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2024 年1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）
数学试题
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40 的中位数为（ ）
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20
2. 椭圆
2
2
2
1(
1)
x
y
a
a
的离心率为
1
2 ，则
a
（ ）
A. 2 3
3
B.
2
C.
3
D. 2
3. 记等差数列
na
的前n 项和为
3
7
12
,
6,
17
n
S a
a
a
，则
16
S
（ ）
A. 120
B. 140
C. 160
D. 180
4. 设,
是两个平面，
,
m l 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若
,
,
m
l
∥
∥
，则m
l
B. 若
,
,
m
l
m
l
∥，则
∥
C. 若
,
,
m l
l
∥
∥
，则m
l
∥
D. 若
,
,
m
l
m
l
∥，则
5. 甲、乙、丙等5 人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2 人，则不同排法共有（ ）
A. 20 种
B. 16 种
C. 12 种
D. 8 种
6. 已知Q 为直线:
2
1
0
l x
y
上的动点，点P 满足
1, 3
QP
，记P 的轨迹为E ，则（ ）
A. E 是一个半径为5 的圆
B. E 是一条与l 相交的直线
C. E 上的点到l 的距离均为5
D. E 是两条平行直线
7. 已知
3π
π
,π ,tan2
4tan
4
4
，则
2
1
sin2
2cos
sin2
（ ）
公众号：一枚试卷君
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A. 1
4
B. 3
4
C. 1
D. 3
2
8. 设双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过坐标原点的直线与C 交于
,
A B 两点，
2
1
1
2
2
2
,
4
F B
F A F A F B
a
，则C 的离心率为（ ）
A.
2
B. 2
C.
5
D.
7
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9. 已知函数
3π
3π
sin 2
cos 2
4
4
f x
x
x
，则（ ）
A. 函数
π
4
f
x
偶函数
B. 曲线
y
f x
对称轴为
π,
Z
x
k
k
C.
f x 在区间π π
,
3 2
单调递增
D.
f x 的最小值为2
10. 已知复数,z w 均不为0，则（ ）
A.
2
2
|
|
z
z
B.
2
2
|
|
z
z
z
z
C. z
z
w
w
D.
z
z
w
w
11. 已知函数
f x 的定义域为R ，且
1
0
2
f
，若
4
f
x
y
f
x f
y
xy
，则（ ）
A.
1
0
2
f
B.
1
2
2
f
C. 函数
1
2
f
x
是偶函数
D. 函数
1
2
f
x
是减函数
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 已知集合
2,0,2,4 ,
3
A
B
x x
m
，若A
B
A
，则m 的最小值为__________．
13. 已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O 的直径相等，则圆锥MM的体积与球O 的体积的比值
为
的
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是__________，圆锥MM的表面积与球O 的表面积的比值是__________．
14. 以maxM 表示数集M 中最大的数．设0
1
a
b
c
，已知
2
b
a
或
1
a
b
，则
max
,
,1
b
a c
b
c
的最小值为__________．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数
2
ln
2
f
x
x
x
ax
在点
2
2
f,
处的切线与直线2
3
0
x
y
垂直．
（1）求a ；
（2）求
f x 的单调区间和极值．
16. 盒中有标记数字1，2，3，4 的小球各2 个，随机一次取出3 个小球．
（1）求取出
3 个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3 个小球上的最小数字为X ，求X 的分布列及数学期望
E X
．
17. 如图，平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，底面ABCD 是边长为2 的正方形，O 为AC 与BD 的交点，
1
1
1
1
2,
,
45
AA
C CB
C CD
C CO
．
（1）证明：
1
C O 平面ABCD ；
（2）求二面角
1
B
AA
D
正弦值．
18. 已知抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于
,
A B 两点，过F 与l 垂直的直线交C 于
,
D E
两点，其中
,
B D 在x 轴上方，
,
M N 分别为
,
AB DE 的中点．
（1）证明：直线MN 过定点；
（2）设G 为直线AE 与直线BD
交点，求GMN
面积的最小值．
19. 离散对数在密码学中有重要的应用．设p 是素数，集合
1,2,
,
1
X
p
，若,
,
u v
X m
N ，记u
v
为uv 除以p 的余数，
,
m
u
为
m
u
除以p 的余数；设a
X
，
2,
2,
1, ,
,
,
p
a a
a
两两不同，若
,
0,1,
,
2
n
a
b n
p
，则称n 是以a 为底b 的离散对数，记为
log( )a
n
p
b
．
的
的
的
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（1）若
11,
2
p
a
，求
1,
p
a ；
（2）对
1
2
,
0,1,
,
2
m m
p
，记
1
2
m
m
为
1
2
m
m
除以
1
p 的余数（当
1
2
m
m
能被
1
p 整除时，
1
2
0
m
m
）．证明：
log( )
log( )
log( )
a
a
a
p
b
c
p
b
p
c
，其中,b c
X
；
（3）已知
log( )a
n
p
b
．对
,
1,2,
,
2
x
X k
p
，令
,
,
1
2
,
k
k
y
a
y
x
b
．证明：
2 ,
2
1
n p
x
y
y
．
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