绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（ ）
A.
B. {–3，–2，2，3）
C. {–2，0，2}
D. {–2，2}
【答案】D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式化简集合
的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.
,
A B
【详解】因为
，
3,
2, 1,0,1,2
A
x x
x
Z
或
，
1,
1
B
x x
x
Z
x x
1,
x
x
Z
所以
.
2, 2
A
B
故选：D.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.
2.（1–i）4=（ ）
A. –4
B. 4
C. –4i
D. 4i
【答案】A
【解析】
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【分析】
根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】(1 −i)4 ([ =1 −i)2 ]2 ( =1 −2i +i2 )2 −( =2i)2 − =4 .
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–
i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–
i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为
（ ）
A. 5
B. 8
C. 10
D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】
根据原位大三和弦满足
，原位小三和弦满足
3,
4
k
j
j
i
4,
3
k
j
j
i
从
开始，利用列举法即可解出．
1
i
【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：
．
3,
4
k
j
j
i
∴
；
；
；
；
．
1,
5,
8
i
j
k
2,
6,
9
i
j
k
3,
7,
10
i
j
k
4,
8,
11
i
j
k
5,
9,
12
i
j
k
原位小三和弦满足：
．
4,
3
k
j
j
i
∴
；
；
；
；
．
1,
4,
8
i
j
k
2,
5,
9
i
j
k
3,
6,
10
i
j
k
4,
7,
11
i
j
k
5,
8,
12
i
j
k
故个数之和为10．
故选：C．
【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题．
4.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的
配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市
某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订
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单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A. 10名
B. 18名
C. 24名
D. 32名
【答案】B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为
，
500
1600
1200
900
故需要志愿者
名.
900
18
50
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
5.已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）
A. a+2b
B. 2a+b
C. a–2b
D. 2a–b
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：
.
1
1
cos60
1 1
2
2
a b
a
b
A：因为
，所以本选项不符合题意；
2
1
5
(
2 )
2
2 1
0
2
2
a
b
b
a b
b
B：因为
，所以本选项不符合题意；
2
1
(2
)
2
2
1
2
0
2
a
b
b
a b
b
C：因为
，所以本选项不符合题意；
2
1
3
(
2 )
2
2 1
0
2
2
a
b
b
a b
b
D：因为
，所以本选项符合题意.
2
1
(2
)
2
2
1
0
2
a
b
b
a b
b
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量
互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
6.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则
=（ ）
n
n
S
a
A. 2n–1
B. 2–21–n
C. 2–2n–1
D. 21–n–1
【答案】B
【解析】
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【分析】
根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和
前n 项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为q ，
由
可得：
，
5
3
6
4
12,
24
a
a
a
a
4
2
1
1
5
3
1
1
1
12
2
1
24
a q
a q
q
a
a q
a q
所以
，
1
1
1
1
(1
)
1 2
2
,
2
1
1
1 2
n
n
n
n
n
n
n
a
q
a
a q
S
q
因此
.
1
1
2
1
2
2
2
n
n
n
n
n
S
a
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n
项和公式的应用，考查了数学运算能力.
7.执行右面的程序框图，若输入的k=0，a=0，则输出的k为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k
值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.
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【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的k 值
模拟程序的运行过程
k =0, a =0
第1次循环，a =2×0 +1 =1 , k =0 +1 =1，2 >10为否
第2次循环，a =2×1+1 =3 , k =1+1 =2，3 >10 为否
第3次循环，a =2×3+1 =7 ,k =2 +1 =3 ，7 >10为否
第4次循环，a =2×7 +1 =15 ,k =3+1 =4 ，15 >10 为是
退出循环
输出k =4 .
故选：C.
【点睛】本题考查求循环框图的输出值，解题关键是掌握模拟循环语句运行的计算方法，考查了分析能力
和计算能力，属于基础题.
