2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则
（ ）
(
)
U A
B
ð
A. {−2，3}
B. {−2，2，3}
C. {−2，−1，0，3}
D. {−2，−1，0，2，3}
【答案】A
【解析】
【分析】
首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得：
，则
.
1,0,1,2
A
B
U
2,3
A
B
ð
故选：A.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
2.若α为第四象限角，则（ ）
A. cos2α>0
B. cos2α<0
C. sin2α>0
D. sin2α<0
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.
【详解】当
时，
，选项B错误；
6
cos2
cos
0
3
当
时，
，选项A错误；
3
2
cos2
cos
0
3
由
在第四象限可得：
，则
，选项C错误，选项D正确；
sin
0,cos
0
sin 2
2sin
cos
0
故选：D.
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【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅
增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配
货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天
完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名
B. 18名
C. 24名
D. 32名
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为
，
500
1600
1200
900
故需要志愿者
名.
900
18
50
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环
绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9
块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天
心石)（ ）
A. 3699块
B. 3474块
C. 3402块
D. 3339块
【答案】C
【解析】
【分析】
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第n环天石心块数为
，第一层共有n环，则
是以9为首项，9为公差的等差数列，
na
{
}
na
设
为
的前n项和，由题意可得
，解方程即可得到n，进一步得到
.
n
S
{
}
na
3
2
2
729
n
n
n
n
S
S
S
S
3n
S
【详解】设第n环天石心块数为
，第一层共有n环，
na
则
是以9为首项，9为公差的等差数列，
，
{
}
na
9
(
1)
9
9
na
n
n
设
为
的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
n
S
{
}
na
别为
，因为下层比中层多729块，
2
3
2
,
,
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
所以
，
3
2
2
729
n
n
n
n
S
S
S
S
即3 (9
27 )
2 (9
18 )
2 (9
18 )
(9
9 )
729
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
即
，解得
，
2
9
729
n
9
n
所以
.
3
27
27(9
9
27)
3402
2
n
S
S
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
的距离为（ ）
2
3
0
x
y
A.
B.
C.
D.
5
5
2 5
5
3 5
5
4 5
5
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为
，可得圆的半径为
,
,
0
a a
a
a
，写出圆的标准方程，利用点
在圆上，求得实数
2,1
a
的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线
的距离.
2
3
0
x
y
【详解】由于圆上的点
在第一象限，若圆心不在第一象限，
2,1
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为
，则圆的半径为
，
,a a
a
圆的标准方程为
.
2
2
2
x
a
y
a
a
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由题意可得
，
2
2
2
2
1
a
a
a
可得
，解得
或
，
2
6
5
0
a
a
1
a
5
a
所以圆心的坐标为
或
，
1,1
5,5
圆心到直线
的距离均为
；
2
3
0
x
y
2
2 5
5
5
d
所以，圆心到直线
的距离为
.
2
3
0
x
y
2 5
5
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
6.数列
中，
，
，若
，则
（ ）
{
}
na
1
2
a
m n
m
n
a
a a
15
5
1
2
10
2
2
k
k
k
a
a
a
k
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
取
，可得出数列
是等比数列，求得数列
的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于
1
m
na
na
k
的等式，由
可求得
的值.
k
N
k
【详解】在等式
中，令
，可得
，
，
m n
m
n
a
a a
1
m
1
1
2
n
n
n
a
a a
a
1
2
n
n
a
a
所以，数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，则
，
na
2
2
1
2 2
2
n
n
na
，
10
1
10
1
1
10
5
10
1
2
10
1 2
2
1 2
2
2
1
2
2
1
1 2
1 2
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
，则
，解得
.
1
5
2
2
k
1
5
k
4
k
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，
属于中等题.
7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M
，在俯视图中对应的点为
，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
N
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A.
B.
C.
D.
E
F
G
H
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得
点在侧视图中对应的点.
M
【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，
上的点在正视图中都对应点M,直线
上的点在俯视图中对应的点为N,
1
4
D D
3
4
B C
∴在正视图中对应
,在俯视图中对应
的点是
,线段
,上的所有点在侧试图中都对应
,∴点
M
N
4
D
3
4
D D
E
在侧视图中对应的点为
.
4
D
E
故选：A
【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还
原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.
