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模块二 函数与导数（测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
.当
时，
，
故该曲线在
处的切线方程为
.
故选：D
2．由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司
的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主、自力更生的策略，在
一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了
对相关产业的研发投入.若该公司2020 年全年投入芯片制造方面的研发资金为120 亿元，在此基础上，计
划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200 亿
元的年份是（ ）参考数据：
，
，
.
A．2023 年
B．2024 年
C．2025 年
D．2026 年
【答案】D
【解析】设2020 年后第
年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200 亿元，
由
得
，
两边同取常用对数，得
，所以
，
所以从2026 年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200 亿元.
故选：D．
3．已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】从图象可知函数
的图象关于原点对称，所以函数
是奇函数．
因为
，
是偶函数，
是奇函数，
所以
都是偶函数，可排除A，D．
对于
，对于C，
，
结合题图可知选B．
故选：B
4．已知函数
，若对任意
，不等式
恒成立，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，
，
等价于
，即
，
令
，则
，
所以函数
在
上单调递减，
则不等式
在
上恒成立，
即不等式
在
上恒成立，令
，
则
，令
，令
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，且
，
所以
，解得
，
即实数a 的取值范围为
.
故选：D.
5．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设函数
，
因为
上
，
上
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，所以
，当且仅当
时，等号成立．
令
，则
．
设函数
，
因为
上
，
上
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，所以
，即
，所以
．
综上可得：
．
故选：A.
6．定义在
上的偶函数
在
上单调递增，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵定义在
上的偶函数
在
上单调递增，且
，
∴
在
上单调递减，且
，
∴当
或
时，
；当
时，
，
∵
，∴
或
，
∴
或
，
∴
或
，即
，
则不等式
的解集是
.
故选：A.
7．设定义在R 上的函数
满足
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
在R 上单调递减
B．
在R 上单调递增
C．
在R 上有最大值
D．
在R 上有最小值
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
可得
，
可得
（为常数），
因为
，所以
，解得
，
所以
，
，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
当
时，
单调递增，当
时，
且
，当
时，
，
所以
在
时有极大值即最大值
，无最小值.
故选：C.
8．已知正数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】由
，
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，故
，
当且仅当
，即
时取等号；
设
，则
，
当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，故
，
当且仅当
时取等号，
又
，则
，
此时
，则
.
故选：A
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．已知函数
是
上的单调函数，则a 的值可以是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由题意，函数
是
上的单调函数，
所以
，解得
，
故选:BC．
10．已知函数
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．函数图像关于直线
对称
C．函数的值域为
D．若函数
有四个零点，则实数
的取值范围是
【答案】ACD
【解析】A 选项，
，A 正确；
B 选项，
，
由于
，故函数图像不关于直线
对称，B 错误；
C 选项，画出
的图象，如下：
数形结合可知函数的值域为
，C 正确；
D 选项，若函数
有四个零点，则
与
有4 个交点，
故实数
的取值范围是
，D 正确.
故选：ACD
11．已知非常数函数
及其导函数
的定义域均为
，若
为奇函数，
为偶函数，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】因为非常数函数
及其导函数
的定义域均为
，
若
为奇函数，则
，则
的图象关于点
对称，且
，故A 错误；
因为
为偶函数，所以
，即
，
则
，又
，所以
，
所以
，即
，所以
，
故
的周期为8，所以
，
，在
中，令
，得
，所以
，故B 正确；
对
两边同时求导，得
，
所以导函数
的周期为8，所以
，故C 正确；
由
周期
，得
，
，对
两边同时求导，得
，令
，得
，
所以
，故D 正确.
故选：BCD.
12．已知函数
和
分别为R 上的奇函数和偶函数，满足
，
，
分别为
函数
和
的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当
时，
的值域为
C．当
时，若
恒成立，则a 的取值范围为
D．当
时，满足
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
和
分别为R 上的奇函数和偶函数，满足
，
即可得
，
所以可得
，
，故A 正确；
对于B，
，
当且仅当
时，等号成立，又因为
，所以
的值域为
，故B 错误．
对于C，分两种情况．①
，令
，
当
时，则
，
单调递增，
所以
，即
；
②
，方程
的正根为
，
若
，则
，
单调递减，
，即
，与题设
矛盾．
综上，a 的取值范围是
，故C 正确．
对于D，
，
则
，
，
…
，
累乘得
，
故
，故D 正确．
故选：ACD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．若一个偶函数的值域为
，则这个函数的解析式可以是
.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】取
，函数的定义域关于坐标原点对称，
且
，即函数为偶函数，
当
时，
，满足题意.
故答案为：
（答案不唯一）
14．已知函数
，则
的值为 .
【答案】
【解析】因为函数
，
则
.
故答案为：
15．已知点
在函数
上，若满足到直线
的距离为
的点
有且仅有两个，则实数
的
取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数
，可得
，
设切点
，令
，即
，解得
，即切点
所以点
到直线
的距离为
时，
，解得
或
，
当
时，函数
图象与直线
不相交（如图所示），
从而函数
的图象上只有一点到直线
的距离为
；
当
时，函数
图象与直线
相交（如图所示），
从而函数
的图象上有且仅有三个点到直线
的距离为
，
综上，要满足点
到直线
的距离为
的点有且仅有两个时，满足
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
16．函数
的定义域为
，对任意
，恒有
，若
，
.
