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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题44 平面解析几何第四缉
1 ．【2019 年贵州预赛】设椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2, 其焦距为2c, 点
N(
3c
2 ,
❑√2c
2 )
在椭圆的内部,点M 是椭圆C 上的动点,且|M F1|+| MN |<2❑√3|F1 F2|恒成立,则椭圆C 的
离心率的取值范围是(
)
A．(0,
❑√3
3 )
B．(
❑√3
3 ,1)
C．(
4 ❑√3
21 ,1)
D．(
4 ❑√3
21 ,
❑√3
3 )
【答案】D
【解析】解法1:由N(
3c
2 ,
❑√2c
2 )
在椭圆的内部得9c
2
4 a
2 + c
2
2b
2 <1.
即9b
2c
2+2a
2c
2<4 a
2b
2.
⇒4 a
4-15a
2c
2+9c
4>0⇒9e
4-15e
2+ 4>0⇒(3e
2-1)(3e
2- 4)>0，
因为0<e<1,所以3e2-4<0,故3e
2<1⇒0<e<
❑√3
3
.
又由|M F1|+| MN |<2❑√3|F1 F2|恒成立,即2a+| MN |-|M F2|<4 ❑√3c恒成立
⇔(2a+| MN |-|M F2|)max<4 ❑√3c⇔2a+|N F2|<4 ❑√3c
⇔2a+ ❑√(
3c
2 -c)
2
+ c
2
2 <4 ❑√3c⇔2a< 7 ❑√3c
2
⇔e> 4 ❑√3
21
.
综上,得4 ❑√3
21 <e<
❑√3
3
.
解法2:因为N(
3c
2 ,
❑√2c
2 )
在椭圆的内部,所以N F1+ N F2<2a,即3 ❑√3
2
c +
❑√3
2 c<2a.
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得❑√3c<a, e = c
a <
❑√3
3
,因为还有一个条件未用,故不可能是A 所以选D.
2．【2018 年福建预赛】若直线l 与两直线l1：x－y－l=0，l2：13x－3y－11=0 分别交于A、B 两点，且线段
AB 中点为P(1，2)，则直线l 的斜率为（ ）
A．－2 B．－3 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
由点A 在直线l1：x－y－7=0 上，设A(t，t－7).
由AB 中点为P(1，2)，知B(2－t，11－t).
∵点B 在直线l2：13x+3y－11=0 上，
∴13(2－t)+3(11－t)－11=0.解得，t=3.
∴A(3，－4)，kl=k PA = 2-(- 4)
1-3
=-3,选B.
3．【2018 年福建预赛】已知点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，直线y=kx+b(k>0)交线段CA 于点D，交线
段CB 于点E.若△CDE 的面积为2，则b 的取值范围为（ ）
A．(❑√2-1，1) B．(2- ❑√2，2
3]
C．(2- ❑√2，3
4]
D．(
❑√2-1，2
3]
【答案】B
【解析】
如图，设|CD|=m ，|CE|=n.
由条件知，△ABC 为等腰直角形，CA=CB=2❑√2，CA⊥CB.
由△CDE 的面积为2，得1
2 mn=2，mn= 4.
由k>0，得m>n.因此，2<m≤2❑√2.
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设DE 交y 轴于点F，点F 到CA、CB 的距离相等，设为t.
则S ΔCDE= 1
2 mt + 1
2 nt =2，t =
4
m+n
.
∴b=OF =2-CF =2- ❑√2t =2- 4 ❑√2
m+n
.
∴b=2- 4 ❑√2
m+n
的取值范围为(2- ❑√2，2
3]
. 选B.
4．【2018 年贵州预赛】已知一双曲线的两条渐近线方程为x - ❑√3 y =0和❑√3 x + y =0，则它的离心率是
（ ）．
A．❑√2 B．❑√3 C．2❑√2 D．❑√3+1
【答案】A
【解析】
解：由于两渐近线相互垂直，故此双曲线的离心率与渐近线为y=±x 的双曲线的离心率相同，而以y=±x 为
渐近线的双曲线方程为x
2- y
2= λ( λ≠0) ，它的离心率为❑√2，故答案为：A．
5．【2018 年北京预赛】如图，平面直角坐标系x -O - y中，A ,B是函数y = 1
x
在第I象限的图象上两点，
满足∠AOB =60° 且OA =OB，则ΔOAB的面积等于
A．2❑√3. B．3
2
❑√3. C．❑√3. D．
❑√3
2
.
【答案】C
【解析】
依题意，ΔOAB是正三角形.又A ,B是函数y = 1
x
在第I象限的图象上两点，所以A ,B关于直线y = x轴对称.
