，
.
（1）求
的单调区间；
（2）
在区间
上的最大值为
，求的值.
（3）若函数
的图象与
轴有三个交点，求的范围.
【答案】
（1）由
可得
，
因为
，
，
所以
，解得：
，
，
所以
，
，
由
即
可得：
，
由
即
可得：
或
，
所以
的单调递增区间为
，单减区间为
和
.
（2）由（1）知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
取得极小值
，
，
，
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则
在区间
上的最大值为
，
所以
.
（3）
由（1）知当
时，
取得极小值
，
当
时，
取得极大值
，
若函数
的图象与
轴有三个交点，
则
得
，解得
，
即的范围是
.
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