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模块四 数列（测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知
是数列
的前n 项和，若
，
，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．数列
是等差数列
C．数列
是等比数列
D．数列
是等差数列
【答案】C
【解析】因
①可得，当
时，
②， 于是，由①-②可得：
，
即
，可得
，因
，在
中，取
，可得
，即
，
故数列
不是等比数列，选项A，B 错误；
又因当
时，都有
，代入
中，可得
，整理得：
，
故数列
是等比数列，即选项C 正确，D 错误.
故选：C.
2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：
，其中从第
三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列
称为“斐波那契数
列”．若把该数列
的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成新数列
，则数列
的前
项和是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
除以所得余数分别为
；
，
即
是周期为的周期数列，
因为
，
，
所以数列
的前
项和为
.
故选：C
3．已知等比数列
的前
项积为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设等比数列
的公比为
，则
，则
，
所以
.
故选：B.
4．已知数列
的前n 项和为
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，则
，整理得
，
又
，则
，
因此数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
则
，所以
.
故选：D.
5．已知数列
通项公式为
，若对任意
，都有
，则实数的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
恒成立，
所以
对
恒成立，故
，
又当
时，
为单调递增的数列，
故要使对任意
，都有
，则
，即
，
解得
，
综上可得
，
故选:C
6．已知等差数列
中，
，公差
，前
项和为
，则下列结论中错误的是（ ）
A．数列
为等差数列
B．当
时，
值取得最大
C．存在不同的正整数
，使得
D．所有满足
的正整数
中，当
时，
值最大
【答案】C
【解析】
，得
，数列
为等差数列，A 正确；
当
的对称轴为
，因为
，所以当
时，
值取得最大，B 正确；
因为当
的对称轴为
，且
，因此不存在整数对称点，即不存在不同的正整数
，使
得
，C 错误；
由题可知
，
，解得
，
，化简可得
，
根据二次函数性质可知当
时，
取最大值，因为
，所以当
时，
值最大，D
正确.
故选：C.
7．若数列
满足
（
，
为常数），则称数列
为调和数列.已知数列
为调和
数列，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【解析】数列
为调和数列,故
，所以
为等差数列，
由
，所以
，
故
，所以
，故
，故
，
由于
，
当且仅当
时等号成立，故
的最大值为2，
故选:B
8．已知数列
的首项
，且
，
，则满足条件的最大整数
（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
【答案】C
【解析】因为
，所以
，所以
，
所以数列
是等比数列，首项为
，公比为
，
所以
，即
，
所以
，
而当
时，
单调递增，
又因为
，且
，
所以满足条件的最大整数
.
故选：C.
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．已知数列
中，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
是递增数列
C．
D．
【答案】BD
【解析】由
，可得
，则
，
又由
，可得
，所以数列
表示首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，所以
，
由
，所以A 不正确；
由
，即
，所以
是递增数列，所以B 正确；
由
，所以C 错误；
由
，
，所以
，所以D 正确.
故选：BD.
10．已知
是等差数列
的前n 项和，且
，
，则下列选项正确的是（ ）
A．数列
为递减数列
B．
C．
的最大值为
D．
【答案】ABC
【解析】设等差数列
的公差为d，
由于
，
，故
，
则
，B 正确；
，则数列
为递减数列，A 正确，
由以上分析可知
，
时，
，
故
的最大值为
，C 正确；
，D 错误，
故选：ABC
11．已知数列
满足
，
，则
的值可能为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由
可得
，
故
或
，
当
时，则
，因此
，故
，
若
时，则
为等比数列，且公比为
，则
故选：AD
12．对于任意非零实数x，y﹐函数
满足
，且
在
单调递减，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
在定义域内单调递减
【答案】AC
【解析】令
，则
，解得
，故A 正确；
因为
，即
，
所以
是以
为首项，2 为公比的等比数列，
故
，故B 错误；
由题意，函数
的定义域为
，关于原点对称，
令
，则
，
令
代换
，则
，
由两式可得
，化简可得
，所以
为奇函数，故C 正确；
因为
在
单调递减，函数为奇函数，可得
在
上单调递减，
但是不能判断
在定义域上的单调性，例如
，故D 错误.
