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专题九
解析几何
第二十八讲
抛物线
答案部分
2019
年
1．D
解析
解析
解析
解析
解析 由题意可得：
2
3
2
p
p
p
−
=
，解得
8
p =
．故选D．
2.解析
解析
解析
解析
解析（I）由抛物线
2
:
2
C x
py
= −
经过点 (
)
2, 1
−
，得
2
p =
.
所以抛物线
的方程为
C
2
4
x
y
= −
，其准线方程为
1
y = .
3.解析
解析
解析
解析
解析 设直线
(
)
(
)
1
1
2
2
3
:
,
,
,
,
2
l y
x
t A x y
B x
y
=
+
．
（）由题设得
1
3 ,0
4
F
，故
1
2
3
|
|
|
|
2
AF
BF
x
x
+
=
+
+
，由题设可得
1
2
5
2
x
x
+
=
．
由
2
3
2
3
y
x
t
y
x
=
+
=
，可得
2
2
9
12(
1)
4
0
x
t
x
t
+
−
+
=
，则
1
2
12(
1)
9
t
x
x
−
+
= −
．
从而
12(
1)
5
9
2
t −
−
=
，得
7
8
t = −
．所以l 的方程为
3
7
2
8
y
x
=
−
．
（）由
2
3
AP
PB
=
uuur
uur
可得
1
2
3
y
y
= −
．
由
2
3
2
3
y
x
t
y
x
=
+
=
，可得
2
2
2
0
y
y
t
−
+
=
．
所以
1
2
2
y
y
+
=
．从而
2
2
3
2
y
y
−
+
=
，故
2
1
1,
3
y
y
= −
=
．
代入C 的方程得
1
2
1
3,
3
x
x
=
=
．故
4 13
|
|
3
AB =
．
4．
（
解析
解析
解析
解析
解析
1）设
(
)
1
1
1
,
,
,
2
D t
A x y
−
，则
2
1
1
2
x
y
=
.
由于
y'
x
=
，所以切线DA的斜率为
1x ，故
1
1
1
1
2
y
x
x
t
+
=
−
，整理得
1
1
2
2 +1=0.
tx
y
−
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设
(
)
2
2
,
B x y
，同理可得
2
2
2
2
+1=0
tx
y
−
.
故直线AB的方程为
2
2
1
0
tx
y
−
+ =
.
所以直线AB过定点
1
(0, )
2
.
（2）由（1）得直线AB的方程为
1
2
y
tx
=
+
.
由
2
1
2
2
y
tx
x
y
=
+
=
，可得
2
2
1
0
x
tx
−
−=
.
于是
(
)
2
1
2
1 2
1
2
1
2
2 ,
1,
1
2
1
x
x
t
x x
y
y
t x
x
t
+
=
= −
+
=
+
+ =
+ ，
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
1
1
4
2
1
AB
t
x
x
t
x
x
x x
t
=
+
−
=
+
+
−
=
+
.
设
1
2
,
d d 分别为点D，E到直线AB的距离，则
2
1
2
2
2
1,
1
d
t
d
t
=
+
=
+
.
因此，四边形ADBE的面积
(
)
(
)
2
2
1
2
1
|
|
3
1
2
S
AB
d
d
t
t
=
+
=
+
+
.
设M为线段AB的中点，则
2
1
,
2
M t t
+
.
由于
EM
AB
⊥
，而
(
)
2
,
2
EM
t t
=
−
，AB 与向量
(1, )t 平行，所以
(
)
2
2
0
t
t
t
+
−
=
.解得
t=0或
1
t = .
当t =0时，S=3；当
1
t = 时，
4 2
S =
.
因此，四边形ADBE的面积为3或4 2 .
