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专题一
集合与常用逻辑用语
第二讲常用逻辑用语
2019
年
1.（2019 全国Ⅱ理7）设α，β 为两个平面，则α∥β 的充要条件是
A．α 内有无数条直线与β 平行
B．α 内有两条相交直线与β 平行
C．α，β 平行于同一条直线
D．α，β 垂直于同一平面
2.（2019
7
北京理）设点A,B,C
不共线，则
与
的夹角是锐角是
“
”
“
AB
AC
BC
+
uuur
uuur
uuur
”
的
（）充分而不必要条件
（
A
B）必要而不充分条件
（）充分必要条件
（
C
D）既不充分也不必要条件
3.（2019
3
天津理）设xR ，则“
2
5
0
x
x
−
”是“
|
1| 1
x −
”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2010-2018
年
一、选择题
1
(2018
)
．
北京设a ，b 均为单位向量，则“
3
3
−
=
+
a
b
a
b ”
“
是a ⊥b ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2
(2018
)
．
天津设xR ，则“
1
1
|
|
2
2
x −
”是“
3
1
x
”的
A．充分而不必要条件
．必要而不充分条件
B
C．充要条件
．既不充分也不必要条件
D
3
(2018
)
．
上海已知a
R
，则“
1
a
”是“ 1
1
a
”的（
）
A．充分非必要条件
．必要非充分条件
B
C．充要条件
．既非充分又非必要条件
D
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4．(2018 浙江)已知平面，直线m ，n 满足m
，n
，则“ m ∥n ”是“m ∥”
的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
D
5
2017
．（
新课标Ⅰ）设有下面四个命题
1p ：若复数z 满足1
z
R ，则zR ；
2
p ：若复数z 满足
2 z R ，则zR ；
3p ：若复数
1z ，
2z 满足
1
2
z z R ，则
1
2
z
z
=
；
4
p ：若复数zR ，则 z R ．
其中的真命题为
A．
1p ，
3p B．
1p ，
4
p
C．
2
p ，
3p D．
2
p ，
4
p
6
2017
．（
浙江）已知等差数列
n
a
的公差为d ，前n 项和为
n
S ，则“
0
d
”
是“
4
6
5
+
2
S
S
S
”的
A
．充分不必要条件
．必要不充分条件
B
C
．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7
2017
．（
天津）设R ，则“
π
π
|
|
12
12
−
”是“
1
sin
2
”的
A．充分而不必要条件
．必要而不充分条件
B
C
D
．充要条件
．既不充分也不必要条件
8
2017
．（
山东）已知命题p：
0
x
，
ln(
1)
0
x +
；命题q ：若a
b
，则
2
2
a
b
，下
列命题为真命题的是
A．p
q
B．p
q
C．
p
q
D．
p
q
9．（2017 北京）设m , n为非零向量，则“存在负数，使得
=
m
n ”是“
0
m n
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
10．（ 2016 年北京）设,a b 是向量，则“
| |=| |
a
b ”是“
|
| |
|
+
=
−
a
b
a
b ”的
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A．充分而不必要条件
．必要而不充分条件
B
C．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
D
11．（2016 年山东）已知直线，分别在两个不同的平面
，内，则
a
b
α
β
“直线
和直线
相
a
b
交是平面
和平面
的
”
“
α
β 相交”
A．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
D
．充要条件
．既不充分也不必要条件
12．（2016 年天津）设{
}
na
是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“
0
q
”
“
是对任意的正
整数n ，
2
1
2
0
n
n
a
a
−+
”的（
）
A．充要条件
．充分而不必要条件
B
C．必要而不充分条件
