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专题三
导数及其应用
第八讲
导数的综合应用
2019
年
1
2019
8
（
天津理）已知aR ，设函数
2
2
2 ,
1,
( )
ln ,
1,
x
ax
a
x
f x
x
a
x
x
−
+
= −
„
若关于x 的不等式
( ) 0
f x … 在R 上恒成立，则a 的取值范围为
A.
0,1
B.
0,2
C.
0,e
D.
1,e
2.（2019 全国Ⅲ理20）已知函数
3
2
( )
2
f x
x
ax
b
=
−
+
.
（1）讨论
( )
f x 的单调性；
（2）是否存在
,a b ，使得
( )
f x 在区间[0,1] 的最小值为1
−且最大值为1？若存在，求
出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.
3.
2019
（
浙江22）已知实数 0
a
，设函数
( )= ln
1,
0.
f x
a
x
x
x
+
+
（）当
1
3
4
a = −
时，求函数
( )
f x 的单调区间；
（）对任意
2
2
1
[
,
)
e
x
+均有
( )
,
2
x
f x
a
求a 的取值范围.
注：e=2.71828…为自然对数的底数.
4.（2019 全国Ⅰ理20）已知函数
( )
sin
ln(1
)
f x
x
x
=
−
+
，
( )
f
x
为
( )
f x 的导数．证明：
（1）
( )
f
x
在区间
( 1,
)
2
−
存在唯一极大值点；
（2）
( )
f x 有且仅有2 个零点．
5.（2019 全国Ⅱ理20）已知函数
( )
1
1
ln
x
f x
x
x
−
=
−
+
.
（1）讨论f x( )的单调性，并证明f x( )有且仅有两个零点；
（2）设x0 是f x( )的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线
e
x
y =
的
切线.
6.
2019
（
江苏19）设函数
( )
(
)(
)(
), , ,
f x
x
a x
b x
c a b c
=
−
−
−
R 、
( )
f ' x
为（）的导函
f
x
数．
（）若
，
1
a b c
= =
f（）
的值；
4
=8，求a
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（）若
，
2
a b
≠
b=c
f
，且（x）和
( )
f ' x 的零点均在集合 { 3,1,3}
−
中，求（）的极小值；
f
x
（）若
3
0,0
1,
1
a
b
c
=
=
„
，且（）的极大值为
，求证
f
x
M
:M≤4
27
．
7.
2019
（
北京理19）已知函数
3
2
1
( )
4
f x
x
x
x
=
−
+
.
（Ⅰ）求曲线
( )
y
f x
=
的斜率为
的切线方程；
1
（Ⅱ）当
2,4
x−
时，求证：
( )
6
x
f
x
x
−
.
(
)
III 设
( )
(
)
( )
F x
f x
x
a
a
=
−
+
R ，记
( )
F x 在区间
2,4
−
上的最大值为
( )
M a ，当
( )
M a 最小
时，求a 的值.
8.
2019
（
天津理20）设函数
( )
e cos ,
( )
x
f x
x
g x
=
为
( )
f x 的导函数.
（Ⅰ）求
( )
f x 的单调区间；
（Ⅱ）当
π π
,
4 2
x
时，证明
π
( )
( )
0
2
f x
g x
x
+
−
… ；
（Ⅲ）设
n
x 为函数
( )
( ) 1
u x
f x
=
−在区间
π
π
2
,2 π
4
2
m
m
+
+
内的零点，其中nN ，证
明
2
0
0
π
2
2
sin
c
e
os
n
n
n
x
x
x
−
+
−
−
.