8.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3 =0 的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
5
5
2 5
5
3 5
5
4 5
5
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为
，可得圆的半径为
,
,
0
a a
a
a
，写出圆的标准方程，利用点
在圆上，求得实数
2,1
a
的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线
的距离.
2
3
0
x
y
【详解】由于圆上的点
在第一象限，若圆心不在第一象限，
2,1
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为
，则圆的半径为
，
,a a
a
圆的标准方程为
.
2
2
2
x
a
y
a
a
由题意可得
，
2
2
2
2
1
a
a
a
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可得
，解得
或
，
2
6
5
0
a
a
1
a
5
a
所以圆心的坐标为
或
，
1,1
5,5
圆心到直线
的距离均为
；
2
3
0
x
y
2
2 5
5
5
d
所以，圆心到直线
的距离为
.
2
3
0
x
y
2 5
5
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9.设
为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
两点，若
O
x
a
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
,
D E
的面积为8，则
的焦距的最小值为（ ）
ODE
A
C
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
因为
，可得双曲线的渐近线方程是
，与直线
联立方程求得
，
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
b
y
x
a
x
a
D
两点坐标，即可求得
，根据
的面积为
，可得
值，根据
E
|
|
ED
ODE
A
8
ab
2
2
2
2
c
a
b
，结合均值不等式，即可求得答案.
【详解】
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
双曲线的渐近线方程是
b
y
x
a
直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
，
两点
x
a
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
D
E
不妨设
为在第一象限，
在第四象限
D
E
联立
，解得
x
a
b
y
x
a
x
a
y
b
故
( , )
D a b
联立
，解得
x
a
b
y
x
a
x
a
y
b
故
( ,
)
E a
b
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|
| 2
ED
b
面积为：
ODE
A
1
2
8
2
ODE
S
a
b
ab
△
双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
其焦距为
2
2
2
2
2 2
2 16
8
c
a
b
ab
当且仅当
取等号
2 2
a
b
的焦距的最小值：
C
8
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
10.设函数
,则
（ ）
3
3
1
( )
f x
x
x
( )
f x
A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为
，利用定义可得出函数
为奇函数，
0
x x
f x
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数
定义域为
，其关于原点对称，而
，
3
3
1
f x
x
x
0
x x
f
x
f x
所以函数
为奇函数．
f x
又因为函数
在
上单调递增，在
上单调递增，
3
y
x
(
)
0,+¥
(
)
,0
- ¥
而
在
上单调递减，在
上单调递减，
3
3
1
y
x
x
(
)
0,+¥
(
)
,0
- ¥
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递增．
3
3
1
f x
x
x
(
)
0,+¥
(
)
,0
- ¥
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
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11.已知△ABC是面积为9 3
4
的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A.
B.
C. 1
D.
3
3
2
3
2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球
的表面积和
的面积可求得球
的半径
和
外接圆半径
O
ABC
A
O
R
ABC
A
r
，由球的性质可知所求距离
.
2
2
d
R
r
【详解】设球
的半径为
，则
，解得：
.
O
R
2
4
16
R
2
R
设
外接圆半径为
，边长为
，
ABC
A
r
a
是面积为
的等边三角形，
ABC
A
9 3
4
，解得：
，
，
2
1
3
9 3
2
2
4
a
3
a
2
2
2
2
9
9
3
3
4
3
4
a
r
a
球心
到平面
的距离
.
O
ABC
2
2
4
3
1
d
R
r
故选：C.
【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明
确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.
12.若
，则（ ）
2
2
3
3
x
y
x
y
A.
B.
C.
D.
ln(
1)
0
y
x
ln(
1)
0
y
x
ln |
| 0
x
y
ln |
| 0
x
y
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式变为
，根据
的单调性知
，以此去判断各个选项中真数与
2
3
2
3
x
x
y
y
2
3
t
t
f t
x
y
的大小关系，进而得到结果.
