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专题七不等式
第十九讲不等式的性质与一元二次不等式
答案部分
2019
年
1.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：取
0
a =
，
1
b = −，则
ln(
)
ln1
0
a
b
−
=
=
，排除A；
0
1
1
3
3
1
3
3
3
a
b
−
=
=
=
=
，排除B；
0
1
1
a
b
=
−= =
，排除D．
函数
3
( )
f x
x
=
在R 单调递增，由a
b
可得
3
3
a
b
，所以
3
3
0
a
b
−
，C 正确.
故选C．
2010-2018
年
1.解析
解析
解析
解析
解析：作出
3
4
0
3
4
0
0
x
y
x
y
x
y
−
+
−
−
+
表示的平面区域，如图所示.
分别联立其中两个方程，得A（2，2），B（－，
1
1），C（，－），则
1
1
max
3 2
2 2
10
z
=
+
=
.
故选C.
2.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：画出不等式组所表示的可行域如图所示：
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联立
1
0
1
x
y
y
+
−=
= −
，解得
2
1
x
y
=
= −
，即
2
1
A
−
（，）.
令
3
z
x
y
=
+
，化为
3
y
x
z
= −
+
.
求
的最大值就是求截距的最大值
z
由图可知，当直线
3
y
x
z
= −
+
过点
2
1
A
−
（，）时，有最大值为
z
3 2 1
5
−=
．
故选
．
C
3.解析
解析
解析
解析
解析 由约束条件
2
0
2
0
1
1
x
y
x
y
x
y
+
−
−
+
−
−
„
…
…
…
作出可行域如图：
化目标函数
4
z
x
y
= −
+
为
4
y
x
z
=
+
，由图可知，当直线
4
y
x
z
=
+
过A 时，z 有最大值.
联立
1
2
0
x
x
y
= −
−
+
=
，解得
(
)
1,1
A −
. 所以z 的最大值为
(
) (
)
4
1
1
5
−
−
+ =
．
故选C．
2010-2018
年
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1．B【解析】因为
2
{
2
0}
=
−
−
A
x x
x
，所以
2
{ |
2
0}
=
−−
R
≤
A
x x
x
ð
{ | 1
2}
=
−≤≤
x
x
，故选B．
2
D
．【解析】因为
2
log e > 1
a =
，
ln 2
(0,1)
b =
，
1
2
2
2
1
log
log 3
log
1
3
c
e
=
=
．
所以
c
a
b
，故选D．
3
B
．【解析】由
0.2
log
0.3
a =
得
0.3
1
log
0.2
a =
，由
2
log 0.3
b =
得
0.3
1
log
2
b =
，
所以
0.3
0.3
0.3
1
1
log
0.2
log
2
log
0.4
a
b
+
=
+
=
，所以
1
1
0
1
a
b
+
，得0
1
a
b
ab
+
．
又
0
a
，
0
b
，所以
0
ab
，所以
0
ab
a
b
+
．故选B．
4
A
．【解析】∵
{ |
0}
B
x x
=
，∴
{ |
0}
A
B
x x
=
，选
．
A
5
D
．【解析】由
2
4
0
x
−
≥
得
2
2
x
− ≤≤，由1
0
x
−
得
1
x ，故
A
B={ | 2
2} { |
1}
{ | 2
1}
x
x
x x
x
x
−
=
−
≤≤
≤
，选D.