2010-2018
年
一、选择题
1
2017
．（
新课标Ⅱ）若
2
x = −是函数
2
1
( )
(
1)
x
f x
x
ax
e −
=
+
−
的极值点，则
2
1
( )
(
1)
x
f x
x
ax
e −
=
+
−
的极小值为
A．1
−
B．
3
2e−
−
C．
3
5e−
D
1
．
2
2017
．（
浙江）函数
( )
y
f x
=
的导函数
( )
y
f
x
=
的图像如图所示，则函数
( )
y
f x
=
的图
像可能是
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x
y
O
O
y
x
x
y
O
A
B
．
．
x
y
O
x
y
O
C
D
．
．
3
(2016
．
全国I) 函数
2
| |
2
x
y
x
e
=
−
在[ 2,2]
–
的图像大致为
A
B
．
．
C
D
．
．
4
2015
．（
四川）如果函数
( )
(
)
(
)
(
)
2
1
2
8
1
0
0
2
f x
m
x
n
x
m
n
=
−
+
−
+
，
在区间1 2
2
，
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单调递减，那么mn 的最大值为
A
16 B
18 C
25 D
．
．
．
．81
2
5．
（2015 新课标Ⅱ）设函数
( )
f
x
是奇函数
( )(
)
f x x
R
的导函数，
( 1)
0
f −
=
，当 0
x
时，
'( )
( )
xf
x
f x
−
0
，则使得f x
( )0 成立的x 的取值范围是
A．
(
) (
)
, 1
0,1
−−
B．
(
) (
)
1,0
1,
−
+
C．
(
) (
)
, 1
1,0
−−
−
D．
(
) (
)
0,1
1,+
6．（2015 新课标Ⅰ）设函数
( )
(2
1)
x
f x
e
x
ax
a
=
−
−
+
，其中 1
a
，若存在唯一的整数
0
x ，
使得
0
(
)
0
f x
，则a 的取值范围是
A．
3
[
,1)
2e
−
B．
3
3
[
, )
2
4
e
−
C．3
3
[
, )
2
4
e
D．3
[
,1)
2e
7
2014
．（
新课标Ⅱ）若函数
( )
ln
f x
kx
x
=
−
在区间
(1,
)
+单调递增，则k 的取值范围是
A．(
, 2
−−
B．(
, 1
−−
C．
)
2,+ D．
)
1,+
8
2014
．（
陕西）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），
已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为
x
y
(千米)
(千米)
湖面
2
O
y=3x-6
y=-x
A．
3
2
1
1
2
2
y
x
x
x
=
−
−
B．
3
2
1
1
3
2
2
y
x
x
x
=
+
−
C．
3
1
4
y
x
x
=
−
D．
3
2
1
1
2
4
2
y
x
x
x
=
+
−
9．（2014 新课标Ⅱ）设函数
( )
3sin
x
f
x
m
=
．若存在
( )
f x 的极值点
0
x 满足
(
)
2
2
2
0
0
x
f x
m
+
，则m 的取值范围是
A．
(
)
(
)
, 6
6,
−−
+
B．
(
)
(
)
, 4
4,
−−
+
C．
(
)
(
)
, 2
2,
−−
+
D．
(
)
(
)
, 1
1,
−−
+
10．（ 2014 陕西）如图，某飞行器在
千米高空水平飞行，从距着陆点
4
A
的水平距离
千
10
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米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为
x
y
A
地面跑道
-2
2
5
-5
O
A．
3
1
3
125
5
y
x
x
=
−
B．
3
2
4
125
5
y
x
x
=
−
C．
3
3
125
y
x
x
=
−
D．
3
3
1
125
5
y
x
x
= −
+
11．（2014 辽宁）当
[ 2,1]
x−
时，不等式
3
2
4
3
0
ax
x
x
−
+
+
恒成立，则实数
的取值范
a
围是
A．
[ 5, 3]
−
−
B．
9
[ 6,
]8
−
−
C．
[ 6, 2]
−
−
D．
[ 4, 3]
−
−
12．（ 2014 湖南）若
1
2
0
1
x
x
，则
A．
2
1
2
1
ln
ln
x
x
e
e
x
x
−
−
B．
2
1
2
1
ln
ln
x
x
e
e
x
x
−
−
C．
1
2
2
1
x
x
x e
x e
D．
1
2
2
1
x
x
x e
x e
13．（ 2014 江西）在同一直角坐标系中，函数