8.设
为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
两点，若
O
x
a
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
,
D E
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的面积为8，则
的焦距的最小值为（ ）
ODE
A
C
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
因为
，可得双曲线的渐近线方程是
，与直线
联立方程求得
，
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
b
y
x
a
x
a
D
两点坐标，即可求得
，根据
的面积为
，可得
值，根据
E
|
|
ED
ODE
A
8
ab
2
2
2
2
c
a
b
，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
双曲线的渐近线方程是
b
y
x
a
直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
，
两点
x
a
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
D
E
不妨设
为在第一象限，
在第四象限
D
E
联立
，解得
x
a
b
y
x
a
x
a
y
b
故
( , )
D a b
联立
，解得
x
a
b
y
x
a
x
a
y
b
故
( ,
)
E a
b
|
| 2
ED
b
面积为：
ODE
A
1
2
8
2
ODE
S
a
b
ab
△
双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
其焦距为
2
2
2
2
2 2
2 16
8
c
a
b
ab
当且仅当
取等号
2 2
a
b
的焦距的最小值：
C
8
故选：B.
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【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
9.设函数 f (x) =ln | 2x +1− |ln | 2x −1|，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在
单调递增
B. 是奇函数，且在
单调递减
1
( ,
)
2
1 1
(
, )
2 2
C. 是偶函数，且在
单调递增
D. 是奇函数，且在
单调递减
1
(
,
)
2
1
(
,
)
2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出
为奇函数，排除AC；当
f x
1 1
,
2 2
x
时，利用函数单调性的性质可判断出
单调递增，排除B；当
f x
1
,
2
x
时，利用复合函数单调性可判断出
单调递减，从而得到结果.
f x
【详解】由
得
定义域为
，关于坐标原点对称，
ln 2
1
ln 2
1
f x
x
x
f x
1
2
x x
又
，
ln 1 2
ln
2
1
ln 2
1
ln 2
1
f
x
x
x
x
x
f x
为定义域上的奇函数，可排除AC；
f x
当
时，
，
1 1
,
2 2
x
ln 2
1
ln 1 2
f x
x
x
在
上单调递增，
在
上单调递减，
ln 2
1
y
x
Q
1 1
,
2 2
ln 1 2
y
x
1 1
,
2 2
在
上单调递增，排除B；
f x
1 1
,
2 2
当
时，
，
1
,
2
x
2
1
2
ln
2
1
ln 1 2
ln
ln 1
2
1
2
1
x
f x
x
x
x
x
在
上单调递减，
在定义域内单调递增，
2
1
2
1
x
1
,
2
ln
f
根据复合函数单调性可知：
在
上单调递减，D正确.
f x
1
,
2
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故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根
据 f −(x )与 f (x)
的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“
同增异减”性得到结论.
10.已知△ABC是面积为9 3
4
的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A.
B.
C. 1
D.
3
3
2
3
2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球
的表面积和
的面积可求得球
的半径
和
外接圆半径
O
ABC
A
O
R
ABC
A
r
，由球的性质可知所求距离
.
2
2
d
R
r
【详解】设球
的半径为
，则
，解得：
.
O
R
2
4
16
R
2
R
设
外接圆半径为
，边长为
，
ABC
A
r
a
是面积为
的等边三角形，
ABC
A
9 3
4
，解得：
，
，
2
1
3
9 3
2
2
4
a
3
a
2
2
2
2
9
9
3
3
4
3
4
a
r
a
球心
到平面
的距离
.
O
ABC
2
2
4
3
1
d
R
r
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明
确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
11.若
，则（ ）
2
2
3
3
x
y
x
y
A.
B.
C.
D.
ln(
1)
0
y
x
ln(
1)
0
y
x
ln |
| 0
x
y
ln |
| 0
x
y
【答案】A
【解析】
【分析】
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将不等式变为
，根据
的单调性知
，以此去判断各个选项中真数与
2
3
2
3
x
x
y
y
2
3
t
t
f t
x
y
的大小关系，进而得到结果.