2010-2018
年
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1
D
．【解析】通解 过点 ( 2,0)
−
且斜率为2
3
的直线的方程为
2 (
2)
3
=
+
y
x
，
由
2
2 (
2)
3
4
=
+
=
y
x
y
x
，得
2
5
4
0
−
+
=
x
x
，解得
1
=
x
或
4
=
x
，所以
1
2
=
=
x
y
，或
4
4
=
=
x
y
，
不妨设
(1,2)
M
，
(4,4)
N
，易知
(1,0)
F
，所以
(0,2)
=
FM
，
(3,4)
=
FN
，所以
8
=
FM FN
．故选
．
D
优解
过点
( 2,0)
−
且斜率为2
3
的直线的方程为
2 (
2)
3
=
+
y
x
，由
2
2 (
2)
3
4
=
+
=
y
x
y
x
，得
2
5
4
0
−
+
=
x
x
，设
1
1
( ,
)
M x y
，
2
2
(
,
)
N x
y
，则
1
0
y
，
2
0
y
，根据根与系数的关
系，得
1
2
5
+
=
x
x
，1
2
4
=
x x
．易知
(1,0)
F
，所以
1
1
(
1,
)
=
−
FM
x
y
，
2
2
(
1,
)
=
−
FN
x
y
，
所以
1
2
1
2
1 2
1
2
1 2
(
1)(
1)
(
) 1 4
=
−
−
+
=
−
+
+ +
FM FN
x
x
y y
x x
x
x
x x
4 5 1 8
8
=
−+ + =
．故选
．
D
2．A【解析】由已知1l 垂直于x 轴是不符合题意，所以1l 的斜率存在设为
1k ，2l 的斜率为
2k ，
由题意有
1
2
1
k
k
= −，设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
3
3
(
,
)
D x
y
，
4
4
(
,
)
E x
y
此时直线1l 方程为
1
(
1)
y
k x
=
−
，
取方程
2
1
4
(
1)
y
x
y
k x
=
=
−
，得
2
2
2
2
1
1
1
2
4
0
k x
k x
x
k
−
−
+
=
，
∴
2
1
1
2
2
1
2
4
k
x
x
k
−
−
+
= −
2
1
2
1
2
4
k
k
+
=
同理得
2
2
3
4
2
2
2
4
k
x
x
k
+
+
=
由抛物线定义可知
1
2
3
4
|
|
|
|
2
AB
DE
x
x
x
x
p
+
=
+
+
+
+
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
4
2
4
4
4
16
4
8
2
8
16
k
k
k
k
k
k
k k
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
≥
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当且仅当
1
2
1
k
k
= −
= （或1
−）时，取得等号．
3
C
．【解析】设
(
)
(
)
2
2
, 2
,
,
P
pt
pt
M x y （不妨设
0
t
），则
2
2
, 2
2
p
FP
pt
pt
=
−
，
∵
1
3
FM
FP
=
，∴
2
2
,
2
3
6
2
,
3
p
p
p
x
t
pt
y
−
=
−
=
，∴
2
2
,
3
3
2
,
3
p
p
x
t
pt
y
=
+
=
∴
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
OM
t
k
t
t
t
=
=
=
+
+
∴
max
2
(
)
2
OM
k
=
，故选
．
C
4
B
．【解析】由题意，不妨设抛物线方程为
2
2
(
0)
y
px p
=
，由
|
| 4 2
AB =
，
|
| 2 5
DE =
，可取
4
(
,2 2)
A p
，
(
, 5)
2
p
D −
，设O为坐标原点，
由
|
| |
|
OA
OD
=
，得
2
2
16
8
5
4
p
p
+
=
+
，得
4
p =
，所以选B．
5
A
．【解析】如图，
1
1
−
−
=
=
=
AF
BF
x
x
AC
BC
S
S
A
B
ACF
BCF
，故选
．
A
6．D 【解析】当直线l 的斜率不存在时，这样的直线l
恰好有
条，即
2
5
x
r
=
，
所以0
5
r
；所以当直线l的斜率存在时，这样的直线l
有
条即可．
2
设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
0
0
(
,
)
M x
y
，则
1
2
0
1
2
0
2
2
x
x
x
y
y
y
+
=
+
=
．又
2
1
1
2
2
2
4
4
y
x
y
x
=
=
，
两式相减得
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
4(
)
y
y
y
y
x
x
+
−
=
−
，
1
2
1
2
1
2
0
4
2
AB
y
y
k
x
x
y
y
y
−
=
=
=
−
+
．
设圆心为
(5,0)
C
，则
0
0
5
CM
y
k
x
=
−
，因为直线l与圆相切，所以
0
0
0
2
1
5
y
y
x
= −
−
，
解得
0
3
x =
，于是
2
2
0
4
y
r
=
−
， 2
r >
，又
2
0
0
4
y
x
，即
2
4
12
r −
，
所以0
4
r
，又0
5
r
，
2
r
所以2
4
r
，选
．
D
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7
C
．【解析】过点Q 作
QQ
l
⊥交l 于点Q，因为
4
PF
FQ
=
，所以
|
|:|
| 3:4
PQ
PF =
，
又焦点F 到准线l
的距离为，所以
4
|
| |
| 3
QF
QQ
=
=
．故选
．
C
8．D【解析】易知抛物线中
3
2
p =
，焦点
3 ( ,0)
4
F
，直线AB 的斜率
3
3
k =
，故直线AB 的
方程为
3
3
(
)
3
4
y
x
=
−
，代人抛物线方程
2
3
y
x
=
，整理得
2
21
9
0
2
16
x
x
−
+
=
．
设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
，则
1
2
21
2
x
x
+
=
，由物线的定义可得弦长
1
2
|
|
12
AB
x
x
p
=
+
+
=
，结合图象可得O 到直线AB 的距离
3
sin30
2
8
p
d =
=
，
所以OAB
的面积
1
9
|
|
2
4
S
AB d
=
=
．
9
D
．【解析】∵
( 2,3)
A −
在抛物线
2
2
y
px
=
的准线上，∴
2
2
p
−
= −．∴
4
p =
，
∴
2
8
y
x
=
，设直线AB 的方程为
(
3)
2
x
k y
=
−
−
①，将①与
2
8
y
x
=
联立，
得
2
8
24
16
0
y
ky
k
−
+
+
=
②，则△=
2
( 8 )
4(24
16)
0
k
k
−
−
+
=
，
即
2
2
3
2
0
k
k
−
−
=
，解得
2
k =
或
1
2
k = −
（舍去），
将
2
k =
代入①②解得
8,
8
x
y
=
=
，即
(8,8)
B
，
又
(2,0)
F
，∴
4
3
BF k
=
，故选
．
D
10．C【解析】∵
2
OF =
，由抛物线的定义可得P 点的坐标 (
)
3 2, 2 6
，
∴POF
的面积为1
1
2
2 6
2 3
2
2
P
OF y
=
=
．
11．【解析】依题意可得
C
AF 所在直线方程为
1
2
x
y
+
= 代入
2
4
x
y
=
得
3
5
2
y
−
=
，
又
|
|:|
| (1
):(1
)
1: 5
FM
MN
y
y
=
−
+
=
．
12．C【解析】设
2
2
2
:
(
0)
C x
y
a
a
−
=
交
x
y
16
2 =
的准线:
4
l x = −
于
( 4,2 3)
A −
( 4, 2 3)
B −−
得：
2
2
2
( 4)
(2 3)
4
2
2
4
a
a
a
= −
−
=
=
=
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13．D【解析】因为双曲线
1
C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的离心率为2,
所以
2
3 .