2
2
a
y
ax
x
=
−
+
与
2
3
2
2
y
a x
ax
x
a
=
−
+
+
(
)
a
R
的图像不可能
．．．的是
x
y
A
O
x
y
B
O
x
y
C
O
x
y
D
O
14．（ 2013 新课标Ⅱ）已知函数
( )
3
2
f x
x
ax
bx
c
=
+
+
+
，下列结论中错误的是
A．
(
)
0
0
,
0
x
R f x
=
B．函数
( )
y
f x
=
的图像是中心对称图形
C．若
0
x 是
( )
f x 的极小值点，则
( )
f x 在区间 (
)
0
, x
−
单调递减
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D．若
0
x 是
( )
f x 的极值点，则
(
)
0
'
0
f
x
=
15．
（2013 四川）设函数
( )
ex
f x
x
a
=
+
−（
a
R
e
，为自然对数的底数），若曲线
x
y
sin
=
上存在点
)
(
0
0
y
x ，
使得
0
0
))
(
(
y
y
f
f
=
，则a 的取值范围是
A
．
]e
,1[
B．
]1
1
e[
1
，
−
−
C
[
．
1
e
1
+
，
] D
[
．
1
e
1 e 1
−−
+
，
]
16．（ 2013 福建）设函数( )
f x
的定义域为
，
R
0
0
(
0)
x
x
是( )
f x 的极大值点，以下结论一
定正确的是
A．
0
,
( )
(
)
x
R f x
f x
B．
0x
−
是
(
)
f
x
−
的极小值点
C．
0x
−
是
( )
f x
−
的极小值点 D．
0x
−
是
(
)
f
x
−
−
的极小值点
17．（ 2012 辽宁）函数
x
x
y
ln
2
1
2 −
=
的单调递减区间为
A
(
1,1]
B
(0,1]
C
[1,+
．－
．
．
) D
(0,+
．
)
18．（ 2012 陕西）设函数
( )
x
f x
xe
=
，则
A． 1
x =
为
( )
f x
的极大值点
．
B
1
x =
为
( )
f x 的极小值点
C．
1
x = −为
( )
f x
的极大值点
．
D
1
x = −为
( )
f x 的极小值点
19．（ 2011 福建）若
0
a
，
0
b
，且函数
3
2
( )
4
2
2
f x
x
ax
bx
=
−
−
+
在 1
x = 处有极值，
则ab 的最大值等于
A
2
B
3
C
6
D
9
．
．
．
．
20．（2011 浙江）设函数
( )
(
)
2
, ,
f x
ax
bx
c a b c
R
=
+
+
，若
1
x = −为函数
( )
x
f x e 的一
个极值点，则下列图象不可能为
( )
y
f x
=
的图象是
A B C D
21．（ 2011 湖南）设直线x
t
= 与函数
2
( )
f x
x
=
，
( )
ln
g x
x
=
的图像分别交于点
,
M N ，
则当MN 达到最小时t 的值为
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A
1
B
．
．1
2
C．
5
2
D．2
2
二、填空题
22．（ 2015 安徽）设
3
0
x
ax
b
+
+
=
，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅
有一个实根的是
（写出所有正确条件的编号）
①
3,
3
a
b
= −
= −；②
3,
2
a
b
= −
=
；③
3,
2
a
b
= −
；④
0,
2
a
b
=
=
；
⑤
1,
2
a
b
=
=
．
23．（2015 四川）已知函数
x
x
f
2
)
(
=
，
ax
x
x
g
+
=
2
)
(
（其中
R
a
）．对于不相等的实数
2
1 , x
x
，设
2
1
2
1
)
(
)
(
x
x
x
f
x
f
m
−
−
=
，
2
1
2
1
)
(
)
(
x
x
x
g
x
g
n
−
−
=
，现有如下命题：
①对于任意不相等的实数
2
1 , x
x
，都有
0
m
；
②对于任意的a 及任意不相等的实数
2
1 , x
x
，都有
0
n
；
③对于任意的a ，存在不相等的实数
2
1 , x
x
，使得
n
m =
；
④对于任意的a ，存在不相等的实数
2
1 , x
x
，使得
n
m
−
=
．
其中的真命题有
（写出所有真命题的序号）．
24．（ 2015 江苏）已知函数
|
ln
|
)
(
x
x
f
=
，
−
−
=
1
,2
|
4
|
1
0,0
)
(
2
x
x
x
x
g
，则方程
1
|)
(
)
(
|
=
+
x
g
x
f
实根的个数为
．
25．（ 2011 广东）函数
3
2
( )
3
1
f x
x
x
=
−
+ 在x =______处取得极小值．
三、解答题