1
【详解】由
得：
，
2
2
3
3
x
y
x
y
2
3
2
3
x
x
y
y
令
，
2
3
t
t
f t
为
上的增函数，
为
上的减函数，
为
上的增函数，
2x
y
R
3 x
y
R
f t
R
，
x
y
，
，
，则A正确，B错误；
0
y
x
Q
1
1
y
x
ln
1
0
y
x
与的大小不确定，故CD无法确定.
x
y
Q
1
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到
的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
,x y
12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列
满足
，且存在正整数
1
2
n
a a
a
{0,1}(
1,2,
)
ia
i
m
，使得
成立，则称其为0-1周期序列，并称满足
的最小正整数
(
1,2,
)
i m
i
a
a i
(
1,2,
)
i m
i
a
a i
m
为这个序列的周期.对于周期为
的0-1序列
，
m
1
2
n
a a
a
1
1
( )
(
1,2,
,
1)
m
i
i k
i
C k
a a
k
m
m
是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足
的序列是（ ）
1
( )
(
1,2,3,4)
5
C k
k
A.
B.
C.
D.
11010
11011
10001
11001
【答案】C
【解析】
【详解】由
知，序列
的周期为m，由已知，
，
i m
i
a
a
ia
5
m
5
1
1
( )
,
1,2,3,4
5
i
i k
i
C k
a a
k
对于选项A，
5
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
1
1
1
1
1
1
(1)
(
)
(1
0
0
0
0)
5
5
5
5
5
i
i
i
C
a a
a a
a a
a a
a a
a a
，不满足；
5
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
1
1
1
1
2
(2)
(
)
(0
1
0
1
0)
5
5
5
5
i
i
i
C
a a
a a
a a
a a
a a
a a
对于选项B，
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，不满足；
5
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
1
1
1
1
3
(1)
(
)
(1
0
0
1 1)
5
5
5
5
i
i
i
C
a a
a a
a a
a a
a a
a a
对于选项D，
，不满足；
5
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
1
1
1
1
2
(1)
(
)
(1
0
0
0
1)
5
5
5
5
i
i
i
C
a a
a a
a a
a a
a a
a a
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力
，是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________.
【答案】
2
2
【解析】
【分析】
首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：
，
2
1 1 cos45
2
a b
由向量垂直的充分必要条件可得：
，
0
k a
b
a
即：
，解得：
.
2
2
0
2
k
a
a b
k
2
2
k
故答案为：
．
2
2
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同
的安排方法共有__________种.
【答案】
36
【解析】
【分析】
根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.
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4
【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
∴先取2名同学看作一组，选法有：C 2 =6
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
3
3
6
A
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法
种
6 6
36
故答案为：
.
36
【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分
析能力和计算能力，属于中档题.
15.设复数
，
满足
，
，则
=__________.
1z
2z
1
2
| |=| |=2
z
z
1
2
3
i
z
z
1
2
|
|
z
z
【答案】2 3
【解析】
【分析】
令
，
，根据复数的相等可求得
1
2cos
2sin
z
i
2
2cos
2sin
z
i
，代入复数模长的公式中即可得到结果.
1
cos
cos
sin
sin
2
【详解】
，可设
，
，
1
2
2
z
z
1
2cos
2sin
z
i
2
2cos
2sin
z
i
，
1
2
2 cos
cos
2 sin
sin
3
z
z
i
i
，两式平方作和得：
，
2 cos
cos
3
2 sin
sin
1
4 2
2cos
cos
2sin
sin
4
化简得：
1
cos
cos
sin
sin
2
1
2
2 cos
cos
2 sin
sin
z
z
i
.
2
2
4 cos
cos
4 sin
sin
8
8 cos
cos
sin
sin
8
4
2 3
故答案为：
.
2 3
【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为
三角函数的运算问题.
16.设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
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p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l
平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①
②
③
④
1
4
p
p
1
2
p
p
2
3
p
p
3
4
p
p
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题
的真假；利用三点共线可判断命题
1p
2p
的真假；利用异面直线可判断命题
的真假，利用线面垂直的定义可判断命题
3p
4p
的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题
，可设
与
相交，这两条直线确定的平面为
；
1p
1l
2l
若
与
相交，则交点
在平面
内，
3l
1l
A
同理，
与
的交点
也在平面
内，
3l
2l
B
所以，
，即
，命题
为真命题；
AB
3l
1p
对于命题
，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
2p
命题
为假命题；
2p
对于命题
，空间中两条直线相交、平行或异面，
3p
命题
为假命题；
3p
对于命题
，若直线
平面
，
4p
m
则
垂直于平面
内所有直线，
m
直线
平面
，
直线
直线，
l
m
l
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命题
为真命题.
