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专题二
函数概念与基本初等函数
Ⅰ
第四讲指数函数、对数函数、幂函数
答案部分
2019
年
1.解析：
解析：
解析：
解析：
解析：存在t R，使得
2
|
(
2)
( ) |
3
f t
f t
+
−
，
即有
3
3
2
| (
2)
(
2)
| 3
a t
t
at
t
+
−
+
−
+
，
化为
2
2
| 2 (3
6
4)
2|
3
a
t
t
+
+
−
，
可得
2
2
2
2 (3
6
4)
2
3
3
a
t
t
−
+
+
−
剟
，
即
2
2
4
(3
6
4)
3
3
a
t
t
+
+
剟
，
由
2
2
3
6
4
3(
1)
1 1
t
t
t
+
+
=
+
+ … ，
可得
4
0
3
a
剟
，可得
的最大值为
a
4
3
．
2.解析：依题意
2
2
log 0.2
log 1
0
a =
=
＜
，
0.2
0
2
2
1
b =
=
＞
，
因为
0.3
0
0
0.2
0.2
1
=
＜
＜
，所以
0.3
0.2
01
c =
（，），
所以
a
c
b
＜＜
.
B
故选
．
3.解析
解析
解析
解析
解析 由题意，可知
5
log 2
1
a =
，
1
1
5
1
2
2
2
2
1
log 0.2
log
log
5
log 5
log 4
2
5
b
−
−
=
=
=
=
=
．
0.2
0.5
1
c =
，所以b 最大，a ，c
都小于．
1
因为
5
2
1
log 2
log 5
a =
=
，
1
5
0.2
5
5
1
1
1
0.5
2
2
2
c
=
=
=
=
，而
5
2
2
log 5
log 4
2
2
=
，
所以
1
5
2
1
1
log 5
2
，即a
c
，
所以
a
c
b
．
故选
．
A
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2010-2018
年
1．C【解析】函数
( )
( )
=
+ +
g x
f x
x
a 存在
个零点，即关于
2
x 的方程
( ) = −−
f x
x
a
有2
个不同的实根，即函数( )
f x 的图象与直线
= −−
y
x a
有
个交点，作出直线
2
= −−
y
x a
与函数
( )
f x 的图象，如图所示，
x
y
–1
–2
1
2
3
–1
–2
1
2
3
O
由图可知，
1
−≤
a
，解得
1
≥
a
，故选C．
2
B
．【解析】由
0.2
log
0.3
a =
得
0.3
1
log
0.2
a =
，由
2
log 0.3
b =
得
0.3
1
log
2
b =
，
所以
0.3
0.3
0.3
1
1
log
0.2
log
2
log
0.4
a
b
+
=
+
=
，所以
1
1
0
1
a
b
+
，得0
1
a
b
ab
+
．
又
0
a
，
0
b
，所以
0
ab
，所以
0
ab
a
b
+
．故选
．
B
3
D
．【解析】因为
2
log e >1
a =
，
ln2
(0,1)
b =
，
1
2
2
2
1
log
log 3
log
1
3
c
e
=
=
．
所以
c
a
b
，故选
．
D
4
D
．【解析】设
2
3
5
x
y
z
k
=
=
=
，因为
, ,
x y z为正数，所以
1
k ，
则
2
log
x
k
=
，
3
log
y
k
=
，
5
log
z
k
=
，
所以
2
2lg
lg3
lg9
1
3
lg2
3lg
lg8
x
k
y
k
=
=
，则2
3
x
y
，排除
、；只需比较
A
B
2x 与5z ，
2
2lg
lg5
lg25
1
5
lg2
5lg
lg32
x
k
z
k
=
=
，则2
5
x
z
，选
．
D
5
C
．【解析】由题意
( )
g x 为偶函数，且在
(0,
)
+上单调递增，
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所以
2
2
( log 5.1)
(log 5.1)
a
g
g
=
−
=
又
2
2
2
2
log 4
log 5.1
log 8
3
=
=
，
0.8
1
2
2
，
所以
0.8
2
2
log 5.1 3
，故b
a
c
，选
．
C
6．A【解析】
1
1
(
)
3
( )
(3
( ) )
( )
3
3
x
x
x
x
f
x
f x
−
−
−
=
−
= −
−
= −
，得
( )
f x 为奇函数，
( )
(3
3 )
3 ln3
3
ln3
0
x
x
x
x
f
x
−
−
=
−
=
+
，所以( )
f x 在R 上是增函数．选A．
7．D【解析】设
361
80
3
10
M
x
N