c
b
a
a
=
=
又渐近线方程为
0,
bx
ay
=
所以双曲线
1
C 的渐近线
方程为
3
0.
x
y
=
而抛物
2
2
:
2
(
0)
C
x
py p
=
的焦点坐标为
(0,
),
2
p
所以有
2
2
|
|
2
2
8
( 3)
1
p
p
=
=
+
.
D
故选
．
14．C【解析】设抛物线的方程为
2
2
y
px
=
，易知
|
| 2
12
AB
p
=
=
，即
6
p =
，
∵点P 在准线上，∴P 到AB 的距离为
6
p =
，所以ABP
面积为
，故选
．
36
C
15．2【解析】解法一由题意知抛物线的焦点为
(1,0) ，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方
程为
(
1)
y
k x
=
−
(
0)
k
，由
2
(
1)
4
y
k x
y
x
=
−
=
，消去y 得
2
2
(
1)
4
k
x
x
−
=
，
即
2
2
2
2
(2
4)
0
k x
k
x
k
−
+
+
=
，设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
则
2
1
2
2
2
4
k
x
x
k
+
+
=
，
1
2 1
x x =
．由
2
(
1)
4
y
k x
y
x
=
−
=
，消去x 得
2
1
4(
1)
y
y
k
=
+
，
即
2
4
4
0
y
y
k
−
−
=
，则
1
2
4
y
y
k
+
=
，
1
2
4
y y = −
，
由
90
AMB
=
，得
1
1
2
2
(
1,
1) (
1,
1)
MA MB
x
y
x
y
=
+
−
+
−
1
2
1
2
1
2
1
2
4
1
(
) 1
0
x x
x
x
y y
y
y
=
+
+
+ +
−
+
+ =
，
将
2
1
2
2
2
4
k
x
x
k
+
+
=
，
1
2 1
x x =
与1
2
4
y
y
k
+
=
，
1
2
4
y y = −
代入，得
2
k =
．
解法二设抛物线的焦点为
F ，
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，则
2
1
1
2
2
2
4
4
y
x
y
x
=
=
，
所以
2
2
1
2
1
2
4(
)
y
y
x
x
−
=
−
，则
1
2
1
2
1
2
4
y
y
k
x
x
y
y
−
=
=
−
+
，
取AB的中点
0
0
(
,
)
M x
y
，分别过点A ，B 做准线
1
x = −
的垂线，垂足分别为A，B，
又
90
MB
=
，点M 在准线
1
x = −上，
关注微信公众号：加油高三
所以
1
1
1
|
|
|
|
(|
|
|
|)
(|
|
|
|)
2
2
2
MM
AB
AF
BF
AA
BB
=
=
+
=
+
．
又M为AB的中点，所以MM 平行于x 轴，且
0
1
y = ，所以
1
2
2
y
y
+
=
，
所以
2
k =
．
16．6【解析】如图所示，不妨设点
位于第一象限，设抛物线的准线与
M
x 轴交于点F' ，
作
MB
l
⊥
与点B ，
NA
l
⊥
与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为
2
x = −，则
2,
4
AN
FF'
=
=
，在直角梯形ANFF' 中，中位线
'
3
2
AN
FF
BM
+
=
=
，由抛物线的
定义有：
3
MF
MB
=
=
，结合题意，有
3
MN
MF
=
=
，
故
3 3
6
FN
FM
NM
=
+
= + =
．
O
F'
B
A
F
N
M
y
x
17．2 2 【解析】
2
2
y
px
=
的准线方程为
2
p
x = −
，又 0
p >
，所以
2
p
x = −
必经过双曲
线
2
2
1
x
y
−
= 的左焦点 (
2,0)
−
，所以
2
2
p
−
= −
， 2 2
p =
．
18．1
2
+
【解析】由正方形的定义可知
BC
CD
=
，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的
焦点，所以
|
|
AD
p
a
=
=
，
(
,0)
2
p
D
，
(
, )
2
p
F
b b
+
，将点F 的坐标代入抛物线的方程
得
2
2