．既不充分也不必要条件
D
13．（ 2015 新课标）设命题p ：n
N
，
2
2n
n
，则p
为
A．
2
,
2n
n
N n
B．
2
,
2n
n
N n
≤
C．
2
,
2n
n
N n
≤
D．
2
,
2n
n
N n
=
14．（ 2015 安徽）设p ：1
2
x
，q ：2
1
x
，则p是q 成立的
A．充分不必要条件
．必要不充分条件
B
C．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
D
15．（ 2015 重庆）“
1
x ”是“
1
2
log (
2)
0
x +
”的
A．充要条件
．充分而不必要条件
B
C．必要而不充分条件
．既不充分也不必要条件
D
16．（ 2015 天津）设x
R
，则“
2
1
x −
”是“
2
2
0
x
x
+
−
”的
A．充分而不必要条件
．必要而不充分条件
B
C．充要条件
．既不充分也不必要条件
D
17．（ 2015 浙江）命题“
*
*
N ,
( )
N
n
f n
且
( )
f n
n
≤
的否定形式是
A．
*
*
N ,
( )
N
n
f n
且
( )
f n
n
B．
*
*
N ,
( )
N
n
f n
或
( )
f n
n
C．
*
*
0
0
N , (
)
N
n
f n
且
0
0
(
)
f n
n
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D．
*
*
0
0
N , (
)
N
n
f n
或
0
0
(
)
f n
n
18．（2015 北京）设，是两个不同的平面，m 是直线且m
⊂
．“m
∥
”是“
∥
”
的
A．充分而不必要条件
．必要而不充分条件
B
C．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
D
19．（ 2015 陕西）“
sin
cos
=
”是“
cos2
0
=
”的
A．充分不必要条件
．必要不充分条件
B
C．充分必要条件
．既不充分也不必要
D
20．（2014 新课标）函数
2
( )
f x 在
0
=
x x 处导数存在，若
(
)
0
0
p
f
x
=
：
，
0
:
q x
x
=
是( )
f x
的极值点，则
A．p 是q 的充分必要条件
B．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
21．（ 2014 广东）在ABC
中，角A ，B ，C 所对应的边分别为
,
,
,
c
b
a
则“
b
a
”是
“
B
A
sin
sin
”的
A．充分必要条件
．充分非必要条件
B
C．必要非充分条件
．非充分非必要条件
D
22．（ 2014 福建）命题“
)
3
0,
.
0
x
x
x
+
+
”的否定是
A．
(
)
3
0,
.
0
x
x
x
+
+
B．
(
)
3
,0 .
0
x
x
x
−
+
C．
)
3
0
0
0
0,
.
0
x
x
x
+
+
D．
)
3
0
0
0
0,
.
0
x
x
x
+
+
23．（ 2014 浙江）已知i 是虚数单位，
R
b
a
,
,则“
1
=
= b
a
”是“
i
bi
a
2
)
(
2 =
+
”的
A
．充分不必要条件
．必要不充分条件
B
C
．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
D
24．（2014 湖南）已知命题p ：若x
y
，则
x
y
−−
；命题q ：若x
y
，则
2
2
x
y
．在
命题①p
q
②p
q
③
(
)
p
q
④(
)
p
q
中，真命题是
A．①③
．①④
．②③
．②④
B
C
D
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25．（2014 陕西）原命题为“若
1
2
n
n
n
a
a
a
+
+
，n
N +
，则
na
为递减数列”，关于逆命
题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是
A．真，真，真
．假，假，真
．真，真，假
．假，假，假
B
C
D
26．（ 2014 江西）下列叙述中正确的是
A．若
, ,
a b c
R
，则
2
"
0"
ax
bx
c
+
+
的充分条件是
2
"
4
0"
b
ac
−
B．若
, ,
a b c
R
，则
2
2
"
"
ab
cb
的充要条件是"
"
a
c
C．命题“对任意x
R
，有
2
0
x
”的否定是“存在x
R
，有
2
0
x
”
D．l 是一条直线，,
是两个不同的平面，若
,