6
B
．【解析】解法一取
2
a =
，
1
2
b =
，则
1
2
2
4
a
b
+
=
+
=
，
2
1
1
2
2
2
8
a
b =
=
，
2
2
log (
)
log 4
2
a
b
+
=
=
，所以
(
)
2
1
log
2a
b
a
b
a
b
+
+
，选
B．
解法二由题意
1
a
，0
1
b
，所以
1
2a
b ，
1
2
2
a
a
a
a
b
+
=
+
=
，
又
1
a
b
+
，所以
2
(
)
(
)
a
b
a
b
+
+
，
所以
2
2
2
2
2
log (
)
log (
)
log 2
1
a
b
a
b
ab
+
+
=
，
故
(
)
2
1
log
2a
b
a
b
a
b
+
+
，选
B．
7
C
．【解析】因为
0
x
y
，选项A，取
1
1,
2
x
y
=
=
，则1
1
1
2
1
0
x
y
−
= −
= −
，
排除
；选项
A
B，取
,
2
x
y
=
=
，则
sin
sin
sin
sin
1
0
2
x
y
−
=
−
= −
，
排除
；选项
B
D，
1
2,
2
x
y
=
=
，则
ln
ln
ln(
)
ln1
0
x
y
xy
+
=
=
=
，排除D，
故选
．
C
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8
C
．【解析】
2
{ |
4
3
0}
{ |1
3},
(2,3)
A
x x
x
x
x
A
B
=
−
+
=
=
．
9．C 【解析】取满足题意得函数
( )
2
1
f x
x
=
−，若取
3
2
k =
，
则
1
2
1
( )
( )
3
3
f
f
k
=
=
2
1
3
k
=
，所以排除
．若取
A
11
10
k =
，
则
11
1
1
10
(
)
(
)
(10)
19
11
11
11
1
1
1
1
10
10
k
f
f
f
k
k
=
=
=
=
=
−
−
−
−
，
所以排除
；取满足题意的函数
D
( )
10
1
f x
x
=
−，若取
2
k =
，
则
1
1
1
1
( )
( )
4
1
2
2 1
1
f
f
k
k
=
=
=
=
−
−
，所以排除
，故结论一定错误的是
B
C．
10．B 【解析】由 [ ]
1
t = ，得
1
2
t <
≤
，由
2
[ ]
2
t
=
，得
2
2
3
t <
≤
．由
4
[ ]
4
t
=
，
得
4
4
5
t <
≤
，所以
2
2
5
t <
≤
，由
3
[ ]
3
t
=
，得
3
3
4
t <
≤
，所以
5
6
4 5
t <
≤
，
由
5
[ ]
5
t
=
，得
5
5
6
t <
≤
，与
5
6
4 5
t <
≤
矛盾，故正整数n
的最大值是．
4
11．【解析】
A
|
1
3
A
x x
x
=
−
≤
或≥
，故A
B=[−2, −1]．
12．D【解析】由
1
1
0
0
c
d
d
c
−
−
，又
0
a
b
，由不等式性质知：
0
a
b
d
c
−
−
，所以a
b
d
c
13．D【解析】由已知得x
y
，此时
2
2
,
x
y
大小不定，排除
；由正弦函数的性质，可
A,B
知
不成立；故选
．
C
D
14．B【解析】不妨设
0
1
y
x
≤
≤≤，当
1
0
2
x
y
−
≤
时，
1
1
( )
( )
2
4
f x
f y
x
y
−
−
≤
；
当1
1
2
x
y
−
≤时，
( )
( )
( )
(1)
( )
(0)
f x
f y
f x
f
f y
f
−
=
−
−
−
( )
(1)
f x
f
−
≤
( )
(0)
f y
f
+
−
1
1
1
0
2
2
x
y
−+
−
1
1
1
1
1
(1
)
(
)
2
2
2
2
4
x
y
y
x
=
−
+
=
+
−
，∴
1
4
k ≥
．
15．C【解析】如图△ADE∽△
，设矩形的另一边长为
ABC
y ，则
2
40
(
)
40
ADE
ABC
S
y
S
−
=
，
所以
40
y
x
=
−
，又
300
xy≥
，所以
(40
)
300
x
x
−
≥
，
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即
2
40
300
0
x
x
−
+
，解得
10
30
x
≤≤
．
16．A【解析】∵由
2
2
2
8
0
x
ax
a
−
−
(
0
a
)，得
(
4 )(
2 )
0
x
a x
a
−
+
，
即
2
4
a
x
a
−
，∴
1
2
2 ,
4
x
a x
a
= −
=
.
