学科网（北京）股份有限公司
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
（新高考全国Ⅱ卷）数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合
后可求
.
【详解】
，故
，
故选：B.
2.
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的乘法可求
.
【详解】
，
故选：D.
学科网（北京）股份有限公司
3. 图1 是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称
为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举，
是相等的
步，相邻桁的举步之比分别为
．已知
成公差为0.1 的等
差数列，且直线
的斜率为0.725，则
（ ）
A. 0.75
B. 0.8
C. 0.85
D. 0.9
【答案】D
【解析】
【分析】设
，则可得关于
的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设
，则
，
依题意，有
，且
，
所以
，故
，
故选：D
4. 已知向量
，若
，则
（ ）
学科网（北京）股份有限公司
A.
B.
C. 5
D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：
,
,即
,解得
,
故选：C
5. 有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方
式共有（ ）
A. 12 种
B. 24 种
C. 36 种
D. 48 种
【答案】B
【解析】
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有
种排列
方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2 种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2 种排列方式，故安排这5 名同学共有：
种不同的排列方
式，
故选：B
6. 若
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】由已知得：
,
即：
，
学科网（北京）股份有限公司
即：
,
所以
,
故选：C
7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积
为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径
，再根据球心距，圆面半径，以及球的半
径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径
，所以
，即
，
设球心到上下底面的距离分别为
，球的半径为
，所以
，
，故
或
，即
或
，解得
符合题
意，所以球的表面积为
．
故选：A．
8. 已知函数
定义域为R，且
，则
（
）
A.
B.
C. 0
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意赋值即可知函数
的一个周期为
，求出函数一个周期中的
学科网（北京）股份有限公司
的值，即可解出．
【详解】因为
，令
可得，
，所以
，令
可得，
，即
，所以函数
为偶函数，令
得，
，即有
，从而可知
，
，故
，即
，所以
函数
一个周期为
．
因为
，
，
，
，
，所以
一个周期内的
．由于22 除以6 余4，
所以
．
故选：A．
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
9. 已知函数
的图像关于点
中心对称，则（ ）
A.
在区间
单调递减
B.
在区间
有两个极值点
C. 直线
是曲线
的对称轴
学科网（北京）股份有限公司
D. 直线
是曲线
的切线
【答案】AD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得：
，所以
，
，
即
，
又
，所以
时，
，故
．
对A，当
时，
，由正弦函数
图象知
在
上是单
调递减；
对B，当
时，
，由正弦函数
图象知
只有1 个极值点，
由
，解得
，即
为函数的唯一极值点；
对C，当
时，
，
，直线
不是对称轴；
对D，由
得：
，
解得
或
,
从而得：
或
,
学科网（北京）股份有限公司
所以函数
在点
处的切线斜率为
，
切线方程为：
即
．
故选：AD．
10. 已知O 为坐标原点，过抛物线
焦点F 的直线与C 交于A，B 两点，其中A 在第一
象限，点
，若
，则（ ）
A. 直线
的斜率为
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由
及抛物线方程求得
，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线
的方程，联立抛物线求得
，即可求出
判断B 选项；由抛物线的定义求出
即可判断C 选项；由
，
求得
，
为钝角即可判断D 选
项.
学科网（北京）股份有限公司
【详解】
对于A，易得
，由
可得点
在
的垂直平分线上，则
点横坐标为
，
代入抛物线可得
，则
，则直线
的斜率为
，A 正确；
对于B，由斜率为
可得直线
的方程为
，联立抛物线方程得
，
设
，则
，则
，代入抛物线得
，解得
，
则
，
则
，B 错误；
对于C，由抛物线定义知：
，C 正确；
对于D，
，则
为钝角，
学科网（北京）股份有限公司
又
，则
为
钝角，
又
，则
，D 正确.
故选：ACD.
11. 如图，四边形
为正方形，
平面
，
，记三棱锥
，
，
的体积分别为
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】直接由体积公式计算
，连接
交
于点
，连接
，由
计算出
，依次判断选项即可.