l
l
⊥
⊥
，则
/ /
27．（ 2013 安徽）“
0
a≤
”是“函数
( )= (
-1)
f x
ax
x 在区间
(0,+ )
内单调递增”的
A．充分不必要条件
．必要不充分条件
B
C．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
D
28．（
北京）
2013
“
=
”是“曲线
(
)
sin 2
y
x
=
+
过坐标原点的”
A．充分而不必要条件
．必要而不充分条件
B
C．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
D
29．设
是复数
z
, 则下列命题中的假命题是
A．若
2
0
z
, 则
是实数
z
B．若
2
0
z
, 则
是虚数
z
C．若
是虚数则
z
,
2
0
z
D．若
是纯虚数则
z
,
2
0
z
30
2013
．（
浙江）已知函数
)
,0
,0
)(
cos(
)
(
R
A
x
A
x
f
+
=
，则“
)
(x
f
是奇函
数”是
2
=
的
A．充分不必要条件
．必要不充分条件
B
C．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
D
31．（ 2013 重庆）命题“对任意x
R
，都有
2
0
x
”的否定为
A．对任意x
R
，都有
2
0
x
B．不存在x
R
，都有
2
0
x
C．存在
0
x
R
，使得
2
0
0
x
D．存在
0x
R
，使得
2
0
0
x
32．
（2013 四川）设x
Z
，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集，若命题p ：
,2
x
A
x
B
，
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则
A．p
：
,2
x
A
x
B
B．p
：
2
x
A x
B
，
C．p
：
2
x
A x
B
，
D．p
：
2
x
A x
B
，
33．（2013 湖北）在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指
定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”
可表示为
A．
(
)
(
)
p
q
B
．
(
)
p
q
C．
(
)
(
)
p
q
D．p
q
34．（ 2012 湖北）命题“
0x
RQ
ð
，
3
0
x Q ”的否定是
A．
0x
RQ
ð
，
3
0
x Q
B．
0x
RQ
ð
，
3
0
x Q
C．
x
RQ
ð
，
3 x Q
D
．x
RQ
ð
，
3 x Q
35．（ 2012 湖南）命题“若
4
=
，则
tan
1
= ”的逆否命题是
A．若
4
，则
tan
1
B．若
4
=
，则
tan
1
C．若
tan
1
，则
4
D
．若
tan
1
，则
4
=
36．
（2012 安徽）设平面与平面相交于直线m ，直线a 在平面内，直线b 在平面内，
且b
m
⊥
，则“
⊥
”是“a
b
⊥
”的
A．充分不必要条件
．必要不充分条件
B
C．充要条件
．即不充分不必要条件
D
37．（ 2012 福建）下列命题中，真命题是
A．
0
0
,
0
x
x
R e
„
B．
2
,2 x
x
R
x
C．
0
a
b
+
=
的充要条件是
1
a
b = − D．
1
a
,
1
b 是
1
ab 的充分条件
38．（ 2012 北京）设,a bR，“
0
a =
”是“复数
i
a
b
+
是纯虚数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
39．（
湖北）命题
2012
“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
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B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
40．(2012
)
山东设
0
a
且
1
a
，则“函数
( )
x
a
x
f
=
在R 上是减函数”是“
( )
(
)
3
2
x
a
x
g
−
=
在R 上是增函数”的
A．充分不必要条件
．必要不充分条件
B
C．充分必要条件
．既不充分也不必要条件
D
41．(2012
)
山东设命题：函数
p
sin2
y
x
=
的最小正周期为2
；命题：函数
q
cos
y
x
=
的图象
关于直线
2
x
=
对称则下列判断正确的是
.