2 (
)
2
2
p
b
p
b
a
ab
=
+
=
+
，变形得
2
2
( )
1
0
b
b
a
a
−
−=
，
解得
1
2
b
a = +
或
1
2
b
a = −
（舍去），所以
1
2
b
a = +
．
19．2，
1
x = −【解析】
1,
2
2
p
p
=
=
；准线
1
2
p
x = −
= −
．
20．
6
2
【解析】建立直角坐标系，使拱桥的顶点O 的坐标为(0,0) ，设抛物线的方程为
2
2
x
py
= −
，l 与抛物线的交点为A、B ，
根据题意知
( 2, 2)
A −
−
，
(2, 2)
B
−
则有
(
)
2
2
2
−
=
−
a
，∴
2
1
−
=
a
关注微信公众号：加油高三
∴抛物线的解析式为
2
2
1
x
y
−
=
水位下降
米，则
1
3
y = −
，此时有
6
=
x
或
6
−
=
x
∴此时水面宽为
6
2
米．
21．3 2
4
【解析】利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为2 ，B 点坐标为（
1
4
2 ，）
所以点
到抛物线准线的距离为
B
3
2
4
．
22．【解析】(1)因为抛物线
2
2
y
px
=
经过点(1,2)
P
，
所以4
2p
=
，解得
2
p =
，所以抛物线的方程为
2
4
y
x
=
．
由题意可知直线l
的斜率存在且不为，
0
设直线l 的方程为
1
y
kx
=
+
（
0
k
）．
由
2
4
1
y
x
y
kx
=
=
+
得
2
2
(2
4)
1
0
k x
k
x
+
−
+ =
．
依题意
2
2
(2
4)
4
1
0
k
k
=
−
−
，解得 0
k
或0
1
k
．
又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l不过点
(1, 2)
−
．从而
3
k −．
所以直线l 斜率的取值范围是
(
, 3)
( 3,0)
(0,1)
−−
−
．
(2)设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
．
由
知
(1)
1
2
2
2
4
k
x
x
k
−
+
= −
，
1
2
2
1
x x
k
=
．
直线PA 的方程为
1
1
2
2
(
1)
1
y
y
x
x
−
−
=
−
−
．
令 0
x =
，得点M 的纵坐标为
1
1
1
1
2
1
2
2
1
1
M
y
kx
y
x
x
−
+
−
+
=
+
=
+
−
−
．
同理得点N 的纵坐标为
2
2
1
2
1
N
kx
y
x
−
+
=
+
−
．
由
=
QM
QO
uuur
uuur
，
=
QN
QO
uuur
uuur
得=1
M
y
−
，
1
N
y
= −
．
关注微信公众号：加油高三
所以
1
2
1 2
1
2
1
2
1 2
1
1
2
(
)
1
1
1
1
1
1
1
(
1)
(
1)
1
M
N
x
x
x x
x
x
y
y
k
x
k
x
k
x x
−
−
−
+
+
=
+
=
+
=
−
−
−
−
−
2
2
2
2
2
4
1
=2
1
1
k
k
k
k
k
−
+
=
−
．
所以1
1
+
为定值．
23．【解析】(1)由题意得(1,0)
F
，l 的方程为
(
1)(
0)
y
k x
k
=
−
．
设
1
2
2
1
( ,
), (
,
)
A
y
x
y
x
B
，
由
2
(
1),
4
y
k x
y
x
=
−
=
得
2
2
2
2
(2
4)
0
k x
k
x
k
−
+
+
=
．
2
16
16
0
k
=
+
，故
1
2
2
2
2
4
k
x
k
x
+
+
=
．
所以
1
2
2
2
4
4
|
| |
|
|
| (
1)
(
1)
x
k
AB
AF
BF
k
x
+
=
+
=
+
+
+
=
．
由题设知
2
2
4
4
8
k
k
+
=
，解得
1
k = −（舍去）， 1
k =
．
因此l 的方程为
1
y
x
=
−．
(2)
(1)
由
得AB 的中点坐标为(3,2) ，所以AB的垂直平分线方程为
2
(
3)
y
x
−
= −
−
，
即
5
y
x
= −+
．
设所求圆的圆心坐标为
0
0
(
,
)
x
y
，则
0
0
2
2
0
0
0
5,
(
1)
(
1)
16.