1
【详解】由
得：
，
2
2
3
3
x
y
x
y
2
3
2
3
x
x
y
y
令
，
2
3
t
t
f t
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y =2x 为R 上的增函数， y =3 −x 为R 上的减函数， ∴f (t )为R 上的增函数，
∴x <y ，
Q y −x >0 ∴，y −x +1 >1∴，ln (y −x +1 > )0，则A正确，B错误；
Q x −y 与1的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到x, y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若
，则
__________．
2
sin
3
x
cos2x
【答案】1
9
【解析】
【分析】
直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
【详解】
.
2
2
2
8
1
cos2
1
2sin
1
2 (
)
1
3
9
9
x
x
故答案为：
.
1
9
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
14.记
为等差数列
的前n项和．若
，则
__________．
n
S
na
1
2
6
2,
2
a
a
a
10
S
【答案】25
【解析】
【分析】
因为
是等差数列，根据已知条件
，求出公差，根据等差数列前
项和，即可求得答案.
na
2
6
2
a
a
n
【详解】
是等差数列，且
，
na
1
2
a
2
6
2
a
a
设
等差数列的公差
na
d
根据等差数列通项公式：
1
1
na
a
n
d
可得
1
1
5
2
a
d
a
d
即：
2
2
5
2
d
d
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整理可得：6
6
d
解得：
1
d
根据等差数列前
项和公式：
n
*
1
(
1)
,
2
n
n n
S
na
d n
N
可得：
10
10
(10
1)
10
2
20
45
25
2
S
.
10
25
S
故答案为：
.
25
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前
项和，解题关键是掌握等差数列的前
n
n
项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
15.若x，y满足约束条件
则
的最大值是__________．
1
1
2
1,
x
y
x
y
x
y
，
，
2
z
x
y
【答案】
8
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线
1
2
y
x
，在平面区域内找到一点使得直线
1
1
2
2
y
x
z
在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可.
【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线
，当直线经过点
时，直线
在纵轴上的截距最大，
1
2
y
x
A
1
1
2
2
y
x
z
此时点
的坐标是方程组
的解，解得：
，
A
1
2
1
x
y
x
y
2
3
x
y
因此
的最大值为：
.
2
z
x
y
2
2 3
8
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故答案为：
.
8
【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力.
16.设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l
平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①
②
③
④
1
4
p
p
1
2
p
p
2
3
p
p
3
4
p
p
【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题
的真假；利用三点共线可判断命题
1p
2p
的真假；利用异面直线可判断命题
的真假，利用线面垂直的定义可判断命题
3p
4p
的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题
，可设
与
相交，这两条直线确定的平面为
；
1p
1l
2l
若
与
相交，则交点
在平面
内，
3l
1l
A
同理，
与
的交点
也在平面
内，
3l
2l
B
所以，
，即
，命题
为真命题；
AB
3l
1p
对于命题
，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
2p
命题
为假命题；
2p
对于命题
，空间中两条直线相交、平行或异面，
3p
命题
为假命题；
3p
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对于命题
，若直线
平面
，
4p
m
则
垂直于平面
内所有直线，
m
直线
平面
，
直线
直线，
l
m
l
命题
为真命题.
4p
综上可知，
为真命题，
为假命题，
1
4
p
p
1
2
p
p
为真命题，
为真命题.
2
3
p
p
3
4
p
p
故答案为：①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，
属于中等题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
2
5
cos (
)
cos
2
4
A
A
（1）求A；
（2）若
，证明：△ABC是直角三角形．
3
3
b
c
a
【答案】（1）
；（2）证明见解析
3
A
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，
可化为
2
5
cos
cos
2
4
A
A
2
5
1 cos
cos
4
A
A
，即可解出；
（2）根据余弦定理可得
，将
代入可找到
关系，
2
2
2
b
c
a
bc
3
3
b
c
a
, ,
a b c
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为
，所以
，
2
5
cos
cos
2
4
A
A
2
5
sin
cos
4
A
A
即
，
2
5
1 cos
cos
4
A
A
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解得
，又
，
1
cos
2
A
0
A
所以
；
3
A
（2）因为
，所以
，
3
A
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
即
①，
2
2
2
b
c
a
bc
又
②， 将②代入①得，
，
3
3
b
c
a
2
2
2
3
b
c
b
c
bc
即
，而
，解得
，
2
2
2
2
5
0
b
c
bc
b
c
2
b
c
所以
，
3
a
c
故
，
2
2
2
b
a
c
即
是直角三角形．
ABC
A
【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形
状，属于基础题．
18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的
数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得
到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野
生动物的数量，并计算得
，
，
，
，
20
1
60
i
ix
20
1
1200
i
iy
20
2
1
)
80
i
i
x
x
（
20
2
1
)
9000
i
iy
y
（
.
