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学科网（北京）股份有限公司 2022 年普通高等学校招生全国统一考试 （新高考全国Ⅱ卷）数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 图1 是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称 为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举， 是相等的 步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知 成公差为0.1 的等 差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ） 学科网（北京）股份有限公司 A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9 4. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. 5 D. 6 5. 有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方 式共有（ ） A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种 6. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积 为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 的定义域为R，且 ，则 （ ） A. B. C. 0 D. 1 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 学科网（北京）股份有限公司 9. 已知函数 的图像关于点 中心对称，则（ ） A. 在区间 单调递减 B. 区间 有两个极值点 C. 直线 是曲线 的对称轴 D. 直线 是曲线 的切线 10. 已知O 为坐标原点，过抛物线 焦点F 直线与C 交于A，B 两点，其中A 在第 一象限，点 ，若 ，则（ ） A. 直线 的斜率为 B. C. D. 11. 如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（ ） A. B. 学科网（北京）股份有限公司 C. D. 12 若x，y 满足 ，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 已知随机变量X 服从正态分布 ，且 ，则 ____________． 14. 曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 15. 设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆 有公共点，则a 的取值范围是________． 16. 已知直线l 与椭圆 在第一象限交于A，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M，N 两点，且 ，则l 的方程为___________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知 为等差数列， 是公比为2 的等比数列，且 ． （1）证明： ； （2）求集合 中元素个数． 18. 记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次 为 ，已知 ． （1）求 面积； 学科网（北京）股份有限公司 （2）若 ，求b． 19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分 布直方图： （1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率； （3）已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中 患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 20. 如图， 是三棱锥 的高， ， ，E 是 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 21. 已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 ． （1）求C 的方程； 学科网（北京）股份有限公司 （2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，点 在C 上，且 ．过P 且斜率为 的直线与过Q 且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取 两个作为条件，证明另外一个成立： ①M 在 上；② ；③ ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 22. 已知函数 ． （1）当 时，讨论 的单调性； （2）当 时， ，求a 的取值范围； （3）设 ，证明： ． 学科网（北京）股份有限公司