2
y
x
y
x
x
= −
+
−
+
+
=
+
解得
0
0
3,
2
x
y
=
=
或
0
0
11,
6.
x
y
=
= −
因此所求圆的方程为
2
2
(
3)
(
2)
16
x
y
−
+
−
=
或
2
2
(
11)
(
6)
144
x
y
−
+
+
=
．
24．【解析】(1)设
0
0
(
,
)
P x
y
，
2
1
1
(
,
)
4
y
A
y
，
2
2
2
(
,
)
4
y
B
y
．
因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以
1y ，
2y 为方程
关注微信公众号：加油高三
2
0
2
1
0
1
4
(
)
4
2
2
y
x
y
y
+
+
=
即
2
2
1
0
1
0
0
2
8
0
y
y y
x
y
−
+
−
=
的两个不同的实数根．
所以
1
2
0
2
y
y
y
+
=
．
因此，PM 垂直于y 轴．
(2)
(1)
由
可知
1
2
0
2
1
2
0
0
2
8
y
y
y
y y
x
y
+
=
=
−
所以
2
2
2
1
2
0
0
0
1
3
|
|
(
)
3
8
4
PM
y
y
x
y
x
=
+
−
=
−
，
2
1
2
0
0
|
| 2 2(
4
)
y
y
y
x
−
=
−
．
因此，PAB
的面积
3
2
2
1
2
0
0
1
3 2
|
| |
|
(
4
)
2
4
PAB
S
PM
y
y
y
x
=
−
=
−
．
因为
2
2
0
0
1
4
y
x +
=
0
(
0)
x
，所以
2
2
0
0
0
0
4
4
4
4
[4,5]
y
x
x
x
−
= −
−
+
．
因此，PAB
面积的取值范围是
15 10
[6 2,
]
4
．
25．【解析】（1）设
(
)
A x ,y
1
1 ，
(
)
B x ,y
2
2 ，l ：
2
x
ym
=
+
由
2
2
2
x
my
y
x
=
+
=
可得
y
my
−
−
=
2
2
4
0，则
y y = −
1
2
4
又
y
x
2
1
1=
2
，
y
x
2
2
2= 2
，故
(
)
y y
x x
2
1
2
1
2=
4
=4
因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y
y
x
x
1
2
1
2
-4
=
=-1
4
，所以
OA
OB
⊥
．
故坐标原点O 在圆M 上．
（）由（）可得
2
1
y
y
m
1
2 +
=2
，
(
)
x x
m y y
m +
2
1
2
1
2
+ =
+
+4=2
4
故圆心M 的坐标为 (
)
m
m
2+2，
，圆M 的半径
(
)
r
m
m
=
+
+
2
2
2
2
由于圆M 过点
(4, 2)
P
−
，因此
0
AP BP =
，
故
(
)(
) (
)(
)
1
2
1
2
4
4 +
+2
+2 = 0
x
x
y
y
−
−
即
(
)
(
)
x x
x x
y y
y
y
−
+
+
+
+
=
1 2
1
2
1
2
1
2
4
+
2
20
0
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由（）可得
1
y y
1
2=-4 ，x x
1
2=4 ．
所以
2m
m
−
−=
2
1
0，解得
m =1 或
m = −1
2
．
当
1
m = 时，直线l 的方程为
2
0
x
y
−
−
=
，圆心M 的坐标为(3,1) ，圆M 的半径为
10 ，圆M 的方程为
(
)
(
)
x
y
−
+
−
=
2
2
3
1
10
当
1
2
m = −
时，直线l 的方程为
2
4
0
x
y
+
−
=
，圆心M 的坐标为9
1
(
,
)
4
2
−
，圆M 的半
径为
85
4
，圆M 的方程为
2
2
9
1
85
(
)
(
)
4
2
16
x
y
−
+
+
=
．
26．【解析】（Ⅰ）设直线
的斜率为
AP
k ，
2
1
1
4
1
2
2
x
k
x
x
−
=
=
−
+
，
因为
1
3
2
2
x
−
，所以直线
斜率的取值范围是
AP
( 1,1)
−
。
（Ⅱ）联立直线
与
的方程
AP
BQ
1
1
0,
2
4
9
3
0,
4
2
kx
y
k
x
ky
k
−
+
+
=
+
−
−
=
解得点
的横坐标是
Q
2
2
4
3
2(
1)
Q
k
k
x
k
−
+
+
=
+
因为
|
|
PA =
2
1
1
(
)
2
k
x
+
+
=
2
1
(
1)
k
k
+
+
|
|
PQ =
2
1
(
)
Q
k
x
x
+
−
=
2
2
(
1)(
1)
1
k
k
k
−
+
−
+
，
所以
|
||
|
PA PQ =
3
(
1)(
1)
k
k
−
−
+
令
( )
f k =
3
(
1)(
1)
k
k
−
−
+
，
关注微信公众号：加油高三
因为
2
( )
(4
2)(
1)
f
k
k
k
= −
−
+
，
所以
( )
f k 在区间
1
( 1,
)
2
−
上单调递增，1 ( ,1)
2
上单调递减，
因此当
1
2
k =
时，
|
||
|
PA PQ 取得最大值27
16
．
27．【解析】（Ⅰ）由抛物线
：
C
2
2
y
px
=
过点
(1,1)
P
，得
1
2
p =
．
所以抛物线C 的方程为
2y
x
= ．
抛物线C 的焦点坐标为1 ( ,0)
4
，准线方程为
1