4p
综上可知，
为真命题，
为假命题，
1
4
p
p
1
2
p
p
为真命题，
为真命题.
2
3
p
p
3
4
p
p
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，
属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.
中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
ABC
A
（1）求A；
（2）若BC=3，求
周长的最大值.
ABC
A
【答案】（1）
；（2）
.
2
3
3
2 3
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理角化边，配凑出
的形式，进而求得
；
cos A
A
（2）利用余弦定理可得到
，利用基本不等式可求得
2
9
AC
AB
AC AB
AC
AB
的最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：
，
2
2
2
BC
AC
AB
AC AB
，
2
2
2
1
cos
2
2
AC
AB
BC
A
AC AB
，
.
0,
A
2
3
A
（2）由余弦定理得：
，
2
2
2
2
2
2
cos
9
BC
AC
AB
AC AB
A
AC
AB
AC AB
即
.
2
9
AC
AB
AC AB
（当且仅当
时取等号），
2
2
AC
AB
AC AB
AC
AB
，
2
2
2
2
3
9
2
4
AC
AB
AC
AB
AC AB
AC
AB
AC
AB
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解得：
（当且仅当
时取等号），
2 3
AC
AB
AC
AB
周长
，
周长的最大值为
.
ABC
A
3
2 3
L
AC
AB
BC
ABC
A
3
2 3
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最
大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系
求得最值.
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的
数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得
到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野
生动物的数量，并计算得
，
，
，
，
20
1
60
i
ix
20
1
1200
i
iy
20
2
1
)
80
i
i
x
x
（
20
2
1
)
9000
i
iy
y
（
.
20
1
)
)
800
i
i
ix
y
x
y
（（
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动
物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r=
，
=1.414.
1
2
2
1
1
)
)
)
)
n
i
i
i
i
i
n
n
i
i
x
y
x
x
y
y
y
x
（（
（（
2
【答案】（1）
；（2）
；（3）详见解析
12000
0.94
【解析】
【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式
计算即可；
20
1
20
20
2
2
1
1
(
)(
)
(
)
(
)
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
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【详解】（1）样区野生动物平均数为
，
20
1
1
1
1200
60
20
20
i
i
y
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为200
60
12000
（2）样本
的相关系数为
( ,
)
i
i
x y
20
1
20
20
2
2
1
1
(
)(
)
800
2 2
0.94
3
80 9000
(
)
(
)
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
（3）
由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，
是一道容易题.
19.已知椭圆C1：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B
两点，交C2于C，D两点，且|CD|=
|AB|.
4
3
（1）求C1的离心率；
（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.
【答案】（1）
；（2）
，
.
1
2
2
2
1 :
1
36
27
x
y
C
2
2 :
12
C
y
x
【解析】
【分析】
（1）求出
、
，利用
可得出关于
、
的齐次等式，可解得椭圆
的离心率的值；
AB
CD
4
3
CD
AB
a
c
1
C
（2）由（1）可得出
的方程为
，联立曲线
与
的方程，求出点
1
C
2
2
2
2
1
4
3
x
y
c
c
1
C
2
C
M
的坐标，利用抛物线的定义结合
可求得
的值，进而可得出
与
的标准方程.
5
MF
c
1
C
2
C
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【详解】（1）
，
轴且与椭圆
相交于
、
两点，
,0
F c
AB
x
1
C
A
B
则直线
的方程为
，
AB
x
c
联立
，解得
，则
，
2
2
2
2
2
2
2
1
x
c
x
y
a
b
a
b
c
2
x
c
b
y
a
2
2b
AB
a
抛物线
的方程为
，联立
，
2
C
2
4
y
cx
2
4
x
c
y
cx
解得
，
，
2
x
c
y
c
4
CD
c
，即
，
，
4
3
CD
AB
2
8
4
3
b
c
a
2
2
3
b
ac
即
，即
，
2
2
2
3
2
0
c
ac
a
2
2
3
2
0
e
e
，解得
，因此，椭圆
的离心率为
；
0
1
e
Q
1
2
e
1
C
1
2
（2）由（1）知
，
，椭圆
的方程为
，
2
a
c
3
b
c
1
C
2
2
2
2
1
4
3
x
y
c
c
联立
，消去
并整理得
，
2
2
2
2
2
4
1
4
3
y
cx
x
y
c
c
y
2
2
3
16
12
0
x
cx
c
解得
或
（舍去），
2
3
x
c
6
x
c
由抛物线的定义可得
，解得
.