26．(2018 全国卷Ⅰ已知函数
)
1
( )
ln
f x
x
a
x
x
=
−
+
．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
( )
f x 存在两个极值点
1
2
,
x x ，证明：
1
2
1
2
( )
(
)
2
−
−
−
f x
f x
a
x
x
．
27．(2018 全国卷Ⅱ已知函数
)
2
( )
e
=
−
x
f x
ax ．
(1)若
1
=
a
，证明：当
0
≥
x
时，
( )
1
≥
f x
；
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(2)若
( )
f x 在
(0,
)
+只有一个零点，求a ．
28．(2018 全国卷Ⅲ已知函数
)
2
( )
(2
)ln(1
)
2
f x
x
ax
x
x
=
+
+
+
−
．
(1)若
0
a = ，证明：当
1
0
x
−
时，
( )
0
f x
；当 0
x
时，
( )
0
f x
；
(2)若 0
x = 是
( )
f x 的极大值点，求a ．
29．(
)
2018北京设函数
2
( )
[
(4
1)
4
3]
x
f x
ax
a
x
a
e
=
−
+
+
+
．
(1)若曲线
( )
y
f x
=
在点
(1, (1))
f
处的切线与x 轴平行，求a ；
(2)若
( )
f x 在 2
x =
处取得极小值，求a 的取值范围．
30
(2018
)
．
天津已知函数( )
x
f x
a
=
，
( )
log a
g x
x
=
，其中 1
a
．
(1)求函数
( )
( )
ln
h x
f x
x
a
=
−
的单调区间；
(2)若曲线
( )
y
f x
=
在点
1
1
( ,
(
))
x
f x
处的切线与曲线
( )
y
g x
=
在点
2
2
(
, (
))
x
g x
处的切
线平行，证明
1
2
2lnln
(
)
ln
a
x
g x
a
+
= −
；
(3)证明当
1
ee
a≥
时，存在直线l，使l 是曲线
( )
y
f x
=
的切线，也是曲线
( )
y
g x
=
的
切线．
31．
记
(2018 江苏)
( ),
( )
f
x g x
分别为函数
( ), ( )
f x g x 的导函数．若存在
0
x R ，满足
0
0
(
)
(
)
f x
g x
=
且
0
0
(
)
(
)
f
x
g x
=
，则称
0x 为函数
( )
f x 与( )
g x 的一个“S 点．
”
(1)证明：函数
( )
f x
x
=
与
2
( )
2
2
g x
x
x
=
+
−
不存在“S 点；
”
(2)若函数
2
( )
1
f x
ax
=
−与
( )
ln
g x
x
=
存在“S
点，求实数
的值；
”
a
(3)已知函数
2
( )
f x
x
a
= −
+
，
e
( )
x
b
g x
x
=
．对任意
0
a
，判断是否存在
0
b
，使函
数( )
f x 与( )
g x 在区间
(0,
)
+内存在“S 点，并说明理由．
”
32．(2018 浙江)已知函数
( )
ln
f x
x
x
=
−
．
(1)若
( )
f x 在
1
x
x
=
，
2x (
1
2
x
x
)处导数相等，证明：
1
2
(
)
(
)
8
8ln 2
f x
f x
+
−
；
(2)若
3 4ln2
a
−
≤
，证明：对于任意
0
k
，直线
y
kx
a
=
+
与曲线
( )
y
f x
=
有唯一
关注微信公众号：加油高三
公共点．
33．（ 2017 新课标Ⅰ）已知函数
2
( )
(
2)
x
x
f x
ae
a
e
x
=
+
−
−
．
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
( )
f x 有两个零点，求a的取值范围．
34．（ 2017 新课标Ⅱ）已知函数
2
( )
ln
f x
ax
ax
x
x
=
−
−
，且
( )
0
f x ≥
．
(1)求a；
(2)证明：( )
f x 存在唯一的极大值点
0x ，且
2
2
0
(
)
2
e
f x
−
−
．
35．（ 2017 新课标Ⅲ）已知函数
( )
1
ln
f x
x
a
x
=
−−
．
(1)若
( )
0
f x ≥，求a 的值；
(2)设m为整数，且对于任意正整数n，
2
1
1
1
(1
)(1
)
(1
)
2
2
2
n
m
+
+
+
，求m 的最小值．
36．（ 2017 浙江）已知函数
( )
(
2
1)
x
f x
x
x
e−
=
−
−
1
(
)
2
x≥
．
（Ⅰ）求( )
f x 的导函数；
（Ⅱ）求( )
f x 在区间1
[ ,
)
2 +上的取值范围．
37．（
江苏）已知函数
2017
3
2
( )
1
f x
x
ax
bx
=
+
+
+
(
0,