4
x = −
．
（Ⅱ）当直线MN
的斜率不存在或斜率为
时，显然与抛物线只有一个交点不满足题
0
意，所以直线MN
的斜率存在且不为．
0
设
1
(0,
)
2
为点Q ，过Q 的直线MN 方程为
1
2
y
kx
=
+
（ 0
k
），设
1
1
( ,
)
M x y
，
2
2
(
,
)
N x
y
，
显然，
1x ，
2
x
均不为．
0
由
2
1
2
y
kx
y
x
=
+
=
，得
2
2
4
(4
4)
1
0
k x
k
x
+
−
+ =
．
考虑
2
2
1
(
1)
4
1 2
4
k
k
k
=
−
−
= −
，由题意
0
，所以
1
2
k
．
则
1
2
2
1
k
x
x
k
−
+
=
，①
1
2
2
1
4
x x
k
=
．
②
由题意可得A ，B 横坐标相等且同为1x ，
因为点
的坐标为
P
(1,1)
，所以直线
的方程为
OP
y
x
=
，点
的坐标为
A
1
1
( ,
)
x x ．
直线
的方程为
ON
2
2
y
y
x
x
=
，点
的坐标为
B
2
1
1
2
( ,
)
y x
x
x
．
若要证明A 为BM 的中点，只需证2
A
B
M
y
y
y
=
+
，即证
1
2
1
1
2
2
x y
y
x
x
+
=
，
即证
1
2
2
1
1
2
2
x y
x y
x x
+
=
，
关注微信公众号：加油高三
将
1
1
2
2
1
2
1
2
y
kx
y
kx
=
+
=
+
代入上式，
即证
2
1
1
2
1
2
1
1
(
)
(
)
2
2
2
kx
x
kx
x
x x
+
+
+
=
，
即证
1 2
1
2
1
(2
2)
(
)
0
2
k
x x
x
x
−
+
+
=
③
将①②代入③得
2
2
1
1
(2
2)
0
4
2
k
k
k
k
−
−
+
=
，化简有
2
2
1
1
0
2
2
k
k
k
k
−
−
+
=
恒成立，
所以2
A
B
M
y
y
y
=
+
恒成立．
故
为线段
的中点．
A
BM
28．【解析】由题设
)
0,
2
1
(
F
.设
b
y
l
a
y
l
=
=
:
,
:
2
1
，则
0
ab
，且
2
2
1
1
1
(
, ), (
, ),
(
, ),
(
, ), (
,
)
2
2
2
2
2
2
a
b
a
b
A
a B
b P
a Q
b R
+
−
−
−
.
记过
B
A,
两点的直线为l ，则l 的方程为
0
)
(
2
=
+
+
−
ab
y
b
a
x
.
（Ⅰ）由于F 在线段AB上，故
0
1
=
+ab
.
记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为
2
k ，则
2
2
2
1
1
1
k
b
a
ab
a
ab
a
b
a
a
b
a
k
=
−
=
−
=
=
−
−
=
+
−
=
.
所以
FQ
AR∥
.
（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为
)
0,
( 1x
D
，
则
2
,
2
1
2
1
2
1
1
b
a
S
x
a
b
FD
a
b
S
PQF
ABF
−
=
−
−
=
−
=
.
由题设可得
2
2
1
2
1
1
b
a
x
a
b
−
=
−
−
，所以
0
1 =
x
（舍去），
1
1 =
x
.
设满足条件的AB的中点为
)
,
(
y
x
E
.
当AB 与x 轴不垂直时，由
DE
AB
k
k
=
可得
)1
(
1
2
−
=
+
x
x
y
b
a
.
而
y
b
a
=
+
2
，所以
)1
(1
2
−
=
x
x
y
.
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当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合所以，所求轨迹方程为
.
1
2
−
= x
y
.
29．【解析】（）由题设可得
Ⅰ
(2
, )
M
a a ，
( 2 2, )
N
a
−
，或
( 2 2, )
M
a
−
，
(2
, )
N
a a .∵
1
2
y
x
=
，故
2
4
x
y =
在x =2 2a 处的导数值为a ，
C 在
(2 2 , )
a a 处的切线方程为
(
2
)
y
a
a x
a
−
=
−
，即
0
ax
y
a
−
−
=
.
故
2
4
x
y =
在
2 2
x
a
= −
处的导数值为
a
−
，C 在
( 2 2 , )
a a
−
处的切线方程为
(
2
)
y
a
a x
a
−
= −
+
，即
0
ax
y
a
+
+
=
.
故所求切线方程为
0
ax
y
a
−
−
=
或
0
ax
y
a
+
+
=
.
（）存在符合题意的点，证明如下：
Ⅱ
设
(0, )
P
b 为符合题意的点，
1
1
( ,
)
M x y
，
2
2
(
,
)
N x
y
，
直线PM ，PN 的斜率分别为
1
2
,
k k .
将
y
kx
a
=
+
代入C 的方程整理得
2
4
4
0
x
kx
a
−
−
=
.
∴
1
2
1
2
4 ,
4
x
x
k x x
a
+
=
= −
.
∴
1
2
1
2
1
2
y
b
y
b
k
k
x
x
−
−
+
=
+
=
1 2
1
2
1 2
2
(
)(
)
kx x
a
b x
x
x x
+
−
+
=
(
)
k a
b
a
+
.