A
B
．为真
p
．q
为假
．
C
p
q
为假 D．p
q
为真
42．（ 2011 山东）已知
, ,
a b c
R
，命题“若a
b
c
+ +
=3，则
2
2
2
a
b
c
+
+
≥3”，的否命题是
A．若
3
a
b
c
+ +
，则
2
2
2
a
b
c
+
+
<3
B．若
3
a
b
c
+ +
= ，则
2
2
2
a
b
c
+
+
<3
C．若
3
a
b
c
+ +
，则
2
2
2
a
b
c
+
+
≥3
D．若
2
2
2
a
b
c
+
+
≥3，则
3
a
b
c
+ +
=
43．（ 2011 新课标）已知a ，b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
1
2
:|
| 1
[0,
)
3
p
+
a
b
2 :
p
|
| 1
+
a
b
2
(
, ]
3
13
:|
| 1
[0,
)
3
p
−
a
b
4 :
p
|
| 1
−
a
b
(
, ]
3
其中真命题是
A．
1
4
,
p p
B．
1
3
,
p p
C．
2
3
,
p
p
D．
2
4
,
p
p
44．（ 2011 陕西）设,a b 是向量，命题“若= −
a
b ，则
=
a
b ”的逆命题是
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A．若
a
b ，则
a
b
B．若
= −
a
b，则
a
b
C．若
a
b ，则
a
b
D
．若
=
a
b ，则
= −
a
b
45．（ 2011 湖南）设集合
2
1,2 ,
,
M
N
a
=
=
则“
1
a =
”是“N
M
”的
A．充分不必要条件
．必要不充分条件
B
C．充分必要条件
．既不充分又不必要条件
D
46．（ 2011 安徽）命题“所有能被
整聊的整数都是偶数
2
”的否定
．．是
A．所有不能被
整除的数都是偶数
2
B
2
．所有能被
整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被
整除的数都是偶数
2
D．存在一个能被
整除的数都不是偶数
2
47．（2010 新课标）已知命题
1p ：函数
2
2
x
x
y
−
=
−
在
为增函数，
R
2
p ：函数
2
2
x
x
y
−
=
+
在
为减函数，则在命题
R
1q ：1
2
p
p
，2
q ：1
2
p
p
，
3
q ： (
)
1
2
p
p
和
4
q ：
(
)
1
2
p
p
中，真命题是
A．
1q ，
3
q B．
2
q ，
3
q
C．
1q ，
4
q D．
2
q ，
4
q
48．（ 2010 辽宁）已知a >0，则
0
x 满足关于x 的方程
ax
b
=
的充要条件是
A．
2
2
0
0
1
1
, 2
2
x
R
ax
bx
ax
bx
−
−
B．
2
2
0
0
1
1
, 2
2
x
R
ax
bx
ax
bx
−
−
C．
2
2
0
0
1
1
, 2
2
x
R
ax
bx
ax
bx
−
−
D．
2
2
0
0
1
1
, 2
2
x
R
ax
bx
ax
bx
−
−
二、填空题
49．(2018
)
北京能说明若
“
( )
(0)
f x
f
对任意的
(0,2]
x
都成立，则
( )
f x 在[0,2] 上是增
函数为假命题的一个函数是
”
__________
．
50．（ 2015 山东）若“ x
[0,
]
4
，
tan x
m
≤
”是真命题，则实数m 的最小值为
．
51．（2013 四川）设
n
P
P
P
，
，
，
2
1
为平面a 内的n 个点，在平面a 内的所有点中，若点P
到点
n
P
P
P
，
，
，
2
1
的距离之和最小，则称点P 为点
1
2
n
P
P
P
，，，
的一个“中位点”，
例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题：
①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；
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②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A ，B ，C ，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点；
其中的真命题是________________（写出所有的真命题的序号）．
52．（ 2011 陕西）设n
N +
，一元二次方程
2
4
0
x
x
n
−
+
=
有正数根的充要条件是n =
．
53．（ 2010 安徽）命题“存在x
R
，使得
2
2
5
0
x
x
+
+
=
”的否定是
．
关注微信公众号：加油高三
2019
年
1.解析：对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或
∥
，排除；
对于B，内有两条相交直线与平行，则
∥；
对于C，，平行于同一条直线，则与相交或
∥
，排除；
对于D，，垂直于同一平面，则与相交或
∥
，排除．
故选B．
2.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：点
，
A
B，
三点不共线，
C
AB
AC
BC
AB
AC
AB
AC
+
+
−
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
0
AB
AC
AB
AC
AB AC
+
−
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
“ AB
uuur
与AC
uuur
的夹角为锐角”.
所以“ AB
uuur
与AC
uuur
的夹角为锐角是
”
“
AB
AC
BC
+
uuur
uuur
uuur
的充要条件．故选
．
C
3
.解析
解析
解析
解析
解析由
2
5
0
x
x
−
，可得0
5
x
，由
1
1
x −
，得0
2
x
，
因为0
5
x
不能推出0
2
x
，但
0
2
x
可以推出0
5
x
，
所以0
5
x
是0
2
x
的必要不充分条件，即
0
5
x
是
1
1
x −
的必要不充分条件.