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设点A(a, 1
a)
，则点B(
1
a ,a).O A
2=a
2+ 1
a
2 ，A B
2=(a- 1
a)
2
+(
1
a -a)
2
=2(a- 1
a)
2
由OA = AB得a
2+ 1
a
2 =2(a- 1
a)
2，化简得a
2+ 1
a
2 - 4 =0.因此O A
2= 4.
所以，正ΔOAB的面积=
❑√3
4 ×O A
2=
❑√3
4 ×4 = ❑√3. 选C.
6．【2018 年贵州预赛】已知一双曲线的两条渐近线方程为x - ❑√3 y =0和❑√3 x + y =0，则它的离心率是
（ ）．
A．❑√2 B．❑√3 C．2❑√2 D．❑√3+1
【答案】A
【解析】
解：由于两渐近线相互垂直，故此双曲线的离心率与渐近线为y=±x 的双曲线的离心率相同，而以y=±x 为
渐近线的双曲线方程为x
2- y
2= λ( λ≠0) ，它的离心率为❑√2，故答案为：A．
7．【2018 年四川预赛】设F1、F2
分别是椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点，P为该椭圆上一点，满
足∠F1 P F2=90°.若ΔP F1 F2的面积为2，则b的值为（ ）.
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【答案】B
【解析】
设|P F1|=m,|P F2|=n，则
m+n=2a, ①
m
2+n
2= 4 c
2= 4(a
2-b
2), ②
1
2 mn=2. ③
由①②③得b
2=2,即b= ❑√2.
故答案为：B
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8．【2017 年天津预赛】将曲线y =log2 x沿x轴正方向移动1 个单位,再沿y轴负方向移动2 个单位,得到曲
线C .在下列曲线中,与C关于直线x + y =0对称的是(
)
(A)y =2
x +2-1
(B)y =-2
x +2-1
(C)y =-2
2- x-1
(D)y =2
2- x-1
【答案】C
【解析】提示：任取曲线y =log2 x上一点(2
t ,t),平移后得到曲线C上的点(2
t +1,t -2).它关于x + y =0的对
称点是(2-t ,-2
t -1).令x =2-t , y =-2
t -1,消去t得y =-2
2- x -1,故选C.
9．【2017 年四川预赛】已知F1, F2
为椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点,该椭圆上存在两点A 、B,使
得F1 A =3 F2 ´B,则该椭圆的离心率的取值范围是(
)
(A)(0, 1
2)
(B)(0, 1
3)
(C)(
1
2 ,1)
(D)(
1
3 ,1)
【答案】C
【解析】提示:如图,由⃗F1 A =3⃗F2B,可得F2B∥F1 A,且|F2B|= 1
3|F1 A|,所以直线AB与x轴交于点
P(2c ,0).
设M为已知椭圆上一动点,分PM为1：2 的三等分点形成的轨迹为C,则曲线C与已知椭圆的交点即为点B.
显然,当P点在椭圆内,则曲线C也在椭圆内,与椭圆无公共点;而当P点在橢圆外,则曲线C与椭圆有公共点.
所以在椭圆上存在两点A ,B,使得F1 A =3 F2B的充要条件是点P在椭圆外.
故2c>a.所以离心率e = c
a > 1
2
.
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10．【2017 年陕西预赛】如图,已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0),圆O: x
2+ y
2=a
2与y轴正半轴交于点B,过
点B的直线与椭圆E相切,且与圆O交于另一点A.若∠AOB =60
∘,则椭圆E的离心率为(
)
(A)1
2
(B)1
3
(C)
❑√2
2
(D)
❑√3
3
【答案】D
【解析】提示：因为|OA|=|OB|,∠AOB =60
∘,所以△AOB为正三角形,则直线AB的斜率为±
❑√3
3
.
于是,直线AB的方程为y =±
❑√3
3 x +a,
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代入x
2
a
2 + y
2
b
2 =1,得(a
2+3b
2) x
2±2❑√3a
3 x +3a
2(a
2-b
2)=0.
Δ=12a
6+12a
2(a
2+3b
2)(a
2-b
2)=0
,得2a
2=3b
2,即2a
2=3(a
2-c
2).
以a
2=3c
2,即e = c
a =
❑√3
3
.
11．【2017 年黑龙江预赛】方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的棛圆左顶点为A,左,右焦点分别为F1, F2, D是它
的短轴上的一个顶点,若3⃗DF1=⃗DA +2⃗DF2
,则该椭圆的离心率为(
)
(A)1
2
(B)1
3
(C)1
4
(D)1
5
【答案】D
【解析】提示:因为D (0,b), A (-a,0), F1(-c ,0), F2(c ,0),
所以3(-c ,-b)=(-a,-b)+2(c ,-b),
所以-3c =-a+2c,所以c
a = 1
5
.