学科网（北京）股份有限公司
【详解】
设
，因为
平面
，
，则
，
，连接
交
于点
，连接
，易得
，
又
平面
，
平面
，则
，又
，
平面
，
则
平面
，
又
，过
作
于
，易得四边形
为矩形，则
，
则
，
，
，则
，
，
，
则
，则
，
，
，故A、B 错误；
C、D 正确.
故选：CD.
12. 若x，y 满足
，则（ ）
A.
B.
学科网（北京）股份有限公司
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为
（
R），由
可变形为，
，解得
，当且仅当
时，
，当且仅当
时，
，所以A 错误，B 正确；
由
可变形为
，解得
，当且仅当
时取等
号，所以C 正确；
因为
变形可得
，设
，所以
，因此
，所以当
时满足等式，但是
不成立，所以D
错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.
13. 已知随机变量X 服从正态分布
，且
，则
____________．
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
##
．
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为
，所以
，因此
．
故答案为：
．
14. 曲线
过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】 ①.
.
②
【解析】
【分析】分
和
两种情况，当
时设切点为
，求出函数的导函数，即可求出切线
的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出
，即可求出切线方程，当
时同理可得；
【详解】解： 因为
，
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
学科网（北京）股份有限公司
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
故答案为：
；
15. 设点
，若直线
关于
对称
直线与圆
有公共点，
则a 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出点
关于
对称点
的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于
等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：
关于
对称的点的坐标为
，
在直线
上，
所以
所在直线即为直线，所以直线为
，即
；
圆
，圆心
，半径
，
依题意圆心到直线的距离
，
即
，解得
，即
；
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司
16. 已知直线l 与椭圆
在第一象限交于A，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M，N 两点，且
，则l 的方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】令
的中点为
，设
，
，利用点差法得到
，设直线
，
，
，求出
、
的坐标，再根据
求出
、
，即可得解；
【详解】解：令
的中点为
，因为
，所以
，
设
，
，则
，
，
所以
，即
所以
，即
，设直线
，
，
，
令
得
，令
得
，即
，
，所以
，
即
，解得
或
（舍去），
又
，即
，解得
或
（舍去），
所以直线
，即
；
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：
四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知
为等差数列，
是公比为2 的等比数列，且
．
（1）证明：
；
（2）求集合
中元素个数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
．
【解析】
【分析】（1）设数列
的公差为
，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得
，即可解出．
【小问1 详解】
设数列
的公差为
，所以，
，即可解得，
，所以原命题得
证．
【小问2 详解】
学科网（北京）股份有限公司
由（1）知，
，所以
，即
，亦即
，解得
，所以满足等式的解
，故集合
中的元素个数为
．
18. 记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c 为边长的三个正三角形的面积依次
为
，已知
．
（1）求
的面积；
（2）若
，求b．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先表示出
，再由
求得
，结合余弦定理及平方关
系求得
，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得
，即可求解.
【小问1 详解】
由题意得
，则
学科网（北京）股份有限公司
，
即
，由余弦定理得
，整理得
，则
，又
，
则
，
，则
；
小问2 详解】
由正弦定理得：
，则
，则
，
.