=
=
，两边取对数得，
361
361
80
80
3
lg
lg
lg3
lg10
361 lg3 80
93.28
10
x =
=
−
=
−
，
所以
93.28
10
x =
，即
M
N
最接近
93
10
，选D．
8．C【解析】选项A，考虑幂函数
c
y
x
=
，因为
0
c
，所以
c
y
x
=
为增函数，又
1
a
b
，
所以
c
c
a
b
，A 错．对于选项
，
B
c
c
ab
ba
( )c
b
b
a
a
，又
( ) x
b
y
a
=
是减函数，所
以
错．对于选项
B
D，由对数函数的性质可知
错，故选
．
D
C
9．A【解析】因为
4
1
3
3
2
16
a =
=
，
2
1
5
5
4
16
b =
=
，
1
3
25
c =
，且幂函数
1
3
y
x
=
在R 上单调递
增，指数函数
16x
y =
在R 上单调递增，所以
b
a
c
，故选
．
A
10．C【解析】由于
2
( 2)
1 log 4
3
f −
= +
=
，
2
2
log 12 1
log 6
2
(log 12)
2
2
6
f
-
=
=
= ，
所以
2
( 2)
(log 12)
f
f
−
+
= 9．
11．【解析】如图，函数
C
2
log (
1)
y
x
=
+
的图象可知，
2
( )
log (
1)
f x
x +
≥
的解集是
{ | 1
1}
x
x
- < ≤
．
x
y
y=log2(x+1)
–1
1
2
–2
–1
1
2
A
O
C
B
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12．C 【解析】因为函数
( )
2
1
x m
f x
−
=
−为偶函数，所以
0
m =
，即
( )
2
1
x
f x =
−
，
所以
2
2
1
log
log 3
3
0.5
2
1
(log
3)
log
2
1
2
1
3 1
2
3
a
f
f
=
=
=
−=
−=
−=
，
(
)
2
log 5
b
f
=
2
log 5
2
1
4
=
−=
，
(
)
0
2
(0)
2
1
0
c
f
m
f
=
=
=
−=
，所以
c
a
b
，故选
．
C
13．B【解析】由指数函数的性质知，若
3
3
3
a
b
>
> ，则
1
a
b
> >
，由对数函数的性质，
得
log 3
log 3
a
b
<
；反之，取
1
2
a =
，
1
3
b =
，显然有
log 3
log 3
a
b
<
，此时
0
1
b
a
< <
< ，
于是
3
3
3
a
b
>
>
，所以“
3
3
3
a
b
>
>
”是
log 3
log 3
a
b
的充分不必要条件，选
．
B
14．C【解析】由
( )
( ( ))
2
f a
f f a
=
可知
( )
1
f a
，则
1
2
1
a
a
或
1
3
1 1
a
a
−
，解得
2
3
a≥
．
15．D【解析】由图象可知0
1
a
，当
0
x =
时，
log (
)
log
0
a
a
x
c
c
+
=
，得0
1
c
．
16．B【解析】∵
3
2
log 7
1
a
=
，
1.1
2
2
b =
，
3.1
0.8
1
c =
，所以
b
a
c
．
17．D【解析】当
1
a 时，函数
( )
(
0)
a
f x
x
x
=
单调递增，函数
( )
loga
g x
x
=
单调递增，
且过点
，
(1
0)，由幂函数的图象性质可知
错；当
C
0
1
a
时，函数
( )
(
0)
a
f x
x
x
=
单调递增，函数
( )
loga
g x
x
=
单调递减，且过点(1，0)，排除
，又由幂函数的图象性
A
质可知
错，因此选
．
C
D
18．D【解析】
2
4
0
x -
>
，解得
2
x< -
或
2
x>
.由复合函数的单调性知( )
f x 的单调递增
区间为
(
, 2)
−−
．
19．D【解析】
3
3
log 6
1
log 2,
a =
= +
5
5
7
7
log 10
1
log 2,
log 14
1
log 2
b
c
=
= +
=
= +
，
由下图可知
正确．
D
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y
x
1
cb
a
x=2
O
解法二
3
3
2
1
log 6
1 log 2
1
log 3
a =
= +
= +
，
5
5
2
1
log 10
1 log 2
1
log 5
b =
= +
= +
，
7
7
2
1
log 14
1 log 2
1
log 7
c =
= +
= +
，由
2
2
2
log 3
log 5
log 7
，可得答案
正确．
D
20．B【解析】a , b , c
≠
考察对数
个公式
1.
