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抢分练2
(时间:30 分钟,满分:24 分)
1.(12 分)(2021 新高考Ⅱ,21)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下去,设一个这种微生物为第
0 代,经过一次繁殖后为第1 代,再经过一次繁殖后为第2 代,……,该微生物每代繁殖的个数是相互独
立的且有相同的分布列,设X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).
(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X).
(2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p 是关于x 的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x 的一
个最小正实根,求证:当E(X)≤1 时,p=1;当E(X)>1 时,p<1.
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际意义.
2.(12 分)(2023 新高考Ⅰ,22)在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点(0,1
2)的距离,记动
点P 的轨迹为W.
(1)求W 的方程;
(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD 的周长大于3√3.
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抢分练2
1.解 (1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.
(2)由题知,E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3.设f(x)=p3x3+p2x2+p1x+p0-x,
则有f(1)=p3+p2+p1+p0-1=0.
f'(x)=3p3x2+2p2x+p1-1,
则有f'(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1.
因为Δ=4p2
2+12p3(1-p1)>0,所以函数f'(x)有两个零点,则x1=-2 p2-√4 p2
2+12 p3(1- p1)
6 p3
<0,x2=
-2 p2+√4 p2
2+12 p3(1- p1)
6 p3
>0,并且因为3p3>0,所以当x<x1或x>x2时,f'(x)>0,所以函数f(x)在
区间(-∞,x1)和区间(x2,+∞)上单调递增;当x1<x<x2时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(x1,x2)上单调递减.
当E(X)≤1 时,f'(1)=E(X)-1≤0,所以必有x1<1≤x2,而当0<x<1 时,因为f'(x)<0,所以f(x)>f(1)=0,即
方程f(x)=0 在(0,1)内没有根,所以p=1 就是f(x)=0 的最小正根.
当E(X)>1 时,f'(1)=E(X)-1>0,此时,必有x2<1.因为函数f(x)在[x2,+∞)上单调递增,所以必有
f(x2)<f(1)=0.考虑到f(0)=p0>0 以及函数f(x)的连续性,由零点存在定理知在0 与1 之间必有函数
f(x)的零点,此零点就是原方程的一个正根x2,且比1 小,故p<1.
(3)意义:每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后必然灭绝,若繁殖后代的平均
数超过1,则若干代后灭绝的概率小于1.
2.解 (1) 设点P 坐标为(x,y),由题意得√x
2+( y - 1
2 )
2
=|y|,两边平方得x2+y2-y+1
4 =y2,整理,得y=x2+
1
4 ,经验证成立.故W 的方程为y=x2+1
4 .
(2)(方法一)设矩形ABCD 的顶点A(x1,y1)(x1≥0),B(x2,y2)(x2>0),D(x3,y3)在W 上,如图所示,设直线
AB 的斜率为k(k>0).
不妨将A,B 固定在y 轴及y 轴右侧.
A,B 坐标满足y2-y1=k(x2-x1),A,D 坐标满足y3-y1=-1
k (x3-x1).
又A,B,D 在抛物线上,即y1=x1
2+ 1
4 ,y2=x2
2+ 1
4 ,y3=x3
2+ 1
4 ,代入以上方程中,得x2=k-x1,x3=-1
k -x1.
矩形ABCD 的周长为2|AB|+2|AD|≥4√| AB|·| AD|,当且仅当|AB|=|AD|时等号成立,此时矩
形ABCD 为正方形.(用基本不等式将矩形周长问题转化成正方形面积问题)
要证矩形ABCD 的周长大于3√3,只需证明正方形的面积大于27
16.∵|AB|=√1+ k
2·(x2-x1),|AD|=
√
1+ 1
k
2·(x1-x3),
∴√1+ k
2·(x2-x1)=√
1+ 1
k
2·(x1-x3),得x1-x3=k(x2-x1).将x2=k-x1,x3=-1
k -x1代入x1-x3=k(x2-x1),有2x1+1
k
=k(k-2x1),
3
即k2-1
k =(2k+2)x1.∵x1≥0,∴k2-1
k ≥0.
∵k>0,∴k3≥1.∴k≥1.则|AB|=√1+ k
2·(x2-x1)=√1+k
2·(k-2x1)=√1+k
2·
k
2+1
k (k +1).
正方形面积S=|AB|2=(k
2+1)(k
2+1)
2
k
2(k +1)
2
=(k
2+1)
2
k
2
·
k
2+1
(k +1)
2 .
∵k2+1≥2k,
∴(k
2+1)
2
k
2
≥4(当k=1 时“=”成立).
∵k2+1≥2k,∴2(k2+1)≥k2+2k+1=(k+1)2,则k
2+1
(k +1)
2 ≥1
2(当k=1 时“=”成立).
则S=(k
2+1)
2
k
2
·
k
2+1
(k +1)
2 ≥2(当k=1 时“=”成立).
显然S=(k
2+1)
2
k
2
·
k
2+1
(k +1)
2 ≥2>27
16 .
即矩形ABCD 的周长大于3√3.
(方法二)不妨设A,B,C 三点在W 上,且AB⊥BC.
设A(a,a2+1
4 ),B(b,b2+1
4 ),C(c,c2+1
4 ),
则⃗AB=(b-a,b2-a2),⃗BC=(c-b,c2-b2).
由题意,知⃗AB·⃗BC=0,
即(b-a)(c-b)+(b2-a2)(c2-b2)=0.
显然(b-a)(c-b)≠0,于是1+(b+a)(c+b)=0.
此时,|b+a|·|c+b|=1.于是min{|b+a|,|c+b|}≤1.
不妨设|c+b|≤1,则a=-b- 1
b+c .
AB+BC=|b-a|·√1+(a+b)
2+|c-b|·√1+(c +b)
2
=|b-a|·√
1+
1
(c +b)
2 +|c-b|·√1+(c +b)
2
≥|b-a|·√1+(c +b)
2+|c-b|·√1+(c +b)
2
≥|c-a|·√1+(c +b)
2
=|b+c+ 1
b+c |·√1+(c +b)
2.
设x=|b+c|,f(x)=(x+1
x )·√1+ x
2,
则f(x)=(1+ x
2)
3
2
x
,
f'(x)=
3
2 (1+ x
2)
1
2 ·(2 x
2)-(1+ x
2)
3
2
x
2
=(1+ x
2)
1
2 ·(3 x
2-1- x
2)
x
2
=(1+ x
2)
1
2 ·(2 x
2-1)
x
2
.
显然,x=√2
2 为最小值点.故f(x)≥f(√2
2 )=3√3
2 .
而矩形ABCD 的周长为2(AB+BC)≥2f(x)≥3√3.
4
注意这里有两个取等条件,一个是|b+c|=1,另一个是|b+c|=√2
2 ,这显然是无法同时取到的,所以等
号不成立,命题得证.