故选：AC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．各项均为正数的等比数列
的前
项和为
，且
，
，
成等差数列，若
，则
．
【答案】15
【解析】设等比数列
的公比为
，
因为
，
，
成等差数列，
所以
，
所以
，
因为
，且各项均为正数，
所以解得
，
所以
.
故答案为：15
14．设数列
的前
项和为
，且
.请写出一个满足条件的数列
的通项公式
.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因为
，则数列
递减，又
，即
最大，所以
符合．
故答案为：
（答案不唯一）
15．已知数列
满足
，
，则
．
【答案】4082
【解析】因为
，
所以
，
，
又
，所以
，
，
因为
，所以
，
两式相减得
，
所以
的所有奇数项成等差数列，首项为1，公差为4，
的所有偶数项成等差数列，首项为3，公差为4，
所以当n 为奇数时，
，
当n 为偶数时，
，
综述：
（
），
所以
，
所以
.
故答案为：4082.
16．已知数列
满足
，
，记数列
的前n 项和为
．若对于
任意
，不等式
恒成立，则实数k 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题设
，而
，则
是首项、公比都为2 的等比数列，
所以
，则
，
所以
，
则
在
上恒成立，
要使不等式
恒成立，只需
，所以实数k 的取值范围为
.
故答案为：
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
已知数列
的前
项和为
，且满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
，求数列
的前
项和
．
【解析】（1）因为
，
当
时，
，
当
时，
，则
，
当
时，
不成立，所以
.
（2）由（1）可得
，
所以
.
18．（12 分）
已知等差数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)求证：
．
【解析】（1）设数列
的首项为
，公差为
.
则
.
由
，可得
；
（2）由（1），
，则
.
故
.
19．（12 分）
数列
前
项和
满足
，数列
满足
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)对任意
，将数列
中落入区间
内项的个数记为
，求数列
前
项和
．
【解析】（1）
，
①，当
时，
，
当
时，
②，
两式①-②得
，即
，
其中
，也满足上式，
故
是以为首项，为公比的等比数列，
故
；
；
（2）
，
令
，解得
，又
，
故
，则
，
故
，所以
为等比数列，首项为
，公比为3，
所以
.
20．（12 分）
已知数列
的前
项和为
，且满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
满足
，求数列
的前
项和
．
【解析】（1）因为
，
时，
,
两式相减得
，
，
，
，
，
相乘得
，所以
，
当
时符合上式，
所以
；
（2）
，
当
为奇数时
，
.
21．（12 分）
已知等比数列
的公比
，且
，首项
，前n 项和为
.
(1)若
，且
为定值，求q 的值；
(2)若
对任意
恒成立，求q 的取值范围.
【解析】（1）易知
，
若
，且
为定值，
则当且仅当
时，
为定值－1.
（2）因为
，所以
，
当
时，有
，即要满足
恒成立，
当
时，由于
，这与
恒成立矛盾.
当
时，有
，即要满足
恒成立，
当
时，由于
，
故
.
综上，q 的取值范围是
.
22．（12 分）
设数列
的前n 项和为
，已知
，
.
(1)证明数列
为等比数列；
(2)设数列
的前n 项积为
，若
对任意
恒成立，求整数
的最大值.
【解析】（1）因为
，①
当
时，
，②
①
②得：
，即
，
经检验
符合上式，
所以数列
是首项为3，公比为3 的等比数列.
（2）由（1）知
，所以
，
，
所以
，
所以
恒成立，即
，
化简得：
，
令
，所以
，
所以数列
是递增数列，最小值为
，
所以
，故整数
的最大值为0.