2
:
a
b
b
y
x
xy
c
c
a
a
a
a
log
log
log
,
log
log
log
=
+
=
对选项
：
A
b
a
b
a
b
b
c
c
a
c
c
a
log
log
log
log
log
log
=
=
，显然与第二个公式不符，所以
为假．对选项
：
B
a
b
b
b
a
b
c
c
a
c
c
a
log
log
log
log
log
log
=
=
，显然与第二个公式一致，
所以为真．对选项
：
C
c
b
bc
a
a
a
log
log
log
=
）
（
，显然与第一个公式不符，所以为假．对
选项
：
D
c
b
c
b
a
a
a
log
log
)
log
+
=
+
（
，同样与第一个公式不符，所以为假．所以选
B
．
21．D【解析】取特殊值即可，如取
lg
lg
lg
lg
10,
1,2
2,2
2
3,
x
y
x
y
x
y
+
=
=
=
+
=
(
)
lg
lg11
lg
lg
2
2
,2
1
x y
x
y
+
=
= ．
22．C【解析】因为函数
( )
f x
是定义在
上的偶函数
R
，且
1
2
2
log
log
a
a
= −
，
所以
2
2
2
1
2
2
(log
)
(log
)
(log
)
( log
)
2 (log
)
2 (1)
f
a
f
a
f
a
f
a
f
a
f
+
=
+
−
=
，
即
2
(log
)
(1)
f
a
f
，因为函数在区间
[0,
)
+单调递增，所以
2
( log
)
(1)
f
a
f
，
即
2
log
1
a ，所以
2
1
log
1
a
−
，解得1
2
2
a
，即
的取值范围是
a
1,2
2
，选
．
C
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23．D【解析】
2
3
lg9
lg4
2lg3
2lg2
log 9 log 4
4
lg2
lg3
lg2
lg3
=
=
=
．
24．B【解析】由指数函数与对数函数的图像知
1
2
0
1
1
log
4
2
a
a
，解得
2
1
2
a
，故选B.
25．A【解析】因为
12
2.0
2.0
2
2
)
2
1 (
=
=
−
b
，所以
a
b
1
，
1
4
log
2
log
2
log
2
5
2
5
5
=
=
=
c
，所以
a
b
c
，选
．
A
26．D【解析】根据对数函数的性质得
1
x
y
．
27．D【解析】当
2
x
a
=
时，
2
lg
2lg
2
y
a
a
b
=
=
=
，所以点
2
(
,2 )
a
b 在函数
lg
y
x
=
图象
上．
28．D【解析】当
1
x≤时
1
2
2
x
−≤
，解得
0
x≥
，所以
0
1
x
≤≤；当
1
x
时，
2
1 log
2
x
−
≤
，解得
1
2
x≥
，所以
1
x
，综上可知
0
x≥
．
29．A【解析】因为当x
=2 或4 时，
2
2
0
x
x
−
=
，所以排除
、
B
C；当x = 2
– 时，
2
1
2
4<0
4
x
x
−
=
−
，故排除
，所以选
．
D
A
30．D【解析】因为
5
0
log 4
1
，所以b <a < c ．
31．B【解析】+1=2，故
=1，选
．
B
32．A【解析】
2
1
1
log 2
log 5
log 10
2,
10,
m
m
m
m
a
b
+
=
+
=
=
=
又
0,
10.
