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模块六 立体几何（测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．在四面体
中，
，则四面体
外接球的体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
因为
，
，
，所以
.
又
，所以
，故
.
取
的中点
，则
到四面体
四个顶点的距离均为2，即四面体
外接球的半径为2，则四而
体
外接球的体积为
.
故选：D.
2．如图所示，在正方体
中，E 为线段
上的动点，则下列直线中与直线CE 夹角为定值
的直线为（ ）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
【答案】C
【解析】
设正方体的棱长为1，
如图，以
为原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
设
，
，则
，
，
，
，
，
，不是定值，故A 错；
，不是定值，故B 错；
，所以直线
与直线
所成角为
，故C 正确；
，不是定值，故D 错.
故选：C.
3．若平面
截球
所得截面圆的面积为
，且球心
到平面
的距离为
，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由平面
截球
所得截面圆的面积为
，得此截面小圆半径
，而球心到此小圆距离
，
因此球
的半径
，有
，
所以球
的表面积
.
故选：C
4．在三棱柱
中，
平面
是等边三角形，
是棱
的中点，
在棱
上，且
. 若
，则异面直线
与
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取AB 中点
,连接DF，EF,
因为D 是BC 的中点，所以
，
即异面直线AC 与 DE 所成角就是平面
或补角，
假设
，因为△ABC 是等边三角形，所以
,
因为
,
，
所以
,
因为
平面ABC，则
为直三棱柱，
所以
,
,
在△DEF 中，
,
故异面直线AC 与 DE 所成角余弦值为
.
故选：B.
5．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直
角圆锥，若直角圆锥底面圆的半径为1，则其内接正方体的棱长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
沿正方体上底面的对角线作圆锥的轴截面，如图所示，
由题知
为等腰直角三角形，
，
，
设正方体的棱长
，
则
，
，
则由
与
相似可得
，即
，
，所以正方体棱长为
.
故选：C.
6．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿
交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到的阿基米德多面体，如图所示.则
该多面体所在正方体的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，截面三角形边长为
，
则原正方体棱长的一半为1，即多面体所在正方体的棱长为2，
可得正方体体对角线长
，外接球半径为
，
所以外接球表面积为
.
故选：D.
7．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，两圆锥的表面积分别为
和
，内切
球半径分别为
和
．若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】两圆锥的母线长为，甲圆锥底面半径为
，乙圆锥底面半径为
，
由圆心角之和为
，得
，则
，
又
，即
，将
代入，
所以
，
即
，所以
，从而
，
．
由圆锥内切球半径公式得，
，
所以
，将
代入
，解得
，同理可得
，所以
.
故选：C.
8．半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体
就是一个半
正多面体，其中四边形
和四边形
均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所
有棱长均为2，则平面
与平面
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】分别取
的中点
，连接
，
根据半正多面体的性质可知，四边形
为等腰梯形；
根据题意可知
，
而
平面
，
故
平面
，又
平面
，
故平面
平面
，则平面
平面
，
作
，垂足为S，平面
平面
，
平面
，故
平面
，
则梯形
的高即为平面
与平面
之间的距离；
，
故
，
即平面
与平面
之间的距离为
，
故选：B
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．如图，在正四棱柱
中，
，
为
的中点，
为
上的动点，下列结论正
确的是（ ）
A．若
平面
，则
B．若
平面
，则
C．若
平面
，则
D．若
平面
，则
【答案】BD
【解析】如图建立空间直角坐标系，令
，则
，
，
，
，
，
则
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，取
，
又平面
的法向量可以为
，
设
，
，则
，
若
平面
，则
，即
，解得
，
即
，故A 错误，B 正确；
若
平面
，则
，则
，即
，
所以
，解得
，即
，故C 错误，D 正确.
故选：BD
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．已知任意非零向量
，若
，则
B．若对空间中任意一点
，有
，则
四点共面
C．设
是空间中的一组基底，则
也是空间的一组基底
D．若空间四个点
，则
三点共线
【答案】BD
【解析】对于
：若
，则
，
且
，故
错误；
对于
，若对空间中任意一点
，
有
，
，
四点共面，故B 正确；
对于
，
是空间中的一组基底，
且
，
共面，
不可以构成空间的一组基底，故C 错误；
对于
，若空间四个点
，
，
，
三点共线，故D 正确.