∵
2
1
4
( 2 )
6
15
x
x
a
a
a
−
=
−−
=
=
，∴
15
5
6
2
a =
=
．
．
故选A
17．A【解析】法一由
(
)
( )
f x
a
f x
+
，得
(
)
|
| 1
|
|
| |
a x x
a
a x
a
ax x
+
+ +
+
①
当
0
a≥，① (
)
|
| 1
|
|
|
|
x x
a
a x
a
x x
+
+ +
+
，无解，
即A =
，不符合，排除C．取
1
2
a = −
，①
1
1
1
|
| 1
|
|
|
|
2
2
2
x x
x
x x
−
+ −
−
，
符合
1 1
,
2 2
A
−
，排除B、．
D
解法二数形结合，∵
( )
(
)
1
|
|
f x
x
a x
=
+
是奇函数．
ⅰ）取
1
a =
，
( )
(
)
1 |
|
f x
x
x
=
+
，如图
(
)
( )
1
f x
f x
+
，无解．排除C．
y
x
y =f(x+1)
y = f(x)
图1
f(m+1)
f(m)
mO
y
x
y = f(x)
图2
1
2
-
1
2
y=f(x-
1
2)
O
ⅱ）取
1
2
a = −
，
( )
1
1
|
|
2
f x
x
x
=
−
，
(
)
1
2
y
f x
a
f
x
=
+
=
−
，
满足
1 1
,
2 2
A
−
，排除B、D
解法三由题意
0
A
，即
( )
( )
0
0
f a
f
=
，所以
(
)
1
|
|
0
a
a a
+
，
当
0
a
时无解，所以
0
a
，此时
2
1
0
a
−
，∴
1
0
a
−
．排除C、．
D
又
1
5
1
1
3
2
2
2
−
−
−
，∴取
1
2
a = −
，①
1
1
1
|
| 1
|
|
|
|
2
2
2
x x
x
x x
−
+ −
−
，
符合
1 1
,
2 2
A
−
，排除B．
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18．C【解析】验证A，当
3
3
2
=3
>2.7 =19.68>1+3+3 =13
x
e
时，
，故排除
，
A；验证B
当
1
=
2
x
时，1
6
= 3
1
1+2
，而
1
1
1
1
13
39
1521
1536
16 6
1-
+
=
=
=
<
=
2
2
4
4
16
48
48
48
48
，
故排除B；验证
，
C
令
( )
( )
( )
2
1
=cos -1+
, '
=-sin + , ''
=1-cos
2
g x
x
x g x
x x g
x
x ，显然
( )
''
>0
g x
恒成立，
所以当
)
0,+
x
，
( )
( )
'
' 0 =0
g x
g
，所以
)
0,+
x
，
( )
2
1
=cos -1+ 2
g x
x
x 为
增函数，所以
( )
( )
0 =0
g x
g
，恒成立，故选C；验证
，
D
令
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
-3
1
1
=ln 1+
- +
, '
=
-1+
=
8
+1
4
4
+1
x x
x
h x
x
x
x h x
x
x
，令
( )
'
<0
h x
，
解得
0< <3
x
，所以当
0< <3
x
时，
( )
( )
<
0 =0
h x
h
，显然不恒成立，故选C.
19．B【解析】由题可知
( )
1
1
x
f x
e
=
−−，
2
2
( )
4
3
(
2)
1
1
g x
x
x
x
= −
+
−
= −
−
+
，
若有
( )
( ),
f a
g b
=
则
( )
( 1,1]
g b −
，即
2
4
3
1
b
b
−
+
−−，
解得
2
2
2
2
b
−
+
．
20．
1
(
,
)
4
−
+【解析】当
1
2
x
时，不等式为
1
2
2
2
1
x
x
−
+
恒成立；
当
1
0
2
x
≤
，不等式
1
2
1
1
2
x
x
+
−
+ 恒成立；
当
0
x≤时，不等式为
1
1
1 1
2
x
x
+ +
−
+
，解得
1
4
x −
，即1
0
4
x
−
≤
；
综上，x 的取值范围为
1
(
,
)
4
−
+．
21．5
9
【解析】由
2
6
0
x
x
+
−
≥
，解得
2
3
x
− ≤≤，根据几何概型的计算公式得概率为
3
( 2)
5
5
( 4)
9
−−
=
−−
．
22．−1，−2，−3（答案不唯一）【解析】因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a
b
c
，
则
a
b
c
+
”
“
是假命题，则它的否定设a ，b ，c 是任意实数．若a
b
c
，则
a
b
c
+ ≤”是真命题，
由于a
b
c
，所以
2
a
b
c
+
，又
a
b
c
+ ≤，所以
0
c
，
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因此a ，b ，c 依次取整数−1，−2，−3，满足
a
b
c
+ ≤．
(
)
1
2
3, 1
2
3
3
− −−−+ −
= −−相矛盾，所以验证是假命题．
23．
2
(
,0)
2
−
【解析】由题意可得
( )
0
f x
对于
[ ,
1]
x
m m
+
上恒成立，
即
2
2
( )
2
1
0
(
1)
2
3
0
f m
m
f m
m
m
=
−
+
=
+
，解得
2
0
2
m
−
．
24．
5
[0,
]
[
, ]
6
6
【解析】不等式
2
8
(8sin
)
cos2
0
x
x
−
+
对x
R
恒成立，
则有
2
2
(8sin
)
4 8cos2
64sin
32cos2
0
=
−
=
−
≤
即
2
2
2
2sin
cos2
2sin
(1
2sin
)
−
=
−
−
2
4sin
1
0
=
−≤
.