m
m
=
33．C【解析】
)
(
)
(
)
(
y
x
f
a
a
a
y
f
x
f
y
x
y
x
+
=
=
=
+
．
34．C【解析】画出函数的图象，
x
y
O
1
10
12
如图所示，不妨设a
b
c
，因为
( )
( )
( )
f a
f b
f c
=
=
，所以
1
ab =
，c 的取值范围
是(10,12) ，所以abc的取值范围是(10,12) ．
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35．C【解析】由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。
2
1
1
2
2
2
0
<0
( )
(
)
log
log
log (
)
log (
)
a
a
f a
f
a
a
a
a
a
−
−
−
或
0
0
1
1
0
1
1
2
a
a
a
a
a
a
a
−
或
或
．
36．
[2,
)
+【解析】要使函数
( )
f x 有意义，则
2
log
1
0
x −≥
，即
2
x≥
，则函数
( )
f x 的
定义域是
[2,
)
+．
37．1
−【解析】由题意( )
f x 为奇函数，所以只能取
1,1,3
−
，又
( )
f x 在
(0,
)
+上递减，
所以
1
= −．
38．
6
a =
【解析】由题意
2
6
2
5
=
+
p
p
ap
，
2
1
2
5
= −
+
q
q
aq
，上面两式相加，
得
2
2
1
2
2
+
=
+
+
p
q
p
q
ap
aq
，所以
2
2 + =
p q
a pq ，所以
2
36
=
a
，
因为
0
a
，所以
6
=
a
．
39．4 2 【解析】设logb a
t
= ，则
1
t ，因为
2
1
5
2
2
t
t
a
b
t
+
=
=
=
，
因此
2
2
2
2
2,
4.
b
a
b
b
a
b
b
b
b
b
b
a
=
=
=
=
=
40． ( 1,2)
−
【解析】由题意得：
2
2
1
2
x
x
x
−
−
，解集为 ( 1,2)
−
．
41．4
3
3
【解析】∵
3
log 4
=
a
，∴
3
2
3
4
=
=
a
a
，∴
3
3
4
3
1
3
2
2
=
+
=
+
−a
a
．
42． (
,8]
−
【解析】当
1
x
时，由
1
2
x
e −≤
得
1 ln2
x
+
≤
，∴
1
x
；当
1
x≥时，
由
1
3
2
x ≤
得
8
x≤，∴
1
8
x
≤≤
，综上
8
x≤
．
43． (
,0)
−
【解析】
2
2lg ,
0
( )
lg
2lg |
|
2lg(
),
0
x
x
f x
x
x
x x
=
=
=
−
，
知单调递减区间是 (
,0)
−
．
44．
1
4
−
【解析】
(
)
2
2
2
2
2
1
( )
log
(2
2log
)
log
log
2
f x
x
x
x
x
=
+
=
+
关注微信公众号：加油高三
2
2
1
1
1
(log
)
2
4
4
x
=
+
−
−
≥
．当且仅当
2
1
log
2
x = −
，即
2
2
x =
时等号成立．
45．1【解析】
lg 5
lg 20
lg10
1
+
=
=
．
46．2【解析】由
(
)
1
f ab =
，得
10
ab =
，于是
2
2
2
2
(
)
(
)
lg
lg
f a
f b
a
b
+
=
+
2(lg
lg )
2lg(
)
2lg10
2
a
b
ab
=
+
=
=
=
．
47．1
4 【解析】当
1
a 时，有
2
1
4,
a
a
m
−
=
=
，此时
1
2,
2
a
m
=
=
，此时
( )
g x
x
= −
为减函
数，不合题意若
.
0
1
a
，则
1
2
4,
a
a
m
−=
=
，故
1
1
, 4
16
a
m
=
=
，检验知符合题意．
48．18【解析】
2
2
2
log
log
log
a
b
ab
+
=
，∵
2
ab≥
且
0,
0
a
b
，
则3
9
a
b
+
=
2
2
2
2 2
2 2
3
3
2 3 3
2 3
2 3
2 3
18
a
b
a
b
a
b
ab
+
+
=
=
≥
≥
≥
．当且仅当
2
a
b
=
，即
2,
1
a
b
=
=
时等号成立，所以3
9
a
b
+
的最小值为
．
18
49．
1
(
,
)
2
−
+【解析】由题意知，函数
)1
2
(
log
)
(
5
+
=
x
x
f
的定义域为
1
{ |
}
2
x x −
，所
以该函数的单调增区间是
1
(
,
)
2
−
+．
