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备战2022 年高考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷
（新高考）
第二模拟
（试卷满分150 分，考试用时120 分钟）
姓名_____________ 班级_________ 考号
_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设
，其中为虚数单位，
是实数，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【详解】
因为
，
所以
，解得
，
所以
.
故选：B.
2．设命题甲：
，
是真命题；命题乙：函数
在
上单
调递减是真命题，那么甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
对于命题甲：因为
是开口向上的二次函数，
所以对于
，
是真命题，则
与
轴无交点，
从而
，解得
；
对于命题乙：函数
在
上单调递减是真命题，
2
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由对数函数单调性可知，
，解得
，
因为
，所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
3．从
，
，
，
四所大学中随机选取两所大学参与北京冬奥会的志愿者工作，则
校
被选中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由题意可知
校被选中的概率
，
故选：A.
4．已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
因为
，
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
故选：C．
5．函数
的图像为（ ）
A．
3
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B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
解：因为
，定义域为
，且
，故函数为偶函数，函数图象关于
轴对称，
故排除A、D，当
时
，
，所以
，故排除C，
故选：B
6．已知
是椭圆
的左焦点，
为右顶点，
是椭圆上一点，
4
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轴，若
，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
将
代入椭圆方程得：
，
，且
，
，
故选：D
7．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥
为鳖
臑，
平面
，
，
，
，若三棱锥
的所有顶点都
在球
上，则球
的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由题意,将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥
的外接球即为长方体的外接球.
外接球的半径为
故选：A
8．已知函数
，若对任意的正实数t，
在R 上
都是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
【答案】D
【详解】
由题意
在
R 上恒成立，其中
，
整理得
对
恒成立，
所以
对
恒成立，
，
令
，
，
时，
，
递减，
时，
，
递增，
所以
，
所以
的最小值是16，
所以
．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项
中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
9．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．函数
是幂函数的充分必要条件是
B．若
，则
C．若
，则
D．若随机变量服从正态分布
，
，则
【答案】BD
【详解】
解：对于A，函数
是幂函数的充要条件为
，
解得
或
，故A 错误；
对于B，若
，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得
，故B 正确；
6
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对于C，若
，
则
，其通项公式为
，
∴当
时，
，故C 错误；
对于D，若随机变量
服从正态分布
，则
，
∵对称轴
，∴
，故D 正确.
故选：BD.
10．函数
，其图象的一个最高点是
，距离
点最近的对称中心为
，则（ ）
A．
B．
时，函数
单调递增
C．
是函数
图象的一条对称轴
D．
图象向右平移
个单位后得到
的图象，若
是奇函数，则
的最小
值是
【答案】AB
【详解】
不妨设
的最小正周期为
，
由题意可知，
，故
且
，解得
，故A 正确；
从而
，由
，
解得
，
，即
，
，
因为
，所以
，
故
，
因为函数
图象的一个最高点是
，
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所以
，解得
，
故
，
对于选项B：由余弦函数的单调增区间可知，
由
，
，解得
，
，
从而
的单调递增区间为
，
，
从而当
时，函数
单调递增，故B 正确；
对于选项C：因为
，
所以
不是函数
图象的一条对称轴，故C 错误；
对于选项D：由平移变换可知，
，
因为
是奇函数，所以
，
，即
，
，
因为
，所以
的最小值是
，故D 错误.
故选：AB.
11．在归国包机上，孟晚舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的1028 天，
左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的1028 天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去的1028
天，山重水复，不知归途在何处．”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一抹绚丽
的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫长路途．”
下列数列
中，其前
项和可能为1028 的数列是( )
(参考公式：
)
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】
不妨设数列
的前
项和为
，
对于选项A：由等差数列的前
项和公式可知，
，
8
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则方程无正整数解，故A 错误；
对于选项B：不妨令
，
，数列
和
的前
项和分别为
和
，
故
，
，
由参考公式和等差数列的前
项和公式可知，
，
，
所以
，解得
，故B 正确；
对于选项C：①当
时，
，
故此时
；
②当
时，
令
，解得
，
即
时，
，故C 正确；
对于选项D：由等比数列的前
项和公式可知，
，解得
，故D 正确.