)
a
b
R 有极值，且导函数
( )
f
x
的极值点是( )
f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（）求
1
b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；
（）证明：
2
2
3
b
a
；
（）若
3
( )
f x ，
( )
f
x
这两个函数的所有极值之和不小于7
2
−
，求a 的取值范围．
38．（
天津）设
2017
aZ
，已知定义在
上的函数
R
4
3
2
( )
2
3
3
6
f x
x
x
x
x
a
=
+
−
−
+
在区
间(1,2) 内有一个零点
0x ，( )
g x 为
( )
f x 的导函数．
（Ⅰ）求( )
g x 的单调区间；
（Ⅱ）设
0
0
[1,
)
(
,2]
m
x
x
，函数
0
( )
( )(
)
( )
h x
g x m
x
f m
=
−
−
，求证：
0
( ) (
)
0
h m h x
；
关注微信公众号：加油高三
（Ⅲ）求证：存在大于
的常数
0
A ，使得对于任意的正整数,p q，且
0
0
[1,
)
(
,2],
p
x
x
q
满足
0
4
1
|
|
p
x
q
Aq
−
．
39．（
）已知函数
2017 山东
( )
2
2cos
f x
x
x
=
+
，
( )
(
)
cos
sin
2
2
x
g x
e
x
x
x
=
−
+
−
，其中
2.71828
e =
是自然对数的底数．
（Ⅰ）求曲线
( )
y
f
x
=
在点
( , ( ))
f
处的切线方程；
（Ⅱ）令
( )
( )
( )
h x
g x
af x
=
−
(
)
a
R
，讨论( )
h x
的单调性并判断有无极值，有极值
时求出极值．
40．(2016 年山东已知
)
(
)
2
2
1
( )
ln
,
R
x
f x
a x
x
a
x
−
=
−
+
．
（）讨论
I
( )
f x 的单调性；
（）当
II
1
a =
时，证明
( )
3
( )
'
2
f x
f
x +
＞
对于任意的
1,2
x
成立．
41．(2016 年四川
设函数
)
2
( )
ln
f x
ax
a
x
=
−
−
，其中a
R
.
（）讨论
I
( )
f x 的单调性；
（）确定
II
a 的所有可能取值，使得
1
1
( )
x
f x
e
x
−
−
在区间
(1,
)
+内恒成立(e=2.718…
为自然对数的底数)
．
42．(2016 年天津设函数
)
3
( )
(
1)
f x
x
ax
b
=
−
−
−
,
R
x
，其中
R
b
a
,
(I)求
)
(x
f
的单调区间；
(II)若
)
(x
f
存在极值点
0x ，且
)
(
)
(
0
1
x
f
x
f
=
，其中
0
1
x
x
，求证：
1
0
2
3
x
x
+
=
；
(
)
Ⅲ设
0
a
，函数
|)
(
|
)
(
x
f
x
g
=
，求证：
)
(x
g
在区间
]1,1
[−
上的最大值不小于
．．．4
1 ．
43．(2016 年全国Ⅰ
已知函数
)
2
( )
(
2)
(
1)
x
f x
x
e
a x
=
−
+
−
有两个零点．
（）求
的取值范围；
I
a
（）设
II
1x ，
2x 是
( )
f x 的两个零点，证明：
1
2
2
x
x
+
．
44．(2016 年全国Ⅱ)
关注微信公众号：加油高三
(I)讨论函数
2
( )
e
2
x
x
f x
x
−
=
+
的单调性，并证明当 0
x 时，
(
2)e
2
0
x
x
x
−
+
+
；
(II)证明：当
[0,1)
a
时，函数
( )
2
e
=
(
0)
x
ax
a
g x
x
x
−
−
有最小值．设
( )
g x 的最小值为
( )
h a ，求函数( )
h a 的值域．
45．(2016 年全国Ⅲ
设函数
)
( )
cos2
(
1)(cos
1)
f x
x
x
=
+
−
+
，其中
0
，
记
|
( ) |
f x
的最大值为A ．
（Ⅰ）求
( )
f
x
；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明
| ( )|
2
f
x
A
≤
．
46．（ 2016 年浙江高考）已知
3
a≥，函数
( )
F x =
2
min{2|
1|,
2
4
2}
x
x
ax
a
−
−
+
−
，其中
min{ , }
p q =
,
>
p
p
q
q p
q
，≤ ．
（）求使得等式
I
2
( )
2
4
2
F x
x
ax
a
=
−
+
−
成立的x 的取值范围；
（
）求
II）（i
( )
F x 的最小值
( )
m a ；
（）求
ii
( )
F x 在区间[0,6] 上的最大值
( )
M a ．
47．(2016 江苏) 已知函数
( )
(
)