2
5
5
3
3
c
MF
c
c
3
c
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因此，曲线
的标准方程为
，
1
C
2
2
1
36
27
x
y
曲线
的标准方程为
.
2
C
2
12
y
x
【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查
计算能力，属于中等题.
20.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的
底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面
交AB于E，交AC于F.
（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
10
10
【解析】
【分析】
（1）由
分别为
，
的中点，
，根据条件可得
，可证
,
M N
BC
1
1
B C
1
//
MN CC
1
1
/ /
AA
BB
1
MN AA
//
，要证平面
平面
，只需证明
平面
即可；
1
1
EB C F
1A AMN
EF
1A AMN
（2）连接
，先求证四边形
是平行四边形，根据几何关系求得
，在
截取
NP
ONPA
EP
1
1
B C
1
B Q
EP
，由（1）
平面
，可得
为
与平面
所成角，即可求得答案.
BC ⊥
1A AMN
QPN
1B E
1A AMN
【详解】（1）
分别为
，
的中点，
,
M N
BC
1
1
B C
1
//
MN BB
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又
1
1
/ /
AA
BB
1
//
MN AA
在
中，
为
中点，则
ABC
A
M
BC
BC
AM
又
侧面
为矩形，
1
1
BB C C
1
BC
BB
1
//
MN BB
MN
BC
由
，
平面
MN
AM
M
,
MN AM
1A AMN
平面
BC ⊥
1A AMN
又
，且
平面
，
平面
，
1
1//
B C
BC
1
1
B C
ABC
BC
ABC
平面
1
1//
B C
ABC
又
平面
，且平面
平面
1
1
B C
1
1
EB C F
1
1
EB C F
ABC
EF
1
1 / /
B C
EF
//
EF BC
又
平面
BC
1A AMN
平面
EF
1A AMN
平面
EF
1
1
EB C F
平面
平面
1
1
EB C F
1A AMN
（2）连接NP
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平面
，平面
平面
//
AO
1
1
EB C F
AONP
1
1
EB C F
NP
//
AO NP
根据三棱柱上下底面平行，
其面
平面
，面
平面
1A NMA
ABC
AM
1A NMA
1
1
1
1
A B C
A N
//
ON AP
故：四边形
是平行四边形
ONPA
设
边长是
(
)
ABC
A
6m
0
m
可得：
，
ON
AP
6
NP
AO
AB
m
为
的中心，且
边长为
O
1
1
1
A B C
△
1
1
1
A B C
△
6m
1
6 sin 60
3
3
ON
m
故：
3
ON
AP
m
//
EF BC
AP
EP
AM
BM
3
3
3 3
EP
解得：EP
m
在
截取
，故
1
1
B C
1
B Q
EP
m
2
QN
m
且
1
B Q
EP
1 //
B Q EP
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四边形
是平行四边形，
1
B QPE
1 //
B E PQ
由（1）
平面
1
1
B C
1A AMN
故
为
与平面
所成角
QPN
1B E
1A AMN
在
，根据勾股定理可得：
Rt
QPN
△
2
2
2
2
2
6
2 10
PQ
QN
PN
m
m
m
2
10
sin
10
2 10
QN
m
QPN
PQ
m
直线
与平面
所成角的正弦值：
.
1B E
1A AMN
10
10
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面
垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.
21.已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：
；
3 3
( )
8
f x
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤
.
3
4
n
n
【答案】（1）当
时，
单调递增，当
时，
0, 3
x
'
0,
f
x
f x
2
,
3
3
x
'
0,
f
x
f x
单调递减，当
时，
单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.