【答案】
【解析】设
，可得
，
因为
，即
，
若
，令
，则
，所以
；
令
，则
，即
所以
；
令
，则
，即
所以
；
令
，则
，即
所以
；
令
，则
，即
所以
；
令
，则
，即
所以
；
令
，则
，即
所以
；
令
，则
，即
所以
，
由此可得
的值有周期性，最小正周期为，
且
，
所以
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
已知函数
.
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数
的单调性.
【解析】（1）
，
由已知
，
∴
得
又
∴曲线
在点
处的切线方程为
化简得：
（2）
定义域为R，
，令
得
或
①当
即
时，
令
得
或
，令
得
，
故
在
单调递减，在
，
上单调递增；
②当
即
时，
恒成立，
故
在R 上单调递增；
③当
即
时，
令
得
或
，令
得
，
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
综上，当
时，
在
单调递减，在
，
上单调递增；
当
时，
在R 上单调递增；
当
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增；
18．（12 分）
2023 年7 月31 日，海河流域发生流域性较大洪水，河北省涿州市辖区内有六条河流经过，一时洪流交汇，
数日内，涿州市成为洪水重灾区，截至8 月1 日10 时，涿州受灾人数133913 人，受灾村居146 个，面积
225.38 平方千米，灾情无情人有情，来自全国各地的单位和个人纷纷向涿州捐献必要的生活物资.某企业生
产一种必要的生活物资，且单笔订单最少预定生产10 吨物资，已知生产一批物资所需要的固定成本为5 千
元，每生产
吨物资另需流动成本
千元，当生产量小于20 吨时，
，当生产量
不小于20 吨时，
.该企业为了提高企业的诚信度，赢得良好的社会效益，自愿将自
身利润降到最低（仅够企业生产物资期间的开销），将每吨物资的售价降为25 千元，已知生产的物资能全
部售出.
(1)写出总利润
（千元）关于生产量
（吨）的函数解析式（注：总利润＝总收入-流动成本-固定成
本）；
(2)当生产量为多少时，总利润最小？此时总利润是多少？（参考数据：
）
【解析】（1）由已知可得
.又
，
所以当
时，
，
当
时，
，
故
（2）当
时，
，
．
当
时，
，所以
，
所以当
时，
单调递增，
故
．
因为
，
所以当生产量为12 吨时，总利润最小，此时总利润为56 千元．
19．（12 分）
设
是定义在
上的奇函数，且对任意实数
，恒有
．当
时，
．
(1)求证：
是周期函数；
(2)当
时，求
的解析式；
(3)计算
．
【解析】（1）证明：因为
是定义在
上的奇函数，且对任意实数
，
，
则
，所以函数
是周期为
的周期函数.
（2）当
时，
，
此时，
.
（3）因为当
时，
；当
时，
，
所以，
，
，
，
，
因为
，
所以，
.
20．（12 分）
已知函数
为奇函数．
(1)解不等式
；
(2)设函数
，若对任意的
，总存在
，使得
成立，求
实数
的取值范围．
【解析】（1）由已知函数需满足
，
当
时，函数的定义域为
，
又函数
为奇函数，所以
，即
在
上恒成立，即
，
（舍），
当
时，
，函数的定义域为
，
又函数
为奇函数，所以
，
，
此时
，满足
，为奇函数，成立，
所以
，
所以函数
在
和
上单调递减，
且当
时，
，当
时，
，
所以
，解得
；
（2）由（1）得
在
的值域
，
又
，
设
，
，则
，
当
时，取最小值为
，当
时，取最大值为
，
即
在
上的值域
，
又对任意的
，总存在
，使得
成立，
即
，
所以
，
解得
.
21．（12 分）
已知函数
.
(1)若
求曲线f (x)在
处的切线方程；
(2)当
时，不等式
恒成立，求a 的取值范围.
【解析】（1）当
时，
，
，
，
则
，
所以曲线
在
处的切线方程为
，即
.
（2）不等式
可整理为
，
令
，
，
所以当
，
单调递增，当
，
单调递减，所以
，
又
，所以令
，
则
，
令
，则
，
令
，则
，
令
，则
，
所以
单调递减，
，所以
，
单调递减，
，所以
，
所以
，
，
所以
单调递减，
，
所以
.
22．（12 分）
已知函数
．
(1)求
的最值；
(2)若方程
有两个不同的解，求实数a 的取值范围．
【解析】（1）由题意可得：
，令
，得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
所以
的最小值为
，无最大值．
（2）令
，
则
，
若方程
有两个不同的解，则
有两个不同的零点．
（ⅰ）若
，则
，由
得
．
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的最小值为
．
①当
时，
，即
，故
没有零点，不满足题意；
②当
时，
，
只有一个零点，不满足题意；
③当
时，
，即
，
当
时，
，
，
又因为
，故
，所以
，
又
，
故
在
上有一个零点．
设
，
则
，
单调递增，所以
，
故当
时，
，
又
，所以
，因此
在
上有一个零点，
所以当
时，
有两个不同的零点，满足题意；
（ⅱ）若
，则由
得
，
．
①当
时，
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
．
所以
在
和
上单调递减，在
上单调递增．
又
，
所以
至多有一个零点，不满足题意；
②当
时，
，则
，
所以
单调递减，至多有一个零点，不满足题意；
③当
时，
，
当
时，
；当
时，
；当
时，
．
所以
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
又
，所以
至多有一个零点，不满足题意；
综上，实数a 的取值范围为
．