∴
2
1
sin
4
≤
.∴
1
1
sin
2
2
−
.
又0
，结合下图可知，∈
π
π
5
0,
,π
6
6
.
25．－1【解析】由于不等式
(
)
2
4
3
2
0
1
x
x
ax
b
x
−
+
+
−
，
即
4
3
3
2
2
1
x
x
ax
b
x
x
−
+
+
−
+
，记
( )
( )
3
2
4
3
2
1,
f x
x
x
g x
x
x
=
−
+
= −
+
，
显然
( )
( )
(
)
2
4
2
2
2
1
1
f x
g x
x
x
x
−
=
−
+ =
−
，
所以当
0
x
时，
( )
( )
f x
g x
，当且仅当
1
x =
时取“等号”，
而
( )
( )
( )
( )
2
3
2
3
4 ,
4
3
,
1
1
1
f
x
x
x g x
x
x
f
g
=
−
= −
+
=
= −，
因此，当
y
ax
b
=
+
为
( )
f x 与
( )
g x 在
1
x = 处的公切线时，
才能使
(
)
2
4
3
2
0
1
x
x
ax
b
x
−
+
+
−
恒成立。此时
( )
1
1,
1
a
f
b
=
= −
=
，
所以
1
ab = −．
26．36 【解析】因为
0,
0
x
a
，
( )
4
2 4
4
a
a
f x
x
x
a
x
x
=
+
=
，
关注微信公众号：加油高三
当且仅当4
a
x
x
=
，即
3
4
a
x =
=
，解得
36
a =
．
27． (
)
2,1
−
【解析】易得不等式
2
2
0
x
x
+
−
的解集为 (
)
2,1
−
.
28．﹣，
(
5
0)
)
∪(5，﹢∞【解析】做出
x
x
x
f
4
)
(
2 −
=
(
0
x
)的图像，如下图所示．由
于
)
(x
f
是定义在R
上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出
＜
的图像．不
x
0
等式
x
x
f
)
(
，表示函数＝
y
)
(x
f
的图像在＝的上方，观察图像易得：解集为
y
x
(﹣，
5
0) ∪(5，﹢∞)
．
29．(
7,3)
－
【解析】当x
≥0 时，令
2
4
5
x
x
−
，解得，
0
5
x
≤
．又因为
)
(x
f
为定义域
为
的偶函数，则不等式
R
(
2)
5
f x +
等价于
5
2
5
x
−
+
，即－7＜x ＜；故解集
3
为－
(
7,3)
．
30．(0，8)【解析】因为不等式x2
﹣
＞在
上恒成立．∴△
ax+2a
0
R
=
2
(
)
8
0
a
a
−
−
，
解得＜
0
a ＜．
8
31．9【解析】因为( )
f x 的值域为[0,+∞），所以
,0
=
即
2
4
a
b
=
,
所以
2
2
0
4
a
x
ax
c
+
+
−
=
的两根，由一元二次方程根与系数的关系得
,
4
)
6
(
,
6
2
2
c
a
m
m
a
m
−
=
+
−
=
+
解得c =9.