12．【2017 年黑龙江预赛】已知F1, F2
分别是双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F1 F2
为直
径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P,若双曲线的离心率为5,则cos∠P F2 F1等于(
)
(A)3
5
(B)3
4
(C)4
5
(D)5
6
【答案】C
【解析】提示:设P F1= x,因为P在双曲线上,所以P F2=2a+ x.
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因为P在圆上,所以P F1
2+ P F2
2= F1 F2
2,所以x =-a+
❑√b
2+c
2,
所以P F2=-a+
❑√b
2+c
2.
又因为c
a =5,所以cos∠P F2 F1= 4
5
.
13．【2017 年湖南预赛】已知椭圆C : x
2
8 + y
2
4 =1,对于任意实数k,椭圆C被下列直线中所截得
的弦长,与被直线l: y =kx +1所截得的弦长不可能相等的是(
)
(A)kx + y + k =0
(B)kx - y -1=0
(C)kx + y -k =0
(D)kx + y -2=0
【答案】D
【解析】提示:对于A,当k =1时,椭圆C被直线kx + y + k =0所截得的弦长,与被l: y =kx +1所截得的弦长相等;
对于B,当k =0时,椭圆C被直线kx - y -1=0所截得的弦长,与被l: y =kx +1所截得的弦长相等;
对于C,当k =-1时,椭圆C被直线kx + y -k =0所截得的弦长,与被l: y =kx +1所截得的弦长相等.
因此,正确的选项为D.
14．【2016 年陕西预赛】已知A、B 为抛物线y=3-x2 上关于直线x+y=0 对称的相异两点.则|AB|等于
（ ）.
A．3 B．4 C．3 ❑√2 D．4 ❑√2
【答案】C
【解析】
因为点A、B 关于直线x+y=0 对称，所以，设点A(a，b)，B(-b，-a).
又点A、B 在抛物线y=3-x2上，则¿ 或¿
不妨设点A(-2，-1)，B(1，2).则|AB|=3❑√2. 选C.
15．【2016 年吉林预赛】已知椭圆E：
，对于任意实数k，下列直线被椭圆E 截得的弦长与
l：y＝kx＋1 被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )
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A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0
C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0
【答案】D
【解析】试题分析：解：由数形结合可知，当l 过点（-1，0）时，直线l 和选项A 中的直线重合，故不能
选 A．当l 过点（1，0）时，直线l 和选项D 中的直线关于y 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同，故不能
选C．当k=0 时，直线l 和选项B 中的直线关于x 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同，故不能选B．直线
l 斜率为k，在y 轴上的截距为1；选项D 中的直线kx+y-2="0" 斜率为-k，在y 轴上的截距为2，这两直线
不关于x 轴、y 轴、原点对称，故被椭圆E 所截得的弦长不可能相等．故选D
考点：直线和椭圆的位置关系
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简
单有效的方法
16．【2016 年吉林预赛】已知椭圆E：
，对于任意实数k，下列直线被椭圆E 截得的弦长与
l：y＝kx＋1 被椭圆E 截得的弦长不可能相等的是( )
A．kx＋y＋k＝0 B．kx－y－1＝0
C．kx＋y－k＝0 D．kx＋y－2＝0
【答案】D
【解析】试题分析：解：由数形结合可知，当l 过点（-1，0）时，直线l 和选项A 中的直线重合，故不能
选 A．当l 过点（1，0）时，直线l 和选项D 中的直线关于y 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同，故不能
选C．当k=0 时，直线l 和选项B 中的直线关于x 轴对称，被椭圆E 所截得的弦长相同，故不能选B．直线
l 斜率为k，在y 轴上的截距为1；选项D 中的直线kx+y-2="0" 斜率为-k，在y 轴上的截距为2，这两直线
不关于x 轴、y 轴、原点对称，故被椭圆E 所截得的弦长不可能相等．故选D
考点：直线和椭圆的位置关系
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简
单有效的方法
17．【2016 年浙江预赛】曲线为平面上交于一点的三条直线的充分必要条件为（ ）。
A．a=0 B．a=1 C．a=-1 D．a∈R
【答案】A
【解析】
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由于直线y = x与y =- x交于原点，于是，曲线要为平面上三条交于一点的直线当且仅当直线
x +2 y +a=0过原点，即a=0.
18．【2016 年浙江预赛】设双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1（a、b>0）的左、右焦点分别为F1、F2
，过点F2
且倾
斜角为π
4
的直线与双曲线的一个交点为A。若Δ F1 F2 A为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）。
A．
❑√3+1
2
B．❑√3+1 C．
❑√2+1
2
D．❑√2+1
【答案】D
【解析】
要使Δ F1 F2 A为等腰直角三角形，则|A F1|-|A F2|=2a，|A F2|=|F1 F2|=2c. 由勾股定理得
(2(a+c))
2=2(2c)
2⇒c
a = ❑√2+1.
