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资料来源：微信公众号 智慧学库
模块七 圆锥曲线（测试）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知直线
是双曲线
的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知
，所以
.
故选：D.
2．若拋物线
上一点
到焦点的距离为1，则点
的横坐标是（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】A
【解析】
化为标准形式为
，故焦点坐标为
，准线方程为
，
由焦半径可得
，解得
.
故选：A
3．若动点
在
上移动，则点
与点
连线的中点的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【解析】设PQ 的中点为
，
则
，解得
，
即
，又点P 在曲线
上，
所以
，即
，
所以PQ 的中点的轨迹方程为
.
故选：A
4．已知抛物线
，过点
的直线与抛物线
交于
两点，若
，则直线的斜率
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
因为
，所以
为
的中点，
所以
，
故直线的斜率
.
故选：D
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5．已知
是椭圆
和双曲线
的公共焦点，P 是它们的一个公共
点，且
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，依题意，由椭圆及双曲线的定义得：
，
，
由
，
解得
，而
，所以双曲线
的离心率
．
故选：A．
6．已知
是：
上一点，过点
作圆
：
的两条切线，切点分别为A，B，
则当直线AB 与平行时，直线AB 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为以
为直径的圆的方程为
，
又圆
：
，两圆方程相减可得两切点所在直线AB 的方程为
，
由
，可得
，即得直线AB 的方程为
.
故选：C.
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7．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，P 为双曲线在第一象限上的一点，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．14
D．15
【答案】C
【解析】依题意，椭圆长半轴长
，短半轴长
，半焦距
，则
，
在
中，
，
即有
，解得
，则
，即
是等腰三角形，
.
故选：C
8．椭圆
任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：
，这个圆称
为椭圆的蒙日圆．在圆
上总存在点
，使得过点
能作椭圆
的两条
相互垂直的切线，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意可知椭圆
的蒙日圆方程为
，圆心为原点，半径为
，
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圆
的圆心为
，半径为，
则圆
与
必有交点才符合题意，
即两圆圆心距
，
则
.
故选：C
二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。
9．已知双曲线
的两个焦点分别为
，且满足条件
，可以解得双曲线
的方程为
，则条件
可以是（ ）
A．实轴长为4
B．双曲线
为等轴双曲线
C．离心率为
D．渐近线方程为
【答案】ABD
【解析】设该双曲线标准方程为
，则
.
对于A 选项，若实轴长为4，则
，
，符合题意；
对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则
，又
，
，
可解得
，符合题意；
对于C 选项，由双曲线的离心率大于1 知，不合题意；
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对于D 选项，若渐近线方程为
，则
，结合
，可解得
，符合题意，
故选：ABD.
10．已知圆
，
，则（ ）
A．直线
的方程为
B．过点
作圆
的切线有且仅有
条
C．两圆相交，且公共弦长为
D．圆
上到直线
的距离为
的点共有个
【答案】AB
【解析】由题知，
，
则直线
的方程为
，所以A 正确；
因为
，圆
半径为，
过点
作圆
的切线有
两条，所以B 正确；
又
，
公共弦所在直线为
，
圆心
到的距离为
，
所以公共弦长为
，所以C 错误；
圆心
到直线
的距离为
，
所以圆
上到直线
距离为
的点有
个，所以D 错误．
故选：AB
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11．已知抛物线
的焦点为
，准线与
轴的交点为
，过点
且斜率为
的直线与抛
物线
交于两个不同的点
，则下列说法正确的有（ ）
A．当
时，
B．
C．若直线
的倾斜角分别为
，则
D．若点
关于
轴的对称点为点
，则直线
必恒过定点
【答案】ACD
【解析】设
，
.
对于选项A：当
时，抛物线方程为
，准线方程为：
，点
.
当
时，过点
的直线方程为
.
联立方程组
，整理得：
，
则
.
所以由抛物线的定义可得：
，故选项A 正确；
对于选项B：当
时，直线为
轴，此时直线和抛物线只有一个交点，故选项B 不正确；
对于选项C：由
可得：点
，准线方程为
，点
.
则直线
.
联立方程组
，整理得：
，
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则
.
因为
，
所以
所以
，故选项C 正确；
对于选项D：因为点
关于
轴的对称点为点
，
，
所以直线
与
的倾斜角相同，即
三点共线.
所以直线
必恒过定点
，故选项D 正确.
故选：ACD.
12．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长
线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知
分别为双曲线
的左，右焦点，过
右支上一点
作双曲线的切线交
轴
于点
，交
轴于点
，则（ ）
A．平面上点
的最小值为
B．直线
的方程为
C．过点
作
，垂足为
，则
（
为坐标原点）
D．四边形
面积的最小值为4
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【答案】ABD
【解析】对于A，由双曲线定义得
，且
，
则
，
所以
的最小值为
.故A 正确；
对于B，设直线
的方程为
，
，
联立方程组
，消去
整理得，
，
，化简整理得
，解得
，
可得直线
的方程为
，即
，故B 正确；
对于C，由双曲线的光学性质可知，
平分
，延长
与
的延长线交于点
，
则
垂直平分
，即
，
为
的中点，
又
是
中点，所以
，故C 错误；
对于D，由直线
的方程为
，令
，得
，则
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以四边形
面积的最小值为4，故D 项正确.
故选：ABD.
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.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。
13．已知圆
，过
作圆
的切线，则直线的倾斜角为 ．
【答案】
（或写为
）
【解析】因为
，所以，点
在圆
上，直线
的斜率为
，
由圆的几何性质可知，
，则直线的斜率为
，
设直线的倾斜角为
，则
，则
，故
.