故选：BCD.
12．已知圆
与直线
，下列选项正确的是（ ）
A．直线与圆
不一定相交
B．当
时，圆
上至少有两个不同的点到直线的距离为1
C．当
时，圆
关于直线对称的圆的方程是
D．当
时，若直线与
轴，
轴分别交于
，
两点，
为圆
上任意一点，当
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时，
最大或最小
【答案】AD
【详解】
对于A，直线
过定点
，又因为
，所以点
在圆
外，
所以直线与圆
不一定相交，故A 正确；
对于B，要使圆上有至少两个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离要小于5，所以
有
，解得
，故B 错误；
对于C，当
时，直线
，设圆
关于直线对称的圆的方程是
，
根据题意有
，解得
，
，所以圆的方程为
，
故C 错误；
对于D，当
时，直线
，则点
，
，
当
与圆
相切时
最大或最小，此时
，故D 正确．
故选：AD
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．若向量
，
是方向相反的单位向量，且向量满足
，则
______．
【答案】1
【详解】
，
是方向相反的单位向量，则
，因为
，
所以
，所以
．
故答案为：1．
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14．若点
是抛物线
上一动点，
是抛物线的焦点，点
，则
的
最小值为______．
【答案】4
【详解】
抛物线
的焦点为
，准线为
，过
作准线的垂线，交准线于
由抛物线的定义可得，
等于点
到抛物线准线的距离
，
所以
所以
的最小值为4，
故答案为：4
15．已知函数
在
上存在单调递增区间，则
的取值范围是______．
【答案】
【详解】
因为
在
上存在单调递增区间，
所以
在
有解，
令
，则
，
得
故答案为：
.
16．已知三棱锥
中，
底面
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为___________.
【答案】
【详解】
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设三棱锥
外接球半径为
.
设
为
的外接圆的圆心，则三棱锥
外接球的球心在过
且与平面
垂
直的直线上.
即设球心为
,则
平面
，又
底面
，则
连接结
, 过
作
,由
,则
为
的中点.
因为
外接圆半径
，即
所以三棱锥
外接球半径
，
所以三棱锥
外接球的表面积
.
故答案为：
四．解答题：本小题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
17．已知等差数列
的前
项和为
，且
，
.
（1）求
；
（2）若
+2 ，求
.
【答案】
解：设公差为
，
由已知
，
得：
，解得：
，
所以
；
（2）
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解：
，
因为
+2 ，即
，得
，
解得
，或
（舍去），
所以
.
18．在
中，满足
．
（1）求角
；
（2）若已知
，求
的周长的最大值．
【答案】
（1）解：由正弦定理得
，又
，所以
，因为
，所以
，即
，因
为
，所以
.
（2）解：由余弦定理得
，即
，所以
，
即
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，此时
，
所以
的周长
．
所以
的周长的最大值为
．
19．如图，在五面体
中，平面
平面
，
，
，且
，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）已知
是线段
上点，满足
，求二面角
的余弦值.
【答案】
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（1）如图，设
中点为
，过
作
，令
交AB 于M，连接EM.，所以
,且OM//AC
由已知DE//AC,且
.所以DE//OM,且DE=OM
所以ODEM 为平行四边形，所以OD//EM.
因为
为等边三角形，则有
，
又平面
平面
，所以
平面
，
所以
平面ABC
又
平面AEB
所以平面
平面ABC.
（2）由（1）知
、
、
三条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系
，
依题意可得
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
，
则有
取
由BC=3BF，BC=2 得：
，则
，
，
设平面
的法向量
，
则有
取
.