20
1
)
)
800
i
i
ix
y
x
y
（（
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动
物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r=
，
=1.414.
1
2
2
1
1
)
)
)
)
n
i
i
i
i
i
n
n
i
i
x
y
x
x
y
y
y
x
（（
（（
2
【答案】（1）
；（2）
；（3）详见解析
12000
0.94
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【解析】
【分析】
（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；
（2）利用公式
计算即可；
20
1
20
20
2
2
1
1
(
)(
)
(
)
(
)
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.
【详解】（1）样区野生动物平均数为
，
20
1
1
1
1200
60
20
20
i
i
y
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为200
60
12000
（2）样本
的相关系数为
( ,
)
i
i
x y
20
1
20
20
2
2
1
1
(
)(
)
800
2 2
0.94
3
80 9000
(
)
(
)
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
（3）
由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样
先将植物覆盖面积按优中差分成三层，
在各层内按比例抽取样本，
在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，
是一道容易题.
19.已知椭圆C1：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C1于A，B
两点，交C2于C，D两点，且|CD|=
|AB|．
4
3
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
【答案】（1）
；（2）
：
，
：
.
1
2
1
C
2
2
1
16
12
x
y
2
C
2
8
y
x
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【解析】
【分析】
（1）根据题意求出
的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设
在第一象限，运用代入法求出
2
C
,
A C
点的纵坐标，根据
，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；
, ,
,
A B C D
4
|
|
|
|
3
CD
AB
（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合
已知进行求解即可；
【详解】解：（1）因为椭圆
的右焦点坐标为：
,所以抛物线
的方程为
，其中
1
C
(c,0)
F
2
C
2
4
y
cx
.
2
2
c
a
b
不妨设
在第一象限，因为椭圆
的方程为：
，
,
A C
1
C
2
2
2
2
1
x
y
a
b
所以当
时，有
，因此
的纵坐标分别为
，
；
x
c
2
2
2
2
2
1
c
y
b
y
a
b
a
,
A B
2
b
a
2
b
a
又因为抛物线
的方程为
，所以当
时，有
，
2
C
2
4
y
cx
x
c
2
4
2
y
c c
y
c
所以
的纵坐标分别为
，
，故
，
.
,
C D
2c
2c
2
2
|
|
b
AB
a
|
| 4
CD
c
由
得
，即
，解得
（舍去），
.
4
|
|
|
|
3
CD
AB
2
8
4
3
b
c
a
2
3
2
2( )
c
c
a
a
2
c
a
1
2
c
a
所以
的离心率为
.
1
C
1
2
（2）由（1）知
，
，故
，所以
的四个顶点坐标分别为
，
2
a
c
3
b
c
2
2
1
2
2
:
1
4
3
x
y
C
c
c
1
C
(2 ,0)
c
，
，
，
的准线为
.
( 2 ,0)
c
(0, 3 )
c
(0,
3 )
c
2
C
x
c
由已知得
，即
.
3
12
c
c
c
c
2
c
所以
的标准方程为
，
的标准方程为
.
1
C
2
2
1
16
12
x
y
2
C
2
8
y
x
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的
坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.
