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专题十三
推理与证明
第三十九讲
数学归纳法
解答题
1
2017
．（
浙江）已知数列{
}
nx
满足：
1
1
x =
，
1
1
ln(1
)
n
n
n
x
x
x
+
+
=
+
+
(
)
n
*
N
．
证明：当n
*
N 时
（Ⅰ）
1
0
n
n
x
x
+
；
（Ⅱ）
1
1
2
2
n
n
n
n
x x
x
x
+
+
−
≤
；
（Ⅲ）
1
2
1
1
2
2
n
n
n
x
−
−
≤
≤
．
2
(2015
)
．
湖北
已知数列{
}
na
的各项均为正数，
1
(1
)
(
)
n
n
n
b
n
a
n
n
+
=
+
N
，
为自然对数的
e
底数．
（）求函数
Ⅰ
( )
1
e x
f x
x
= +
−
的单调区间，并比较
1
(1
)n
n
+
与
的大小；
e
（）计算
Ⅱ
1
1
b
a ，
1 2
1
2
b b
a a
，
1 2
3
1
2
3
b b b
a a a ，由此推测计算
1 2
1
2
n
n
b b
b
a a
a 的公式，并给出证明；
（
）令
Ⅲ
1
1
2
(
)n
n
n
c
a a
a
=
，数列{
}
na
，{ }
nc
的前n 项和分别记为
n
S ,
n
T , 证明：
e
n
n
T
S
．
3
(2014
)
．
江苏已知函数
0
sin
( )
(
0)
x
f x
x
x
=
，设
( )
nf x 为
1( )
nf
x
−
的导数，n
N ．
（Ⅰ）求
( )
( )
1
2
2
2
2
2
f
f
+
的值；
（）证明：对任意的
2
n
N ，等式
( )
( )
1
2
4
4
4
2
n
n
nf
f
−
+
=
成立．
4
2014
．（
安徽）设实数
0
c
，整数
1
p
，
*
N
n
．
（Ⅰ）证明：当
1
−
x
且
0
x
时，
px
x
p
+
+
1
)
1(
；
（）数列
Ⅱ
n
a
满足
p
c
a
1
1
，
p
n
n
n
a
p
c
a
p
p
a
−
+
+
−
=
1
1
1
，
证明：
p
n
n
c
a
a
1
1
+
．
5
2014
．（
重庆）设
2
1
1
1,
2
2
(
*)
n
n
n
a
a
a
a
b n
N
+
=
=
−
+
+
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（Ⅰ）若
1
b =
，求
2
3
,
a a 及数列{
}
na
的通项公式；
（Ⅱ）若
1
b = −
，问：是否存在实数c 使得
2
2
1
n
n
a
c
a
+
对所有
*
n
N
成立？证明
你的结论．
6．
（2012 湖北）
（Ⅰ）已知函数
( )
(1
)
r
f x
rx
x
r
=
−
+
−
(
0)
x
，其中r 为有理数，且0
1
r
.
求
( )
f x 的最小值；
（）试用（
Ⅱ
Ⅰ）的结果证明如下命题：设
1
2
0,
0
a
a
，1
2
,
b b 为正有理数若
.
1
2
1
b
b
+
= ，
则
1
2
1
2
1 1
2 2
b
b
a a
a b
a b
+
；
（
）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法
Ⅲ
Ⅱ
．．．．．证明你所推广的命题．
注：当为正有理数时，有求导公式
1
(
)
x
x
−
=
.
7
2011
．（
湖南）已知函数
3
( )
f x
x
=
，
( )
g x
x
x
=
+
.
（Ⅰ）求函数
( )
( )
( )
h x
f x
g x
=
−
的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列{
n
a }（
*
n
N
）满足
1
(
0)
a
a a
=
，
1
(
)
(
)
n
n
f a
g a
+
=
，证明：存在常数
M ，使得对于任意的
*
n
N
，都有
n
a ≤ M ．