0,
0,
1,
1
x
x
f x
a
b
a
b
a
b
=
+
．
（）设
1
2
a =
，
1
2
b =
．
①求方程
( )
2
f x =
的根；
②若对于任意xR ，不等式
(
)
( )
2
6
f
x
mf x −
≥
恒成立，求实数m 的最大值；
（）若
2
0
1
a
， 1
b ，函数
( )
( )
2
g x
f x
=
−
有且只有
个零点，求
1
ab的值．
48．(2015 新课标Ⅱ）设函数
2
( )
mx
f x
e
x
mx
=
+
−
．
(
)
Ⅰ证明：( )
f x 在 (
,0)
−
单调递减，在
(0,
)
+单调递增；
(
)
Ⅱ若对于任意
1x ，
2x
[ 1,1]
−
，都有
1
2
|
(
)
(
) |
f x
f x
−
1
e−
≤
，求m 的取值范围．
49．(2015 山东)设函数
2
( )
ln(
1)
(
)
f x
x
a x
x
=
+
+
−
，其中a
R
．
关注微信公众号：加油高三
（Ⅰ）讨论函数( )
f x 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若
0
x
，
( )
0
f x ≥
成立，求a 的取值范围．
50．（2015 湖南）已知
0
a
，函数
( )
sin (
[0,
))
ax
f x
e
x x
=
+
．记
nx 为
( )
f x 的从小到大
的第n
*
(
)
n
N
个极值点．
证明：（）数列
1
{ (
)}
n
f x
是等比数列；
（）若
2
2
1
1
a
e −
≥
，则对一切
*
n
N
，
|
(
) |
n
n
x
f x
恒成立．
51．（2014 新课标Ⅱ）已知函数
3
2
( )
3
2
f x
x
x
ax
=
−
+
+
，曲线
( )
y
f x
=
在点（，）处
0
2
的切线与x 轴交点的横坐标为－2
．
（Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）证明：当
1
k
时，曲线
( )
y
f x
=
与直线
2
y
kx
=
−
只有一个交点．
52．(2014 山东）设函数
( )
)
ln
2
(
2
x
x
k
x
e
x
f
x
+
−
=
（k 为常数， 2.71828
e =
是自然对数
的底数）．
（Ⅰ）当 0
k
时，求函数
( )
f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数
( )
f x 在 (
)
0,2 内存在两个极值点，求k 的取值范围．
53．（ 2014 新课标Ⅰ）设函数
( )
(
)
2
1
ln
1
2
a
f x
a
x
x
bx a
−
=
+
−
，曲线
( )
y
f x
=
在点
(1, (1))
f
处的切线斜率为．
0
（Ⅰ）求b ；
（）若存在
Ⅱ
0
1,
x
使得
(
)
0
1
a
f x
a
−
，求a 的取值范围．
54．（ 2014 山东）设函数
1
( )
ln
1
x
f x
a
x
x
−
=
+
+
，其中a 为常数．
（Ⅰ）若
0
a =
，求曲线
( )
y
f x
=
在点
(1, (1))
f
处的切线方程；
（）讨论函数
Ⅱ
( )
f x 的单调性．
55．(2014 广东) 已知函数
3
2
1
( )
1(
)
3
f x
x
x
ax
a
R
=
+
+
+
．
关注微信公众号：加油高三
（Ⅰ）求函数
( )
f x 的单调区间；
（Ⅱ）当 0
a
时，试讨论是否存在
0
1
1
(0, )
( ,1)
2
2
x
，使得
0
1
(
)
( )
2
f x
f
=
．
56．(2014 江苏)已知函数
x
x
x
f
−
+
=
e
e
)
(
，其中
是自然对数的底数．
e
（Ⅰ）证明：
)
(x
f
是
上的偶函数；
R
（）若关于
Ⅱ
x 的不等式
)
(x
mf
≤
1
e
−
+
−
m
x
在
)
,0
( +上恒成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）已知正数a 满足：存在
)
,1[
0
+
x
，使得
)
3
(
)
(
0
3
0
0
x
x
a
x
f
+
−
成立．试比较
1
e −
a
与
1
e−
a
的大小，并证明你的结论．
57．（
新课标Ⅰ）已知函数
2013
2
( )
(
)
4
x
f x
e
ax
b
x
x
=
+
−
−
，曲线
( )
y
f x
=
在点
(0,
(0))
f
处切线方程为
4
4
y
x
=
+
．
（）求
Ⅰ
,a b 的值；
（）讨论
Ⅱ
( )
f x 的单调性，并求
( )
f x 的极大值．
58．（
新课标Ⅱ）已知函数
2013
2
( )
x
f x
x e−
=
．
（）求
Ⅰ
( )
f x 的极小值和极大值；
（Ⅱ）当曲线
( )
y
f x
=