20.如图，已知三棱柱ABC–
A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和
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P的平面交AB于E，交AC于F．
（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=
，求四棱锥B–
π
3
EB1C1F的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
24
【解析】
【分析】
（1）由
分别为
，
的中点，
，根据条件可得
，可证
,
M N
BC
1
1
B C
1
//
MN CC
1
1
/ /
AA
BB
1
MN AA
//
，要证平面
平面
，只需证明
平面
即可；
1
1
EB C F
1A AMN
EF
1A AMN
（2）根据已知条件求得
和
到
的距离，根据椎体体积公式，即可求得
.
1 1
EB C F
S四边形
M
PN
1 1
B EB C F
V
【详解】（1）
分别为
，
的中点，
,
M N
BC
1
1
B C
1
//
MN BB
又
1
1
/ /
AA
BB
1
//
MN AA
在等边
中，
为
中点，则
ABC
A
M
BC
BC
AM
又
侧面
为矩形，
1
1
BB C C
1
BC
BB
1
//
MN BB
MN
BC
由
，
平面
MN
AM
M
,
MN AM
1A AMN
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平面
BC ⊥
1A AMN
又
，且
平面
，
平面
，
1
1//
B C
BC
1
1
B C
ABC
BC
ABC
平面
1
1//
B C
ABC
又
平面
，且平面
平面
1
1
B C
1
1
EB C F
1
1
EB C F
ABC
EF
1
1 / /
B C
EF
//
EF BC
又
平面
BC
1A AMN
平面
EF
1A AMN
平面
EF
1
1
EB C F
平面
平面
1
1
EB C F
1A AMN
（2）过
作
垂线，交点为
，
M
PN
H
画出图形，如图
平面
//
AO
1
1
EB C F
平面
，平面
平面
AO
1A AMN
1A AMN
1
1
EB C F
NP
//
AO NP
又
//
NO AP
6
AO
NP
为
的中心.
O
1
1
1
A B C
△
1
1
1
1
sin 60
6 sin 60
3
3
3
ON
AC
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故：
，则
，
3
ON
AP
3
3 3
AM
AP
平面
平面
，平面
平面
，
1
1
EB C F
1A AMN
1
1
EB C F
1A AMN
NP
平面
MH
1A AMN
平面
MH
1
1
EB C F
又
在等边
中
ABC
A
EF
AP
BC
AM
即
3
6
2
3 3
AP BC
EF
AM
由（1）知，四边形
为梯形
1
1
EB C F
四边形
的面积为：
1
1
EB C F
1 1
1
1
2
6
=
6
24
2
2
EB C F
EF
B C
S
NP
四边形
，
1 1
1 1
1
3
B EB C F
EB C F
V
S
h
四边形
为
到
的距离
，
h
M
PN
2 3 sin 60
3
MH
.
1
24 3
24
3
V
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为
求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
21.已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）=
的单调性．
( )
( )
f x
f a
x
a
【答案】（1）
；（2）
在区间
和
上单调递减，没有递增区间
1
c
( )
g x
(0, )
a
( ,
)
a
【解析】
【分析】
（1）不等式
转化为
( )
2
f x
x
c
( )
2
0
f x
x
c
，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；
（2）对函数
求导，把导函数
的分子构成一个新函数
，再求导得到
，根据
( )
g x
( )
g x
( )
m x
( )
m x
( )
m x
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的正负，判断
的单调性，进而确定
的正负性，最后求出函数
的单调性.