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易知二面角
的大小与向量
、
的夹角大小一致
所以二面角
的余弦值等于
20．新冠疫情期间，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，临江中学立马采取了网
络授课，老师们变成了“流量主播”，全力帮助学生在线学习．在复课后的某次考试中，
某数学教师为了调查高三年级学生这次考试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的
相关关系，对在校高三学生随机抽取45 名进行调查，了解到其中有25 人每天在线学习数
学的时长不超过1 小时，并得到如下的等高条形图：
参考公式：
，其中
．
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
（1）根据等高条形图填写下面
列联表，是否有
的把握认为“高三学生的这次摸底
考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；
数学成绩不超过120
分
数学成绩超过120
分
总计
每天在线学习数学不超过1 小时
25
每天在线学习数学超过1 小时
总计
45
（2）从被抽查的，且这次数学成绩不超过120 分的学生中，再随机抽取2 人，求抽取的2
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人中每天在线学习数学的时长超过1 小时的人数
的分布列与数学期望．
【答案】
（1）完善列联表如下：
数学成绩不超过120 分
数学成绩超过120
分
总计
每天在线学习数学不超过1 小时
15
10
25
每天在线学习数学超过1 小时
5
15
20
总计
20
25
45
根据列联表中的数据，可得
，
所以有
的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长
有关”；
（2）由列联表可得，被抽查学生中这次数学成绩不超过120 分的学生有20 人，其中每天
在线学习数学不超过1 小时的有15 人，每天在线学习数学超过1 小时的有5 人，从中随机
抽取2 人，则抽取的2 人中每天在线学习数学的时长超过1 小时的人数
的可能取值为0，
1，2，
则
，
，
，
则
的分布列如下：
0
1
2
则
.
21．已知双曲线
的离心率为2，且过点
.
（1）求C 的方程；
（2）若斜率为
的直线l 与C 交于P，Q 两点，且与x 轴交于点M，若Q 为PM 的中点，
求l 的方程.
【答案】
（1）因为
，所以
，即
.
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将点A 的坐标代入
，得
，
解得
，故C 的方程为
.
（2）设
，
，
，
因为Q 为PM 的中点，所以
.
因为直线l 的斜率为
，所以可设l 的方程为
，
联立
得
，
，
由韦达定理可得
，
.
因为
，所以
，解得
，
，解得
，
即
，故l 的方程为
.
在第（2）问中，若未写判别式大于0，
但写到“由
，得l 与C 必有两个不同的交点”，
另外本问还可以通过联立方程消去y 求解，其过程如下：
设
，
，l 的方程为
，
联立
得
，
，
由韦达定理可得
，
.
因为Q 为PM 的中点，所以
，则
，
，解得
，
，
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，解得
，
即
，故l 的方程为
（或
）.
22．已知函数
，
.
（1）求函数
的图象在
处的切线方程；
（2）当
时，证明：
在
上单调递增；
（3）若函数
在
存在唯一极小值点，求
的取值范围.
【答案】
（1）解：
函数
的图象在
处的切线方程为：
（2）证明：当
时，
，
，
在
单调递增，且
在
单调递增，且
函数
在
上单调递增
（3）解：由函数
在
存在唯一极小值点，
得
有唯一的变号实数解
，
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且
时，
，
时，
由函数
，
，
，
①当
时，
，
此时
在
恒成立，即
在
单调递增
所以
，不符合题意；
②当
时，
，由①知，
所以此时
，不符合题意
③当
时，
此时，在
上，
单调递增
，
又
时，
，故
因此
时，
，
得
，即
，不符合题意
④当
时，由③知，
，
因此存在
使得
，
单调递减，
时，
单调递增
又
，
所以存在
，使得
时，
，
时，
即在
时，
单调递减，
时，
单调递增
又
，
所以存在
，使得
时，
，
时，
此时函数
在
存在唯一极小值点，符合题意
19
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故
的取值范围为：
20
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