19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分
布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间
的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患病率为
，该地区年龄位于区间
的人口占该地区总人口的
学科网（北京）股份有限公司
.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间
，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中
患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
【答案】（1）
岁；
（2）
；
（3）
．
【解析】
【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
（2）设
{一人患这种疾病的年龄在区间
}，根据对立事件的概率公式
即可解
出；
（3）根据条件概率公式即可求出．
【小问1 详解】
平均年龄
（岁）．
【小问2 详解】
设
{一人患这种疾病的年龄在区间
}，所以
．
【小问3 详解】
设
任选一人年龄位于区间
，
任选一人患这种疾病，
则由条件概率公式可得
．
20. 如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
学科网（北京）股份有限公司
（1）证明：
平面
；
（2）若
，
，
，求二面角
的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接
并延长交
于点
，连接
、
，根据三角形全等得到
，再根据
直角三角形
性质得到
，即可得到
为
的中点从而得到
，即可得证；
（2）过点
作
，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角
三角函数的基本关系计算可得；
【小问1 详解】
证明：连接
并延长交
于点
，连接
、
，
因为
是三棱锥
的高，所以
平面
，
平面
，
所以
、
，
又
，所以
，即
，所以
，
又
，即
，所以
，
，
所以
所以
，即
，所以
为
的中点，又
为
的中点，所以
，
学科网（北京）股份有限公司
又
平面
，
平面
，
所以
平面
【小问2 详解】
解：过点
作
，如图建立平面直角坐标系，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，则
，
，
所以
，所以
，
，
，
，所以
，
则
，
，
，
学科网（北京）股份有限公司
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
，
所以
；
设平面
的法向量为
，则
，令
，则
，
，
所以
；
所以
设二面角
为
，由图可知二面角
为钝二面角，
所以
，所以
故二面角
的正弦值为
；
21. 已知双曲线
的右焦点为
，渐近线方程为
．
（1）求C 的方程；
（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，点
在C 上，且
．过P 且斜率为
的直线与过Q 且斜率为
的直线交于点M.从下面①②③中选取
两个作为条件，证明另外一个成立：
①M 在
上；②
；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）
学科网（北京）股份有限公司
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用焦点坐标求得
的值，利用渐近线方程求得
的关系，进而利用
的平方关系求
得
的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线
的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分
析得到
；由直线
和
的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式
得到直线PQ 的斜率
，由②
等价转化为
，由①
在直线
上等价于
，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
【小问1 详解】
右焦点为
，∴
,∵渐近线方程为
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
．
∴C 的方程为：
；
【小问2 详解】
由已知得直线
的斜率存在且不为零，直线
的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线
的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则
为线段
的中点，假若直线
的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知
在
轴上，即为焦点
,此时由对称性可知
、
关于
轴对称，与从而
，已知不符；
总之，直线
的斜率存在且不为零.
设直线
的斜率为
,直线
方程为
,
学科网（北京）股份有限公司
则条件①
在
上，等价于
；
两渐近线的方程合并为
,
联立消去y 并化简整理得：
设
,线段中点为
,则
,
设
,
则条件③
等价于
,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即
,
即
；
由题意知直线
的斜率为
, 直线
的斜率为
,
∴由
,
∴
,
所以直线
的斜率
,
直线
,即
,
代入双曲线的方程
,即
中，
得：
,
学科网（北京）股份有限公司
解得
的横坐标：
,
同理：
，
∴
∴
,
∴条件②
等价于
，
综上所述：
条件①
在
上，等价于
；
条件②
等价于
；
条件③
等价于
；
选①②推③:
由①②解得：
,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：
，
，
∴
，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：
，
，∴
，
∴
，∴①成立.
学科网（北京）股份有限公司
22. 已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求a 的取值范围；
（3）设
，证明：
．
【答案】（1）
的减区间为
，增区间为
.
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）求出
，讨论其符号后可得
的单调性.
（2）设
，求出
，先讨论
时题设中的不等式不成立，再就
结合放
缩法讨论
符号，最后就
结合放缩法讨论
的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得
对任意的
恒成立，从而可得
对任意的
恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【小问1 详解】
当
时，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
的减区间为
，增区间为
.
【小问2 详解】
设
，则
，
又
，设
，
学科网（北京）股份有限公司
则
，
若
，则
，
因为
为连续不间断函数，
故存在
，使得
，总有
，
故
在
为增函数，故
，
故
在
为增函数，故
，与题设矛盾.
若
，则
，
下证：对任意
，总有
成立，
证明：设
，故
，
故
在
上为减函数，故
即
成立.
由上述不等式有
，
故
总成立，即
在
上为减函数，
所以
.
当
时，有
，
所以
在
上为减函数，所以
.
综上，
.
【小问3 详解】
取
，则
，总有
成立，
学科网（北京）股份有限公司
令
，则
，
故
即
对任意的
恒成立.
所以对任意的
，有
，
整理得到：
，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处
导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
学科网（北京）股份有限公司