故选
．
B
2010-2018
年
1
C
．【解析】∵
3
3
−
=
+
a
b
a
b ，∴
2
2
(
3 )
(3
)
−
=
+
a
b
a
b
，∴
2
2
6
9
−
+
=
a
a b
b
2
2
9
6
+
+
a
a b
b ，又
|
| |
| 1
=
=
a
b
，∴
0
=
a b
，∴
⊥
a
b
；反之也成立，故选
．
C
2
A
．【解析】通解由
1
1
|
|
2
2
x −
，得0
1
x
，所以
3
0
1
x
；由
3
1
x
，
得
1
x ，不能推出0
1
x
．所以“
1
1
|
|
2
2
x −
”是“
3
1
x ”的充分而不必要条件，
故选
．
A
优解
由
1
1
|
|
2
2
x −
，得0
1
x
，所以
3
0
1
x
，所以充分性成立；
关注微信公众号：加油高三
取
1
4
x = −
，则
1
1
3
1
|
|
4
2
4
2
−
−
=
，
3
1
1
(
)
1
4
64
−
= −
，所以必要性不成立．故选
．
A
3
A
．【解析】由
1
a
可得1
1
a
成立；当1
1
a
，即1
1
1
0
−
−=
a
a
a
，
解得
0
a
或
1
a
，推不出
1
a
一定成立；所以“
1
a
”是“1
1
a
”的充分非必要
条件．故选
．
A
5．B【解析】设
i
z
a
b
=
+
（,a bR ），则
2
2
1
1
i
(
i)
a
b
z
a
b
a
b
−
=
=
+
+
R，得
0
b =
，所以zR ，
1p 正确；
2
2
2
2
(
i)
2
i
z
a
b
a
b
ab
=
+
=
−
+
R，则
0
ab =
，即
0
a =
或
0
b = ，不能确
定zR，
2
p 不正确；若zR ，则
0
b =
，此时
i
z
a
b
a
=
−
= R ，
4
p
正确
．
．选B
6
C
．
【解析】∵
6
5
5
4
6
5
(
)
(
)
S
S
S
S
a
a
d
−
−
−
=
−
=
，当
0
d
，可得
4
6
5
+
2
S
S
S
；当
4
6
5
+
2
S
S
S
，可得
0
d
．所以“
0
d
”是“
4
6
5
+
2
S
S
S
” 充分必要条件，选
．
C
7．A【解析】由
π
π
|
|
12
12
−
，得0
6
，所以
1
sin
2
，反之令
0
=
，有
1
sin
2
成立，不满足
π
π
|
|
12
12
−
，所以“
π
π
|
|
12
12
−
”是“
1
sin
2
”的充分而不必要
条件．选
．
A
8
B
．【解析】
0
x
，
1 1
+
x
，所以
ln(
1)
0
x +
，所以p为真命题；若
0
a
b
，则
2
2
a
b
，若
0
b
a
，则
0
a
b
−−，所以
2
2
a
b
，所以q 为假命题．所以p
q
为真命题
．
．选B
9
A
．
【解析】因为
,
m n 为非零向量，所以
|
||
| cos
,
0
=
m n
m n
m n
的充要条件是
cos
,
0
m n
．因为
0
，则由
=
m
n 可知
,
m n的方向相反，
,
180
=
m n
，
所以
cos
,
0
m n
，所以“存在负数，使得
=
m
n ”可推出“
0
m n
”；而
0
m n
可推出
cos
,
0
m n
，但不一定推出
,
m n 的方向相反，从而不一定推得
“存在负数，使得
=
m
n ”，所以“存在负数，使得
=
m
n ”是“
0
m n
”
的充分而不必要条件．
10．D【解析】取
0
−
a = b
，则
|
| |
| 0
=
a
b
，
|
| | 0| 0
+
=
=
a
b
，
|
| | 2 | 0
−
=
a
b
a
，
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所以
|
| |
|
+
−
a
b
a
b ，故由
|
| |
|
=
a
b 推不出
|
| |
|
+
=
−
a
b
a
b ．由
|
| |
|
+
=
−
a
b
a
b ，
得
2
2
|
|
|
|
+
=
−
a
b
a
b
，整理得
0
=
a b
，所以⊥
a
b ，不一定能得出
|
| |
|
=
a
b ，
故由
|
| |
|
+
=
−
a
b
a
b 推不出
|
| |
|
=
a
b ，故“
|
| |
|
=
a