当b
a
= −时，有
1
2
k
k
+
=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，
故∠OPM =∠OPN ，所以
(0,
)
P
a
−
符合题意．
30．【解析】（Ⅰ）由题意知
(
,0)
2
p
F
，设
( ,0)(
0)
D t
t
，则FD 的中点为
2
(
,0)
4
p
t
+
因为
FA
FD
=
，由抛物线的定义可知3
2
2
p
p
t
+
=
−
，
解得
3
t
p
=
+
或
3
t = −（舍去）
由
2
3
4
p
t
+
=
，解得
2
p =
．所以抛物线C 的方程为
2
4
y
x
=
．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知
(1,0)
F
，设
0
0
0
0
(
,
)(
0)
A x
y
x y
．
(
,0)(
0)
D
D
D x
x
关注微信公众号：加油高三
因为
FA
FD
=
，则
0
1
1
D
x
x
−
=
+ ，
由
0
D x
得
0
2
D
x
x
=
+
，故
0
(
2,0)
D x +
，故直线AB 的斜率
0
2
AB
y
k
= −
因为直线1l 和直线AB 平行，
设直线1l 的方程为
0
2
y
y
x
b
= −
+
，代入抛物线的方程得
2
0
0
8
8
0
b
y
y
y
y
+
−
=
，
由题意
2
0
0
64
32
0
b
y
y
=
+
=
，得
0
2
b
y
= −
设
(
,
)
E
E
E x
y
，则
2
0
0
4
4
,
E
E
y
x
y
y
= −
=
当
2
0
4
y
时，
0
0
2
0
0
4
4
E
AE
E
y
y
y
k
x
x
y
−
=
=
−
−
，
可得直线AE 的方程为
0
0
0
2
0
4
(
)
4
y
y
y
x
x
y
−
=
−
−
，由
2
0
0
4
y
x
=
，
整理得
0
2
0
4
(
1)
4
y
y
x
y
=
−
−
，直线AE 恒过点
(1,0)
F
当
2
0
4
y =
时，直线AE 的方程为 1
x = ，过点
(1,0)
F
，
所以直线AE 过定点
(1,0)
F
．
（ⅱ）由（ⅰ）知直线AE过定点
(1,0)
F
，
所以
0
0
0
0
1
1
(
1)
(
1)
2
AE
AF
FE
x
x
x
x
=
+
=
+
+
+
=
+
+
。
设直线AE的方程为
1
x
my
=
+
，因为点
0
0
(
,
)
A x
y
在直线AE 上
故
0
0
1
x
m
y
−
=
．设
1
1
(
,
)
B x y
，直线AB 的方程为
0
0
0
(
)
2
y
y
y
x
x
−
= −
−
由于
0
0
y
，可得
0
0
2
2
x
y
x
y
= −
+ +
，
代入抛物线的方程得
2
0
0
8
8
4
0
y
y
x
y
+
−−
=
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所以
0
1
0
8
y
y
y
+
= −
，可求得
1
0
0
8
y
y
y
= −
−
，
1
0
0
4
4
x
x
x
=
+
+
所以点B 到直线AE 的距离为
0
0
0
0
2
4
8
4
(
) 1
1
x
m y
x
y
d
m
+
+
+
+
−
=
+
=
0
0
4(
1)
x
x
+
=
0
0
1
4(
)
x
x
+
则ABE
的面积
0
0
0
0
1
1
1
4(
)(
2)
16
2
S
x
x
x
x
=
+
+
+
，
当且仅当
0
0
1
x
x =
即
0
1
x = 时等号成立，
所以ABE
的面积的最小值为16．
31．【解析】（Ⅰ）在
1
C ，
2
C 方程中，令
0
y =
，可得b=1,且得
( 1,0), (1,0)
A
B
−
是上半椭圆
1
C 的左右顶点，
设
1
C 的半焦距为c ，由
3
2
c
a =
及
2
2
2
1
a
c
b
−
=
=
，解得
2
a =
，
所以
2
a =
， 1
b =
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，上半椭圆
1
C 的方程为
2
2
1(
0)
4
y
x
y
+
=
，
易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为
(
1)(
0)
y
k x
k
=
−
代入
1
C 的方程中，整理得：
2
2
2
2
(
4)
2
4
0
k
x
k x
k
+
−
+
−
=
（）
*
设点P 的坐标
(
,
)
P
P
x
y
，由韦达定理得
2
2
2
4
P
B
k
x
x
k
+
=
+
又(1,0)
B
，得
2
2
4
4
P
k
x
k
−
=
+
，从而求得
2
8
4
P
k
y
k
−
=
+
所以点P 的坐标为
2
2
2
4
8
(
,
)
4
4
k
k
k
k
−
−
+
+
．
同理，由
2
(
1)(
0)
1(
0)
y
k x
k
y
x
y
=
−
= −
+
得点Q 的坐标为
2
(
1,
2 )
k
k
k
−−
−
−
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2
2
( ,4)
4
k
AP
k
k
=
+
，
(1,
2)
AQ
k
k
= −
+
AP
AQ
⊥
，
0
AP AQ
=
,即
2
2
2
[
4(
2)]
0
4
k
k
k
k
−
−
+
=
+
0
k
，
4(
2)
0
k
k
−
+
=
，解得
8
3
k = −
经检验，
8
3
k = −
符合题意，故直线l 的方程为
8 (
1)
3
y
x
= −
−
32．【 解析】（Ⅰ）依题意
0
2
3 2
2
2
c
d
−−
=
=
，解得 1
c =
（负根舍去）
抛物线C 的方程为
2
4
x
y
=
．
（Ⅱ）设点
1
1
( ,
)
A x y
,
2
2
(
,
)
B x
y
，
)
,
(
0
0 y
x
P
，
由
2
4
x
y
=
,即
2
1
4
y
x ,
=
得y= 1
2 x ．
∴抛物线C 在点A处的切线PA 的方程为
)
(
2
1
1
1
x
x
x
y
y
−
=
−
，
即
2
1
1
1
2
1
2
x
y
x
x
y
−
+
=
．
∵
2
1
1
4
1
x
y =
，∴
1
1
2
y
x
x
y
−
=
．
∵点
)
,
(
0
0 y
x
P
在切线1l
上
∴
,
1
0
1
0
2
y
x
x
y
−
=
.