19．【2016 年四川预赛】已知F1、F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且
∠F1 P F2=60
∘.则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）.
A．
❑√3
3
B．
❑√3
2
C．l D．❑√3
【答案】B
【解析】
设|P F1|=m，|P F2|=n(m>n).
椭圆方程为x
2
a1
2 - y
2
b1
2 =1，
双曲线方程为x
2
a2
2 - y
2
b2
2 =1
两曲线的半焦距为c1、c2，且c1=c2.
由圆锥曲线定义得
m+n=2a1，m-n=2a2.
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于是，m=a1+a2，n=a1-a2.
又由余弦定理得
m
2+n
2-mn= 4 c1
2= 4 c2
2⇒(a1+a2)
2+(a1-a2)
2-(a1+a2)(a1-a2)= 4 c1
2= 4 c2
2
⇒a1
2+3a2
2= 4 c1
2= 4 c2
2
⇒1
e1
2 + 3
e2
2 = 4.
由均值不等式得4 = 1
e1
2 + 3
e2
2 ≥2❑√
3
e1
2e2
2 ⇒e1e2≥
❑√3
2
.
当e1=
❑√2
2 ，e2=
❑√6
2
时，上式等号成立.
从而，该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为
❑√3
2
.
20．【2016 年湖南预赛】设m、n为非零实数，i为虚数单位，z∈C.则方程| z +ni|+| z -mi|=n与
方程| z +ni|-| z -mi|=-m在同一复平面内的图形（F1、F2为焦点）为（ ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
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【答案】B
【解析】
注意到，| z +ni|+| z -mi|=n表示以F1(0,-n)，F2(0,m)为焦点的椭圆，且
n>0；| z +ni|-| z -mi|=-m表示以F1(0,-n)、F2(0,m)为焦点的双曲线的一支.
由n=| z +ni|+| z -mi|≥|n+m|，知m<0.
故双曲线| z +ni|-| z -mi|=-m的一支靠近点F2.
21．【2015 年浙江预赛】“a=2，b= ❑√2”为“曲线C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a 、b∈R ,ab≠0)经过点(❑√2,1)”
的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
充分性显然成立.
当曲线C经过点(❑√2,1)时，有2
a
2 + 1
b
2 =1.
显然，a=-2，b=- ❑√2也满足上式.
从而，必要性不成立.
22．【2015 年浙江预赛】若过点P(1,0)，Q (2,0)，R (4,0)，S (8,0)作四条直线构成一个正方形，则该
正方形的面积不可能等于（ ）.
A．16
17
B．36
5
C．26
5
D．196
53
【答案】C
【解析】
不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，记其边长为a，面积为S，过点P的直线的倾斜角θ(0<θ<π
2 ).
当过点P、Q的直线为正方形的对边所在的直线时，
|PQ|sinθ =α =|RS|cosθ⇔sinθ = 4 cosθ⇔sinθ =
4
❑√17
.
此时，正方形的面积S =(|PQ|sinθ)
2= 16
17
.
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类似地，当过点P、R的直线为正方形的对边所在的直线时，S = 6
5
；
当过点P、S的直线为正方形的对边所在的直线时，S = 196
53
.
23．【2015 年天津预赛】方程|y|=1+
❑√2 x - x
2表示的曲线为（ ）
A．一个圆 B．两个半圆 C．一个椭圆 D．以上结论均不对
【答案】B
【解析】
由已知方程得y =1+
❑√2 x - x
2 及y =-1-
❑√2 x - x
2，分别表示以(1,1)为圆心、1 为半径的介于点
(0,1)与(2,1)之间的上半圆周及以(1,-1)为圆心、1 为半径的介于点(0,-1)与(2,-1)之间的下半圆周.
24．【2015 年四川预赛】已知二面角α -l - β的大小为30°，则由平面a 上的圆在平面β上的正射影得到的
椭圆的离心率等于（）。
A．1
3 B．1
2 C．
❑√3
3
D．
❑√3
2
【答案】B
【解析】
由b=acos30
∘=
❑√3
2 a⇔c = 1
2 a⇒e = c
a = 1
2
.
25．【2015 年湖南预赛】对所有满足1≤n≤m≤5 的m、n，极坐标方程ρ=
1
1-Cm
n cosθ
表示的不同双曲
线条数为（ ）.
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】A
【解析】
当m=n时，ρ=
1
1-Cm
n cosθ
表示抛物线.
当m≠n时，令e =Cm
n >1.
注意到，C2
1=C4
2 ,C3
1=C3
2,C4
1 =C4
3,C5
1=C5
3.
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故离心率e>1的取值共有10- 4 =6个不同的值.
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