b ”是“
|
| |
|
+
=
−
a
b
a
b ”的既不充
分也不必要条件，故选
．
D
11．【解析】若直线
A
,a b 相交，设交点为P ，则
,
P
a P
b
，又
,
a
b
，所以
,
P
P
，故,
相交．反之，若,
相交，则,a b 可能相交，也可能异面或平
行．故“直线
和直线
是
a
b 相交”
“平面
相交
α 和平面β
”的充分不必要条件．故选
．
A
12．C【解析】由题意得，
1
1
1 (
0)
n
n
a
a q
a
−
=
，
2
2
2
1
2
1
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a q
a q
−
−
−
+
=
+
=
2
2
1
(1
)
n
a q
q
−
+
，若
0
q
，因为 1
q
+
得符号不定，所以无法判断
2
1
2
n
n
a
a
−+
的符号；
反之，若
2
1
2
0
n
n
a
a
−+
，即
2(
1)
1
(
1)
0
n
a q
q
−
+
，可得 1
0
q −
，
故“
0
q
”
“
是对任意的正整数n ，
2
1
2
0
n
n
a
a
−+
”的必要不充分条件，故选C.
13．C【解析】命题p是一个特称命题，其否定是全称命题．
14．A【解析】由
0
: 2
2
x
q
，解得
0
x
，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q
成立的充分不必要条件，选
．
A
15．B【解析】
1
2
log (
2)
0
2
1
1
x
x
x
+
+
−
，因此选
．
B
16．A 【解析】解不等式
|
2| 1
x -
< 可得，1
3
x
<
<
，解不等式
2
2
0
x
x
+ -
>
可得，
2
x <-
或 1
x > ，所以“
2
1
x −
”是“
2
2
0
x
x
+
−
”的充分而不必要条件．
17．D 【解析】根据全称命题的否定是特称命题，因此命题“
*
*
N ,
( )
N
n
f n
且
( )
f n
n
≤
”的否定为“
*
*
0
0
N , (
)
N
n
f n
或
0
0
(
)
f n
n
”可知选
．
D
18．B 【解析】因为，是两个不同的平面，m 是直线且m
⊂
．若“ m
”，则平面
、
可能相交也可能平行，不能推出
∥
，反过来若
∥
， m Ì ，则有
m
∥
，则“m
∥
”是“
∥
”的必要而不充分条件．
19．A【解析】因为
2
2
cos2
cos
sin
0
=
−
=
，所以
sin
cos
=
或
sin
cos
= −
，
因为“
sin
cos
=
”“
cos2
0
=
”，但“
sin
cos
=
”“
cos2
0
=
”，
关注微信公众号：加油高三
所以“
sin
cos
=
”是“
cos2
0
=
”的充分不必要条件，
．
故选A
20．C【解析】设
3
( )
f x
x
=
，
(0)
0
f
=
，但是
( )
f x 是单调增函数，在
0
x = 处不存在极值，
故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p
是一个真命题，故选
．
C
21．A【解析】由正弦定理
sin
sin
a
b
A
B
=
，故“
b
a
”“
B
A
sin
sin
”．
22．C【解析】把量词“
”改为“
”，把结论否定，故选
．
C
23．A【解析】当
1
a
b
=
= 时，
2
2
(
)
(1
)
2
a
bi
i
i
+
=
+
=
，反之，若
i
bi
a
2
)
(
2 =
+
，
则有
1
a
b
=
= − 或
1
a
b
=
=
，因此选
．
A
24．C【解析】由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q 为假命题，故①p
q
为假
命题，②p
q
为真命题，③q
为真命题，则
(
)
p
q
为真命题，④p
为假命题，
则(
)
p
q
为假命题，所以选
．
C
25．A【解析】 从原命题的真假人手，由于
1
2
n
n
n
a
a
a
+
+
1
n
n
n
a
a
a
+
为递减数列，
即原命题和否命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆
否命题均为真命题，选