的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围．
59．（
）已知函数
2013 福建
( )
1
x
a
f x
x
e
=
−+
（a
R
，e 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线
( )
y
f x
=
在点
(1,
(1))
f
处的切线平行于x 轴，求a 的值；
（Ⅱ）求函数
( )
f x 的极值；
（Ⅲ）当 1
a =
的值时，若直线
:
1
l y
kx
=
−与曲线
( )
y
f x
=
没有公共点，求k 的最大
值．
60．(
3
201 天津)已知函数
2
( )
ln
f x
x
x
=
．
（Ⅰ）求函数
( )
f x 的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的
0
t
，存在唯一的s ，使
( )
t
f s
=
．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为
( )
s
g t
=
，
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证明：当
2
t
e
时，有
2
ln ( )
1
5
ln
2
g t
t
．
61．（
）设函数
2013 江苏
( )
ln
f x
x
ax
=
−
，( )
x
g x
e
ax
=
−
，其中a 为实数．
（Ⅰ）若
( )
f x 在
(1,
)
+上是单调减函数，且
( )
g x 在
(1,
)
+上有最小值，求a 的取值
范围；
（Ⅱ）若( )
g x 在
( 1,
)
−+上是单调增函数，试求( )
f x 的零点个数，并证明你的结论．
62．（
新课标）设函数
2012
( )
2
x
f x
e
ax
=
−
−
．
（Ⅰ）求( )
f x 的单调区间；
（Ⅱ）若 1
a =
，k 为整数，且当 0
x
时，
(
)
( )
1
0
x
k f
x
x
−
+
+
，求k 的最大值．
63．（
）设函数
2012 安徽
1
( )
(
0)
x
x
f x
ae
b a
ae
=
+
+
．
（Ⅰ）求( )
f x 在
[0,
)
+内的最小值；
（Ⅱ）设曲线
( )
y
f x
=
在点
(2, (2))
f
的切线方程为
3
2
y
x
=
，求,a b的值．
64．（2012 山东）已知函数
ln
( )
x
x
k
f x
e
+
=
（k为常数，
71828
.2
=
e
是自然对数的底数），
曲线
( )
y
f x
=
在点
(1, (1))
f
处的切线与x 轴平行．
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求( )
f x 的单调区间；
（Ⅲ）设
2
( )
(
)
( )
g x
x
x f
x
=
+
，其中
( )
f
x
是
( )
f x 的导数．
证明：对任意的 0
x
，
2
( )
1
g x
e−
+
．
65．（2011 新课标）已知函数
ln
( )
1
a
x
b
f x
x
x
=
+
+
，曲线
( )
y
f x
=
在点
(1, (1))
f
处的切线方程
为
2
3
0
x
y
+
−=
．
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）证明：当 0
x
，且 1
x 时，
ln
( )
1
x
f x
x
−
．
66．（ 2011 浙江）设函数
ax
x
x
a
x
f
+
−
=
2
2 ln
)
(
，
0
a
．
（）求
Ⅰ
)
(x
f
的单调区间；
关注微信公众号：加油高三
（）求所有实数
Ⅱ
a ，使
2
1
( )
e
f x
e
−≤
≤
对
]
,1[ e
x
恒成立．注：e 为自然对数的底
数．
67．（ 2011 福建）已知a ，b 为常数，且 0
a
，函数
( )
ln
f x
ax
b
ax
x
= −
+ +
，
( )
2
f e =
（e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求函数
( )
f x 的单调区间；
（Ⅲ）当 1
a =
时，是否同时存在实数m 和M ( m
M
)，使得对每一个t∈
[ ,
]
m M
，
直线y
t
= 与曲线
( )
y
f x
=
(x ∈[1
e
，
都有公共点？若存在，求出最小的实数
e])
m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．
68．（ 2010 新课标）设函数
2
( )
(
1)
x
f x
x e
ax
=
−
−
．
（Ⅰ）若
1
2
a =
，求
( )
f x 的单调区间；
（Ⅱ）若当
0
x≥
时
( )
0
f x ≥
，求a 的取值范围．
