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规范练3
(时间:45 分钟,满分:46 分)
1.(10 分)(2022 浙江,18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知4a=√5c,cos C=3
5.
(1)求sin A 的值;
(2)若b=11,求△ABC 的面积.
2.(12 分)(2023 浙江杭州一模)已知数列{an}的前n 项和为Sn,且Sn+2=2an.
(1)求a2及数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n 个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d 的等差数列,求数列{ 1
dn
}的前n 项
和Tn.
3.(12 分)(2023 湖南株洲一模)如图1,已知菱形ABCD 中,∠DAB=60°,沿对角线BD 将其翻折,使
∠ABC=90°,设此时AC 的中点为O,如图2.
图1
图2
(1)求证:点O 是点D 在平面ABC 上的射影;
(2)求直线AD 与平面BCD 所成角的余弦值.
2
4.(12 分)(2022 新高考Ⅰ,20)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生
习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100 例(称为病例组),同时
在未患该疾病的人群中随机调查了100 人(称为对照组),得到如下数据:
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)依据小概率值α=0.01 的独立性检验,分析患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯是否有差异?
(2)从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患
有该疾病”,P(B| A )
P(B| A ) 与P(B| A )
P(B| A )的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量
指标,记该指标为R.
①证明:R= P( A |B)
P( A |B) · P( A |B)
P( A |B);
②利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用①的结果给出R 的估计值.
附:χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c )(b+d ) ,
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
3
规范练3
1.解 (1)∵cos C=3
5且0<C<π,∴sin C=4
5 .∵4a=√5c,
∴a
c = √5
4 .由正弦定理得
a
sin A =
c
sinC ,∴sin A
sinC = a
c = √5
4 ,
∴sin A=√5
4 ×sin C=√5
4 × 4
5 = √5
5 .
(2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcos C,c2=112+(√5
4 c)2-2×√5
4 c×11×3
5,c2=112+ 5
16c2-
33√5
10
c,
即11
16c2+33√5
10
c-112=0,整理得5c2+24√5c-880=0,解得c=-24√5+64√5
2×5
=4√5(负值舍去),∴a=
√5
4 ×4√5=5.
∴S△ABC=1
2absin C=1
2×5×11×4
5 =22.
2.解 (1)由题意,当n=1 时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.
当n=2 时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.
当n≥2 时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,
两式相减,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,
综上,数列{an}是以2 为首项,2 为公比的等比数列,
故an=2·2n-1=2n,n∈N*.
(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n(n∈N*)个数,使得这(n+2)个数依次组成公差
为d 的等差数列,则有an+1-an=(n+1)dn,∴dn=an+1-an
n+1
= 2
n
n+1,∴1
dn
= n+1
2
n ,∴Tn= 1
d1
+ 1
d2
+…+
1
dn
= 2
2
1 + 3
2
2 + 4
2
3+…+n+1
2
n ,
1
2Tn=2×(1
2)2+3×(1
2)3+…+n·(1
2)n+(n+1)·(1
2)n+1,两式相减,可得1
2Tn= 2
2
1 + 1
2
2 + 1
2
3+…+ 1
2
n - n+1
2
n+1
=1+
1
2
2 - 1
2
n+1
1- 1
2
- n+1
2
n+1 = 3
2 - n+3
2
n+1 ,
∴Tn=3-n+3
2
n ,n∈N*.
3.(1)证明 连接DO,因为DA=DC,O 为AC 的中点,所以DO⊥AC.
设菱形ABCD 的边长为2,因为∠ABC=90°,所以AC=2√2.
连接BO,则BO=√2.
因为DA=DC=2,AC=2√2,所以DA2+DC2=AC2,
所以DA⊥DC,所以DO=√2.
又BD=2,所以DO2+OB2=DB2,所以DO⊥OB.
因为AC∩OB=O,AC⊂平面ABC,OB⊂平面ABC,DO⊄平面ABC,所以DO⊥平面ABC,
4
所以点O 是点D 在平面ABC 上的射影.
(2)解 设点A 到平面BCD 的距离为h,令菱形ABCD 的边长为2,且∠DAB=60°,则∠DCB=60°,故
△BCD 的面积为1
2BC×DC×sin 60°=1
2×2×2×√3
2 =√3,则VA-BCD=1
3S△BCDh=√3
3 h.
△ABC 的面积为1
2BC×AB=1
2×2×2=2.
由(1)知,DO⊥平面ABC,且DO=√2,
所以VD-ABC=1
3×S△ABC×DO=1
3×2×√2= 2√2
3
.
由VA-BCD=VD-ABC,得√3
3 h=2√2
3
,解得h=2√6
3
.
设直线AD 与平面BCD 所成角为θ,
则sin θ= h
AD =
2√6
3
2
= √6
3
,所以cos θ=√1- sin
2θ = √3
3 ,
即直线AD 与平面BCD 所成角的余弦值为√3
3 .
4.解 (1)零假设为H0:患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异.由题意可知,n=200,
∴χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c )(b+d ) = 200×(40×90-10×60)
2
100×100×50×150
=
24>6.635=x0.01.
根据小概率值α=0.01 的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为患该疾病群体与未患该疾病群
体的卫生习惯有差异.
(2)①证明:R=
P( B| A )
P( B| A )
P( B| A )
P( B| A )
= P( B| A )
P( B| A ) · P( B| A )
P( B| A ) =
P( AB)
P( A )
P( A B)
P( A )
·
P( A B)
P( A )
P( A B)
P( A )
= P( AB)· P( A B)
P( A B)· P( A B) =
P( AB)
P( B)
P( A B)
P( B)
·
P( A B)
P( B)
P( A B)
P( B)
.
②P(A|B)= P( AB)
P(B) = n( AB)
n(B) = 40
100=0.4,
P(A|B)= P( A B)
P( B) = n( A B)
n( B) = 10
100=0.1,
同理,P(A |B)= P( A B)
P(B)
= n( A B)
n(B)
= 90
100=0.9,
P(A|B)= P( A B)
P( B) = n( A B)
n(B) = 60
100=0.6,
∴R=P( A |B)
P( A |B) · P( A |B)
P( A |B) = 0.4×0.9
0.6×0.1 =6.
∴指标R 的估计值为6.