．
A
26．D【解析】
2
"
4
0"
b
ac
−
推不出
2
"
0"
ax
bx
c
+
+
，因为与a
的符号不确定，所以A
不正确；当
2
0
b =
时，由"
"
a
c
推不出
2
2
"
"
ab
cb
，所以
不正确；“对任意
B
x
R
，
有
2
0
x
”的否定是“存在x
R
，有
0
x
”，所以
不正确．选
．
C
D
27．C【解析】当a=0 时，
( )
f x
x
=
，∴
( )
f x 在区间 (
)
0,+内单调递增；当
0
a
时，
( )
1
f x
a x
x
a
=
−
中一个根1
0
a
，另一个根为0 ，由图象可知
( )
f x 在区间
(
)
0,+内单调递增；∴
"
0"
a
是“函数
( )= (
-1)
f x
ax
x 在区间
(0,+ )
内单调递增”
的充分条件，相反，当
( )
1
f x
a x
x
a
=
−
在区间
(0,+ )
内单调递增，∴
0
a =
或
1
0
a
，即
0
a
；
"
0"
a
是“函数
( )= (
-1)
f x
ax
x 在区间
(0,+ )
内单调递增”的必
要条件，故前者是后者的充分必要条件．所以选
．
C
28．A【解析】当
=
时，
sin 2
y
x
= −
过原点；
(
)
sin 2
y
x
=
+
过原点，
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则
,
,0, ,
= −
等无数个值．选
．
A
29．C【解析】
abi
b
a
z
R
b
a
bi
a
z
2
,
,
2
2
2
+
−
=
+
=
设
．
对选项A:
为实数
则
若
z
b
z
=
0
,0
2
,所以为实数
z
为真．
对选项B:
为纯虚数
且
则
若
z
b
a
z
=
0
,0
,0
2
,所以为纯虚数
z
为真．
对选项C:
0
0
,0
,
2
=
z
b
a
z
且
则
为纯虚数
若
,所以
0
2
z
为假．
对选项D:
0
0
,0
,
2
=
z
b
a
z
且
则
为纯虚数
若
,所以
0
2
z
为真．
所以选C．
30．B【解析】由
是奇函数可知
f x( )
f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=π
2
+kπ，kZ，所以选项
正
B
确．
31．D【解析】否定为：存在
0x
R
，使得
2
0
0
x
，故选
．
D
32．C【解析】由命题的否定易知选C．
33．A【解析】“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”．
34．D【解析】存在性命题的否定为“”改为“”，后面结论加以否定，
故为
3
0
0
,
R
x
C Q x
Q
．
35．C【解析】因为“若p，则q ”的逆否命题为“若p
，则q
”，所以“若
4
=
，则
tan
1
=
”的逆否命题是“若
tan
1
，则
4
”．
36．A【解析】①
,
,
,
b
m
m b
⊥
⊥
=
,
b
a
b
a
⊥
⊥
②如果/ /
a
m ；∵b
m
⊥
，一定有a
b
⊥
但不能保证b
⊥
，既不能推出
⊥
37．D【解析】∵
,
0
x
x
R e
，故排除A；取x=2,则
2
2
2
2
=
，故排除
；
B
0
a
b
+
=
，取
0
a
b
=
=
，则不能推出
1
a
b = −
，故排除
；应选
．
C
D
38．B【解析】
0
a =
时
i
a
b
+
不一定是纯虚数，但
i
a
b
+
是纯虚数
0
a =
一定成立，故“
0
a =
”
是“复数
i
a
b
+
是纯虚数”的必要而不充分条件．
39．B【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该
命题的否定为任意一个无理数它的平方不是有理数
“
,
”，故选B．
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40．
【解析】：“函数
A
p
( )
x
a
x
f
=
在
上是减函数”等价于
R
1
0
a
；：“函数
q
( )
(
)
3
2
x
a
x
g
−
=
在
上是增函数”等价于
R
0
2
−a
，即
,2
0
a
且≠
是
a
1，故p
q
成立的充分不必要条件．选
．