32．
( 3,2)
(3,
)
−
+【解析】不等式可化为
(
3)(
2)(
3)
0
x
x
x
+
−
−
采用穿针引线法解不
等式即可．
33．
( 1, 2 1)
−
−
【解析】
2
2
1
2
( 1,
2
1)
1
0
x
x
x
x
−
−
−
−
．
关注微信公众号：加油高三
34
27
．
【解析】
2
2
(
)
[16,81]
x
y
，
2
1
1 1
[ , ]
8 3
xy
，
3
2
2
4
2
1
(
)
[2,27]
x
x
y
y
xy
=
，
4
3
y
x
的最大
值是
．
27
35．
1
m −【解析】已知
( )
f x 为增函数且m ≠，
0
若m >0，由复合函数的单调性可知 (
)
f mx 和
( )
mf x 均为增函数，此时不符合题意．
m <0，时有
2
2
1
1
1
1
0
2
(
)
0
1
2
m
mx
mx
mx
m
x
mx
x
m
x
m
−
+
−
−
−
•
+
因为
2
2
y
x
=
在
[1,
)
x
+
上的最小值为，所以
2
1+
2
1
2
m
即
2
m >1，
解得
1
m −．
36．【解析】依据题意得
D
2
2
2
2
2
2
1 4
(
1)
(
1)
1
4(
1)
x
m
x
x
m
m
−−
−
−
−+
−
在
3
[ ,
)
2
x
+上
恒定成立，即
2
2
2
1
3
2
4
1
m
m
x
x
−
−
−
+ 在
3
[ ,
)
2
x
+上恒成立．
当
3
2
x =
时函数
2
3
2
1
y
x
x
= −
−
+ 取得最小值
5
3
−
，所以
2
2
1
5
4
3
m
m
−
−
，
即
2
2
(3
1)(4
3)
0
m
m
+
−
，解得
3
2
m −
或
3
2
m
．
37．20【解析】七月份的销售额为
500(1
%)
x
+
，八月份的销售额为
2
500(1
%)
x
+
，则一月
份到十月份的销售总额是
2
3860
500
2[500(1
%)
500(1
%) ]
x
x
+
+
+
+
+
，根据题意有
2
3860
500
2[500(1
%)
500(1
%) ]
7000
x
x
+
+
+
+
+
≥
，
即
2
25(1
%)
25(1
%)
66
x
x
+
+
+
≥
，令
1
%
t
x
= +
．则
2
25
25
66
0
t
t
+
−
≥
，
解得
6
5
t ≥
或
11
5
t
−
≤
（舍去），故
6
1
%
5
x
+
≥
，解得
20
x≥
．
38．【解析】（）可知
1
2
2
2
(
2
)
2(
2
)
3
0
x
x
k
x
x
k
+
+
+
+
+
−
，
2
2
[(
2
)
3] [(
2
) 1]
0
x
x
k
x
x
k
+
+
+
+
+
−
，
2
2
3
x
x
k
+
+
−
或
2
2
1
x
x
k
+
+
，
2
(
1)
2
x
k
+
−−
( 2
0)
k
−−
或
2
(
1)
2
x
k
+
−
(2
0)
k
−
，
|
1|
2
x
k
+
− −
或
|
1|
2
x
k
+
−
，
关注微信公众号：加油高三
1
2
k
−−
−−
1
2
x
k
−+
−−
或
1
2
x
k
−−
−
或
1
2
x
k
−+
−
，
所以函数
( )
f x
的定义域
为
D
(
, 1
2
)
k
−− −
−
( 1
2
,
k
−−−−
1
2
)
k
−+ − −
( 1
2
,
)
k
−+
−
+；
（）
2
2
3
2
2
2
2(
2
)(2
2)
2(2
2)
'( )
2 (
2
)
2(
2
)
3
x
x
k
x
x
f
x
x
x
k
x
x
k
+
+
+
+
+
= −
+
+
+
+
+
−
2
3
2
2
2
(
2
1)(2
2)
(
2
)
2(
2
)
3
x
x
k
x
x
x
k
x
x
k
+
+
+
+
= −
+
+
+
+
+
−
，
由
'( )
0
f
x
得
2
(
2
1)(2
2)
0
x
x
k
x