( )
m x
( )
g x
( )
g x
【详解】（1）函数
的定义域为：
( )
f x
(0,
)
，
( )
2
( )
2
0
2ln
1
2
0( )
f x
x
c
f x
x
c
x
x
c
设
，则有
，
( )
2ln
1
2
(
0)
h x
x
x
c x
2
2(1
)
( )
2
x
h x
x
x
当
时，
单调递减，
1
x
( )
0, ( )
h x
h x
当
时，
单调递增，
0
1
x
( )
0, ( )
h x
h x
所以当
时，函数
有最大值，
1
x
( )
h x
即
，
max
( )
(1)
2ln1 1 2 1
1
h x
h
c
c
要想不等式
在
上恒成立，
( )
(0,
)
只需
；
max
( )
0
1
0
1
h x
c
c
（2）
且
2ln
1 (2ln
1)
2(ln
ln )
( )
(
0
x
a
x
a
g x
x
x
a
x
a
)
x
a
因此
，设
，
2
2(
ln
ln )
( )
(
)
x
a
x
x
x
a
g x
x x
a
( )
2(
ln
ln )
m x
x
a
x
x
x
a
则有
，
( )
2(ln
ln )
m x
a
x
当
时，
，所以
，
单调递减，因此有
，即
x
a
ln
ln
x
a
( )
0
m x
( )
m x
( )
( )
0
m x
m a
，所以
单调递减；
( )
0
g x
( )
g x
当
时，
，所以
，
单调递增，因此有
，即
0
x
a
ln
ln
x
a
( )
0
m x
( )
m x
( )
( )
0
m x
m a
( )
0
g x
，所以
单调递减，
( )
g x
所以函数
在区间
和
上单调递减，没有递增区间.
( )
g x
(0, )
a
( ,
)
a
【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学
运算能力，是中档题.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所
选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答
按所答第一题评分．
[选修4—4：坐标系与参数方程]
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22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：
（θ为参数），C2：
（t为参数）.
2
2
4cos
4sin
x
y
，
1,
1
x
t
t
y
t
t
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过
极点和P的圆的极坐标方程.
【答案】（1）
；
；（2）
.
1 :
4
C
x
y
2
2
2 :
4
C
x
y
17 cos
5
【解析】
【分析】
（1）分别消去参数
和即可得到所求普通方程；
t
（2）两方程联立求得点P
，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由
得
的普通方程为：
；
2
2
cos
sin
1
1
C
4
x
y
由
得：
，两式作差可得
的普通方程为：
.
1
1
x
t
t
y
t
t
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
x
t
t
y
t
t
2
C
2
2
4
x
y
（2）由
得：
，即
；
2
2
4
4
x
y
x
y
5
2
3
2
x
y
5 3
,
2 2
P
设所求圆圆心的直角坐标为
，其中
，
,0
a
0
a
则
，解得：
，
所求圆的半径
，
2
2
2
5
3
0
2
2
a
a
17
10
a
17
10
r
所求圆的直角坐标方程为：
，即
，
2
2
2
17
17
10
10
x
y
2
2
17
5
x
y
x
所求圆的极坐标方程为
.
17 cos
5
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐
标方程等知识，属于常考题型.
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[选修4—5：不等式选讲]
23.已知函数
.
2
( )
|
2
1|
f x
x
a
x
a
（1）当
时，求不等式
的解集；
2
a
( ) 4
f x …
（2）若
，求a的取值范围.
( ) 4
f x …
【答案】（1）
或
；（2）
.
3
2
x x
11
2
x
, 1
3,
【解析】
【分析】
（1）分别在
、
和
三种情况下解不等式求得结果；
3
x
3
4
x
4
x
（2）利用绝对值三角不等式可得到
，由此构造不等式求得结果.
2
1
f x
a
【详解】（1）当
时，
.
2
a
4
3
f x
x
x
当
时，
，解得：
；
3
x
4
3
7
2
4
f x
x
x
x
3
2
x≤
当
时，
，无解；
3
4
x
4
3
1
4
f x
x
x
当
时，
，解得：
；
4
x
4
3
2
7
4
f x
x
x
x
11
2
x
综上所述：
的解集为
或
.
4
f x
3
2
x x
11
2
x
（2）
（当且仅当
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
f x
x
a
x
a
x
a
x
a
a
a
a
时取等号），
2
2
1
a
x
a
，解得：
或
，
2
1
4
a
1
a
3
a
的取值范围为
.
a
, 1
3,
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
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