A
41．C【解析】命题
为假
p
,命题
也为假
q
,故选．
42．A【解析】
3
a
b
c
+ +
=
的否定是
3
a
b
c
+ +
，
2
2
2
a
b
c
+
+
≥3 的否定是
2
2
2
a
b
c
+
+
<3，故选
．
A
43．A【解析】由
2
2
2
cos
2
2cos
1
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
=
+
得，
1
cos
2
−
，
2
0, 3
。由
2
2
2
cos
2
2cos
1
a
b
a
b
ab
−
=
+
−
=
−
得
1
cos
2
,
3
．选
．
A
44．D【解析】根据定义若“若a
b
=
，则a
b
= −
”．
45．A【解析】显然
1
a = 时一定有N
M
，反之则不一定成立，如
1
a = −，故“
1
a =
”
是“ N
M
” 充分不必要条件．
46．D【解析】
根据定义容易知
正确．
D
47．C【解析】∵
1p 是真命题，则
1p
为假命题；
2
p 是假命题，则
2p
为真命题，
∴
1q ：
1
2
p
p
是真命题，
2
q ：
1
2
p
p
是假命题，
3
q ： (
)
1
2
p
p
为假命题，
4
q ：
(
)
1
2
p
p
为真命题，故选
．
C
48．【解析】由于
C
a >0，令函数
2
2
2
1
1 (
)
2
2
2
b
b
y
ax
bx
a x
a
a
=
−
=
−
−
，此时函数对应的开
口向上，当x = b
a
时，取得最小值
2
2
b
a
−
，而
0
x 满足关于x 的方程
ax
b
=
，那么
0x = b
a
，
min
y
=
2
2
0
0
1
2
2
b
ax
bx
a
−
= −
，那么对于任意的x
∈
有
R ，都
2
1
2
y
ax
bx
=
−
≥
2
2
b
a
−
=
2
0
0
1
2
ax
bx
−
．
关注微信公众号：加油高三
49．
sin
y
x
=
（不答案不唯一）【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足
( )
(0)
f x
f
对任意的
(0,2]
x
都成立，且函数( )
f x 在[0,2] 上不是增函数即可，如，
( )
sin
f x
x
=
，答案不唯一．
50．【解析】“
1
[0,
]
4
x
，tan x
m
”是真命题，则
tan
1
4
m
= ，于是实数m 的最
小值为。
1
51．①④【
】由
解析
“中位点”可知，若
在线段
上，则线段
上任一点都为
C
AB
AB
“
”
中位点，
C 也不例外，故①正确；
对于②假设在等腰
△
∠
＝
Rt
ABC 中，
ACB
90°，如图所示，点
为斜边
中点，
P
AB
设腰长为
＋
2，则|
|
PA
|
|
PB ＋
＝
|
|
PC
3
2
|
|
AB ＝3 2
，而若
为中位点
C
“
”，则
＋
|
|
CB
|CA|
4
＝
＜3 2 ，故②错；
对于③，若B，
三等分
，若设
＝
C
AD
|
|
AB
|BC|
|
＝CD|
1
|
＝，则BA
BC
|
|
＋
|＋
＝
|
|
BD
4
＝
＋
|
|
CA
|CB
CD
|
|
＋
|
，故③错；
对于④，在梯形
中，对角线
与
的交点为
，在梯形
内任取不
ABCD
AC
BD
O
ABCD
同于点
的一点
，则在△
O
M
MAC 中，|MA|
|
＋MC|
|
＞AC|＝
＋
，
|
|
OA
|
|
OC
同理在△MBD 中，|MB|
|
＋MD|
|
＞BD|
|
＝OB
OD
|
|
＋
|
，
则得，|
|
MA ＋
＋
|
|
MB
|MC|
|
|
＋MD ＞
＋
＋
|
|
OA
|
|
OB
|OC
OD
|
|
＋
|
，
故
为梯形内唯一中位点是正确的．
O
52．3
4
或【解析】易知方程得解都是正整数解，由判别式
16
4
0
n
=
−
≥得，
1
4
n
≤≤
，
逐个分析，当
1,2
n =
时，方程没有整数解；而当
3
n =
时，方程有正整数解、
1 3；当
4
n =
时，方程有正整数解．
2
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53．【解析】对任何x
R
，都有
2
2
5
0
x
x
+
+
．