即直线的倾斜角为
（或
）.
故答案为：
（或写为
）.
14．已知椭圆
的右顶点、上顶点分别为A，B，直线
与直线
相交于点
D，且点D 到x 轴的距离为a，则C 的离心率为 .
【答案】
/
【解析】设直线
与x 轴的交点为E，如下图所示：
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则
，
，
，即
,
，
易知
，则
，所以
，
即
，所以
.
故答案为：
.
15．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，
，过左焦点
作直线与双曲线交于
A，B 两点（B 在第一象限），若线段
的中垂线经过点
，且点
到直线的距离为
，则双曲线的
离心率为 .
【答案】
【解析】
设双曲线
的半焦距为c，
，
，根据题意得
，
又
，
，设
的中点为
，
在
中，
，
，
，
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则
，
，根据
，
可知
，
.
故答案为：
.
16．已知双曲线
：
的焦距为
，过双曲线
上任意一点
作直线，
分别平行
于两条渐近线，且与两条渐近线分别交于点
，
．若四边形
的面积为
，则双曲线
的方程为
．
【答案】
【解析】因为双曲线
的焦距为
，所以
．
双曲线渐近线方程为
，即
，
设
，
分别为点
到
和
的距离，
则
到两条渐近线的距离之积
，
又
，
，
所以
，
又
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所以
．
所以
．
所以
．
因为
，所以
，
．
所以双曲线
的方程为
．
故答案为：
四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10 分）
已知点
,直线
及圆
．
(1)若直线
与圆
相切,求
的值．
(2)求过
点的圆
的切线方程．
【解析】（1）圆心坐标
,半径
,
若直线
与圆
相切,
则圆心到直线的距离
,解得
或
.
所以
或
.
（2）圆心坐标
,半径
,
当直线的斜率不存在时,直线方程为
,
由圆心
到直线
的距离
知,直线与圆相切．
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当直线的斜率存在时,设方程
,即
.
由题意知
,解得
,
即直线方程为
,即
.
综上所述,过
点的圆的切线方程为
或
．
18．（12 分）
设椭圆
经过点
，且其左焦点坐标为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)对角线互相垂直的四边形
的四个顶点都在
上，且两条对角线均过
的右焦点，求
的
最小值.
【解析】（1）因为椭圆
的左焦点坐标为
，
所以右焦点坐标为
.
又椭圆
经过点
，
所以
.
所以椭圆的方程为
.
（2）①当直线
中有一条直线的斜率不存在时，
.
②当直线
的斜率存在且不为0 时，
设直线
的方程
，
由
，得
，
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则
，
.
设直线
的方程为
，同理得
，
所以
，
设
，则
，
则
，
所以
时，
有最小值
.
综上，
的最小值是
.
19．（12 分）
已知F 是抛物线E：
的焦点，
是抛物线E 上一点，
与点F 不重合，点F 关
于点M 的对称点为P，且
．
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)若过点
的直线与抛物线E 交于A，B 两点，求
的最大值．
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【解析】（1）∵
，点N 与点F 不重合，∴
，∴
．
∵点F 关于点M 的对称点为P，
∴
，（中点坐标公式）．
∴
，得
，
∴抛物线E 的标准方程为
．
（2）由（1）知
，
易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为
，代入
，整理得，
，
，
设
，则
．
∵
，
∴
，
当
时，
取得最大值，为
．
20．（12 分）
在直角坐标系
中，抛物线
与直线
交于
两点．
(1)若
点的横坐标为4，求抛物线在
点处的切线方程；
(2)探究
轴上是否存在点
，使得当
变动时，总有
？若存在，求出
点坐标；若不存在，
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请说明理由．
【解析】（1）由已知，得
，因为
，所以
，斜率
，
因此，切线方程为
，即
．
（2）存在符合题意的点
，理由如下：
设点
为符合题意的点，
，直线
的斜率分别为
．
联立方程
，得
，
因为
，则
，可得
，
从而
，
因为
不恒为0，可知当且仅当
时，恒有
，
则直线
与直线
的倾斜角互补，故
，
所以点
符合题意．
21．（12 分）
已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，且
，
的一条渐近线与直线：
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垂直.
(1)求
的标准方程；
(2)点
为
上一动点，直线
，
分别交
于不同的两点
，
（均异于点
），且
，
，问：
是否为定值？若为定值，求出该定值，请说明理由.
【解析】（1）因为
，所以
，
因为双曲线
的渐近线与直线：
垂直，
所以
，②
又
，③
解得
，
，
所以双曲线
的方程为
.
（2）设
，则
，
，
设
，
，
所以
，
，
因为
，所以
，所以
，
同理可得
，所以
，
直线
的方程为
，
联立双曲线的方程可得
，
所以
，所以
，所以
，
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因为
，即
，所以
同理
，
，
所以
是定值，定值为
.
22．（12 分）
设抛物线
，过焦点
的直线与抛物线
交于点
、
.当直线
垂直于
轴时，
.
(1)求抛物线
的标准方程.
(2)已知点
，直线
、
分别与抛物线
交于点
、
.求证：直线
过定点.
【解析】（1）由题意，当直线
垂直于
轴时，直线
的方程为
，
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联立
可得
，则
，所以
，即
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）证明：若直线
与
轴重合，则直线
与抛物线
只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线
也不与
轴重合，
设
、
，设直线
的方程为
，
联立
得
，
，
因此
，
.
设直线
的方程为
，联立
得
，
则
，因此
，
，则
，同理可得
.
所以
.
因此直线
的方程为
，
由对称性知，定点在
轴上，
令
得，
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，
所以，直线
过定点
.