2
,
3
x
'
0,
f
x
f x
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性
即可；
(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的
不等式；
(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得
2
2
2
2
1
2
3
sin
sin
sin 2
sin 2 sin 4
sin 2
sin 2
sin 2
n
n
n
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
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，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由函数的解析式可得：
，则：
3
2sin
cos
f x
x
x
2
2
4
'
2 3sin
cos
sin
f
x
x
x
x
2
2
2
2sin
3cos
sin
x
x
x
，
2
2
2sin
4cos
1
x
x
2
2sin
2cos
1
2cos
1
x
x
x
在
上的根为：
，
'
0
f
x
0,
x
1
2
2
,
3
3
x
x
当
时，
单调递增，
0, 3
x
'
0,
f
x
f x
当
时，
单调递减，
2
,
3
3
x
'
0,
f
x
f x
当
时，
单调递增.
2
,
3
x
'
0,
f
x
f x
(2)注意到
，
2
2
sin
sin 2
sin
sin 2
f x
x
x
x
x
f x
故函数
是周期为
的函数，
f x
结合(1)的结论，计算可得：
，
0
0
f
f
，
，
2
3
3
3 3
3
2
2
8
f
2
2
3
3
3 3
3
2
2
8
f
据此可得：
，
，
max
3 3
8
f x
min
3 3
8
f x
即
.
3 3
8
f x
(3)结合(2)的结论有：
2
2
2
2
sin
sin 2 sin 4
sin 2n
x
x
x
x
2
3
3
3
3
3
sin
sin 2 sin 4
sin 2n
x
x
x
x
2
2
2
2
1
2
3
sin
sin
sin 2
sin 2 sin 4
sin 2
sin 2
sin 2
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
2
3
2
3 3
3 3
3 3
sin
sin 2
8
8
8
n
x
x
关注公众号”一个高中僧“获取更多高中资料
.
2
3
3 3
8
n
3
4
n
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导
数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B铅笔将所选题号涂黑，
多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：
（θ为参数），C2：
（t为参数）.
2
2
4cos
4sin
x
y
，
1,
1
x
t
t
y
t
t
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过
极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1）
；
；（2）
.
1 :
4
C
x
y
2
2
2 :
4
C
x
y
17 cos
5
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数
和即可得到所求普通方程；
t
（2）两方程联立求得点P
，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由
得
的普通方程为：
；
2
2
cos
sin
1
1
C
4
x
y
由
得：
，两式作差可得
的普通方程为：
.
1
1
x
t
t
y
t
t
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
x
t
t
y
t
t
2
C
2
2
4
x
y
（2）由
得：
，即
；
2
2
4
4
x
y
x
y
5
2
3
2
x
y
5 3
,
2 2
P
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设所求圆圆心的直角坐标为
，其中
，
,0
a
0
a
则
，解得：
，
所求圆的半径
，
2
2
2
5
3
0
2
2
a
a
17
10
a
17
10
r
所求圆的直角坐标方程为：
，即
，
2
2
2
17
17
10
10
x
y
2
2
17
5
x
y
x
所求圆的极坐标方程为
.
17 cos
5
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐
标方程等知识，属于常考题型.
[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数
.
2
( )
|
2
1|
f x
x
a
x
a
（1）当
时，求不等式
的解集；
2
a
( ) 4
f x …
（2）若
，求a的取值范围.
( ) 4
f x …
【答案】（1）
或
；（2）
.
3
2
x x
11
2
x
, 1
3,
【解析】
【分析】
（1）分别在
、
和
三种情况下解不等式求得结果；
3
x
3
4
x
4
x
（2）利用绝对值三角不等式可得到
，由此构造不等式求得结果.
2
1
f x
a
【详解】（1）当
时，
.
2
a
4
3
f x
x
x
当
时，
，解得：
；
3
x
4
3
7
2
4
f x
x
x
x
3
2
x≤
当
时，
，无解；
3
4
x
4
3
1
4
f x
x
x
当
时，
，解得：
；
4
x
4
3
2
7
4
f x
x
x
x
11
2
x
综上所述：
的解集为
或
.
4
f x
3
2
x x
11
2
x
（2）
（当且仅当
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
f x
x
a
x
a
x
a
x
a
a
a
a
时取等号），
2
2
1
a
x
a
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，解得：
或
，
2
1
4
a
1
a
3
a
的取值范围为
.
a
, 1
3,
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
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