故选：BD
11．在等腰梯形
中，
，点
分别为
的中点，以
所
在直线为旋转轴，将梯形旋转
得到一旋转体，则（ ）
A．该旋转体的侧面积为
B．该旋转体的体积为
C．直线
与旋转体的上底面所成角的正切值为
D．该旋转体的外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】由题意可知，所得到的旋转体是圆台，如图．
因为
，
所以圆台的上、下底面的半径分别满足
．
又
，
所以该圆台的侧面积
，所以A 正确．
过点
分别作
于点
于点
，
则
，所以
，
故该圆台的体积
，
所以B 错误．
易知圆台的上、下底面平行，
所以直线
与圆台的上底面所成的角等于其与圆台的下底面所成的角．
过点
作
于点
．易知
为直线
与下底面所成的角．
又
，
，
所以
，所以
正确．
设该圆台的外接球的半径为
，球心为
．
当点
在线段
上时，
．由
，得
，即
，解得
．
当点
在线段
的延长线上时，
．由
，得
，即
．
化简，得
，此时
无解．
所以
，
则该旋转体的外接球的表面积
，所以
正确．
故选：ACD
12．如图1，矩形
由正方形
与
拼接而成．现将图形沿
对折成直二面角，如图2．
点
（不与
重合）是线段
上的一个动点，点
在线段
上，点
在线段
上，且满足
，
，则（ ）
图1
图2
A．
B．
C．
的最大值为
D．多面体
的体积为定值
【答案】AC
【解析】设正方形
，
的边长为1 因为
两两垂直，
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴、
轴、轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则
，
，
，
，
，
，设
，
，
由
，且
,
可得
，解得
，
即
，
，
对于A 中，
，可得
，
即
，所以A 正确；
对于B 中，由
，所以当且仅当
时，
，
即
，所以B 错误；
对于C 中，因为
，
当且仅当
时等号成立，由
为钝角，所以
，
即
的最大值为
，所以C 正确；
对于D 中，多面体
的体积
，非定值，所以D 错误.故选：AC．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为
，则该正四棱台的高为
.
【答案】
【解析】如图：在正四棱台
,
分别为侧面上的高以及棱台的高，
设棱台的上下底面的边长分别为
，则
，
在等腰梯形
中，
，
所以
，
故棱台的高为
，
故答案为：
14．如图，四边形
是平行四边形，是平面
外一点，
为
上一点，若
平面
，
则
．
【答案】
【解析】连接
交
于点
，连接
，
因为四边形
是平行四边形，所以
为
的中点，
因为
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
，
所以
为
的中点，
所以
.
故答案为：.
15．在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
.若四棱锥
的体积为9，且
其顶点均在球
上，则当球
的体积取得最小值时，
.
【答案】3
【解析】如下图所示，设四棱锥
底面边长为
，则该四棱锥的体积
，
所以
；设四棱锥
的外接球半径为
，
通过构造长方体可知满足
；
即
，
令
，则
，令
,即
；
当
所以，
在
上单调递减，在
上单调递增；即函数
在
处取最小值，此
时外接球的半径最小，体积最小；所以
，
.
故答案为：3
16．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲
率等于
与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面
体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点
有3 个面角，每个面角是
，所以正四面体在每个顶点的曲率为
，故其总曲率为
.根据曲率
的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 .
【答案】
/
【解析】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为
；
由定义可得多面体的总曲率
顶点数
各面内角和，
因为四棱锥有5 个顶点，5 个面，分别为4 个三角形和1 个四边形，
所以任意四棱锥的总曲率为
.
故答案为：
；
.
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
如图，在直三棱柱
中，
分别为
的中点．
(1)求异面直线
与
所成角的余弦值；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值．
【解析】（1）由题意可知
两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系，
则
，
即
，
所以
，
即异面直线
与
所成角的余弦值为
；
（2）由上易知
，
设面
的一个法向量为
，则有
，
取
，即
，
所以点
到平面
的距离为
；
（3）由上可知
，
设面
的一个法向量为
，则有
，
取
，即
，
设平面
与平面
夹角为
，
则
，
即平面
与平面
夹角的余弦值
.
18．（12 分）
如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
分别为
上的点，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
平面
为
的中点，
，求二面角
的正切值.
【解析】（1）证明：如图，在
上取一点
，使得
，连接
，
，
，
因为底面
是平行四边形，所以
，所以
，
因为
，
，所以四边形
是平行四边形，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
，所以
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又因为
，
平面
，所以平面
平面
，
因为
平面
，所以
平面
.
（2）当
为
中点，
，
，易知
，
为
中点，
又因为
平面
，所以
两两垂直，
则以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如（1）图，
设
，则
，
，
，
，
所以
，
，
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，得
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，得
，
所以
，
故二面角
的正弦值为
，
所以正切值为
.
故二面角
的正切值为
.
19．（12 分）
如图，在五面体
中，面
面
，
，
面
，
，
，
，二面角
的平面角为
.
(1)求证：
面
；
(2)点
在线段
上，且
，求二面角
的平面角的余弦值.
【解析】（1）∵
面
，
又
面
，面
面
，
∴
.
又
面
，
面
，
∴
面
；
（2）取
中点
，
中点
，连结
，
.
