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备战2022 年高考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（新高考）
第五模拟
（试卷满分150 分，考试用时120 分钟）
姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求.
1．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由题意得：
，又
，
∴
.
故选：B.
2．已知
为复数的共轭复数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
解：设
，则
，
因为
故
即
则
，解得：
故
，
2
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所以
.
故选：C.
3．“冰墩墩”是2022 年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标
注隐藏款抽中的概率为
，出厂时每箱装有6 个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中k(0≤k≤6，k∈N)
个隐藏款的概率最大，则k 的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】
由题意可得小明抽中
个隐藏款的概率为
，其中
，要使得
最大，只需要
最大，则
，即
，则
，又因为
，则
，
故选：B.
4．函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【详解】
由
，得
为偶函数，故排除选项A，D；
在区间
上，令
，则
，
即
，
故
，
故
，
故
在
上为增函数.
故选：B.
5．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
故选：D.
6．
年8 月11 日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现
象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，尽管我国粮食生产连年丰收，但对粮食安全还
是始终要有危机意识，今年全球新冠肺炎疫情所带来的影响更是给我们敲响了警钟，某市有关部门为了
宣传“节约型社会”，面向该市市民开展了一次网络问卷调查，目的是了解人们对这一倡议的关注度和
支持度，得到参与问卷调查中的2000 人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分
（满分：100 分）服
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从正态分布
，则
（ ）
[附：若随机变量
服从正态分布
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
随机变量
服从正态分布
.
.
故选：D.
7．如图，双曲线
的左右焦点分别为
､
，
，以
为圆心，
为半径的圆与
两条渐近线交于
，
，
，
四点，
，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】C
【详解】
如图，连接
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因为
，故
为
的直径，故
，
，
三点共线且
.
又
，
，故
，
故
.
故选:C
8．十九世纪下半叶，集合论的创立奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构
造产物，具有典型的分形特征.仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：
将闭区间
均分为四段，去掉其中的区间段
记为第一次操作；再将剩下的三个间
，
，
分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；…如此这样，每次在上
一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段.操作过程不断地
进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于
，则需要
操作的次数
的最小值为（参考数据：
，
）（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9
【答案】B
【详解】
第一次操作去掉的区间长度为
，
第二次操作去掉3 个长度为
的区间，长度和为
，
第三次操作去掉
个长度为
的区间，长度和为
，
，
第
次操作去掉
个长度为
的区间，长度和为
，
所以进行
次操作后，所有去掉区间长度和为
，
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由题意知
，
，
故
的最小值为11，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家
哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】
对于A，若
，当
时，则可能成立
或
，故A 错误；
对于B，若
，则可能成立
或
，故B 错误；
对于C，若
，则
成立，故C 正确；
对于D，若
，则
，则可能存在
故D 错误.
故选：ABD.
10．已知某物体作简谐运动，位移函数为
，且
，则下列说法正
确的是（ ）
A．该简谐运动的初相为
B．函数
在区间
上单调递增
C．若
，则
D．若对于任意
，
，有
，则
【答案】AC
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【详解】
解：因为
，且
，
所以
，即
，所以
，
因为
，所以
所以
，
所以对于A 选项，简谐运动的初相为
，故正确；
对于B 选项，函数
在区间
上单调递增，
上单调递减，故错误；
对于C 选项，当
时，
，所以
，即
，
所以
，故正确；
对于D 选项，取
，满足
，但
，故错误
故选：AC
11.已知函数
，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数f（x）的值域为
B．当
时，y=f（x）与y=tanx 的图象有交点
C．函数
的最大值为
D．当x≥0 时，
恒成立
【答案】ACD
【详解】
对于A，
又
时，
，
时等号成立；当
时，
，
时等号成立，所以
或
，
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综上，
，故正确；
对于B，当
时，
故错误；
对于C，
时，
时，
，
结合选项A 知，
，正确；
对于D，
时，
（
可数形结合也可导数证明），正确.
故选：ACD
12．如图，边长为2 的正方形
中，E，F 分别是
的中点，将
分别沿
折起，使A，B，C 重合于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点P 到平面
的距离为
C．三棱锥
的外接球的体积为
D．二面角
的余弦值为
【答案】AB
【详解】
对于A 选项，作出图形，
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取
中点H，连接
，由原图知
和
均为等腰三角形，故
，
，又
因为
，所以
平面
，又
平面
，所以
，A 正确；
根据题意，可知
三线两两垂直，且
，在
中，
，由等积法可得
，得
，B 正
确；
由
三线两两垂直，如下图构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥
的外接球，长
方体的体对角线就是外接球的直径，设为
，则
，则
，所以所求外接球
的体积为
，C 错误；
由题意如下图，
，则
，所以
为二面角
的一个
平面角，易证
平面
，则
，即
，在
中，
，
D 错误．
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故选：AB．
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．已知
，
与
的夹角为60°，则
在
上的投影为_________.
【答案】
【详解】
解：由题意得投影为：
，
故答案为：
14．若点
是抛物线
的焦点，点
在抛物线上，且
，则
__________.
【答案】8
【详解】
是抛物线
的焦点，则
，设
，
则
，
故
，
.
故答案为：8
15．已知函数
，若
，则实数x 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
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的定义域为
，且
，即
是定义在
的偶函数，
当
时，
单调递增，则
单调递减，又
单调递增，则
单调递减，
所以
在
单调递减，
不等式
等价于
，则
，解得
，
所以实数x 的取值范围是
.