①
同理，
2
0
2
0
2
y
x
x
y
−
=
. ②
综合①、②得，点
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
的坐标都满足方程
y
x
x
y
−
=
0
0
2
.
∵经过
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
两点的直线是唯一的，
∴直线AB 的方程为
y
x
x
y
−
=
0
0
2
，即
0
0
2
2
0
x x
y
y
−
−
=
．
（Ⅲ）由抛物线的定义可知
1
2
1,
1
AF
y
BF
y
=
+
=
+
，
所以
(
)(
)
1
2
1
2
1
2
1
1
1
AF
BF
y
y
y
y
y y
=
+
+
=
+
+
+
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联立
2
0
0
4
2
2
0
x
y
x x
y
y
=
−
−
=
，消去x 得
(
)
2
2
2
0
0
0
2
0
y
y
x
y
y
+
−
+
=
，
2
2
1
2
0
0
1
2
0
2
,
y
y
x
y y y
y
+
=
−
=
0
0
2
0
x
y
−
−
=
(
)
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
1=
2
2
1
AF
BF
y
y
x
y
y
y
=
−
+
+
−
+
+
+
2
2
0
0
0
1
9
=2
2
+5=2
+
2
2
y
y
y
+
+
当
0
1
2
y = −
时，
AF
BF
取得最小值为9
2
．
33．【解析】（Ⅰ）由对称性知：BFD
是等腰直角，斜边
2
BD
p
=
点A到准线l 的距离
2
d
FA
FB
p
=
=
=
1
4 2
4 2
2
2
ABD
S
BD
d
p
=
=
=
圆F 的方程为
2
2
(
1)
8
x
y
+
−
=
（Ⅱ）由对称性设
2
0
0
0
(
,
)(
0)
2
x
A x
x
p
，则
(0,
)
2
p
F
点,
A B 关于点F 对称得：
2
2
2
2
0
0
0
0
(
,
)
3
2
2
2
x
x
p
B
x
p
p
x
p
p
p
−
−
−
= −
=
得：
3
( 3 ,
)
2
p
A
p
，直线
3
3
2
2
:
3
0
2
2
3
p
p
p
p
m y
x
x
y
p
−
=
+
−
+
=
2
2
3
3
2
2
3
3
x
x
x
py
y
y
x
p
p
p
=
=
=
=
=
切点
3
(
,
)
3
6
p p
P
直线
3
3
3
:
(
)
3
0
6
3
3
6
p
p
n y
x
x
y
p
−
=
−
−
−
=
坐标原点到,
m n 距离的比值为
3
3
:
3
2
6
p
p =
．
34．【解
（Ⅰ）设
析】
( , )
M x y ，由已知得
( , 3)
B x −
，
(0, 1)
A
−
．
所以MA
uuur
=
(
, 1
)
x
y
−
− −
， MB
uuur
=(0，
3
y
−−
)
，AB
uuur
=( x ，-2).
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再由题意可知（MA
uuur
+ MB
uuur
）• AB
uuur
=0，即（
x
−
，4
2y
−−
）• (x ，－2)=0．
所以曲线
的方程式为
C
2
1
2
4
y
x
=
−
．
（Ⅱ）设
0
0
(
,
)
P x
y
为曲线
：
C
2
1
2
4
y
x
=
−
上一点，因为
1
2
y
x
=
，
所以l 的斜率为
0
1
2
x ，
因此直线l 的方程为
0
0
0
1
(
)
2
y
y
x x
x
−
=
−
，即
2
0
0
0
2
2
0
x x
y
y
x
−
+
−
=
．
则O 点到l 的距离
2
0
0
2
0
| 2
|
4
y
x
d
x
−
=
+
．又
2
0
0
1
2
4
y
x
=
−
，
所以
2
0
2
0
2
2
0
0
1
4
1
4
2
(
4
)
2,
2
4
4
x
d
x
x
x
+
=
=
+
+
+
+
当
2
0x
=0 时取等号，所以O点到l
距离的最小值为．
2