∵面
面
，交线为
，
面
，
，∴
面
.
∴
是二面角
的平面角.即
.
∵
面
，
又
面
，面
面
，
∴
.
∴
.又
，∴四边形
是梯形.
∴
是梯形
的中位线.∴
.∴
面
.
∵
，
是
中点，∴
.
以
为原点，
，
，
为轴如图建立空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由
，
设面
的一个法向量为
，由
，
，得
，取
，得
，
，∴
.
设面
的一个法向量为
，由
，
，得
，取
，得
，
，∴
.
∴
∴二面角
的平面角的余弦值为
.
20．（12 分）
如图，
是半球
的直径，
是底面半圆弧
上的两个三等分点，
是半球面上一点，且
．
(1)证明：
平面
：
(2)若点
在底面圆内的射影恰在
上，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【解析】（1）连接
，因为
是底面半圆弧
上的两个三等分点，
所以有
，又因为
，
所以
都为正三角形，
所以
，四边形
是菱形，
记
与
的交点为
，
为
和
的中点，
因为
，
所以三角形
为正三角形，
所以
，所以
，
因为
是半球面上一点，
是半球
的直径，所以
，
因为
，
平面
，
所以
平面
．
（2）因为点
在底面圆内的射影恰在
上，
由（1）知
为
的中点，
为正三角形，所以
，
所以
底面
，
因为四边形
是菱形，所以
，
即
两两互相垂直，
以点
为坐标原点，
，
，
分别为
，
，轴，建立空间直角坐标系
，如图所示，
则
，
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，所以
，
取
，则
，
设直线
与平面
的所成角为
，
所以
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
．
21．（12 分）
如图，四棱锥
的底面
是正方形，且平面
平面
．
，
分别是
，
的中
点，经过
，
，
三点的平面与棱
交于点
，平面
平面
，直线
与直线交于点
．
(1)求
的值；
(2)若
，求多面体
的体积．
【解析】（1）连接
，
由题意，
与
的交点即为点
，连接
，
因为底面
是正方形，所以
,
又因为
面
，
面
，
所以
面
，
因为平面
平面
，
面
，
所以
，
又
为
中点，所以
，
所以
，
又因为
且
，
所以
且
，
所以
，
因为
是
中点，所以
.
（2）连接
，
，所以多面体
的体积为
因为
，
是
中点，
所以
，
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
面
，
所以
，
因为
为
中点，
所以
，
由（1）可知
，
所以
，
所以多面体
的体积为
.
22．（12 分）
无数次借着你的光，看到未曾见过的世界：国庆七十周年､建党百年天安门广场三千人合唱的磅礴震撼，
“930 烈士纪念日”向人民英雄敬献花篮仪式的凝重庄严
金帆合唱团，这绝不是一个抽象的名字，
而是艰辛与光耀的延展，当你想起他，应是四季人间，应是繁星璀璨！这是开学典礼中，我校金帆合唱团
的颁奖词，听后让人热血沸腾，让人心向往之.图1 就是金帆排练厅，大家都亲切的称之为“六角楼”，其
造型别致，可以理解为一个正六棱柱（图2）由上底面各棱向内切割为正六棱台（图3），正六棱柱的侧棱
交
的延长线于点
，经测量
，且
(1)写出三条正六棱台的结构特征.
(2)“六角楼”一楼为办公区域，二楼为金帆排练厅，假设排练厅地板恰好为六棱柱中截面，忽略墙壁厚度，
估算金帆排练厅对应几何体体积.（棱台体积公式：
）
(3)“小迷糊”站在“六角楼”下，陶醉在歌声里.“大聪明”走过来说：“数学是理性的音乐，音乐是感性的
数学.学好数学方能更好的欣赏音乐，比如咱们刚刚听到的一个复合音就可以表示为函数
，你看这多美妙!”
“小迷糊”：“.....”
亲爱的同学们，快来帮“小迷糊”求一下
的最大值吧.
【解析】（1）类似于上下底面平行，相似，都是正六边形，侧棱等长，侧棱延长交于一点，侧面都是等
腰梯形，等等.
（2）在
中，可求
，
所以排练厅上底面为边长10 的正六边形，下底面为边长9 的正六边形，高为
，
所以
，
所以
.
（3）法1.四元均值不等式
.
当且仅当
，即
时取等号.
所以
最大值为
.
法2.琴生不等式法
，
当且仅当
，即
取等号.
所以
最大值为
.
法3.二元均值不等式推广
，
，
当且仅当
时取等号.
所以
最大值为
.
法4.柯西不等式
，根据二次函数知识可知当
取得最大值
，
所以
；
柯西不等式等号成立时与二次函数取到最值时相同，当且仅当
.
所以
最大值为
.