+
+
+
+
，即
(
1
)(
1
)(
1)
0
x
k x
k x
+ +
+ −
+
，
1
x
k
−−
−
或
1
1
x
k
−
−+
−
，结合定义域知
1
2
x
k
−−
−
或
1
1
2
x
k
−
−+
−−
，
所以函数
( )
f x 的单调递增区间为
(
, 1
2
)
k
−− −
−
，
( 1, 1
2
)
k
−− + −−
，
同理递减区间为
( 1
2
, 1)
k
−−−−
−
，
( 1
2
,
)
k
−+
−
+；
（）由
3
( )
(1)
f x
f
=
得
2
2
2
2
(
2
)
2(
2
)
3
(3
)
2(3
)
3
x
x
k
x
x
k
k
k
+
+
+
+
+
−
=
+
+
+
−
，
2
2
2
2
[(
2
)
(3
) ]
2[(
2
)
(3
)]
0
x
x
k
k
x
x
k
k
+
+
−
+
+
+
+
−
+
=
，
2
2
(
2
2
5) (
2
3)
0
x
x
k
x
x
+
+
+
+
−
=
，
(
1
2
4)(
1
2
4) (
3)(
1)
0
x
k
x
k
x
x
+ + −
−
+ −−
−
+
−
=
，
1
2
4
x
k
= −−
−
−
或
1
2
4
x
k
= −+
−
−
或
3
x = −或
1
x =
，
6
k −，
1 ( 1, 1
2
)
k
−− + − −
，
3
( 1
2
, 1)
k
−−−−−
−
，
1
2
4
1
2
k
k
−−
−
−
−−
−
，
1
2
4
1
2
k
k
− +
−
−
−+
−
，
结合函数
( )
f x 的单调性知
( )
(1)
f x
f
的解集为
( 1
2
4, 1
2
)
k
k
−−−
−
− −
−
( 1
2
, 3)
k
−−−−
−
(1, 1
2
)
k
− + − −
( 1
2
, 1
2
4)
k
k
−+
−
− + −
−
．
39．【解析】：（）由
I
( )
cos
sin
f x
x
x
x
=
−
得，
关注微信公众号：加油高三
'( )
cos
sin
cos
sin
f
x
x
x
x
x
x
x
=
−
−
= −
．
因为在区间
(0,
)
2
上
'( )
f
x
sin
0
x
x
= −
，所以
( )
f x 在区间0, 2
上单调递减．
从而
( )
f x
(0)
0
f
=
．
（Ⅱ）当
0
x
时，“
sin x
a
x
”等价于“
sin
0
x
ax
−
”，
“
sin x
b
x
”等价于“
sin
0
x bx
−
”．
令( )
g x
sin x cx
=
−
，则
'( )
g x
cos x
c
=
−
，
当
0
c
时，
( )
0
g x
对任意
(0,
)
2
x
恒成立．
当
1
c 时，因为对任意
(0,
)
2
x
，
'( )
g x
cos x
c
=
−
0
，
所以( )
g x 在区间0, 2
上单调递减．
从而( )
g x
(0)
0
g
=
对任意
(0,
)
2
x
恒成立．
当0
1
c
时，存在唯一的
0
(0,
)
2
x
使得
0
'(
)
g x
0
cos x
c
=
−
0
=
．
( )
g x 与
'( )
g x 在区间
(0,
)
2
上的情况如下：
x
0
(0,
)
x
0x
0
(
,
)
2
x
'( )
g x
＋
0
－
( )
g x
↗
↘
因为( )
g x 在区间
0
0, x
上是增函数，所以
0
(
)
(0)
0
g x
g
=
．进一步，“
( )
0
g x
对任意
(0,
)
2
x
恒成立”当且仅当
(
)
1
0
2
2
g
c
= −
，即
2
0
c
，
综上所述，当且仅当
2
c
时，
( )
0
g x
对任意
(0,
)
2
x
恒成立；
当且仅当
1
c
时，
( )
0
g x
对任意
(0,
)
2
x
恒成立．
所以，若
sin x
a
b
x
对任意
(0,
)
2
x
恒成立，则a 最大值为2
，b
的最小值为．
1