16．2021 年9 月，我国三星堆遗址出土国宝级文物“神树纹玉琮”，如图所示，该玉琮由整块灰白色
玉料加工而成，外方内圆，中空贯通，形状对称．为计算玉琮的密度，需要获得其体积等数据．已知玉
琮内壁空心圆柱的高为h，且其底面直径为d，正方体(四个面与外侧圆柱均相切)的棱长为a，且d＜a＜
h，则玉琮的体积为______．(忽略表面磨损等)
【答案】
。
【详解】
由题意可知，玉琮是由上下两个圆柱和中间一个正方体组合成的几何体挖去中间一个圆柱而形成的组合
体,
其中上下圆柱的体积为
，
正方体的体积为
，
挖去圆柱的体积为
，
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则玉琮的体积为
，
故答案为：
.
四．解答题：本小题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，在
中，角A，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
，
，
且
为
的中点，点
满足
.
（1）求
的值；
（2）求
的值.
【答案】
（1）解：在
中，
，
∴
，
∴
，
，
所以
；
（2）解：
，
由
，
得
，
所以
，
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，
所以
，
而
，
在
中，
.
18．在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并
解答．已知公差不为0 的等差数列
的前
项和为
，
是
与
的等比中项，______．
（1）求
的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】
（1）选条件①．
设等差数列
的公差为
，
则依题意得，
，所以
，得
，
所以数列
的通项公式为
；
选条件②．
设等差数列
的公差为
，
则依题意得，
，所以
，得
，
所以数列
的通项公式为
．
选条件③．
因为
是
与
的等比中项，所以
，
由
，可得
，
设等差数列
的公差为
，
则依题意得，
，所以
，得
，
所以数列
的通项公式为
．
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（2）由（1）可得
．
因为
，所以
，
.
19．如图，
平面ABC，
，
，F 为BC 的中点，E 为PC 边上的一点．
（1）求异面直线BC 与AE 所成角的大小；
（2）若二面角
的余弦值为
，求此时三棱锥
的体积．
【答案】
（1）因为
平面ABC，
平面ABC，
所以
，又
，
所以
，
，所以
平面
，
平面PAC，
则
，即异面直线BC 与AE 所成角的大小为90°.
（2）根据题意，以C 为原点，CA、CB 所在直线分别为x、y 轴，过点C 作AP 的平行线为z 轴建系
，
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在
中，由于
，且
，则
，设点E 到平面ABC 的距离为
，
则
，又
，
，
，
，
得
，
，设平面
的一个法向量为
，
得
，令
，可得
，
，即
.
平面ACF 的一个法向量
，设
的平面角为
，则
，
所以
，得
，
即点
到平面
的距离为1，又因为
，
所以
，
故三棱锥
的体积为
.
20．已知圆
，圆
，端点为原点的射线交圆
于
，交圆
于
，过
作平行（或重合）于
轴的直线，过
作平行（或重合）于
轴的直线
，与
交于点
.记
的轨
迹为曲线
.
（1）求
的方程；
（2）若点
，
是曲线
与
轴的交点
，直线
交曲线
于
，
，
，求
.
【答案】
（1）设以
轴正半轴为始边，为终边的角为
，
则
，
，
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设
，则
故
，即
，
故
的方程为
.
（2）由题意，
，
，设
，
，
将
代入
的方程整理得，
，
故
，
，
故
，而
，则
，
故
.
故由
得，
，即
，
将
，
代入整理得，
，
即
，
整理得
，解得
或
.
当
时，点
与点A 重合，不合题意，舍去，故
.
21．2021 年国庆期间，重庆百货某专柜举行庆国庆欢乐大抽奖活动，顾客到店消费1000 元及以上，可
参加一次抽奖活动．抽奖规则如下：从装有10 个形状大小完全相同的小球（1 个红球，2 个白球，7 个
黑球）的抽奖箱中，一次性抽出3 个球．其中1 红2 白，则全免单，1 红1 白1 黑，则享受5 折优惠，1
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红2 黑，则享受7 折优惠，其余情况则享受8 折优惠．
（1）若某位顾客消费价格为1000 元的商品，求该顾客实际付款金额的分布列与数学期望；
（2）若顾客通过抽奖享受8 折优惠，则每消费满1000 元售货员可获得40 元的提成；若顾客通过抽奖
享受7 折，5 折或免单优惠，则每消费满1000 元售货员可获得20 元提成．若某售货员在某天可以接待
10 名消费满1000 元，不满2000 元的顾客，则该售货员可能获得的平均提成为多少元？
【答案】
（1）该顾客实际付款金额为X 元，则X 可能为
．
；
，
则X 的分布列为：
X
0
500
700
800
P
，
所以该顾客实际付款金额的数学期望为
元．
（2）设10 名顾客中享受8 折优惠的人数为Y 人，则
，
售货员获得的提成为Z 元，
，
（元）．
答：该售货员可获得的平均提成为340 元．
22．设常数
，已知函数
．
（1）判断函数
在区间
上的单调性，并说明理由；
（2）证明：不存在负实数
使得
．
【答案】
（1）函数
在区间
上为增函数；
任取
，则
，
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因为
，
，
所以
，
，
即
，
所以函数
在区间
上为增函数；
（2）若存在负实数
，使得
，
即方程
有负实数根，
对于
，
当
且
时，因为
，
所以
，
而
，
因此，不存在负实数
使得
，
所以不存在负实数
使得
．
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